1.3《乘法公式(3)》完全平方公式1 课件2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第一章 整式的乘除 1.3 乘法公式(3) -完全平方公式1 温故知新 平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2。 2.公式的结构特点: 左边是两个二项式的乘积,即两数和与这两数差的积; 右边是两数的平方差。 1.由右面的两个图形你能得到哪个公式? 1.计算下列各式: (1)(m+3)2 ; (2)(2+3x)2 。 观察以上算式及其运算结果,你有什么发现?你能再举出一些类似例子吗?与同伴进行交流。 探一探 (1)(m+3)2 =(m+3)(m+3) = m2+3m+3m+9 = m2+2 3m+9 = m2+6m+9 ; 2.再举两例验证你的发现。 (2)(2+3x)2 =(2+3x)(2+3x) = 22+2 3x+2 3x+(3x)2 = 4+2 2 3x+9x2 = 4+12x+9x2。 发现:两个数和的 等于这两个数的 加上这两个数乘积 的 。 平方 平方和 2倍 例如:(a+b)2 =(a+b)(a+b)= a2+ab+ab+b2 = a2+2ab+b2。 完全平方公式 完全平方公式① (a+b)2 = a2+2ab+b2 学一学 两个数和的平方等于这两个数的平方和加上这两个数乘积的2倍。 (a+b)2 = a2+2ab+b2 特征: 口诀:前平方,后平方,2倍的乘积放中央。 利用图形解释完全平方公式 思考 交流 (1)你能用右图解释右面的公式吗? 从整体角度,大正方形的面积可以表示为: (a+b)2 ; 即(a+b)2 = a2+2ab+b2 。 b b a a 从分割成两个长方形的角度, 大正方形的面积为 a(a+b)+b(a+b); 从分割成四个长方形的角度,大正方形的面积为 a2+b2+ab+ab = a2+2ab+b2 。 a2 b2 ab ab 如何计算(a-b)2 ?你是怎样做的?与同伴进行交流。 即(a-b)2 = a2-2ab+b2 。 思考 交流 完全平方公式② (a-b)2 = a2-2ab+b2 学一学 两个数差的平方等于这两个数的平方和减去这两个数乘积的2倍。 (a-b)2 = a2-2ab+b2 特征: 口诀:前平方,后平方,2倍的乘积放中央。 a a b b 请你设计一个图形解释这一公式。 如图,阴影部分的正方形的面积等于多少? 即(a-b)2 = a2-2ab+b2 。 尝试 思考 从整体角度,阴影部分正方形的面积可以表示为: (a-b)2 b2 从分割成四个长方形的角度,阴影部分正方形的面积可以表示为: a2-ab-ab+b2 = a2-2ab+b2 。 完全平方公式 学一学 (a+b)2 = a2+2ab+b2 ; (a-b)2 = a2-2ab+b2。 完全平方公式和平方差公式都是重要的整式乘法公式。 例题学习 利用完全平方公式进行计算: (2x-3)2 ; (2)(4x+5y)2 ; (3)(mn-a)2 。 例5 解:(1)(2x-3)2 =(2x)2-2 2x 3+32 (3)(mn-a)2 =(mn)2-2 mn a+a2 (2)(4x+5y)2 = (4x)2+2 4x 5y+(5y)2 = 4x2-12x+9 ; = 16x2+40xy+25y2 ; = m2n2-2amn+a2 。 随堂练习 随堂练习 2.已知 a+b = -3,求 2a2+4ab+2b2 的值。 解:∵ a+b = -3 , ∴(a+b)2 = (-3)2 = 9 。 即 a2+2ab+b2 = 9 。 等式两边同乘2得 2a2+4ab+2b2 = 18 。 课堂小结 1. 注意完全平方公式和平方差公式不同: 形式不同 结果不同 完全平方公式的结果是三项: 即 (a b)2 = a2 2ab+b2 ; 平方差公式的结果是两项: 即 (a+b)(a-b) = a2-b2 。 2. 在解题过程中要先确定a和b,对照公式的两边, 做到不丢项、不弄错符号、加减2ab时不少乘系数2. 1. 指出下列各式中的错误,并加以改正: (1) (2a-1)2=2a2-2a+1; (2) (2a+1)2=4a2+1; (3) (-a-1)2=-a2-2a-1. 拓展训练 =(2a)2-2 2a 1+12 = 4a2-4a+1; =(2a)2+2 2a 1+12 = 4a2+4a+1; =(-a)2-2 (-a) 1+12 = a2+2a+1; 或原式=[-(a+1)]2=(a+1)2=a2+2 a 1+12 = a2+2a+1; 2.利用完全平方公式计算: (1) (-1-2x)2 ; (2)(-2x+1)2. 拓展训练 解:(1)(-1-2x)2 =(-1)2-2 (-1) 2x+(2x)2 =1+4x+4x2 。 【法二】 (1)(-1-2x)2 =[-(1+2x)]2 =(1+2x)2 =12+2 1 2x+(2x)2 =1+4x+4x2 。 (2)(-2x+1)2 =(-2x)2+2 (-2x) 1+12 =4x2-4x+1。 作 业 教材25页习题1.3第3题 16 再 见 17 $$