精品解析：江苏省南京市金陵中学河西分校2024-—2025学年上学期七年级期末数学试卷

江苏省南京市金陵中学河西分校2024—2025学年上学期七年级期末数学试卷 注意事项： 1.本试卷共4页．全卷满分100分．考试时间为100分钟，考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色黑水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干争后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各式中，是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式运用等式的性质变形，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 将一图形纸片对折后再对折得到如图所示的扇形，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（ ） A. B. C. D. 4. 在解方程时，通过“去括号”将其变形为的依据（ ） A. 等式的基本性质1 B. 乘法结合律 C. 等式的基本性质2 D. 乘法分配律 5. 如图，已知与互补，平分，那么（ ） A. B. C. D. 6. 下表是当取不同值时，整式对应的值，则关于的方程的解为（ ） 0 2 4 1 5 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 方程的解是______． 8. 若是关于的方程的解，则______． 9. 五边形一共有__________条对角线． 10. 计算：______． 11. 对于下列说法：①内错角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③线段是A、B两点之间的距离；④对顶角相等．其中，正确的有______（填序号）． 12. 如图，直线相交于点平分，则______． 13. 如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数相等，则______． 14. 某笔记本进价20元，售价30元，打折后还可以获利，根据题意可列方程______． 15. 已知线段．延长到点C，D是的中点，，则线段的长是______． 16. 如图，在的内部，平分．若，，则______（用含m、n的代数式表示）． 三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 化简：． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 甲、乙两个工程队承接南京地铁7号线“南湖站”的装修工作．甲队单独做需12个月完成，乙队单独做需18个月完成．先由甲、乙两队合做3个月，然后剩下的部分由甲队单独做，还需多少个月完成任务？（列一元一次方程解） 21. （1）圆形硬币绕它的直径所在直线旋转，形成一个______体，用数学知识可解释为“面动成体”． （2）如图，找出给定三角形绕直线旋转一周后形成的对应几何体，并把它们用线连接． 22. 如图，在正方形网格中，整个小正方形的顶点叫做格点．已知点，，均在格点上． （1）仅用无刻度的直尺在网格中画；画，垂足为； （2）比较大小：______，理由是______； （3）点在射线上，请用无刻度的直尺和圆规作直线，（保留作图痕迹，不写作法，用铅笔加黑加粗）． 23. 如图，点在直线上，． （1）若平分，，则________． （2）若为锐角，，请说明平分． 24. 如图，，，则，平行吗？ （1）茜茜同学很快写出解答，请你在茜茜说理过程的括号内填写理由： 因为， 所以（①______） 因为， 所以， 所以（②______）； （2）小洁说也可以不用“同旁内角”来说明，请你写出小洁的说理过程． 25. 如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为反余角，其中一个角叫做另一个角的反余角．例如：．则和互为反余角，其中是的反余角．也是的反余角． （1）如图1，直线与相交于的补角是______，则的反余角是______． （2）若一个角的补角是它的反余角的，求这个角． （3）如图2所示，O为直线上一点，．且射线绕点以的速度顺时针旋转，射线在上方，绕点以的速度逆时针旋转，两条射线同时运动，运动时间为，当______，和互为反余角？ 26. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“星光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“星光方程”． （1）若关于的一元一次方程与是“星光方程”，则______； （2）已知两个一元一次方程互为“星光方程”，且这两个“星光方程”的解的差为．若其中一个方程的解为，求的值： （3）已知关于的一元一次方程的解是，请写出解是的关于的一元一次方程：（只需要在括号内填充含有的代数式）； （4）若关于的一元一次方程和互为“星光方程”，则关于的一元一次方程的解为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市金陵中学河西分校2024—2025学年上学期七年级期末数学试卷 注意事项： 1.本试卷共4页．全卷满分100分．考试时间为100分钟，考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色黑水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干争后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各式中，是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程定义．根据题意，形如“”的方程为一元一次方程，继而选出本题答案． 【详解】解：A、含有两个未知数，故A选项不是一元一次方程； B、为一元一次方程，故B选项是一元一次方程； C、不属于整式方程，即不属于一元一次方程，故C选项不是一元一次方程； D、最高次为2次，故D选项不是一元一次方程， 故选：B． 2. 下列各式运用等式的性质变形，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等式的基本性质“性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等”，熟练掌握等式的基本性质是解题关键．根据等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、若，则，而与的大小关系无法确定，则此项错误，不符合题意； B、若，当时，则；当时，与的大小关系无法确定，则此项错误，不符合题意； C、若，则，则此项正确，符合题意； D、若，则，而与的大小关系无法确定，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 3. 将一图形纸片对折后再对折得到如图所示的扇形，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力以及折叠的性质．掌握折叠的性质是解题关键．严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来，从而进行判定即可． 【详解】根据题意知，剪去的纸片是一个接近于正方形的矩形． 故选A． 4. 在解方程时，通过“去括号”将其变形为的依据（ ） A. 等式的基本性质1 B. 乘法结合律 C. 等式的基本性质2 D. 乘法分配律 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据乘法分配律解答即可． 【详解】解：在解方程时，通过“去括号”将其变形为的依据乘法分配律． 故选D． 5. 如图，已知与互补，平分，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．根据题意，由条件得到，从而得到，结合角平分线得到，即可得到的度数． 【详解】解：∵与互补， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6. 下表是当取不同值时，整式对应的值，则关于的方程的解为（ ） 0 2 4 1 5 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．根据表格中数据可知，当时，，由此可得，当时，，则由求出a的值，把a，b的值代入，然后再根据解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解：由表格中数据可知，当时，， ∴， 当时，， ∴， 解得：， ∴，即， 移项、合并同类项，得． 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．直接移项便可求解． 【详解】解：， 移项，得：， 故答案为：． 8. 若是关于的方程的解，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解满足方程求得，进而代值求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴，则， ∴， 故答案为：． 9. 五边形一共有__________条对角线． 【答案】5 【解析】 【分析】由n边形的对角线有： 条，再把代入计算即可得． 【详解】解：∵边形共有条对角线， 五边形共有条对角线． 故答案为：5 【点睛】本题考查的是多边形的对角线的条数，掌握n边形的对角线的条数是解题的关键． 10. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了角度计算知识，熟练掌握度量单位及其之间的转化方法是解题关键．角度的度量单位是度，常用的角度度量单位还包括分和秒，其中，，据此计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 对于下列说法：①内错角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③线段是A、B两点之间的距离；④对顶角相等．其中，正确的有______（填序号）． 【答案】④ 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理，对顶角，两点间的距离，熟练掌握这些知识点是解题的关键．根据平行线的性质，平行公理，对顶角，两点间的距离等相关概念即可求解． 【详解】解：①内错角相等，错误，缺少前提条件：两直线平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误，应该是过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③线段是A、B两点之间的距离，错误，应该是线段的长度是A、B两点之间的距离； ④对顶角相等，正确， 故答案为：④． 12. 如图，直线相交于点平分，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了邻补角，角平分线的定义，解决本题的关键是要熟练运用角平分线的定义和邻补角的性质进行计算，根据角平分线定义求出，再根据邻补角互补即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 13. 如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数相等，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查的是正方体相对面上的文字，掌握正方体的展开图中相对面不存在公共点是解题的关键．根据正方体的展开图中可得“”与“”是对面，“z”与“2”是对面，“”与“”是对面，从而可根据相对的面上的数相等求得x，y，z的值，最后代入计算即可． 【详解】解：根据正方体的展开图中可得“”与“”是对面，“z”与“2”是对面，“”与“”是对面， ∵正方体中相对的面上的数相等， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：0． 14. 某笔记本进价20元，售价30元，打折后还可以获利，根据题意可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是找到所求的量的等量关系．根据售价的两种表示法列方程即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为：． 15. 已知线段．延长到点C，D是的中点，，则线段的长是______． 【答案】8或12 【解析】 【分析】本题考查了线段中点的定义，掌握线段中点的定义，学会结合图形分类讨论是解题的关键．分两种情况：①点D在线段上；②点D在延长线上，利用线段和差分别求出的长，结合D是的中点，即可得到的长． 【详解】解：①如图，若点D在线段上， 则， D是的中点， ， ； ②如图，若点D在延长线上， 则， D是的中点， ， ； 综上所述，线段的长是或． 故答案为：8或12． 16. 如图，在的内部，平分．若，，则______（用含m、n的代数式表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查角平分线的概念及角的和差表示，首先由角平分线的概念得到，然后得到，，然后代入整理求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算乘方，再算括号，然后算乘法，最后算加减； （2）利用乘法分配律计算即可． 【小问1详解】 解：原式． ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号先去括号，然后再合并同类项． 【详解】解：原式． ． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程 ，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键， （1）根据解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，解方程即可得到答案； （2）根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，解方程即可得到答案；． 【小问1详解】 解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【小问2详解】 解：两边都乘，得 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 20. 甲、乙两个工程队承接南京地铁7号线“南湖站”的装修工作．甲队单独做需12个月完成，乙队单独做需18个月完成．先由甲、乙两队合做3个月，然后剩下的部分由甲队单独做，还需多少个月完成任务？（列一元一次方程解） 【答案】7个月 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是找到所求的量的等量关系．设甲队还需要个月完成任务，根据合作3天的工作量+甲队单独完成的工作量列方程求解即可． 【详解】解：设甲队还需要个月完成任务．根据题意，得 解这个方程，得 答：甲队还需要7个月完成任务． 21. （1）圆形硬币绕它的直径所在直线旋转，形成一个______体，用数学知识可解释为“面动成体”． （2）如图，找出给定三角形绕直线旋转一周后形成的对应几何体，并把它们用线连接． 【答案】（1）球； （2）如图， 【解析】 【分析】本题考查了点、线、面、体，即平面图形与立体图形的关系．发挥空间想象能力是解答本题的关键． （1）根据面动成体即可得出答案； （2）根据旋转的特点和各几何图形的特性判断即可． 【详解】解：（1）圆形硬币绕它的直径所在直线旋转，形成一个球体，用数学知识可解释为“面动成体”； 故答案为：球； （2）略 22. 如图，在正方形网格中，整个小正方形的顶点叫做格点．已知点，，均在格点上． （1）仅用无刻度的直尺在网格中画；画，垂足为； （2）比较大小：______，理由是______； （3）点在射线上，请用无刻度的直尺和圆规作直线，（保留作图痕迹，不写作法，用铅笔加黑加粗）． 【答案】（1） 如图所示，、即为所求； （2），垂线段最短 （3） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）取格点、，作直线，连接交于点即可； （2）根据垂线段最短作答即可； （3）以为一边，利用尺规作，则． 【小问1详解】 解：取格点、、，连接、，则、在格线上，格线交于点， 由题意得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴、即为所求； 【小问2详解】 解：∵， ∴，理由是垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了尺规作一个角等于已知角，无刻度直尺作图，全等三角形的判定及性质，平行线的判定，垂线段最短，三角形的内角和定理，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，无刻度直尺作图，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 23. 如图，点在直线上，． （1）若平分，，则________． （2）若为锐角，，请说明平分． 【答案】（1） （2） 证明：， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，角的和差，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据垂直的定义和，可得，再根据角平分线的定义求出，最后根据，即可求解； （2）由垂直的定义可得：，由平角的定义可得，结合，即可证明． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 平分， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 24. 如图，，，则，平行吗？ （1）茜茜同学很快写出解答，请你在茜茜说理过程的括号内填写理由： 因为， 所以（①______） 因为， 所以， 所以（②______）； （2）小洁说也可以不用“同旁内角”来说明，请你写出小洁的说理过程． 【答案】（1）①两直线平行，同旁内角互补 ②同旁内角互补，两直线平行 （2） 方法不唯一，如： 法：如图，连接， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； 法：如图，延长至点， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以； 法：如图，延长至点， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以； 法：如图，延长至点， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以； 法：如图，延长至点， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质和判定方法是解题的关键． （1）“因为，所以”是利用“两直线平行，同旁内角互补”得出；“因为，所以”是利用“同旁内角互补，两直线平行”得出； （2）方法不唯一，如法：连接；或法：延长至点；或法：延长至点；或法：延长至点；或法：延长至点；分别证明即可． 【小问1详解】 解：因为， 所以（①两直线平行，同旁内角互补）， 因为， 所以， 所以（②同旁内角互补，两直线平行）； 故答案为：①两直线平行，同旁内角互补；②同旁内角互补，两直线平行； 【小问2详解】 略 25. 如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为反余角，其中一个角叫做另一个角的反余角．例如：．则和互为反余角，其中是的反余角．也是的反余角． （1）如图1，直线与相交于的补角是______，则的反余角是______． （2）若一个角的补角是它的反余角的，求这个角． （3）如图2所示，O为直线上一点，．且射线绕点以的速度顺时针旋转，射线在上方，绕点以的速度逆时针旋转，两条射线同时运动，运动时间为，当______，和互为反余角？ 【答案】（1）； （2）或者 （3）3或39 【解析】 【分析】本题主要考查余补角及一元一次方程的应用，解题的关键是理解反余角的定义； （1）根据余补角及反余角的定义可进行求解； （2）设这个角为，则补角为，反余角为或者，然后分类进行求解即可； （3）根据题意作出图形求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴的补角为，的反余角是； 故答案为；； 【小问2详解】 解：设这个角为，则补角为，反余角为或者， ①当反余角为时， ， 解得：； ②当反余角为时， ， 解得： 答：这个角为或者； 【小问3详解】 解：当射线在直线上方时， 由题意得：， 根据反余角可知：，即， 解得：或39； 综上所述：当或39时，和互为反余角； 故答案为3或39． 26. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“星光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“星光方程”． （1）若关于的一元一次方程与是“星光方程”，则______； （2）已知两个一元一次方程互为“星光方程”，且这两个“星光方程”的解的差为．若其中一个方程的解为，求的值： （3）已知关于的一元一次方程的解是，请写出解是的关于的一元一次方程：（只需要在括号内填充含有的代数式）； （4）若关于的一元一次方程和互为“星光方程”，则关于的一元一次方程的解为______． 【答案】（1） （2）或 （3）①；② （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答，理解并熟练应用新定义是解题的关键． （1）分别求得两个方程的解，利用“星光方程”的定义列出关于的方程解答即可； （2）设另外一个方程的解为，根据题意可得：，，即可求解； （3）由题意可知，关于的一元一次方程的解是，结合，则，即可求解； （4）求得方程的解为，利用“星光方程”的定义得到方程的解，再将关于的方程变形得，利用同解方程的定义即可得到，从而求得方程的解． 【小问1详解】 解：解方程得， 关于的一元一次方程与是“星光方程”， 关于的一元一次方程的解是， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 设另外一个方程的解为， 根据题意可得：，， 解得：或； 【小问3详解】 关于的一元一次方程的解是， 的解是， 关于的一元－次方程：的解是， ， 则， 故答案为：①；②； 【小问4详解】 的解是， 关于的一元一次方程和互为“星光方程”， 关于的一元一次方程的解是， 关于的一元一次方程整理可得： ， ， ． 故答案为：2026 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $