浙江省丽水市2024-2025学年高二上学期1月期末教学质量监控数学试题

丽水市2024学年第一学期普通高中教学质量监控 高二数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D C C B C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 ABD BD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 13. 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分13分） （1）设数列的公差为，则有，解得： ……………………7 分 （2）由（1）知 ……………………13 分 16.（本小题满分15分） （1）当时，， 由得 的单调递减区间为； ……………………7 分 （2） 当时，，在上单调递增； 同理：当时，在上单调递减，在上单调递增 ； 当时，在上单调递减 综上： ……………………15 分 17. （本小题满分15分） （1）取中点为，连接,则，又 所以，所以，即 因为平面，平面，所以, 又,平面，所以平面 又平面，所以平面平面 ……………………7 分 （2）作，垂足为，由（Ⅰ）知：平面平面， 所以平面，故即为与平面所成角， .在中，，故， 以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， ，. ，，， 设平面的一个法向量为 则，得，取， 设平面的一个法向量为 则，得，取， 所以， 所以二面角的余弦值为. ……………………………15分 18. （本小题满分17分） （1），又. ……………………4分 （2）椭圆方程化为. （i）设的方程为，代入椭圆方程得：. 设，的中点为， 则， 又的方程为，则得， 所以，即过的中点，即平分线段. ……………10分 （ii） 所以，解得或（舍去）， 所以，点的纵坐标为. ……………17分 19. （本小题满分17分） 解：（1）根据题意，因为，，又， 则满足条件的数表可以是 ……………4分 （2） 当时，显然成立， 当时，用反证法证明如下： 假设任意的正整数，则由条件①必存在正整数，使得，由条件②可知必定为偶数 i） 若，则交换和位置，此时，新数表仍然符合条件①②，但新数表第一行之和变小，与是最小值矛盾； ii） 若，则交换和的位置，此时，新数表仍然符合条件①②，又返回到第i）种情形. 所以当取最小值时，数表中一定存在一项. …………10分 （3） 设，则，则 所以 又 ...... 所以 设 则，又 所以 所以的最大值是 当数表为如下形式时， 取得最大值. ……………17分 高三数学 第4页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丽水市2024学年第一学期普通高中教学质量监控 高二数学试题卷 （2025.01） 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题卷规定的位置上。 2．答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角是 A． B． C． D． 2．预测人口变化趋势有很多方法，“直接推算法”使用公式是，其中为预测人口数，为初期人口数，为预测期内人口年增长率，为预测期间隔年数．如果在某一时期，那么在这期间人口数 A．呈上升趋势 B．呈下降趋势 C．摆动变化 D．不变 3. 已知函数，若，则 A． B． C． D． ( 第 4 题图 )4．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值是 A. B. C. D. 5．PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是 A. B. C. D. 6．已知函数的图象如图所示，不等式的解集是 ( 第 6 题图 )A. B. C. D. 7．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则 A． B． C．2 D．3 8．已知双曲线：的右焦点为，过的直线（为常数）与在第一象限交于点.若（为原点），则的离心率是 A. B. C. D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知圆，，则下列说法正确的是 A．当时，圆与圆相离 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线方程是 10．已知等比数列的公比为，前项和，设，记数列的前项和为，则下列说法正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知正方体的棱长为，点为中点，动点在正方形内（包括边界），则下列说法正确的是 A．若，则的长度是 B．若平面，则的最小值是 C．若，则点的轨迹长度是 D．若平面，则点的位置唯一 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，若，则实数的值是 ▲ ． 13．如图是一座抛物线型拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽．当水位下降，水面宽为时，拱顶到水面的距离是 ▲ ． ( 第 13 题图 )14．已知的定义域是，且，则不等式的解是 ▲ . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分13分） 已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16.（本小题满分15分） 已知函数． （1）当时，求函数的单调递减区间； （2）求函数在上的最小值． 17.（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，平面，，，. （1）证明：平面平面； （2）若与平面所成角的正弦值为， ( 第 17 题图 )求二面角的余弦值. 18.（本小题满分17分） 已知椭圆的焦距为，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形. （1）求椭圆的标准方程； （2）设为的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交于点，. （i）证明：平分线段（其中为坐标原点）； （ii）设线段的中点为，若与面积之积是，求点的纵坐标. 19.（本小题满分17分） 已知数表，其中表示数表中第行第列的实数，互不相同，且满足下列条件： ①；②. （1）对于数表，若，写出所有满足条件的数表； （2）对于数表，当取最小值时，求证：存在正整数，使得； （3）对于数表，当n为偶数时，求的最大值. 高二数学试题卷 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$