精品解析：江西省吉安市吉州区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

吉州区2024-2025学年第一学期期末检测 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟；总分120分） 一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 3. 抛掷一枚均匀的硬币，前2次都正面朝上，第3次正面朝上的概率（ ） A. B. C. D. 不能确定 4. 如图是由4个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体（ ） A. 主视图改变，左视图改变 B. 俯视图不变，左视图改变 C. 俯视图改变，左视图改变 D. 主视图不变，左视图不变 5. 如图，请观察每个方框中得变化规律，那么，的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，在中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，记所得的图象是．设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步”.“学习强国”平台上线的某天，全国大约有124600000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法表示为______. 8. 请写出一个正整数m的值使得是整数；_____________． 9. 在实数范围内定义一种运算“＊”，其规则为a＊b＝a2－b2，根据这个规则，方程（x＋1）＊2＝0的解为____________． 10. 如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是___________． 11. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为，则的长为__________． 12. 如图，在矩形中，，，点是的中点，点是边上一动点，将沿折叠，点的对应点为点，当射线经过矩形一边的中点时（不含点），则的长为________． 三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 如图，四边形中，，对角线相交于点O，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，求的长 16. 如图，是菱形的对角线，过点作，交的延长线于点．请用无刻度的直尺按要求画出图形，保留作图痕迹． （1）在图中画出的中线； （2）在图中画出的高． 17. 建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为，，，，女生分别记为，，．学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动． （1）若任意抽取1位学生，则抽取的学生为女生的概率是 ； （2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是或的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根； （2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图像相交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围； （3）若点在线段上，且，求点的坐标． 20. 某地政府为了旅游宣传，决定从甲、乙两家民宿中推选一家为“最美民宿”进行线上推广．现从两家的顾客中各随机抽取20名，进行满意度调查打分（满分10分，只打整数分），并对分数整理、描述和分析，下面给出了部分信息． （ⅰ）甲民宿20名顾客的满意度分数为：10，5，8，7，10，8，9，8，10，7，9，7，9，7，6，8，9，6，5，9 （ⅱ）甲、乙两家民宿的满意度分数的平均数、众数、中位数、9分及9分以上人数所占百分比如下表所示： 民宿 平均分 众数 中位数 9分及9分以上人数 甲 7.85 a 8 乙 7.75 8 b c （ⅲ）乙民宿20名顾客的满意度分数条形统计图如图： ​ 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中的a，b，c的值； （2）五一假期期间，共有100人入住甲民宿，80人入住乙民宿，估计入住两家民宿的顾客能打9分及9分以上的人数共有多少人？ （3）根据以上信息，你会选择哪一家为“最美民宿”？请说明理由．（写出两条理由即可） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 甲乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按的利润定价，乙服装按的利润定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元． （1）求甲乙两件服装的进价各是多少元； （2）由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率； （3）若乙服装每件的进价为242元，商场把乙服装按8折出售．问标价至少为多少时，销售乙服装才不亏本？（结果取整数） 22. 如图，在中，，平分，过点作的平行线交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，的长单位：米）是的两根，求的长以及菱形的面积； （3）在（2）的条件下，若动点从出发，，沿以米秒的速度匀速直线运动到点C，动点从出发，沿以米秒的速度匀速直线运动到点，当运动到点时，运动停止．若、同时出发，问出发几秒钟后，的面积为米2 六、解答题（本大题12分） 23. 综合与实践 【经典再现】人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，且交正方形外角的平分线于点F．求证．（提示：取的中点H，连接．） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是构造出 　　≌　　，进而得到． （2）【类比探究】 如图2，四边形是矩形，且，点E是边的中点，，且交矩形外角的平分线于点F，求的值（用含n的式子表示）； （3）【综合应用】如图3，P为边上一点，连接，，在（2）的基础上，当，，时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉州区2024-2025学年第一学期期末检测 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟；总分120分） 一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查考查倒数，先把原数化为假分数，再求倒数即可． 【详解】解：， ∵， ∴的倒数是， 即的倒数是， 故选：C． 2. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】解：方程中的， 是方程的两个根， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 3. 抛掷一枚均匀的硬币，前2次都正面朝上，第3次正面朝上的概率（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查概率，因此此题可根据抛一枚均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率是一样的，然后问题可求解． 【详解】解：由题意可知第3次正面朝上的概率为； 故选A． 4. 如图是由4个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体（ ） A. 主视图改变，左视图改变 B. 俯视图不变，左视图改变 C. 俯视图改变，左视图改变 D. 主视图不变，左视图不变 【答案】C 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：将正方体①移走后，主视图不变，底层是两个小正方形，上层的右边是一个小正方形； 俯视图变化，正方体①移走前的俯视图为底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形；将正方体①移走后的俯视图为一行两个小正方形； 左视图改变，正方体①移走前的左视图为底层左边是两个小正方形，上层左边是一个小正方形；将正方体①移走后的左视图为一列两个小正方形． 所以俯视图改变，左视图改变． 故选：C． 【点睛】考查三视图中的知识，从几何体的正面，左面，上面看的平面图形中正方形的列数及每列正方形的个数是解决本题的关键． 5. 如图，请观察每个方框中得变化规律，那么，的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】看图总结规律可知m+n=121，逐项判断是否满足这个规律，选出正确选项. 【详解】BD选项都不满足m+n=121，所以它们都不是正确答案；，，m+n=121，所以正确答案选C. 【点睛】本题考查学生发现规律的能力，仔细读题看图发现数字之间的规律是解题的关键，这些关系通常是加减乘除等基本关系. 6. 如图，在中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，记所得的图象是．设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，关键是把点的坐标问题转化为线段的长的问题；由可得，进而得到点的横坐标. 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得：， 故选：A． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步”.“学习强国”平台上线的某天，全国大约有124600000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法表示为______. 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：124600000=， 故答案为：． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 8. 请写出一个正整数m的值使得是整数；_____________． 【答案】8 【解析】 【分析】要使是整数，则要是完全平方数，据此求解即可 【详解】解：∵是整数， ∴要是完全平方数， ∴正整数m的值可以为8，即，即， 故答案为：8（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到要是完全平方数是解题的关键． 9. 在实数范围内定义一种运算“＊”，其规则为a＊b＝a2－b2，根据这个规则，方程（x＋1）＊2＝0的解为____________． 【答案】-3或1 【解析】 【详解】试题分析：根据题意可得：－4=0，解得：． 考点：新定义型 10. 如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是___________． 【答案】－1 【解析】 【分析】如图，过点A作，点C作，垂足分别为G，F，可证，得比例线段，由，得线段长度，，代入比例线段求解． 【详解】如图，过点A作，点C作，垂足分别为G，F 由题意知，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，直角坐标系内点坐标的含义，添加辅助线构建相似三角形是解题的关键． 11. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，依题意， 根据作图可知为的角平分线， ∵ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键． 12. 如图，在矩形中，，，点是的中点，点是边上一动点，将沿折叠，点的对应点为点，当射线经过矩形一边的中点时（不含点），则的长为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况讨论： （1）当射线经过矩形的中点时，（2）当射线经过矩形的中点时，则，（3）当射线经过矩形的中点时，分别画出图形，解直角三角形即可求解． 【详解】当射线经过矩形一边的中点时（不含点），可分三种情况讨论： （1）当射线经过矩形的中点时，如图1所示． ∵，， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， （2）当射线经过矩形的中点时，则，如图2所示． ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， （3）当射线经过矩形的中点时，如图3所示． ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据积的乘方与幂的乘方，同底数的除法法则进行计算，再合并同类项即可得到答案； （2）先算乘方、零指数幂、化简绝对值，再算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了积的乘方与幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，零指数幂、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 【详解】解：原式= ； 当， 原式． 15. 如图，四边形中，，对角线相交于点O，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，求的长 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形为平行四边形可得、，然后结合可得即可证明结论； （2）先说明是等边三角形，可得,由矩形的性质得，，然后由勾股定理即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴..， 在中，由勾股定理得： ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定、平行四边形的性质与判定、等边三角形的性、勾股定理等知识点，熟练掌握矩形的性质与判定是解本题的关键． 16. 如图，是菱形的对角线，过点作，交的延长线于点．请用无刻度的直尺按要求画出图形，保留作图痕迹． （1）在图中画出的中线； （2）在图中画出的高． 【答案】（1） 如图所示，线段即为所求； （2） 是的高． 【解析】 【分析】（1）只需要连接交于M，连接，则即为所求； （2）连接，交于O，连接交于G，连接并延长交于N，连接，则即为所求. 【小问1详解】 解：如图所示，线段即为所求； 连接交于M，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，线段即为所求． 连接，交于O，连接交于G，连接并延长交于N，连接， 由（1）得，即C是的中点， ∵四边形是菱形， ∴是的中点， ∵三角形三条中线交于一点， ∴N是的中点， ∴，即是的高． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 17. 建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为，，，，女生分别记为，，．学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动． （1）若任意抽取1位学生，则抽取的学生为女生的概率是 ； （2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是或的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率计算公式计算即可； （2）格局题意，列出表格，再根据概率计算公式计算即可． 【小问1详解】 解：任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：列出表格如下： 一共有12种情况，其中至少有1位是或的有6种， ∴抽得的2位学生中至少有1位是或的概率为． 【点睛】本题考查概率计算公式，画树状图或列表得出所有的情况，找出符合条件的情况数是解答本题的关键． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根； （2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ∴，，， ∴， ∵，即， ∴不论为何值，方程总有实数根； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴，整理，得，解得，， ∴m的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图像相交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围； （3）若点在线段上，且，求点的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数为；（2）或；（3），． 【解析】 【分析】(1) 将A点坐标代入反比例函数求得，再将B点代入反比例函数求得n，再把A 、B两点坐标代入一次函数求得从而得出两函数解析式； (2)观察图案结合（1）题求得A、B两点坐标即可求出所求x的范围； (3)连接BO、AO，则△AOP和△BOP高相同，面积之比就是底边长度之比，因此BP：AP=4：1，再用AB之间横坐标差值按比例分配求得P点横坐标，再把横坐标代入一次函数求得纵坐标从而求出P点坐标. 【详解】解：（1）反比例函数经过， ， 反比例函数为， 在比例函数的图象上， ， ， 直线经过，， ，解得， 一次函数的解析式为； （2）观察图象，的的取值范围是或； （3）设， ， ， 即， ， 解得，（舍去）， 点坐标为(，)． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合题，涉及了待定系数法，函数与不等式，三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用. 20. 某地政府为了旅游宣传，决定从甲、乙两家民宿中推选一家为“最美民宿”进行线上推广．现从两家的顾客中各随机抽取20名，进行满意度调查打分（满分10分，只打整数分），并对分数整理、描述和分析，下面给出了部分信息． （ⅰ）甲民宿20名顾客的满意度分数为：10，5，8，7，10，8，9，8，10，7，9，7，9，7，6，8，9，6，5，9 （ⅱ）甲、乙两家民宿的满意度分数的平均数、众数、中位数、9分及9分以上人数所占百分比如下表所示： 民宿 平均分 众数 中位数 9分及9分以上人数 甲 7.85 a 8 乙 7.75 8 b c （ⅲ）乙民宿20名顾客的满意度分数条形统计图如图： ​ 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中的a，b，c的值； （2）五一假期期间，共有100人入住甲民宿，80人入住乙民宿，估计入住两家民宿的顾客能打9分及9分以上的人数共有多少人？ （3）根据以上信息，你会选择哪一家为“最美民宿”？请说明理由．（写出两条理由即可） 【答案】（1），， （2）64人 （3）甲民宿，理由：甲民宿顾客满意度分数的平均数、中位数都比乙民宿顾客满意度分数的平均数、中位数要大，因此选择甲民宿 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，平均数、中位数、众数以及样本估计总体，理解平均数、中位数、众数的定义，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是解决问题的关键． （1）根据中位数、众数的定义进行计算即可； （2）分别求出样本中，入住甲民宿、乙民宿的顾客打9分及9分以上的人数所占的百分比，估计总体中入住甲民宿、乙民宿的顾客打9分及9分以上的人数所占的百分比，由频率，进行计算即可； （3）根据平均数、中位数的大小比较得出答案． 【小问1详解】 解：将样本中，甲民宿顾客满意度分数出现次数最多的是9分，共出现5次，因此甲民宿顾客满意度分数的众数是9分，即， 将样本中20名顾客对乙民宿满意度分数从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是8分，即， 乙民宿顾客满意度分数在9分及9分以上人数所占百分比为，即， 答：，，； 【小问2详解】 （人）， 答：入住两家民宿的顾客能打9分及9分以上的人数大约有64人； 【小问3详解】 甲民宿，理由：甲民宿顾客满意度分数的平均数、中位数都比乙民宿顾客满意度分数的平均数、中位数要大，因此选择甲民宿． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 甲乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按的利润定价，乙服装按的利润定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元． （1）求甲乙两件服装的进价各是多少元； （2）由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率； （3）若乙服装每件的进价为242元，商场把乙服装按8折出售．问标价至少为多少时，销售乙服装才不亏本？（结果取整数） 【答案】（1）甲服装的进价为300元、乙服装的进价为200元 （2）每件乙服装进价的平均增长率为 （3）乙衣服的标价至少为303元，才不亏本 【解析】 【分析】本题主要考查了增长率问题和一元一次方程和不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系和不等关系，列出方程和不等式，再求解．注意售价的算法：售价=定价×打折数． （1）若设甲服装的进价为x元，则乙服装的进价为元．根据公式：总利润=总售价-总进价，即可列出方程． （2）利用乙服装的进价为200元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，利用增长率公式求出即可； （3）设每件乙衣服的标价为元，利用不等式求出即可． 【小问1详解】 解：设甲服装的进价为元，则乙服装的进价为元，根据题意得： 解得：， ． 答：甲服装的进价为300元、乙服装的进价为200元． 【小问2详解】 解：∵乙服装的进价为200元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元， ∴设每件乙服装进价的平均增长率为， 则， 解得：，（不合题意舍去）． 答：每件乙服装进价的平均增长率为； 【小问3详解】 解：设每件乙衣服的标价为元，则，解得：， ∵结果取整数， ∴乙衣服的标价至少为303元，才不亏本． 22. 如图，在中，，平分，过点作的平行线交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，的长单位：米）是的两根，求的长以及菱形的面积； （3）在（2）的条件下，若动点从出发，，沿以米秒的速度匀速直线运动到点C，动点从出发，沿以米秒的速度匀速直线运动到点，当运动到点时，运动停止．若、同时出发，问出发几秒钟后，的面积为米2 【答案】（1） 证明：平分，， ， 是等腰三角形，， 又， ， 四边形为平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）米，平方米； （3）秒或秒 【解析】 【分析】（1）根据题意，用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”先判定平行四边形，再用邻边相等证明菱形； （2）解方程可得、的长，用勾股定理可求，根据“菱形的面积对应对角线积的一半”计算连线面积； （3）根据点、运动过程中与点的位置关系，分三种情况分别讨论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：解方程，得，， ，， 利用勾股定理， ， ∴平方米． 【小问3详解】 解：在第(2)问的条件下，设、同时出发秒钟后，的面积， 当点在上时，，， 解得 (大于2，舍去)； 当点在上且点在上时，，， 整理得，，此时，， ∴原方程无解； 当点在上且点在上时，即， ， 整理得， 解得 (小于3，舍去)． 综上所述：，出发秒或秒钟后，△MON的面积为． 【点睛】本题考查了菱形的判定方法，菱形的面积计算方法，分类讨论的数学思想． 六、解答题（本大题12分） 23. 综合与实践 【经典再现】人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，且交正方形外角的平分线于点F．求证．（提示：取的中点H，连接．） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是构造出 　　≌　　，进而得到． （2）【类比探究】 如图2，四边形是矩形，且，点E是边的中点，，且交矩形外角的平分线于点F，求的值（用含n的式子表示）； （3）【综合应用】如图3，P为边上一点，连接，，在（2）的基础上，当，，时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，，即可得出结论； （2）在上截取，连接，不妨设，则，，，从而可得，，可证，即可求解； （3）可设，，则， 延长，，交于点R，作，交延长线于H，交的延长线与G，作于T，证明，可得，，，证明，可得，，由（2）知：，从而求得，，，根据得，，即可求解． 【小问1详解】 解：如图1， 取的中点H，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图2， 在上截取，连接， ∵E时的中点， ∴， 不妨设，则， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3， ∵， ∴可设，，则， 延长，，交于点R，作，交延长线于H，交的延长线与G，作于T， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由得，， ∴，（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查正方形和矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $