精品解析：湖北省襄阳市枣阳市2024-2025学年九年级上学期期末学业质量检测数学试卷

2024-2025学年度上学期期末学业质量检测 九年级数学试题 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 某型号手机原来每部售价为2899元，经过连续两次降价后，该手机每部售价为2349元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的图象是抛物线，自变量与函数的部分对应值如下表： … －5 －4 －3 －2 －1 0 … … 4 0 －2 －2 0 4 … 下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的对称轴是直线 B. 抛物线与轴的交点坐标为 C. D. 当时，随着的增大而增大 6. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，则为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻上，使的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图象，下列说法不正确的是（ ） A. 当没有粮食放置时，的阻值为 B. 的阻值随着粮食水分含量的增大而减小 C. 该装置能检测的粮食水分含量的最大值是 D. 湿敏电阻与粮食水分含量之间反比例关系 8. 如图，是直径，若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点D、E分别在边、上，下列条件不能满足的条件是（ ） A. B. C. D. 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象如右图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 11. 已知一元二次方程的两根分别为，则的值是______． 12. 反比例函数具有：当时，随的增大而减小的性质，写出一个满足条件的常数的值是______． 13. 如图，这个滑轮的半径是，当它的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为时，重物上升______（结果保留）． 14. 某拱桥主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则___________，主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为___________米． 15. 如图，在矩形中，是的中点，连接，将沿着翻折得到，交于点，延长相交于点，若，则______． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）当取满足条件的最大整数值时，求方程的根． 17. 如图，中，于点，点为上一点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 18. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转角到的位置，这时点恰好落在边的中点，求的度数． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点． （1）①直接写出反比例函数的解析式； ②若点，求该一次函数的解析式及的面积． （2）若点在该反比例函数图象上，且它到轴距离小于3，请根据图象直接写出的取值范围． 20. 如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处．已知折痕，且，． （1）求证：； （2）求的长． 21. 如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． （1）求证：； （2）若垂直平分，，求阴影部分的面积． 22. 综合与实践 “道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆安全行驶的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停下，这段距离称为刹车距离，已知某汽车研发中心设计研发了一款新型汽车，模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行测试．数学小组的同学对测试的数据进行了收集、整理，发现开始刹车后行驶的距离与刹车后行驶的时间之间满足二次函数关系，函数图象如图所示，请根据以上信息，回答下列问题： （1）求关于的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）若汽车司机行驶过程中发现正前方处停有一辆抛锚的车后，立刻刹车，问：该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？请说明理由； （3）当汽车开始刹车多长时间时，汽车行驶距离． 23. 【问题背景】（1）如图，，，．求证：； 【变式迁移】（2）如图，为正方形外一点，，过点作，垂足为，连接．求值； 【拓展创新】（3）如图，是内一点，，，，，，直接写出的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交点，连接．若点是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接交于点，当时，求点的坐标； （3）设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，设． ①直接写出关于的函数解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度上学期期末学业质量检测 九年级数学试题 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根，把一元二次方程的根代入方程，即可求出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是2， ∴， 解得． 故选：B 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 某型号手机原来每部售价为2899元，经过连续两次降价后，该手机每部售价为2349元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的应用，正确理解变化率问题及降低率公式是解题的关键． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为，根据题意得， 故选：C． 4. 将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的平移，根据上加下减，左加右减进行解答即可． 【详解】解：， ∴抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是， 故选：B 5. 二次函数的图象是抛物线，自变量与函数的部分对应值如下表： … －5 －4 －3 －2 －1 0 … … 4 0 －2 －2 0 4 … 下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的对称轴是直线 B. 抛物线与轴的交点坐标为 C. D. 当时，随着的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据表格信息求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：将，，代入得， 解得， 二次函数解析式为， 抛物线的对称轴是直线，故A选项不符合题意， 抛物线与轴的交点坐标为，B选项符合题意， ，故C选项不符合题意, 当时，随着的增大而增大，故D选项不符合题意， 故选： B． 6. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，则为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】证明，然后利用相似三角形的对应边成比例得，即可求出的长． 【详解】解：由题意可知， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解答本题的关键． 7. 河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻上，使的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图象，下列说法不正确的是（ ） A. 当没有粮食放置时，的阻值为 B. 的阻值随着粮食水分含量的增大而减小 C. 该装置能检测的粮食水分含量的最大值是 D. 湿敏电阻与粮食水分含量之间是反比例关系 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了物理与数学的跨学科综合，成反比例关系的概念，从函数图象获取信息，是解题的关键． 根据图象对每一个选项逐一判断即可． 【详解】解：A、当没有粮食放置时，即水分含量为0，由图象可知的阻值为，故本选项不符合题意； B、由图象可知，的阻值随着粮食水分含量的增大而减小，故本选项不符合题意； C、由图象可知，该装置能检测的粮食水分含量的最大值是，故本选项不符合题意； D、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于0的常数，那么就说这两个变量成反比例，从图象中得到当水分含量为0时，的阻值为，此时这水分含量的阻值为0，不符合成反比例关系的定义，故本选项符合题意． 故选：D． 8. 如图，是的直径，若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据直径所对的圆周角是直角可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，再根据直角三角形的两个锐角互余，计算即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C ． 9. 如图，在中，点D、E分别在边、上，下列条件不能满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理去判断分析即可． 【详解】A．∵，，∴，满足条件，不符合题意，故A不正确； B．∵，，∴，满足条件，不符合题意，故B不正确； C．∵，无夹角相等，∴不能判定，故C符合题意； D．∵，，∴，满足条件，不符合题意，故D不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定条件，熟练掌握判定三角形相似的基本方法是解题的关键． 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象如右图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图象可得，根据反比例函数可得，据此即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、三、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴在轴的右侧，与轴交于负半轴， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断，熟练掌握以上函数图象的性质是解题的关键． 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 11. 已知一元二次方程的两根分别为，则的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，熟悉此关系是解题的关键；由根与系数关系得，再整体代入即可求值． 【详解】解：由根与系数关系得， ∴ ； 故答案为：3． 12. 反比例函数具有：当时，随的增大而减小的性质，写出一个满足条件的常数的值是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的图像与性质，反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．根据反比例函数的性质求出的范围，即可求解． 【详解】解：当时，反比例函数中随的增大而减小， ， 解得：， 常数的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，这个滑轮的半径是，当它的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为时，重物上升______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 求得半径为、圆心角为的弧长，即可得出答案． 【详解】解：观察图象可知，重物上升的高度就是滑轮旋转角度为时所对应的弧长， ， 当滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为时，重物上升， 故答案为：． 14. 某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则___________，主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为___________米． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的运用，根据桥拱在水面的跨度约为米，则，且主桥拱所在抛物线可以表示为，代入计算即可求解的值，根据顶点坐标，对称的性质，两点之间距离的计算方法即可求解． 【详解】解：主桥拱所在抛物线可以表示为，桥拱在水面的跨度约为米，则， ∴， 解得，， ∴， ∴倒影点的坐标为， ∴主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为， 故答案为：；． 15. 如图，在矩形中，是的中点，连接，将沿着翻折得到，交于点，延长相交于点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质以及折叠的性质，勾股定理、三角形全等的判定与性质，连接，由折叠的性质可得：，，，得出，证明，得出，设，则，，由勾股定理得出，求出，设，则，再利用勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， 是的中点， ， 由折叠的性质可得：，，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ， ∵， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）当取满足条件的最大整数值时，求方程的根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式并正确求解一元二次方程是解题的关键； （1）由题意得，解不等式即可； （2）根据（1）求得的k的范围可得到k的最大整数值，代入方程中并解方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得． 【小问2详解】 解：由，得满足条件的的最大整数值为3， 则原方程化为， ∴， 解得，． 17. 如图，中，于点，点为上一点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理、 圆周角定理、勾股定理等知识． （1）连接．根据垂径定理得到，则，由圆周角定理得到，即可证明结论成立； （2）设，则，由垂径定理得到．在中，由，列方程并解方程即可求出答案． 【小问1详解】 证明：连接． ∵， ∴， ． 又∵和都对着， ． 【小问2详解】 设，则， ∵， ． 在中，由， 得， 解得， ． 18. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转角到的位置，这时点恰好落在边的中点，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形斜边上中线的性质等知识，根据旋转性质得到，，，由直角三角形斜边中线性质进一步得到，则为等边三角形，得到，即可得到的度数． 【详解】解：∵，将绕点逆时针旋转角到的位置， ∴，，， ∵为的中点， ， ， ∴为等边三角形， ∴， ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点． （1）①直接写出反比例函数的解析式； ②若点，求该一次函数的解析式及的面积． （2）若点在该反比例函数图象上，且它到轴距离小于3，请根据图象直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）①将点代入反比例函数解析式即可得到答案； ②先用待定系数法求出一次函数解析式，令直线与轴的交点为，将的面积转化为与的面积之和即可； （2）由题意得或，分别代入反比例函数解析式计算，即可得到答案． 【小问1详解】 解：①将代入得， ， 反比例函数解析式为； ②将，代入得， 解得， 一次函数的解析式为； 如图，令直线与轴的交点为， 令， ， ， 点的坐标为， ， ； 【小问2详解】 解：由题意得或， ， 当时，， 当时，， 的取值范围是或． 20. 如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处．已知折痕，且，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的特点、图形的折叠、相似三角形的判定定理及性质等内容． （1）矩形的特点是四个角均为直角，折叠的部分所包含的角也是直角，利用在直角三角形中两锐角互余可得，进而可证明； （2）利用相似三角形对应边成比例，再利用勾股定理即可得解． 【小问1详解】 证明：折叠矩形的一边，使点落在边上的点处， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：， 设，， ， ． ， 即， ， ． 在中，由勾股定理，得，即， ，（不合题意，舍去）． ． 21. 如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． （1）求证：； （2）若垂直平分，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图1，连接．则，即．由为直径，可得，即．则．由，可得．由，可得．则．进而可证． （2）如图2，连接．由垂直平分，可得．则为等边三角形．，．由，可得．由，可得．．证明为等边三角形．则，．．则．．．．，再根据，计算求解即可． 【小问1详解】 证明：如图1，连接． 图1 ∵为的切线， ∴，即． 又∵为直径， ∴，即． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：如图2，连接． 图2 ∵垂直平分， ∴． 又∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，正弦，扇形面积等知识．熟练掌握相关图形的性质定理、正确添加辅助线是解题的关键． 22. 综合与实践 “道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆安全行驶的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停下，这段距离称为刹车距离，已知某汽车研发中心设计研发了一款新型汽车，模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行测试．数学小组的同学对测试的数据进行了收集、整理，发现开始刹车后行驶的距离与刹车后行驶的时间之间满足二次函数关系，函数图象如图所示，请根据以上信息，回答下列问题： （1）求关于的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）若汽车司机行驶过程中发现正前方处停有一辆抛锚的车后，立刻刹车，问：该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？请说明理由； （3）当汽车开始刹车多长时间时，汽车行驶的距离． 【答案】（1） （2）该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车，理由见解析 （3）当汽车开始刹车经过时，汽车行驶的距离 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用； （1）利用待定系数法即可求出y关于t的函数解析式； （2）求出（1）中函数的最大值，与比较，即可解决问题； （3）将代入（1）中，解方程，结合题意，即可求解． 【小问1详解】 解：设关于的函数解析式为， 抛物线过， 解得 关于的函数解析式为． 小问2详解】 ， 当时，汽车停下，此时该汽车行驶的距离为， ， 该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 【小问3详解】 当时，即． 解得，． 由（2）可知，汽车开始刹车后，汽车就停下来了， 所以不合题意． 当汽车开始刹车经过时，汽车行驶的距离． 23. 【问题背景】（1）如图，，，．求证：； 【变式迁移】（2）如图，为正方形外一点，，过点作，垂足为，连接．求的值； 【拓展创新】（3）如图，是内一点，，，，，，直接写出的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）通过证明，根据相似三角形的性质可得，即可得证； （2）根据条件，证明，即可求解； （3）过点作，交于点，连接，证明，可求，，在直角三角形中由勾股定理可求，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，∵，，， ∴， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的值为； （3）解：过点作，交于点，连接， ∵， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴的长为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交点，连接．若点是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接交于点，当时，求点的坐标； （3）设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，设． ①直接写出关于的函数解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法把代入，解二元一次方程组即可求解； （2）运用待定系数法求直线的解析式，如图所示，过点作轴交于点，得到，证明，得到，根据题意则有，由此解一元二次方程得到的值，代入点坐标即可求解； （3）①根据题意，得到二次函数对称轴直线，点关于对称轴的对称点，由此分类讨论，结合图形分析可得出关于的函数解析式；②根据图示即①中的计算结果进行判定即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点，与轴交点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴设直线的解析式为：， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为， ∴， 如图所示，过点作轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，，即， 当时，，即， 综上所述，当时，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：①二次函数的图像如图所示，设顶点坐标为，点关于对称轴对称的点为， ∴对称轴直线为，即 由题意可得，，抛物线在点与点之间的部分包含点和点， ∴， 令时，， 解得，， ∴点关于对称轴对称的点的坐标为， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，； ②根据题意，当时，，不符合题意，舍去； 当，； 当时，（不符合题意，舍去），； ∴当时，的取值范围为． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，相似三角形的判定和性质，动点与函数图象的性质等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，相似三角形的判定和性质，数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$