精品解析：湖南省娄底市娄星区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024年下学期期末文化素质检测试卷 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分．请把表示正确答案的字母填入下表中对应的题号下） 1. 在，3.14，0，中，其中是无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. 0 D. 2. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图1所示是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似的看成等腰三角形（如图2），若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 用不等式的性质说明下图中的事实，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 计算的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 7 7. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（ ） A. 以点C为圆心，为半径的弧 B. 以点C为圆心，为半径的弧 C. 以点E为圆心，为半径的弧 D. 以点E为圆心，为半径的弧 10. 对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 1或2 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 12. 计算：______． 13. 绿眼虫是一种导致水华现象的常见生物，其长度约为．将数据用科学记数法表示为_______． 14. 用不等式表示“的3倍与2的差不大于0”为__________________． 15. 已知的三边长分别为，，，其中，，则第三边的长度的取值范围是_____________． 16. 计算：______． 17. 如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点M，N，若，则的长为____________． 18. 放学回家后，小颖和哥哥姐姐在小区里荡秋千．如图，小颖坐在秋千的初始位置处，此时与地面垂直并交于点，两脚用力蹬地后，姐姐在处接住她后用力一推，哥哥在距离地面米的处接住她．如果姐姐与哥哥到的水平距离，分别为米和米，若，则秋千顶部距离地面的高度为____________米． 三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 如图，，，，在同一直线上，，，下列三个条件中：①②；③；请选择其中一个合适的条件证明与全等． 21. 先化简，再求值：，其中 22. 解方程或不等式组： （1）； （2） 23. 如图，平分，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2），，求四边形的面积． 24. 某学校为了举办娄星区中小学体育运动会，需购买一批足球和篮球．经市场调查发现：购买一个篮球比一个足球贵元，且花费元可以购买的篮球个数与花费 元购买的足球个数相同． （1）请问购买一个篮球和一个足球各需花费多少钱？ （2）若学校打算购买足球和篮球一共个，且花费总额不超过元，请问最多购买多少个篮球？ 25. 阅读下列材料： 【材料一：分母有理化】①； ②； ； 【材料二：分子有理化】 ． 请结合上述材料，解答下列问题： （1）化简：__________，____________． （2）比较和的大小，并说明理由； （3）计算：． 26. 如图1，在和中，，为延长线上一点，且，记，． （1）【初步发现】 用含和的式子表示____________，若，则___________； （2）【深入探究】 若， ①如图2，连接，请判断的形状是__________三角形； ②如图3，在边上取点，使得，作点关于直线对称点，连接并延长交于点，连接，依题意补全图形，请写出线段，和之间的等量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期期末文化素质检测试卷 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分．请把表示正确答案的字母填入下表中对应的题号下） 1. 在，3.14，0，中，其中是无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义“无限不循环的小数是无理数”．无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．根据无理数的定义即可判断出正确答案． 【详解】解：， 在，3.14，0，四个数中， 和0是整数，3.14是有限小数，都是有理数， 是无理数． 故选：D． 2. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了分式的化简，最简分式．根据分式的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是最简分式，故本选项不符合题意； B、是最简分式，故本选项符合题意； C、，不是最简分式，故本选项不符合题意； D、，不是最简分式，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列各式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的概念，解题的关键是正确理解二次根式的概念，根据二次根式的概念即可求出答案． 【详解】解：A．，正确，不符合题意； B．，选项错误，符合题意； C．，正确，不符合题意； D．，正确，不符合题意； 故选：B． 4. 如图1所示是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似的看成等腰三角形（如图2），若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．根据等腰三角形的两个底角相等，结合三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，且底角， 故选：C． 5. 用不等式的性质说明下图中的事实，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据图形及不等式的性质求解即可． 【详解】解：用不等式的性质说明下图中的事实，正确的是若，则， 故选：A． 6. 计算的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算．了利用平方差公式计算，即可求解． 【详解】解：． 故选：A． 7. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根和绝对值的非负性，熟练掌握两个非负性的式子和为，则这两个式子都为．由算术平方根和绝对值的非负性，得，，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：C． 8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的解法和数轴表示法，注意画图时实心、空心与数学符号的对应关系．分别解两个不等式，得和，联立在一起，可得． 【详解】解：∵解不等式， ∴， ∵解不等式， ∴， ∴不等式组解集是， 数轴表示为： 故选：A． 9. 如图，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（ ） A. 以点C为圆心，为半径的弧 B. 以点C为圆心，为半径的弧 C. 以点E为圆心，为半径的弧 D. 以点E为圆心，为半径的弧 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图－作一个角等于已知角．根据尺规作图：作一个角等于已知角的方法步骤逐一判断即可得到答案． 【详解】解：根据作一个角等于已知角的方法步骤可知，是以点E为圆心，为半径的弧， 故选：D． 10. 对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 1或2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义、解分式方程，分两种情况：当时，当时，分别列出分式方程，解方程即可得解． 【详解】解：当时，， 解得：， 经检验，是分式方程的解； 当时，， 解得：， 经检验，是分式方程的解； 综上所述，方程的解为或， 故选：C． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，计算求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 计算：______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，先进行立方根和算术平方根计算，再加减运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：2． 13. 绿眼虫是一种导致水华现象的常见生物，其长度约为．将数据用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：； 故答案为： 14. 用不等式表示“的3倍与2的差不大于0”为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解题关键是理解题意并抓住关键词． 首先表示的3倍与2的差，再表示差不大于0即可． 【详解】的3倍表示为：， 与2的差表示为：， 不大于0表示为：． 故答案为：． 15. 已知的三边长分别为，，，其中，，则第三边的长度的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考据三角形三边关系，关键是根据三角形三边关系解答．根据三角形三边关系得出取值范围即可． 【详解】解：∵中三边长分别为，，，已知， ∴第三边的取值范围是， 即， 故答案为：． 16. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算．直接按同分母分式加减运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：1． 17. 如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点M，N，若，则的长为____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，进而解答即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：1． 18. 放学回家后，小颖和哥哥姐姐在小区里荡秋千．如图，小颖坐在秋千的初始位置处，此时与地面垂直并交于点，两脚用力蹬地后，姐姐在处接住她后用力一推，哥哥在距离地面米的处接住她．如果姐姐与哥哥到的水平距离，分别为米和米，若，则秋千顶部距离地面的高度为____________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键，根据题意可得，，从而可证得，进而得到，根据题意可得，，从而得到的值． 【详解】解：由题可知：，， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵为米， ∴， ∵处到地面的距离米， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算算术平方根，化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，然后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 20. 如图，，，，在同一直线上，，，下列三个条件中：①②；③；请选择其中一个合适的条件证明与全等． 【答案】 解：选②， ∵， ， ， ， 即， 在和中，， ； 选③， ∵， ， ， ， 即， ， ， 在和中，， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．根据或证明三角形全等即可． 【详解】略 21. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先化简括号内，在进行乘法运算，最后再代入求值． 【详解】解：原式 ， 当，原式． 22. 解方程或不等式组： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解分式方程，注意：解分式方程一定要进行检验。 （1）方程两边都乘得，求出方程的解，再进行检验即可； （2）先根据不等式的性质求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：方程两边都乘得： ， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的根 【小问2详解】 解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是 23. 如图，平分，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2），，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：平分，，， ，. ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， （1）根据“角角边”证明即可； （2）先根据全等三角形的对应边相等得，，再根据三角形的面积公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，. ， ，， 四边形的面积． 24. 某学校为了举办娄星区中小学体育运动会，需购买一批足球和篮球．经市场调查发现：购买一个篮球比一个足球贵元，且花费元可以购买的篮球个数与花费 元购买的足球个数相同． （1）请问购买一个篮球和一个足球各需花费多少钱？ （2）若学校打算购买足球和篮球一共个，且花费总额不超过元，请问最多购买多少个篮球？ 【答案】（1）购买一个足球需花费元，购买一个篮球需花费元 （2）个 【解析】 【分析】（）设购买一个足球需花费元，则购买一个篮球需花费元，根据题意列出方程即可求解； （）设该学校购买篮球个，根据题意列出一元一次不等式即可求解； 本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：设购买一个足球需花费元，则购买一个篮球需花费元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意 ， ∴ 答：购买一个足球需花费元，购买一个篮球需花费元； 【小问2详解】 解：设该学校购买篮球个， 由题意得，， 解得 答：该学校最多能购买个篮球． 25. 阅读下列材料： 【材料一：分母有理化】①； ②； ； 【材料二：分子有理化】 ． 请结合上述材料，解答下列问题： （1）化简：__________，____________． （2）比较和的大小，并说明理由； （3）计算：． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化． （1）利用分母有理化计算即可得解； （2）先求出，，再比较即可得解； （3）根据分母有理化计算即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可得：，． 【小问2详解】 解： 同理 因为 所以． 【小问3详解】 解： ． 26. 如图1，在和中，，为延长线上一点，且，记，． （1）【初步发现】 用含和的式子表示____________，若，则___________； （2）【深入探究】 若， ①如图2，连接，请判断的形状是__________三角形； ②如图3，在边上取点，使得，作点关于直线对称点，连接并延长交于点，连接，依题意补全图形，请写出线段，和之间的等量关系，并说明理由． 【答案】（1），100 （2）①等边； ②结论：． 理由：如图，作点C关于直线的对称点F，连接，，，，则点P为的延长线与的交点， 由对称可知：， ∴是等边三角形， ， ， 由①知：， ， ． 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理求解即可； （2）①证明，同时，可得结论； ②结论；．作点C关于直线的对称点F，连接，，，，则点P为的延长线与的交点，根据可得，即可得结论． 【小问1详解】 在中，， ，则， ∵， ， ∵， ， 则， ； ∵， ， ， 是等腰三角形， ， ， 同理：， ； 【小问2详解】 ①结论：是等边三角形． 理由：∵， ， ， 是等腰三角形， ， ， 同理：， ， ， 是等边三角形； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $