河南省周口市2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

秘密★启用前 普通高中2024一2025学年（上）高二年级期未考试 数学（人教版） 本 注意事项： 试 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 卷 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 由 上。写在本试卷上无效。 各 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 市 装 地 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 县 是符合题目要求的。 区 1.在等差数列{a.}中，a与十a。=6,a6=10,则{an}的公差d= 参 B.-4 C.-7 D.-8 考 订 2.已知直线1经过点（一2,0），且与直线2x一5y一4=0垂直，则直线1的方程为 学 A.5x-2y+10=0 B.5x-2y-10=0 校 C.5x+2y-10=0 D.5x+2y+10=0 留 3.已知曲线x2+y2+2my十1=0表示圆，则实数m的取值范围为 存 A.(2,+∞) B.(-∞，-1)U(1,+∞) 准考证号 C.(-1,1) D.(-∞，-2)U(2,+c∞) 4.若直线l1:x一y一4=0与l2:2x一my一7=0(m∈R)平行，则l1与l2之间的距离为 姓 名 A是 R号 9 D.3 5.已知在正四面体ABCD中，M为棱BC的中点，O为△ACD的重心，设AB=a,AC= b,AD=c,则OM= A2-b- 1 B 2a+后b+30 n-+b+ 6 数学（人教版）试题第1页（共4页） 6.已知函数f(x)=xlnx-x2,则1im f(1)一f(1十△x)=号：行E本：之#，月 △x 41 A.2 B.1 C.-1 D.-2 7.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2,P为棱BB1上的动点（不包含端 点)，则AC1与D,P所成角的余弦值的取值范围为 A6,》 Bo,号 co,》 D.b,) 8.已知长为6的线段AB的两端点A,B分别在x轴和y轴上，点Q满足AQ=5QB,则 关于点Q的轨迹，下列说法正确的是 A.点Q的轨迹是焦点在x轴上的椭圆 B.点Q的轨迹是短轴长为1的椭圆 C.点Q的轨迹是离心率为？的椭圆 D.点Q的轨迹是长轴长为10的椭圆 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列求导运算正确的是 A.(e)'=e B.(2x3)'=6x2 C.[sin(cosx)]'=-sinx·cos(cosx） 10.记S。为数列{an}的前n项和，已知a1=一1，a2=一8，当n≥2时，S。-1十Sm+1 2S,=n一8，则下列说法正确的是 A.ag=-14 B.{a.}为递减数列 C.a,=n2-17m+14 2 D.当a.<0时，n取得最大值为15 11.如图，“倒M形”曲线E由两部分组成，y轴左侧部分曲线为C1:x十√一y2十2y=0 (x<0),y轴及其右侧部分曲线为C2:x一a =0(x≥0，a>b>0),且a2- b2=4,若P(x,y)为“倒M形”曲线E上一动点，则下列说 法正确的是 P(r,y) A.曲线C,与y轴所围成区域的面积为2π B自线C的方程为后+苦-1≥0) C.IOP|的最大值为2 D.若直线y=-一2x十t与曲线E有四个交点，则实数t的取值范围为(1一5,0) 数学（人教版）试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.曲线f(x)=e-1在x=1处的切线的倾斜角为 13.在等比数列{a.)中，a6=a,a,=8,则a5=一 14.已知点P为双曲线C:-为1(a>0,b>0)上一点，F,F,分别为C的左、右焦 点，∠F,PF2=90°，且△PF,F2的面积为2，若双曲线C的离心率为√2，则双曲线C 的实轴长为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 设S.为正项等比数列a,的前n项和，已知a,-日S:=是 (1)求数列{a.}的公比q: (2)求数列{a.}的通项公式； (3)求数列{a.)的前n项和S. 16.(15分) 已知圆E经过点P(-2,4),且与圆C1:x2+y2-2x=0相切于点A(2,0). (1)求圆心C1的坐标： (2)求圆E的标准方程； (3)过点A的直线1与圆C1和圆E分别交于x轴上方的B,C两点，若|BC|=3√2， 求直线！的方程. 数学（人教版）试题第3页（共4页） 17.(15分) 如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=22,M,Q分别为AC,BC的中 点，将△CMQ沿MQ折起，使点C至点P的位置，且PB=√6. (1)证明：PM⊥AM; (2)求二面角B-PA-Q的余弦值. 装 18.(17分) 已知抛物线C:y=2px(p>0),过点A(2p,0)的直线与C交于P,Q两点，设O为坐 标原点，当PQ⊥x轴时，△POQ的周长为6(1十√2). (1)求抛物线C的焦点坐标： (2)若点M为抛物线C上异于原点O的一动点，且直线OM与直线PQ的交点D恒 在定直线x=一3上.证明：过点M与抛物线C相切的直线平行于直线PQ, 订 考生注意清点试卷有无漏印或缺页， 19.(17分) 对于数列a,若存在m∈N,ER,使得对于任意m>m,都有a,一是之。，十，则 若有要及时更换， 称数列{a.}为(m,t)型数列. (1)已知数列{a.}的通项公式为a.=3”(n∈N·),判断数列{a.}是否为(2,0)型数列， 并说明理由： 否则责任自负 (2)已知数列a,}的首项为3，n∈N,且数列a,}是(1,2)型数列，若b.=。1 一，求 aan 数列{b.}的前n项和S, (3)已知数列{a.}是公差为4的等差数列，证明：对于任意的m∈N',数列{a.}都是 (m,2(m+1)型数列. 数学（人教版）试题第4页（共4页） 普通高中2024一2025学年（上）高二年级期末考试 数学（人教版） 参考答案 1C【解析】由等差数列的性质可知，as十 2=-1,所以1im f1)-f+A2=1. ag=2a?=6,所以a,=3,又a6=10,所以 △x d=a,-as=-7. 故选B. 故选C. 7.B【解析】以D为坐标原点，以DA,DC, 2.D【解析】由题意设直线l的方程为5x十 DD,所在直线分别为x轴、y轴、x轴建立 2y十m=0,将点（一2,0）代入，得m=10,所 如图所示的空间直角坐标系， 以直线1的方程为5x+2y+10=0. 故选D. 3.B【解析】由圆的一般方程可知，(2m) 4×1>0,解得m<一1或m>1. 故选B. 4.A【解析】由题意得m=2,则直线11：2x 2y一8=0与12：2x-2y-7=0之间的距离 为d=-8+1=区 √22+2z2√/24 则A(1,0,0),C1(0,1,2),D(0,0,2) 故选A 设P(1,1,a)(0<a<2),故D1P=(1,1, 5.C【解析】因为O为△ACD的重心， a-2),AC=(-1,1,2), 设AC1与D,P所成的角为6，则cos0= 所以Ad-[2(C+AD]-专b+c). 1AC·D,P1_ |2(a-2) 因为M为棱BC的中点，所以A矿-号cA+ ACD,可6XV2+(a-2罗，所以 4(a-2)2 cos0 AC)=(a+8), 12+6(a-2,令1=(a-2)2,t∈ 则a成=M-Aò=2a+b)-号b+e) (0.4,所以co0=2+6 2e(o号) +-c. 1 故cos0c(0,号》： 故选C 故选B. 6.B【解析】由导数的定义可知， 8.D【解析】设A(xa,0),B(0,y。),则x+ lim f(1)-f(1r) y1=36, △x -m1+a2-f-f. 设点Q(x,y),则AQ=(x-xy),QB= △x (-x,yo-y),由AQ=5QB得，(x-xy)= 又f(x)=1+lnx-2x,所以f(1)=1+n1一 (-5x,5ym-5y), ·数学（人牧版）答案（第1页，共5页）· 10)+…+(-6)+(-7), x-xo=-5x, 所以 则 y=5y-5y. 所以a.一a1=(n-9)+(n-10)+…十 yo= 6 y, (-6)+(-7)=m-1[m-9)+(-7D]_ 代人x8+y8=36,得36r2+36y 2 25 =36,即 n2-17n+16 5+x2=1,则a2=25,62=1,所以a=5 2 则a.-n-17n+16+a,--17a+14 2 2 b=1,c=√a-b=2√6， 当n=1,2时，代人上式均成立， 所以点Q的轨迹是焦点在y轴上的椭圆，短 故a.=n-l7n+14 轴长为26=2离心率为=C-25 C正确： a ,长轴 长为2a=10,故A,B,C错误，D正确. 当a.<0时，即0-17m+14 2 <0,解得 故选D. 17-√233 <n<17+y233 9.BCD【解析】因为e为常数，所以(e)'= 2 n∈N',所以n 0,A错误； 取得最大值为16，D错误. 因为(2x)'=6x,B正确： 故选AC. 因为[sin(cosx)]丫=cos(cosx)·(cosx)'= 11.BD【解析】曲线C1:x+√一y+2yT= 一sinx·cos(cosx),C正确； 0可化为x2十(y土1)=1(x<0),表示以 (0,士1)为圆心，半径为1的两个半圆，易 因为-吊·（当》-吊 得C1与y轴所围成的区域的面积为π (x+1)'·(x-1)-(x+1)·(x-1) 1=x,A错误； (x-1)2 x-1.x-1-(x+D--2 因为a2-b2=4,曲线C2:x一a√ 62 x+1 (x-1)2 之1D正确 0(x≥0，a≥b0),化为子 故选BCD. +6=1(x≥0， 10.AC【解析】由S.-1十S.+1一2Sm=n一8， a>b>0),表示右焦点为F(2,0)的椭圆在 得(S。+1一S,）-(Sm-S。-1)=n-8,即 y轴上及y轴右侧的部分， 由图可知，b=2,又a一b2=4,解得a2=8, am+1一am=n一8(n≥2)，所以a:-a2= -6,又a2=一8，所以a3=一14，A正确： 所以角线C,的方程为写+号-1：≥0。 由a+1一a.=n-8(n≥2)得，当n>8时， B正确： am+i>am,则(a.}不为递减数列，B错误； a=2√2，则|OP|的最大值为2√2，C错误： 由am+1一a.=n-8(n≥2)得，当n≥3时， 由图可知，当直线y=一2x十t与第二象限 am一am-1=n一9，a。-1一am-2=n-10,…, 的半圆相切时，二=1，解得1=1一5 a4-ag=-5,又ag-a2=-6,a2-a1= 5 -7, (t=1+√5舍去)，由图可知，t<0,所以实 将上式相加得，(a。一a-1)十(am-1一aw-:）十 数t的取值范围为(1一√5,0)，D正确， …十(as-az)+(aa-a1)=(n-9)+(n- 故选BD. ·数学（人牧版）答案（第2页，共5页）· 12.牙（或45）【解析】由题意得()/= 16.解：(1)由圆C:x2+y2-2x=0配方得， (x-1)2+y2=1, (1分) e-1,当x=1时，切线的斜率为1，故切线 所以圆心C,(1,0) (3分) 的倾斜角为子。 (2)因为圆E经过点P(一2,4)，且与圆C 13.4【解析】由等比数列的性质可知，a:= 相切于点A(2,0), a2a,a。=8×8=64,所以a:=4. 所以圆E与圆C,内切，且圆心E在x轴 上 (4分) 14.2V反【解析】不妨设点P为双曲线C:行 设圆心E(a,0)(a<2),圆E的半径为r, 若=1右支上一点，则PF,1- 则2a, (5分) l(a+2)2+42=r2, |PF,|=2a, a=-2, 解得 (6分) 由△PF,F:的面积为2得，令|PF,· r=4, 故圆E的标准方程为(x十2)2+y2=16. |PF2=2,所以|PF,l·PF:|=4, (7分) 因为∠F,PF2=90°，所以|PF,2+ (3)如图，过C,,E分别作C,D⊥AB, |PF:|=|F,F|,则(PF- EF⊥AC, |PF:l)2+2|PF,|·|PF:|=4c2, 所以4a2+8=4c2,又￡=2，所以c2= 2a2,则4a2+8=8a2,解得a=√2，故双曲 线C的实轴长为2a=2v√2， a1g2- 8 15.解：(1)由题意得， (2分) dto-3. 因为AC,|=1,AE|=4, ADAC,1 整理得l中9=6，即6g-g-1=0,3分) (8分) 4 所以AF=AE=' 由圆的性质可知，AB=2|AD, 解得g=2或9一3（舍去）. (4分) ABAD IAC|=2|AF|,所以 ACI AF (2)因为a(合》)=g,所以a,=号，6分) (9分) 故a.=a19=号×（份》=（分八 所以|BC1=|AC|-|AB|=3|AB|, (8分) (10分) 9”.- 又|BC=3√2，所以|AB|=V2,(11分) 1一2 在图C,中，得1CD=√-()= (13分) 2 (12分) ·数学（人教版）答案（第3页，共5页）· 在Rt△AC,D中，∠C,AD=45°，则直线I 取x1=1,则m=(1,0,1) (11分) 的斜率为k=tan135°=一1， (13分) 设平面PAQ的法向量为n=(x2,y2,xz), 所以直线1的方程为y=一(x一2)，即x十 [PA·n=0,xg-22=0, y-2=0. (15分) 由 得 取x2=1, P.n=0, y2-22=0, 17.解：(1)证明：因为M,Q分别为AC,BC的 则n=(1,1,1), (13分) 中点，所以MQ∥AB,又∠BAC=90°，所以 MQ⊥AM,MQ⊥MC,MQ⊥PM.(1分) m·n 2 于是cos(m,n》= 6 mm 2x3 3 又PM,AMC平面PAM,PM∩AM=M, 所以MQ⊥平面PAM. (2分) (14分) 因为△ABC为等腰直角三角形，∠BAC= 故二面角B-PA-Q的余弦值为 31 90°，BC=2√2，所以AC=AB=2,则 (15分) AM=MP=1. (3分) 18.解：(1)当x=2p时，y=士2p, (1分) 连接BM,则BM=√AM+AB=√5， 不妨取P(2p,2p),Q(2p,一2p), (4分) 则10P|=|OQ|=22p. (2分) 又PB=√6，所以PB2=MP2+BM, PQ=4p. (3分) 则PM⊥BM. (5分) 由△POQ的周长为6(1十2)得，4√2p+ 又MQ,BMC平面ABQM,MQ∩BM= 4p=61+2),解得p=2: 3 M,所以PM⊥平面ABQM, (6分) (5分) 又AMC平面ABQM,则PM⊥AM. (7分) 散抛物线C的焦点坐标为（保0小 (6分》 (2)以点M为坐标原点，以MA,MQ,MP (2)证明：由(1)可知，抛物线C:y2=3x, 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图 (7分) 所示的空间直角坐标系。 设直线PQ的方程为x=ty十3(t≠0)， 则直线PQ与直线x=一3交于点 D(-3,-) 0 所以OD的方程为y=名 , (8分) 2 y= 联立 ”解得w=则= 则M(0,0,0),Q(0,1,0),A(1,0,0),B(1, y2=3x, 2.0),P(0,0,1) (8分) 所以M(,2小 (10分) 故PA=(1,0,-1),AB=(0,2,0),PQ= (0,1,-1) (9分) 易知过点M与抛物线C相切的直线的斜 设平面PAB的法向量为m=(x1,y1,21), 率存在，设其方程为y一昌：=(2 PA·m=0,a1一z1=0, 由 得 AB.m=0,2y1=0, . (11分) ·数学（人教版）答案（第4页，共5页）： 代入y2=3x得，整理得x2-(号2 则aw一am-1=2(n≥2)， 所以数列(a.}为3为首项，2为公差的等差 3++品-号+-0. 数列， (5分) 所以a。=3十2(n-1)=2n十1. (6分) (12分) 1 1 则△-（层-3+3）-4（品4 所以b。= a。ae+l (2n+1)(2m+3)= r+2）=0. (8分) (14分) 整理得k12-2kt十1=0， 故s.=[(号》+（得-）+…十 则(-1D=0,所以k=} (16分) 2n+ 2)门-信) 故过点M与抛物线C相切的直线的斜率 (10分) 为，又PQ的斜率为 6n+9 故过点M与抛物线C的相切的直线平行 3)证明：1分 a4+2m+1D=2(a.十 m二 于直线PQ. (17分) a-m+1十…十a。-)十2(m十1)(12分) 19.解：(1)数列{an}不是(2,0)型数列.(1分) 理由如下：因为a,=3”,当n>2时， -ta,-4)+a,-80+…+a, 2ata+0=28+g)= 4m)]+2(m+1) (14分) = m(4十4m)7 +2(m+1) 2·3"-2≠3"， (2分) m[ma. 2 =a。-(2十2m)+2(m+1)=a., 所以an≠ 22 故对于任意的m∈N”,数列{a.}都是(m, 故数列{a.}不是(2,0)型数列. (3分) 2(十1))型数列. (17分) (2)由定义可知，am=aw-1十2(n>1), (4分) ·数学（人教版）答案（第5页，共5页）·