1.4 数列在日常经济生活中的应用 课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

1.4 数列在日常经济生活中的应用 第一章 数列 作者编号：、32200 1.了解利率、利息、存款、分期付款等问题与数列的关系. 2.能利用等差、等比数列知识解决与数列有关的问题. 学习目标 作者编号：、32200 储蓄贷款与国计民生、社会生活发展息息相关，大到支援国家建设，小到个人家庭的财政支出管理，处处都嵌套着数列的应用. 新课导入 作者编号：、32200 问题1:在《白毛女》中，杨白劳借了黄世仁“一石五斗租子，二十五块钱驴打滚的账”，结果永远也还不上，这里的“驴打滚的账”，你知道是怎么回事吗？现实生活中我们银行又是采用怎样的计息方式呢？ “驴打滚”问题实际上是利滚利问题，本利越滚越多，所以永远还不上，与银行中的复利问题相似. 课题探究 作者编号：、32200 知识梳理 单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为：利息= 本金×利率×存期. （1）单利计算公式： 以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和（以下简称本利和），则有 . S=P(1+nr) 课题探究 作者编号：、32200 复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法.复利的计算公式是 . S=P(1+r)n （2）复利计算公式： 注意：复利在第二次以后计算时，将上一次得到的利息也作为了本金，而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息.单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列. 课题探究 作者编号：、32200 【例1】某家庭为准备孩子上大学的学费，每年6月30日都在银行中存入2 000元，连续存5年，有以下两种存款的方式： (1)如果按5年期零存整取计，即每存入a元，按a(1＋n·6.5%)计算本利(n为年数)； (2)如果按每年转存计，即每存入a元，按(1＋5.7%)n·a计算本利(n为年数). 请问用哪种存款的方式在第6年的7月1日到期的全部本利较高？ 课题探究 作者编号：、32200 解:若不计复利，5年的零存整取本利是 2 000(1＋5×0.065)＋2 000(1＋4×0.065)＋…＋2 000×(1＋0.065)＝11 950(元)； 若计复利，则2 000(1＋0.057)5＋2 000(1＋0.057)4＋…＋2 000(1＋0.057) ≈2 000×≈11 860(元). 所以，第(1)种存款方式到期的全部本利较高. 课题探究 作者编号：、32200 【例2】某家庭打算10年以后新买一套住房，决定以一年定期的方式存款，计划从2016年起每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2024年初将所有存款和利息全部取出，则这个家庭共取回多少元？ 解:设从2016年年初到2024年年初的本利和组成数列{an}，到2024年为止，把2016年末存款的本利和看作a1，则2023年末存款的本利和为an， 课题探究 作者编号：、32200 所以这个家庭应取出的钱数为 课题探究 作者编号：、32200 【例3】某工厂用分期付款的方式购买40套机器设备，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱?全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了多少钱? 解:因为购买设备时已付150万元，所以欠款为1 000万元， 依据题意，知其后应分20次付款， 则每次付款的数额顺次构成数列{an}，且a1=50+1 000×1%=60， a2=50+(1 000-50)×1%=59.5，a3=50+(1 000-50×2)×1%=59，…， 课题探究 作者编号：、32200 an=50+[1 000-50(n-1)]×1%=60-0.5(n-1)(1≤n≤20，n∈N+)， 所以数列{an}是以60为首项，-0.5为公差的等差数列， 所以a10=60-9×0.5=55.5，S20==1 105. 所以全部按期付清后，买这40套机器设备实际共花费了1 105+150=1 255(万元). 故分期付款的第10个月应付55.5万元，全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了1 255万元. 课题探究 作者编号：、32200 【例4】程先生买了一套总价为80万元的住房，首付30万元，其余50万元向银行申请贷款，贷款月利率0.5%，从贷款后的第一个月后开始还款，每月还款数额相等，30年还清.问程先生每月应还款　　　　　元(精确到0.01元).(参考数据1.005360≈6.022 6)  (注:如果上个月欠银行贷款a元，则一个月后，程先生应还给银行固定数额x元，此时贷款余额为a(1+0.5)%-x元) 2 997.75 课题探究 作者编号：、32200 解析：设程先生在第n个月还款后还欠银行贷款an万元，每月固定还款x万元，则an=an-1(1+0.5%)-x，a0=50， 设an+k=1.005(an-1+k)， 即an=1.005an-1+0.005k， 所以0.005k=-x，即k=-200x，{an-200x}是公比为1.005的等比数列， 即an-200x=(a0-200x)·1.005n. 由a360=0得0-200x=(50-200x)·1.005360. 解得x≈0.299 775，即每月还款2 997.75元. 课题探究 作者编号：、32200 分期付款模型： （1）每期按复利计算； （2）每期付款，各期所付的款以及到最后一次付款时所生的利息合计，应等于贷款及贷款到最后一次付款时所生的利息之和. 归纳总结 课题探究 作者编号：、32200 根据今天所学，回答下列问题： 1.单利计算公式和复利计算公式？ 2.如何解决“分期付款”问题？ 课后小结 作者编号：、32200 1.李明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2.25%，那么10年后共得本息和为________万元．(精确到0.001) 2.某工厂购买一台机器价格为a万元，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5‰，每月复利一次，则a，b满足(　　) A．b＝ B．b＝ C．b＝ D．<b< 6.246 D 当堂检测 作者编号：、32200 3.某人从2017年起，每年7月1日到银行新存入a元一年定期，若年利率r保持不变，且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2024年7月1日，将所 有的存款及利息全部取回，他可取回的总金额是____________________元. 当堂检测 作者编号：、32200 $$