上海市建平中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题

建平中学2024学年第一学期期末教学质量检测 高一数学试卷 说明： （1）本场考试时间为120分钟，总分150分： （2）请认真答卷，并用规范文字书写． 一､填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 扇形的圆心角为1，半径为1，则扇形的面积为_________． 2. 已知，则__________． 3. 幂函数的单调增区间为__________． 4. 不等式的解集为__________． 5. 已知实数满足，则的最小值为__________． 6. 函数的定义域为__________． 7. 函数的值域为__________． 8. 若关于的不等式的解集为，则实数__________． 9. 若关于的方程在上有解，则实数的取值范围为__________． 10. 已知函数有两个零点，若，则实数__________． 11. 某公司实施了“客户买的数量越多，所花的钱越多，但是平均买到单件商品的价格越低”的促销策略，已知某客户购买件该公司的促销商品，所支付的总金额为万元，其中，则正数的取值范围为__________． 12. 已知14个任意角满足对任意恒成立，若，设为这14个任意角的余弦值的和，则的最大值为__________． 二､选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 若，且，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 14. 已知，则（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数在上连续，则“”是“方程在内至少有两个解”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 非充分非必要条件 16. 已知函数和的定义域均为，对任意实数，存在实数，使得且．有下列两个命题：①若存在最大值存在最大值，则；②若不存在最大值，则不存在最大值．则（ ） A. ①为真命题，②为假命题 B. ①为假命题，②为真命题 C. ①为真命题，②为真命题 D. ①为假命题，②为假命题 三､解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知角的终边过点． （1）求的值； （2）求的值． 18. 已知函数，其中． （1）若，求方程的解集； （2）若，求不等式的解集． 19. 如图所示，已知三地在海岸线上，地在地正东方向12千米处，地在地正东方向3千米处，海岛在地正南方向3千米处，一艘小船正从海岛以10千米/小时的速度沿直线向海岸线航行，最终在海岸线上的地登岸，地在地正东方向千米处，其中． （1）已知，若小明从海岛乘坐小船出发，登岸后立即以5千米/小时的速度沿海岸线从地径直匀速走向地，求小明从海岛出发抵达地所花的时间（精确到0.1小时）； （2）小明在网上叫了“准时达”的外卖，已知他从海岛乘坐小船出发时，外卖员正沿着海岸线从地出发匀速驶向地，若小明登岸时恰好遇见外卖员，求外卖员行驶的最大速度． 20. 已知函数，其中． （1）若，函数为奇函数，求实数的值； （2）若，求函数在内的零点个数； （3）若且，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 21. 若函数和函数满足对任意都有恒成立，则称与为上的一对“可逆复合”函数． （1）判断和是否为上的一对“可逆复合”函数，并说明理由； （2）与为上的一对“可逆复合”函数，为上的增函数，对任意恒成立，证明：当时，； （3）与为上的一对“可逆复合”函数，为上的严格增函数，方程有唯一解，方程有个解，求自然数的值． 建平中学2024学年第一学期期末教学质量检测 高一数学试卷 说明： （1）本场考试时间为120分钟，总分150分： （2）请认真答卷，并用规范文字书写． 一､填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 【1题答案】 【答案】## 【2题答案】 【答案】## 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】或. 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】2 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】## 二､选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】C 三､解答题（本大题共5题，满分78分） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2）当时，函数在内有两个零点和，当时，函数在内只有一个零点； （3） 【21题答案】 【答案】（1）与是上的一对 “可逆复合”函数，理由如下： 设，， 若，则； 又； 所以有， 故与是上的一对“可逆复合”函数. （2）由与为上的一对“可逆复合”函数， 且， 所以，故当时，， 由对任意恒成立，则，所以. 下面用反证法证明： 假设存在时，， 由对任意恒成立，则，或. ①若，由，则， 因为为上的增函数，所以，这与矛盾； ②若，则（）. 由“可逆复合”函数定义知， 因为，则，则由为上的增函数，得， 所以，显然这与（）式矛盾； 综上可知，假设错误，故不存在，满足， 即当时，，得证. （3）1 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $