精品解析：河北省石家庄市正定县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

正定县2024-2025学年度第一学期期末教学质量检测九年级 数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 某同学对数据35，29，32，32，4■，45，45进行统计分析，发现两位数“4■”的个位数字模糊不清，则下列统计量一定不受影响的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 2. 在下列函数中，y是 x的反比例函数的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（　　） A. 成比例线段，其中，则 B. 一元二次方程根是 C. 用配方法解方程时，原方程应变形为 D. 同弧所对的圆周角相等 4. 关于x的一元二次方程中，．则该方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个正实数根 C. 两根之积为 D. 两根之和为1 5. 如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ） A. 5米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 若点A（x1，﹣6），B（x2，﹣2），C（x3，2）在反比例函数y＝（m为常数）的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ） A. x1＜x2＜x3 B. x2＜x1＜x3 C. x2＜x3＜x1 D. x3＜x2＜x1 7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（ ） A. 1米 B. 米 C. 3米 D. 米 8. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 9. 如图，在中，，，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 10. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　） A. 56° B. 62° C. 68° D. 78° 11. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，将一个半径为1的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动2025周后圆心所经过的路径长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，请把答案填在题中的横线上） 13. 在与中，，要使，还需满足___________．（（写出一个条件即可） 14. 一个扇形，半径为30cm，圆心角为120°，用它做出圆锥的侧面积，则这个圆锥的底面半径长为_____cm． 15. 如图，是的切线，A，为切点，点是优弧上一点，．则的度数为___________． 16. 如图，的圆心为，半径为1，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为_________． 三、解答题（本大题共8小题，共64分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程： （2）小明的一道错题如下所示，请仔细观察并解决以下问题： ① ② ③ （I）错误步骤：_________；（填最先出错的步骤序号即可） （II）写出正确解答步骤． 18. 某果园共收获5万箱鸭梨，为估算该果园鸭梨总产量，从中随机抽取箱进行称重，单箱净重（单位：，精确到）分别有：，根据数据，绘制了如图1和图2所示尚不完整的统计图． 根据以上信息解答问题： （1）求值及的度数，并补全条形统计图； （2）直接写出这箱鸭梨的单箱净重的中位数与众数； （3）计算这箱鸭梨的单箱净重的平均数，并估算该果园鸭梨总产量． 19. 如图，是的外接圆，直径，直线经过点于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 20. 一次函数经过点，交反比例函数于点． （1）求； （2）连接，求的面积． （3）点在反比例函数第一象限的图象上，若，直接写出的横坐标的取值范围． 21. 正定县某学校在综合与实践活动中，要用测角仪测量复兴大街上的滹沱河大桥主塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角为，测得桥塔底部的俯角为，又在处测得桥塔顶部的仰角为． （1）求线段的长（结果取一位小数）； （2）求桥塔的高度（结果取一位小数）．（参考数据：．） 22. 嘉嘉投资销售一种进价为每件30元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的． （1）设嘉嘉每月获得利润为（元），求每月获得利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ 23. 如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，直接写出的值． 24. 已知半径为4，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点与点重合，点在上，点在内），随后移动，使点在弦上移动，点始终在上随之移动． （1）如图1，当点与点重合时，求阴影部分的面积； （2）如图2，当时，求点到的距离； （3）如图3，设点到的距离为．当点在劣弧上，且过点的切线与垂直时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 正定县2024-2025学年度第一学期期末教学质量检测九年级 数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 某同学对数据35，29，32，32，4■，45，45进行统计分析，发现两位数“4■”的个位数字模糊不清，则下列统计量一定不受影响的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】利用平均数、中位数、众数和方差的定义对各选项进行判断． 【详解】解：这组数据从小到大排列：29，32，32，35，4■，45，45， 这组数据的平均数、众数和方差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为35，与被涂污数字无关． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了方差、平均数、众数、中位数，关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 2. 在下列函数中，y是 x的反比例函数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义进行逐一分析即可． 【详解】解：A选项是正比例函数，故A选项是错误的； B选项不满足反比例函数的定义，故B选项是错误的； C选项满足反比例函数的定义，故C选项是正确的； D选项为y是的反比例函数，而不是y是 x的反比例函数，故D选项是错误的； 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数的定义，正确掌握反比例函数的定义是解题的关键． 3. 下列说法正确的是（　　） A. 是成比例线段，其中，则 B. 一元二次方程的根是 C. 用配方法解方程时，原方程应变形为 D. 同弧所对的圆周角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段，圆的性质，解一元二次方程，根据成比例线段的定义可得，则，据此可判断A；根据解一元二次方程的方法可判断B、C；根据同弧所对的圆周角相等即可判断D． 【详解】解：A、∵是成比例线段， ∴， ∴，原说法错误，不符合题意； B、∵， ∴， ∴或， 解得或， ∴一元二次方程的根是或，原说法错误，不符合题意； C、∵， ∴， ∴，即，原说法错误，不符合题意； D、同弧所对的圆周角相等，原说法正确，符合题意； 故选：D． 4. 关于x的一元二次方程中，．则该方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个正实数根 C. 两根之积为 D. 两根之和为1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，得出两根之积和两根之和． 【详解】解：解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故选项A错误， 设、是一元二次方程的两个实数根， ∴，，故选项C正确，选项D错误， ∴两根的符号相反，故选项B错误， 故选：C． 5. 如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ） A. 5米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】作BE⊥AC，解直角三角形即可． 【详解】解：作BE⊥AC，垂足为E， ∵BE平行于地面， ∴∠ABE＝∠α， ∵BE＝5米， ∴AB＝＝． 故选B． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用：坡角坡度问题．解题的关键是：添加合适的辅助线，构造直角三角形． 6. 若点A（x1，﹣6），B（x2，﹣2），C（x3，2）在反比例函数y＝（m为常数）的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ） A. x1＜x2＜x3 B. x2＜x1＜x3 C. x2＜x3＜x1 D. x3＜x2＜x1 【答案】B 【解析】 【分析】由知，反比例函数的图象分别在第一、三象限，且在每个象限内，函数值随自变量的增大而减小；反之，在每个象限内，函数值增大，则自变量减小，由于-6<-2，所以．由于点C在第一象限，故，从而可得结果． 【详解】∵ ∴反比例函数 的图象分别在第一、三象限，且在每个象限内，函数值随自变量的增大而减小，反之，在每个象限内，函数值增大，则自变量减小 ∵-6<-2 ∴ ∵2>0 ∴点C在第一象限 ∴ ∴ 即B正确 故选：B 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，要比较点的横坐标的大小，关键要熟悉反比例函数在每个象限的增减性质，另外由于非负，则． 7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（ ） A. 1米 B. 米 C. 3米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】连接交于D，根据圆的性质和垂径定理可知，，根据勾股定理求得的长，由即可求解． 【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点， 连接交于D， 则，， 在中，，， ∴， ∴， 即点C到弦所在直线距离是米， 故选：D． 【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键． 8. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 9. 如图，在中，，，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出．根据，可求出，最后根据勾股定理可求出，即得出． 【详解】解：如图，过点A作于点D． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 10. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　） A. 56° B. 62° C. 68° D. 78° 【答案】C 【解析】 【分析】由点I是△ABC的内心知∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，从而求得∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案． 【详解】解：∵点I是△ABC的内心， ∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA， ∵∠AIC=124°， ∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB） =180°﹣2（∠IAC+∠ICA） =180°﹣2（180°﹣∠AIC） =68°， 又四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠CDE=∠B=68°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质． 11. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 12. 如图，将一个半径为1的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动2025周后圆心所经过的路径长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是作出圆心的滚动轨迹为两个的弧长和一个的弧长．求出圆心O滚动一周路径长，可得结论． 【详解】解：如图，圆心滚动一周路径为长为， ∴滚动2025周后圆心所经过的路径长， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，请把答案填在题中的横线上） 13. 在与中，，要使，还需满足___________．（（写出一个条件即可） 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两组对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，本题中已知，再添加即可使． 【详解】解：∵，， ∴． 所以可添加： （答案不唯一）； 故答案为： （答案不唯一）． 14. 一个扇形，半径为30cm，圆心角为120°，用它做出圆锥的侧面积，则这个圆锥的底面半径长为_____cm． 【答案】 【解析】 【分析】设这个圆锥的底面半径长为rcm，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和扇形面积公式得2πr=，然后解方程即可． 【详解】解：设这个圆锥的底面半径长为rcm，根据题意得：2πr=，解得：r=10（cm）． 故答案为10． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 15. 如图，是的切线，A，为切点，点是优弧上一点，．则的度数为___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了圆和四边形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、圆心角、切线的知识；连接，，根据圆周角定理，得，再根据切线的性质，得，最后结合四边形内角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】如图，连接，， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，圆心为，半径为1，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆的性质，切线的性质，一次函数的图象和性质，勾股定理的应用．连接、，根据切线的性质得到，根据勾股定理得到，根据一次函数解析式求出点、点的坐标，再根据垂线段最短计算，即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵是切线，的圆心为，半径为1， ∴，，， ∴， 当最小时，最小， 当时，最小， 直线与轴的交点的坐标为，与轴的交点的坐标为， ∴， ∴，， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共64分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程： （2）小明的一道错题如下所示，请仔细观察并解决以下问题： ① ② ③ （I）错误步骤：_________；（填最先出错的步骤序号即可） （II）写出正确解答步骤． 【答案】（1）， （2）（I）①；（II）过程见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程、特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）（I）根据计算过程即可得解；（II）根据特殊角三角函数值计算即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）（I）由计算过程可得：错误步骤：①； （II） ． 18. 某果园共收获5万箱鸭梨，为估算该果园鸭梨总产量，从中随机抽取箱进行称重，单箱净重（单位：，精确到）分别有：，根据数据，绘制了如图1和图2所示尚不完整的统计图． 根据以上信息解答问题： （1）求的值及的度数，并补全条形统计图； （2）直接写出这箱鸭梨的单箱净重的中位数与众数； （3）计算这箱鸭梨的单箱净重的平均数，并估算该果园鸭梨总产量． 【答案】（1）；；统计图见解析 （2）这箱鸭梨的单箱净重的众数为，中位数为； （3）这箱鸭梨的单箱净重的平均数为，该果园鸭梨总产量为 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，中位线，众数，平均数和用样本估计总体： （1）用重量为的箱数除以其所占百分比即可求出n的值，进而求出重量为的箱数，则可求出的度数，再补全统计图即可； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）利用加权平均数的计算方法先求出这箱鸭梨的单箱净重的平均数，进而求出该果园鸭梨总产量即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴净重为的鸭梨共有箱， ∴， 补全统计图如下所示： 【小问2详解】 解：∵重量为的鸭梨箱数最多， ∴这箱鸭梨的单箱净重的众数为； 把这箱鸭梨的单箱净重按照从低到高排列，处在第10名和第11名的净重都为， ∴这箱鸭梨的单箱净重的中位数为 【小问3详解】 解：， ∴这箱鸭梨的单箱净重的平均数为， ∴该果园鸭梨总产量为． 19. 如图，是的外接圆，直径，直线经过点于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆的性质，勾股定理等等： （1）连接，求出，推出．由，证得，即可得到是的切线； （2）证明，得到，求出，根据勾股定理求出。 【小问1详解】 证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∵为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴。 20. 一次函数经过点，交反比例函数于点． （1）求； （2）连接，求的面积． （3）点在反比例函数第一象限的图象上，若，直接写出的横坐标的取值范围． 【答案】（1），， （2）3 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，一次函数与反比例函数图象和性质，交点坐标，函数与不等式，是解题的关键． （1）利用一次函数经过点，点，列方程计算求得，得到点，再利用待定系数法求解即可； （2）求出，利用计算即得； （3）利用三角形面积公式求得，得到，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵经过点，点， ∴， 解得， ∴点， ∵反比例函数经过点， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴C的横坐标的取值范围为：． 21. 正定县某学校在综合与实践活动中，要用测角仪测量复兴大街上的滹沱河大桥主塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角为，测得桥塔底部的俯角为，又在处测得桥塔顶部的仰角为． （1）求线段的长（结果取一位小数）； （2）求桥塔的高度（结果取一位小数）．（参考数据：．） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键． （1）设，在中，．在中，．则．解方程即可； （2）求出，根据即可得到答案． 【小问1详解】 解：设 ， 在 中， ， ， 在 中， ， ， 即 ， ∴ ， 答： 线段 的长约为 ； 小问2详解】 解：在 中 ， ， ， ， 答： 桥塔 的高度约为 ． 22. 嘉嘉投资销售一种进价为每件30元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的． （1）设嘉嘉每月获得利润为（元），求每月获得利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ 【答案】（1） （2）35元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，找准等量关系并正确列出函数关系式是解答的关键． （1）根据总利润等于单件利润乘以销售量列函数关系式即可； （2）利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意， ； 销售单价不低于成本价30元，而每件的利润不高于成本价的，即元， ； 【小问2详解】 解：由于 则，，， ∴， ，， 当时，每月获得最大， 答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润． 23. 如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质和三角和定理，求出，通过等量代换即可求出的度数，从而证明. （2）根据矩形的性质和平行线的性质定理，利用两个角相等，两个三角形相似证明，得到，求出长度，再证明，即可求出的长. （3）根据正方的性质和平行线的性质定理，利用两个角相等，两个三角形相似证明，得到，设正方形边长为参数，用表示长度，再根据勾股定理求出长度，即可求出的长，从而求出的值. 【详解】（1）证明：矩形， ， ， ， ， ， . （2）解：矩形， ， ，， ， . ， . 矩形， ， ， ， . ，，， ， . 故答案为：. （3）解：正方形， ，， ， . ， . 设正方形的边长为，则， ，， ， ， ， 故答案为：. 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形相似的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理和找准相似三角形. 24. 已知的半径为4，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点与点重合，点在上，点在内），随后移动，使点在弦上移动，点始终在上随之移动． （1）如图1，当点与点重合时，求阴影部分的面积； （2）如图2，当时，求点到的距离； （3）如图3，设点到的距离为．当点在劣弧上，且过点的切线与垂直时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）点到的距离为3 （3） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，，先证明为等边三角形，求出等边三角形的面积结合扇形面积公式可得答案； （2）过作于，过作于，连接，证明四边形是矩形，可得，，再结合勾股定理可得答案； （3）①如图，由过点A的切线与垂直，可得过圆心，过作于，过作于，而，可得四边形为矩形，可得，再进一步利用勾股定理与锐角三角函数可得答案． 【小问1详解】 解：如图1，连接，， ∵的半径为4，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 过点作于点， 则， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∵ ∴； 【小问2详解】 解：过作于，过作于，连接， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，而， ∴， ∴点B到的距离为3； 【小问3详解】 解：如图3，∵过点A的切线与垂直， ∴过圆心， 过作于，过作于，而， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题属于圆的综合题，难度较大大，考查了勾股定理的应用，扇形面积，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，切线的性质，熟练的利用数形结合的方法，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$