精品解析：陕西省西安市西咸新区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年陕西省西安市西咸新区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的是（　　） A. 13，14，15 B. 1，1， C. ，， D. 3，4，5 3. 已知直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 4. 要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 《九章算术》中记载这样一个问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．问绳长、井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？若设绳长、井深分别为x、y尺，则符合题意的方程组是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，正方体的棱长为，点为一条棱的中点．蚂蚁在正方体侧面爬行，从点爬到点的最短路程是（ ） A. B. C. D. 8. 下列关于一次函数的判断，正确的是（ ） A. 当时，该函数图象经过一、三、四象限 B. 点，点在该函数的图象上，若，则 C. 若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 D. 若关于的方程的解是，则的图象恒过点 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 比较大小：________3．（填“”“ ”或“”） 10. 如图，直线分别与直线，相交于点E，C，若要使，则可添加的条件是_______．（写出一个即可） 11. 如图是某校学生年龄分布情况统计图，根据统计图计算该校学生的平均年龄为______岁． 12. 对于任意实数a、b，定义关于“@”的一种运算：，例如．若，，则的值为_______． 13. 一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留， 再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止，已知两车距甲地的距离与所用的时间的关系如图所示．在小轿车从乙地返回甲地的过程中，当两车相遇时，两车出发了______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 解方程组： 16. 在中，，，，求证：． 17. 如图，在中，点E在边上，点D在的延长线上，连接交于点O．若，． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 18. 如果一个正数的两个平方根分别是和，的算术平方根是1． （1）求和的值． （2）求的算术平方根． 19. 甲、乙两台机床同时加工直径为的同种规格零件，为了检查两台机床加工零件的稳定性，质检员从两台机床的产品中各抽取5件进行检测，已知甲机床加工零件的平均数为，方差为，乙机床加工5件零件的直径（单位：）分别为9.9，10，10，10.1，10．请问哪一台机床生产零件的稳定性更好一些？为什么？ 20. 如图，点B，E分别在，上，连接，，，分别交，于点M，N，若，，试说明：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，网格上的每个小正方形的边长均为1，的顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于x轴对称的（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F）； （2）在（1）的条件下，写出点D，E，F的坐标． 22. 如图，已知某学校A与直线公路相距300米（即米，），且与该公路上一个车站D相距500米（即米），现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市 C 与车站D的距离是多少米? 23. 某水果商店推出一款水果拼盘套餐受到广大消费者的喜爱，每天销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）之间存在一次函数关系（如表所示）．已知水果拼盘套餐的成本为30元/盒． 销售单价x元/盒 40 50 60 销售量y盒 220 200 180 （1）求出y与x的函数关系式； （2）当销售单价为65元时，求当天的销售利润．（销售利润销售额成本） 24. 为了解某校学生阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生，对他们一周阅读的总时间进行了调查，并将调查结果绘制成如图所示的统计图： （1）抽取的学生一周阅读总时间的众数为________，学生一周阅读的总时间条形统计图中位数为_______； （2）求抽取的学生一周阅读总时间的平均数； （3）若该校有名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校一周阅读的总时间小于小时的学生有多少名． 25. 北京时间2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着我国探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回，这是一项了不起的成就！某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天飞船模型和3件B种航天飞船模型的进价共计130元；3件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型的进价共计120元． （1）求A、B两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？ （2）若该超市计划正好用220元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案． 26. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、点，直线：与x轴、y轴分别交于点C、点D，直线与交于点． （1）求m的值和直线的表达式； （2）点G是x轴上的一个动点，连接，求的最小值和此时点G的坐标； （3）在直线上是否存在一点P，使得的面积等于5，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年陕西省西安市西咸新区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根，无理数的定义，熟练掌握无理数为无限不循环小数是解题的关键． 将算术平方根和立方根化简后，在根据无理数的定义求解即可． 【详解】、由于，因此为有理数，故不符合题意； 、由于，因此为有理数，故不符合题意； 、为整数，是有理数，故不符合题意； 、为无限不循环小数，是无理数，故D符合题意． 故选：． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（　　） A. 13，14，15 B. 1，1， C. ，， D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，勾股数是满足勾股定理的一组正整数．根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：A、，13，14，15不是勾股数，本选项不符合题意； B、不是正整数，1，1，不是勾股数，本选项不符合题意； C、，，都不是正整数，不是勾股数，本选项不符合题意； D、，3，4，5是勾股数，本选项符合题意； 故选：D． 3. 已知直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两个一次函数图象的交点坐标与对应的二元一次方程组的解的一致性． 两个一次函数组成的方程组的解就是这两个一次函数图象的交点坐标，已知两直线交点坐标，即可得出方程组的解． 【详解】因为直线与直线相交于点， 而方程组的解就是直线与直线的交点坐标， 所以方程组的解为， 故选：B． 4. 要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数的大小比较法则判断即可． 【详解】解：当，时，，而， ∴命题“若，则”是假命题， 故选：D． 【点睛】本题考查的是命题的知识，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 5. 在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征，解题的关键是牢记关于轴对称的点的坐标变化规律． 根据关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，来确定点的坐标，进而得到a，b的值． 【详解】解：在平面直角坐标系中，关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变． 已知点与点关于轴对称，点横坐标是2，那么点横坐标是2的相反数，即； 点纵坐标是，则点纵坐标． 所以， 故选：C． 6. 《九章算术》中记载这样一个问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．问绳长、井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？若设绳长、井深分别为x、y尺，则符合题意的方程组是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设绳长为x尺，根据水井的深度不变，得出关于x的一元一次方程即可解答． 【详解】解：若设绳长、井深分别为x、y尺， 则符合题意的方程组是， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键． 7. 如图，正方体的棱长为，点为一条棱的中点．蚂蚁在正方体侧面爬行，从点爬到点的最短路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁的起点和终点，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，由题意可知，， 则蚂蚁爬行的最短路程为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题、勾股定理，掌握两点之间线段最短，找到起点和终点是解题的关键． 8. 下列关于一次函数的判断，正确的是（ ） A. 当时，该函数图象经过一、三、四象限 B. 点，点在该函数的图象上，若，则 C. 若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 D. 若关于的方程的解是，则的图象恒过点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的增减性，一次函数的平移等知识，利用一次函数的性质判断选项A；利用一次函数的增减性判断选项B；利用一次函数的平移判断选项C；利用一次函数与一元一次方程的关系判断选项D即可． 【详解】解：一次函数中，，则函数图象经过二、四象限，当时，该函数图象与y轴交于负半轴，该函数图象经过二、三、四象限，故选项A错误； 一次函数中，，则y随x的增大而减小，由，得，但是、的值与0的大小不能比较，故选项B错误； 函数的图象向右平移2个单位后，新函数解析式为，由新函数图象经过原点，得，解得，故选项C错误； 若关于的方程的解是，则的图象恒过点，故选项D正确． 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 比较大小：________3．（填“”“ ”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查实数大小比较的方法. 对于两个正实数，平方更大的原数更大，据此即可判断． 【详解】解：对两个正实数分别平方，得，． 因为 ，且，， 所以． 10. 如图，直线分别与直线，相交于点E，C，若要使，则可添加的条件是_______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行可知添加条件即可． 【详解】解：可以添加，可根据同位角相等，两直线平行得到， 可以添加，可根据内错角相等，两直线平行得到， 可以添加，可根据同旁内角互补，两直线平行得到， 可以添加，进而可得，根据同旁内角互补，两直线平行得到， 故答案为：（答案不唯一）． 11. 如图是某校学生年龄分布情况统计图，根据统计图计算该校学生的平均年龄为______岁． 【答案】13.95 【解析】 【分析】本题考查求加权平均数，根据扇形图，利用加权平均数的计算方法，进行求解即可． 【详解】解：（岁）． 故答案为：13.95． 12. 对于任意实数a、b，定义关于“@”的一种运算：，例如．若，，则的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，解二元一次方程组，根据新运算的法则，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故答案为：1． 13. 一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留， 再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止，已知两车距甲地的距离与所用的时间的关系如图所示．在小轿车从乙地返回甲地的过程中，当两车相遇时，两车出发了______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的关系式，一次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求一次函数的关系式是解答本题的关键． 利用待定系数法分别求出大客车距甲地的距离与所用的时间的函数关系式、小轿车从乙地返回甲地的过程中距甲地的距离与所用的时间的函数关系式，当两车相遇时，两函数值相等，据此列关于的方程并求解即可． 【详解】解：设大客车距甲地的距离与所用的时间的函数关系式为：（为常数，且）， 将坐标代入， 得， 解得：， 大客车距甲地的距离与所用的时间的函数关系式为：， 由题意可知，当时，小轿车从乙地返回到达甲地， 设小轿车从乙地返回甲地的过程中距甲地的距离与所用的时间的函数关系式为：（、为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得：， 小轿车从乙地返回甲地的过程中距甲地的距离与所用的时间的函数关系式为：， 当在小轿车从乙地返回甲地的过程中，当两车相遇时，得， 解得：， 在小轿车从乙地返回甲地的过程中，当两车相遇时，两车出发了， 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算以及加减运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 先根据二次根式的乘除法法则分别计算乘法和除法部分，再将所得结果化为最简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 15. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是通过消元法消除其中一个未知数，进而求解方程组． 可先将方程①乘以2再加上②，使两个方程中的系数互为相反数，再将两个方程相加消去，求出的值，最后求出的值． 【详解】解：得：， 解得：， 把代入①得：， 则方程组的解为 16. 在中，，，，求证：． 【答案】 证明：中，，，， ， 为直角三角形，且． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是判断三角形三边是否满足勾股定理逆定理的条件． 通过计算三角形三边的平方关系，依据勾股定理的逆定理来判断三角形是否为直角三角形，进而证明的度数． 【详解】略 17. 如图，在中，点E在边上，点D在的延长线上，连接交于点O．若，． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了三角形外角的性质定理、对顶角相等、三角形内角和定理等知识． （1）利用三角形外角的性质定理即可求出答案； （2）根据对顶角相等得到，再利用三角形内角和定理即可求出答案． 【小问1详解】 解：，，是的一个外角， ． 【小问2详解】 解：， ， ． 18. 如果一个正数的两个平方根分别是和，的算术平方根是1． （1）求和的值． （2）求的算术平方根． 【答案】（1）， （2）6 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和平方根的性质，解决本题的关键是求出a． （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数求出a的值，进而求出m，利用算术平方根即可求出n； （2）将（1）中结果代入，然后求算术平方根即可． 【小问1详解】 解：∵一个正数m的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵的算术平方根是1 ∴ ∴； 【小问2详解】 由（1）得，， ∴， ∴的算术平方根为6． 19. 甲、乙两台机床同时加工直径为的同种规格零件，为了检查两台机床加工零件的稳定性，质检员从两台机床的产品中各抽取5件进行检测，已知甲机床加工零件的平均数为，方差为，乙机床加工5件零件的直径（单位：）分别为9.9，10，10，10.1，10．请问哪一台机床生产零件的稳定性更好一些？为什么？ 【答案】 解：乙机床生产零件的稳定性更好一些， 乙机床所加工零件直径的平均数是：， ∴乙机床所加工零件直径的方差为：， ∵ 乙的方差比甲小， 所以乙机床生产零件的稳定性更好一些． 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和意义． 利用方差公式求乙组数据的方差，再根据方差的意义求解即可． 【详解】略 20. 如图，点B，E分别在，上，连接，，，分别交，于点M，N，若，，试说明：． 【答案】 证明：，， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】此题考查平行线判定和性质．先证明，得到，再得到，则，即可得到结论． 【详解】略 21. 如图，在平面直角坐标系中，网格上的每个小正方形的边长均为1，的顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于x轴对称的（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F）； （2）在（1）的条件下，写出点D，E，F的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）作出点A、B、C关于x轴的对称点D、E、F，然后再顺次连接即可； （2）根据解析（1）中的图，写出点D、E、F的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得，． 22. 如图，已知某学校A与直线公路相距300米（即米，），且与该公路上一个车站D相距500米（即米），现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市 C 与车站D的距离是多少米? 【答案】312.5米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，弄清题意，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键；根据题意，，，由、的长易求，设米，米，在中运用勾股定理得关系式求解． 【详解】解：根据题意得：，， 在直角三角形中， 米，米， （米）， 设米，则米， 在中，， 即， 解得：， 答：该超市C与车站D的距离是312.5米． 23. 某水果商店推出一款水果拼盘套餐受到广大消费者的喜爱，每天销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）之间存在一次函数关系（如表所示）．已知水果拼盘套餐的成本为30元/盒． 销售单价x元/盒 40 50 60 销售量y盒 220 200 180 （1）求出y与x的函数关系式； （2）当销售单价为65元时，求当天的销售利润．（销售利润销售额成本） 【答案】（1） （2）当销售单价为65元时，当天的销售利润为5950元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，有理数混合运算的应用，根据题意正确求出解析式是解题关键． （1）设y与x的函数关系式为，利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所得关系式，求出当时，，再乘以每盒利润求解即可． 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为， 根据题意，得， 解得， ． 【小问2详解】 解：当时，， ， 答：当销售单价为65元时，当天的销售利润为5950元． 24. 为了解某校学生阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生，对他们一周阅读的总时间进行了调查，并将调查结果绘制成如图所示的统计图： （1）抽取的学生一周阅读总时间的众数为________，学生一周阅读的总时间条形统计图中位数为_______； （2）求抽取的学生一周阅读总时间的平均数； （3）若该校有名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校一周阅读的总时间小于小时的学生有多少名． 【答案】（1）， （2） （3）名 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解答本题的关键． （1）依据众数、中位数的定义求解即可； （2）依据平均数的定义求解即可； （3）总人数乘以样本中一周阅读的时间小于人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：学生一周阅读的总时间数据中出现的次数最多，所以众数为， 中位数是第、个数据的平均数， 而第、个数据分别为、， 所以这组数据的中位数为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：（） 答：抽取的学生一周阅读总时间的平均数为； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计该校一周阅读的总时间小于的学生有名． 25. 北京时间2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着我国探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回，这是一项了不起的成就！某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天飞船模型和3件B种航天飞船模型的进价共计130元；3件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型的进价共计120元． （1）求A、B两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？ （2）若该超市计划正好用220元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案． 【答案】（1）A种飞船模型每件进价20元，B种飞船模型每件进价30元； （2）①购进8件A型飞船模型和2 件B型飞船模型；②购进5件A型飞船模型和4件B型飞船模型；③购进2件A型飞船模型和6件B型飞船模型 【解析】 【分析】（1）设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，根据题意可得关于x、y的二元一次方程组，解之即可； （2）设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型， 根据总价=单价×数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案； 【小问1详解】 解：设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，根据题意，得 ， 解得 ， 即A种飞船模型每件进价20元，B种飞船模型每件进价30元； 【小问2详解】 解：设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，根据题意，得 ， 则， ∵a，b均为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，， 故所有购买方案如下：①购进8件A型飞船模型和2 件B型飞船模型；②购进5件A型飞船模型和4件B型飞船模型；③购进2件A型飞船模型和6件B型飞船模型． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，有理数四则混合计算的实际应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键． 26. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、点，直线：与x轴、y轴分别交于点C、点D，直线与交于点． （1）求m的值和直线的表达式； （2）点G是x轴上的一个动点，连接，求的最小值和此时点G的坐标； （3）在直线上是否存在一点P，使得的面积等于5，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）的最小值为； （3）存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）把点代入求得点E（2，2），设直线AB的解析式为y=kx+b，解方程组即可得到结论； （2）作点B关于x轴的对称点F，连接交x轴于G，则此时的值最小，求得，利用待定系数法求得直线的解析式为，于是得到，根据勾股定理即可求解； （3）当点P在y轴的左侧时，如图，当点P在y轴的右侧时，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：把点代入得， ∴点， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：作点B关于x轴的对称点F，连接交x轴于G， 则此时的值最小， ∵， ∴， 同理，直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 故的最小值为； 【小问3详解】 解：存在， 当点P在y轴的左侧时，如图， ∴， ∵， ∴， 把代入得，， ∴， 当点P在y轴的右侧时，同理可得， 综上所述，存在，点P的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理轴对称-最短路径问题，三角形的面积的计算，正确地求出一次函数的解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $