四川省泸州市泸化中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

泸州市龙马潭区泸化中学高2023级高二上期期末考试 数 学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分。 注意事项: 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置。 2．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效。 3．非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效。 第I卷（选择题） 一、单选题（40分） 1．已知直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，为虚数单位，则等于（    ） A． B． C． D． 3．“直线和直线平行”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么请问此人前两天所走的里程为（    ） A．189里 B．216里 C．288里 D．192里 5．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 6．奥运会跳水比赛中共有名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到个有效评分，则与个原始评分（不全相同）相比，一定会变小的数字特征是（    ） A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数 7．若一个轴截面为正三角形的圆锥的顶点在球O的表面上，底面圆心与O重合，则该圆锥的表面积与球O的表面积之比为（    ） A．1:4 B．1:2 C．1:6 D．1:3 8．已知，分别是双曲线的左、右顶点，是的焦点，点为的右支上位于第一象限的点，且轴．若直线与直线的斜率之比为，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 二、多选题（18分） 9．投掷一枚均匀的骰子，记事件A：“朝上的点数大于3”，B：“朝上的点数为2或4”，则下列说法错误的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B对立 C．事件A与事件B相互独立 D． 10．已知为等差数列的前项和，，，记，，其中是高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，G为C1D1的中点，K为A1D1中点，M为AB中点，点P在线段B1C上运动，点Q在棱C1C上运动， 则下列结论正确的有（　　） A．直线BD1⊥平面A1C1D B．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是 C．PQ+QG的最小值为 D．过点GKM的平面截正方体所得多边形的面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题（15分） 12．已知向量，，，若，则实数 ． 13．当为任意实数时，直线恒过定点，则以点C为圆心，半径为圆的标准方程 ． 14．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值是 . 四、解答题（77分） 15．（13分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图 （1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）； （2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布Z（μ，σ2），其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2（组数据取中间值）； ①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率； ②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？ 参考数据：＝5.1，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ，μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ，μ+2σ）＝0.9544． 16．（13分）已知等比数列的公比为q，前n项和为． (1)若成等差数列，求证：成等差数列； (2)若是和的等差中项，则成等差数列吗？ 17．（13分）已知椭圆的方程为，称圆心在坐标原点，半径为的圆为椭圆的“伴随圆”，椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆及其“伴随圆”的方程； （2）若直线与椭圆交于两点，与其“伴随圆”交于两点，当时，求面积的最大值． 18．（17分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BCAD，AB⊥BC，PA=AB=AD=2BC=2，M是PD的中点. （1）求证：CM平面PAB； （2）求三棱锥P-ACM的体积； （3）求二面角M-AC-D的余弦值. 19．（17分）在平面直角坐标系中，已知，圆与轴切于点，又过作圆异于轴的两切线，设这两切线交于点. (1)求点的轨迹方程; (2)设为坐标原点，是的轨迹上的不同两点且不关于原点对称，若直线的斜率分别为和，若，求的面积. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C A B A C ABD ACD 题号 11 答案 ACD 12． 13． 14．/ 15．（1）由频率分布直方图得：[95，105）的频率为：1﹣（0.006+0.026+0.022+0.008）×10＝0.038，补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）： 质量指标值的样本平均数为： ＝80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08＝100． 质量指标值的样本方差为 S2＝（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08＝104． （2）①由（1）知Z～N（100，104），从而P（79.6＜Z＜120.4）＝P（100﹣2×10.2＜Z＜100+2×10.2）＝0.9544； ②由①知一件产品的质量指标值位于区间（79.6，120.4）的概率为0.9544， 该企业的年利润是EX＝100000[0.9544×10﹣（1﹣0.9544）×20]＝863200． 16．（1）若，则，，， 因为，所以，所以不成等差数列，与已知矛盾；所以， 因为成等差数列，所以， 所以， 又，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以， 所以成等差数列； （2）因为是和的等差中项，所以， 所以， 又，，所以，所以或， 当时，，，， 因为，所以， 当时，， 所以， 所以，所以成等差数列， 综上所述，当时，不是等差数列，当时，成等差数列. 17．（1）由题意得：，，，， 椭圆的方程为：； 椭圆的“伴随圆”圆心为，半径， “伴随圆”的方程为； （2）①当轴时，设直线， ，解得：，代入椭圆方程可得：， ，； ②当与轴不垂直时，设直线， 则圆心到直线距离，， 整理可得：； 由得：， ，即，解得：； 设，，则 ； 又坐标原点到直线距离， ； 当时，三点共线，不合题意，； 令，则，， ， 令，则，， 则当，即时，取得最大值，最大值为； 综上所述：△AOB面积的最大值为. 18．（1）证明：取中点，连接，， 是的中点，是的中点，，， ，， ，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面． （2）解：是的中点，， ． （3）解：以为原点，以，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则， ， 设平面的法向量为，则，即， 令可得， 又平面，为平面的一个法向量， ， 由图形可知二面角为锐二面角， 二面角的余弦值为． 19．（1）设过异于轴的两切线分别切于两点，两切线交于点， 由切线的性质可知:， 故 ， 故由椭圆定义知，点的轨迹是以为两焦点的椭圆（去除在x轴上的两点）， 可求得动点的轨迹方程为:; （2）当直线的斜率存在时，设其方程为， 由，消去，得:， 设，则 ， ， 点到直线的距离， ， ， ， 学科网（北京）股份有限公司 $$