2024-2025学年沪教版(上海)八年级数学第二学期-22.1-22.6图形运动中函数关系的确定（第12讲）【进阶优等生系列】

2024-2025春季培优课 【进阶优等生系列】【2024-2025春季培优课】 八年级第二学期第12讲 22.1-22.6图形运动中函数关系的确定 目录 1、 【进门测试】共6题； 2、 【知识精讲】共2个知识点； 3、 【典例解析】共9例题； 4、 【过关演练】共2题； 5、 【拓展进阶】共5题； 6、 【温故知新】共26题:A组22题，B组4题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 【练习1】如图，直线与x轴交于点（-4，0）则当y＞0时，x的取值范围是（ ） A．x＞-4 B．x＞0 C．x＜-4 D．x＜0 ( x y ) 【练习2】小明、小强两人进行百米赛跑，小明比小强跑得快，如果两人同时跑，小明肯定赢，现在小明让小强先跑若干米，图中的射线a、b分别表示两人跑的路程与小明追赶时间的关 系，根据图象判断：小明的速度比小强的速度每秒快 （ ） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 ( s （米） t （秒） b a ) 【练习3】如图，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD运动至点D停止．设点P运动的路程为，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图像如图所示，则△BCD的面积是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 ( A B C D P x y O ) 【练习4】直线y=(m+1)x+m2+1与y轴的交点坐标是（0，3），且直线经过第一、二、四象限，则m=______． 【练习5】如图，直线与轴、轴分别相交于点A、B，△AOB与△ACB关于直线对称，则点C的坐标为________． ( A B C O x y l ) 【练习6】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（1，）在直线上，在坐标轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的个数有__________个． 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 一、动点求函数解析式 动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形又条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系，这部分压轴题主要是在图形运动变化的过程中探求两个变量之间的函数关系，并根据实际情况确定自变量的取值范围． 二、图形运动求函数解析式 图形的运动考查的是变化中的不变量，通过翻折或者旋转后的图形特点，结合全等三角 形性质及直角三角形中的勾股定理，求边或角的关系． 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 1、 动点求函数解析式 例1．观摩、学习是我们生活的一部分，而在观摩中与展览品保持一定的距离是一种文明的表现．某学校数学业余学习小组在平面直角坐标系xOy有关研讨中，将到线段PQ所在的直线距离为的直线，称为直线PQ的“观察线”，并称观察线上到P、Q两点距离和最小的点L为线段PQ的“最佳观察点”． (1)如果P(1，)，Q(4，)，那么在点A(1，0)，B(，2)，C(，3)中，处在直线PQ的“观察线”上的是点　 　； (2)求直线y＝x的“观察线”的表达式； (3)若M(0，﹣1)，N在第二象限，且MN＝6，当MN的一个“最佳观察点”在y轴正半轴上时，直接写出点N的坐标；并按逆时针方向联结M、N及其所有“最佳观察点”，直接写出联结所围成的多边形的周长和面积． 例2．如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根． （1）求C点坐标； （2）求直线MN的解析式； （3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标． 例3．如图，已知，直线，点P在线段上，点D为射线上一动点，连接，射线交直线于点E．已知，． （1）如图1，当点D在线段上时，求证：； （2）当时，请在图2中画出相应的图形，并求线段的长； （3）如果的平分线交射线于点G，设，，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 例4．如图，直线与轴相交于点，与直线相交于点． （1）求点的坐标； （2）请判断的形状并说明理由； （3）动点从原点出发，以每秒个单位的速度沿着的路线向点匀速运动（不与点、重合），过点分别作轴于，轴于，设运动秒时，矩形与重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式． 例5．梯形中，，，，，、在上，平分，平分，、分别为、的中点，和分别与交于和，和交于点． （1）求证：； （2）当点在四边形内部时，设，，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）当时，求的长． 例6．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点的坐标是，动点从点出发，沿线段向终点运动，同时动点从点出发，沿线段向终点运动．点的运动速度均为每秒个单位，运动时间为秒，过点作交于点． （1）求直线的解析式； （2）设的面积为，求当时，与时间的函数关系； （3）在动点运动的过程中，点是矩形内（包括边界）一点，且以为顶点的四边形是菱形，直接写出值和与其对应的点的坐标． 二、图形运动求函数解析式 例1．如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点A、B，再将△A0B沿直钱CD折叠，使点A与点B重合．折痕CD与x轴交于点C，与AB交于点D． （1）点A的坐标为　　；点B的坐标为　　； （2）求OC的长度，并求出此时直线BC的表达式； （3）直线BC上是否存在一点M，使得△ABM的面积与△ABO的面积相等？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 例2.如图，等腰梯形ABCD中，AD＝BC＝5，AB＝20，CD＝12，DH⊥AB，E是线段HB上一动点，在线段CD上取点F使AE＝EF，设AE＝x，DF＝y． （1）当EF∥AD时，求AE的长； （2）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）将△ADF沿AF所在直线翻折，点D落在平面上的D′处，当D′E＝1时，求AE 的长． 例3.如图，已知：△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D是边AC上不与点A、C重合的任意一点，DE⊥AB，垂足为点E，M是BD的中点． （1）求证：CM=EM； （2）如果BC=，设AD=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当点D在线段AC上移动时，∠MCE的大小是否发生变化?如果不变，求出∠MCE的大小；如果发生变化，说明如何变化． 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 1、已知直线经过点，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数解析式． 2、如图所示，已知直线交轴于点A，交轴于点B，过B作BD⊥AB交轴于D． (1)求直线BD的解析式； (2)若点C是轴负半轴上一点，过C作AC的垂线与BD交于点E．请判断线段AC与CE的大小关系？并证明你的结论． 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 1．如图1，在菱形中，，，点是上一点，点在上，且，设． （1）当时，如图2，求的长； （2）设，求关于的函数关系式及其定义域； （3）若是以为腰的等腰三角形，求的长． 2．如图，已知直角梯形，，，过点作，垂足为点，，，点是边上的一动点，过作线段的垂直平分线，交于点，并交射线于点． （1）如图1，当点与点重合时，求的长； （2）设，，求与的函数关系式，并写出定义域； （3）如图2，联结，当是等腰三角形时，求的长． 3．如图，在梯形中，，，．是边的中点，联结、，且．设，． （1）如果，求的长； （2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）联结．如果是以边为腰的等腰三角形，求的值． 4．如图，矩形中，边在轴上，点，，直线过点且交边于，另有一条直线与平行且分别交，于，． （1）求，的长； （2）当为菱形时，求直线解析式； （3）当直线将矩形分成两个面积比例为的梯形时，直接写出此时直线的解析式． 5．已知：如图，在中，，，，AD平分，交BC边于点D．点E是边AB上一动点（与点A、B不重合）．过点E作，垂足为点G，与射线AC交于点F． （1）当点F在边AC上时， ①求证：； ②设，，求y与x之间的函数解析式并写出定义域． （2）当是等腰三角形时，求BE的长 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 基础过关练 1. 一次函数的图象经过哪几个象限（ ） A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限 C. 一、三、四象限 D. 二、三、四象限 2. 下列方程，有实数解的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. 与是相等向量 C. 与是相反向量 D. 与是平行向量 4. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A. 黄河入海流 B. 锄禾日当午 C. 手可摘星辰 D. 大漠孤烟直 5. 下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 等腰梯形 D. 平行四边形 6. 已知四边形中，，下列判断中正确的是（ ） A. 如果，那么四边形是等腰梯形 B. 如果，那么四边形是菱形 C. 如果AC平分BD，那么四边形是矩形 D. 如果，那么四边形是正方形 7. 将直线向上平移3个单位长度，所得直线的函数表达式是 __． 8. 已知一次函数，若y的值随x的增大而增大，则m的取值范围是_________． 9. 方程的解是________． 10. 方程 的解是_________． 11. 已知一次函数的图象如图所示，那么关于x的不等式的解集是______． 12. 如果关于是方程有两个相等的实数根，那么的值等于__________． 13. 已知一个n边形内角和等于，则n＝_____ 14. 用换元法解方程时，如果设，那么原方程化成关于整式方程是________ 15. 我们古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：“九百九十九文钱，甜果苦果共买千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？”如果设买甜果个，买苦果个，那么列出的关于的二元一次方程组是__________． 16. 已知，如图，边长为4的正方形中，点分别在的延长线上，且，那么四边形的面积是______． 17. 我们把联结四边形对边中点的线段称为“中对线”． 凸四边形的对角线 ，且这两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较长的“中对线”的长度为_________． 18. 已知等边的边长为是边上一点，DE∥BC交边于点，以 为一边在形内构造矩形DEFG． 且．设， 则关于的函数关系式是________ (无需写出定义域)． 19. 解方程组：． 20. 如图，的对角线相交于点． 点在对角线的延长线上，且． （1）图中与相等的向量是______； （2）计算：； （3）在图中求作 ．（保留作图痕迹，不要求写作法，请指出哪个向量是所求作的向量） 21. 小明和小杰从同一地点去青浦郊野公园，小明坐公交车去，小杰因为有事晚出发，乘出租车以1.6千米/分钟的平均速度沿路追赶．图中，分别表示公交车与出租车在行驶中的路程（千米）与时间（分钟）的关系，根据图像解决下列问题： （1）小明早到了____分钟，公交车的平均速度为______千米/分钟； （2）小杰路上花费的时间是_____分钟，比小明晚出发_____分钟； （3）求出租车行驶过程中s与t的函数关系式，并写出定义域． 22. 小杰和小明玩扑克牌游戏，各出一张牌比输赢．游戏规则是：谁的牌数字大谁赢，同样大就平：A遇2就输，遇其他牌（除A外）都赢．目前小杰手中A、K、J，小明手中有2、Q、J． （1）求出小明抽到的牌恰好是“2”的概率； （2）小杰、小明两人谁获胜的机会大？画出树状图，通过计算说明理由． 题组B 能力提升练 1. 为响应国家号召，全体公民接种疫苗，提高对“新冠”病毒的免疫功能．现某大型社区有6000人需要接种疫苗，为了尽快完成该项任务，防疫部门除固定接种点外还增加了一辆流动疫苗接种车，实际每日接种人数比原计划多了250人，结果提前了2天完成全部接种任务．求原计划每天接种人数是多少？ 2. 如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、G分别是AB、CD的中点，点F在边BC上，且． （1）求证：四边形AEFG是平行四边形； （2）若四边形AEFG是矩形，求证：AG平分∠FAD． 3. 已知，如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，将△ABC绕着顶点B旋转后，点C的对应点C’落在y轴上，点A的对应点A’恰好落在反比例函数 的图像上． （1）求面积； （2）如果的值为6 (即反比例函数为)，求点的坐标； （3）如果四边形是梯形，求的值． 4. 已知：正方形ABCD的边长为8，点E是BC边的中点，点F是边AB上的动点，联结DE、EF． （1）如图1，如果BF=2，求证：EF⊥DE； （2）如图2，如果BF=3，求证：∠DEF=3∠CDE； （3）联结DF，设DF的中点为G，四边形AFEG是否可能为菱形？请说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025春季培优课 【进阶优等生系列】【2024-2025春季培优课】 八年级第二学期第12讲 22.1-22.6图形运动中函数关系的确定 目录 1、 【进门测试】共6题； 2、 【知识精讲】共2个知识点； 3、 【典例解析】共9例题； 4、 【过关演练】共2题； 5、 【拓展进阶】共5题； 6、 【温故知新】共26题:A组22题，B组4题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 【练习1】如图，直线与x轴交于点（-4，0）则当y＞0时，x的取值范围是（ ） A．x＞-4 B．x＞0 C．x＜-4 D．x＜0 ( x y )【答案】 A 【练习2】小明、小强两人进行百米赛跑，小明比小强跑得快，如果两人同时跑，小明肯定赢，现在小明让小强先跑若干米，图中的射线a、b分别表示两人跑的路程与小明追赶时间的关 系，根据图象判断：小明的速度比小强的速度每秒快 （ ） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 ( s （米） t （秒） b a )【答案】 D 【练习3】如图，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD运动至点D停止．设点P运动的路程为，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图像如图所示，则△BCD的面积是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 ( A B C D P x y O )【答案】 A 【练习4】直线y=(m+1)x+m2+1与y轴的交点坐标是（0，3），且直线经过第一、二、四象限，则m=______． 【答案】． 【练习5】如图，直线与轴、轴分别相交于点A、B，△AOB与△ACB关于直线对称，则点C的坐标为________． ( A B C O x y l )【答案】． 【练习6】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（1，）在直线上，在坐标轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的个数有__________个． 【答案】 8 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 一、动点求函数解析式 动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形又条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系，这部分压轴题主要是在图形运动变化的过程中探求两个变量之间的函数关系，并根据实际情况确定自变量的取值范围． 二、图形运动求函数解析式 图形的运动考查的是变化中的不变量，通过翻折或者旋转后的图形特点，结合全等三角 形性质及直角三角形中的勾股定理，求边或角的关系． 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 例1．观摩、学习是我们生活的一部分，而在观摩中与展览品保持一定的距离是一种文明的表现．某学校数学业余学习小组在平面直角坐标系xOy有关研讨中，将到线段PQ所在的直线距离为的直线，称为直线PQ的“观察线”，并称观察线上到P、Q两点距离和最小的点L为线段PQ的“最佳观察点”． (1)如果P(1，)，Q(4，)，那么在点A(1，0)，B(，2)，C(，3)中，处在直线PQ的“观察线”上的是点　 　； (2)求直线y＝x的“观察线”的表达式； (3)若M(0，﹣1)，N在第二象限，且MN＝6，当MN的一个“最佳观察点”在y轴正半轴上时，直接写出点N的坐标；并按逆时针方向联结M、N及其所有“最佳观察点”，直接写出联结所围成的多边形的周长和面积． 【答案】(1)A，B； (2)直线y＝x的“观察线”的解析式为y＝x﹣2或y＝x+2；(3)围成的图形是菱形MQNQ′，这个菱形的周长8，这个菱形的面积6． 【分析】（1）由题意线段PQ的“观察线”的解析式为y=0或y=2，由此即可判断； （2）如图2中，设直线的下方的“观察线”MN交y轴于K，作KE⊥直线，求出直线MN的解析式，再根据对称性求出直线的上方的“观察线”PQ即可； （3）如图3中，设点Q是MN的一个“最佳观察点”，点P是MN的中点．解直角三角形求出点P坐标，再根据中点坐标公式求出等N坐标；观察图象可知：设此时的另一个“最佳观察点”为Q′，按逆时针方向联结M、N及其所有“最佳观察点”，所围成的图形是菱形MQNQ′，这个菱形的周长=8，这个菱形的面积=＝×6×2＝6． 【详解】 (1)如图1中， 由题意线段PQ的“观察线”的解析式为y＝0或y＝2， ∵点A在直线y＝0上，点B在直线y＝2上， ∴点A，点B是直线PQ的“观察线”上的点， 故答案为A，B． (2)如图2中，设直线y＝x的下方的“观察线”MN交y轴于K，作KE⊥直线y＝x， 由题意：EK＝， ∵直线y＝x与x轴的夹角为30°， ∴∠EOK＝60°， ∴∠EKO＝30°， ∴tan30°＝＝， ∴OE＝1， ∴OK＝2OE＝2， ∵MN∥直线y＝x， ∴直线MN的解析式为y＝x﹣2， 根据对称性可知在直线y＝x上方的“观察线”PQ的解析式为y＝x+2． 综上所述，直线y＝x的“观察线”的解析式为y＝x﹣2或y＝x+2． (3)如图3中，设点Q是MN的一个“最佳观察点”，点P是MN的中点． 当点Q在y轴的正半轴上时，连接PQ，则PQ垂直平分线线段MN． 在Rt△PQM中，PQ＝，PM＝3， ∴MQ＝＝2， ∵M(0，﹣1)， OQ＝2﹣1， 作PH⊥y轴于H． 在Rt△PQH中，∵tan∠PQH＝＝， ∴∠PQH＝60°， ∴∠QPH＝30°， ∴QH＝PQ＝，PH＝QH＝， ∴OH＝2﹣1﹣＝﹣1， ∴P(﹣，﹣1)， ∵PN＝PM， ∴N(﹣3，3﹣1)． 观察图象可知：设此时的另一个“最佳观察点”为Q′，按逆时针方向联结M、N及其所有“最佳观察点”，所围成的图形是菱形MQNQ′，这个菱形的周＝8，这个菱形的面积＝×6×2＝6． 【点睛】本题考查一次函数综合题、点到直线的距离、轨迹、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 例2．如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根． （1）求C点坐标； （2）求直线MN的解析式； （3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标． 【答案】（1）C（0，6）． （2）y=x+6． （3）P1（4，3），P2（）P3（），P4（）． 试题分析： （1）通过解方程x2﹣14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．则C（0，6）； （2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．把点A、C的坐标分别代入解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值； （3）需要分类讨论：PB为腰，PB为底两种情况下的点P的坐标．根据等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答． 试题解析： （1）解方程x2-14x+48=0得 x1=6，x2=8 ∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根 ∴OC=6，OA=8 ∴C（0，6） （2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0） 由（1）知，OA=8，则A（8，0） ∵点A、C都在直线MN上 ∴ 解得， ∴直线MN的解析式为y=-x+6 （3） ∵A（8，0），C（0，6） ∴根据题意知B（8，6） ∵点P在直线MN y=-x+6上 ∴设P（a，--a+6） 当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论： ①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1（4，3）； ②当PC=BC时，a2+（-a+6-6）2=64 解得，a=±，则P2（-，），P3（，） ③当PB=BC时，（a-8）2+（-a+6-6）2=64 解得，a=，则-a+6=- ∴P4（，） 综上所述，符合条件的点P有：P1（4，3），P2(-，)，P3(，)，P4（，-） 考点：一次函数综合题． 例3．如图，已知，直线，点P在线段上，点D为射线上一动点，连接，射线交直线于点E．已知，． （1）如图1，当点D在线段上时，求证：； （2）当时，请在图2中画出相应的图形，并求线段的长； （3）如果的平分线交射线于点G，设，，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）图见解析，2；（3） 【分析】（1）先判断出，进而判断出，再判断出，得到即可； （2）依题意画出图形，由（1）得到，再判断出，求出，进而求出AE； （3）先表示出，再判断出，得到，在中，，即，即可． 【详解】（1）证明：如图1， 作于点H，作于点F， ， ． ， ． ，即， ． ， ． ， ， ， ， ， ； （2）如图2， 作于点H，作于点F， 同（1）得， ， ， ， ． ， ． ， ． ， ， ， ． ∵在四边形AHPF中，， ∴四边形AHPF是矩形， ， ； （3）如图3， 作于点H，作于点F， 由（2）得， ， ， ， ， ． ∵PG平分， ． ， ， ， 在中，， 即， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质和判定，矩形的判定及性质，同角的余角相等，勾股定理，证明出是关键． 例4．如图，直线与轴相交于点，与直线相交于点． （1）求点的坐标； （2）请判断的形状并说明理由； （3）动点从原点出发，以每秒个单位的速度沿着的路线向点匀速运动（不与点、重合），过点分别作轴于，轴于，设运动秒时，矩形与重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】（1）；（2）等边三角形，见解析；（3）当时，，当时， 【分析】（1）解两个函数解析式组成的方程组即可得到交点P的坐标； （2）过点P作PC⊥x轴于C，得到OC=2，PC=，AC=OA-OC=2，根据勾股定理求出OP=4，AP=4，得到AP=OP=OA，即可得到是等边三角形的结论； （3）当时，OE=t，过点P作PC⊥x轴于C，根据EF∥PC，得到，求出EF=，OF=，得到；当时，AE=8-t，BE交OP于M，根据EF∥PC，得到，求出， ，根据∠BMO=∠POA=60°，BO=求出BM=BO=，根据S=求出函数解析式. 【详解】 解：（1）解方程组， ， 点的坐标是； （2）是等边三角形， 当时，， 的坐标是， 过点P作PC⊥x轴于C， ∵P， ∴OC=2，PC=， ∴AC=OA-OC=2， ∵∠PCO=90°， ∴OP=4， 同理AP=4， ∴AP=OP=OA， ∴是等边三角形； （3）当时，OE=t， 过点P作PC⊥x轴于C， ∵EF⊥x轴， ∴EF∥PC， ∴, ∴， ∴EF=，OF=， ∴； 当时，AE=8-t，BE交OP于M， ∵EF∥PC， ∴, ∴, ∴， , ∵∠BMO=∠POA=60°，BO=, ∴BM=BO=， ∴S= = = ． 【点睛】此题考查一次函数图象与几何图象，函数图象的交点坐标的求法，矩形的性质，动点问题与图形面积的函数解析式，等边三角形的判定. 例5．梯形中，，，，，、在上，平分，平分，、分别为、的中点，和分别与交于和，和交于点． （1）求证：； （2）当点在四边形内部时，设，，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）当时，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）3或． 【分析】（1）由中位线的性质，角平分线的定义和平行线的性质得出，易证，则结论可证； （2）过作交于点K，过点D作交于点，则得到矩形，则有，，然后利用（1）中的结论有， ，在中，利用含30°的直角三角形的性质可得出QC，DQ的长度，然后在中利用勾股定理即可找到y关于x的函数关系式； （3）分两种情况：点在梯形内部和点在梯形内部，当点在梯形内部时，有；当点在梯形内部时，有 ，分别结论（2）中的关系式即可求出EG的长度． 【详解】 （1）证明：、分别是、的中点， ． 平分， ． 又， ， ， ． 点是的中点， ． ． （2）过作交于点K，过点D作交于点， ∵，，， ∴四边形是矩形， ，． ，， ， 同理：． 在中， ， ，， ． ， ． 在中，． ， 即． ． （3）①点在梯形内部． ∵是梯形的中位线， ， 即． 解得：， 即． ②点在梯形内部． 同理：． 解得：， 即． 综上所述，EG的长度为3或． 【点睛】本题主要考查四边形的综合问题，掌握中位线的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理是基础，能够作出辅助线并分情况讨论是解题的关键． 例6．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点的坐标是，动点从点出发，沿线段向终点运动，同时动点从点出发，沿线段向终点运动．点的运动速度均为每秒个单位，运动时间为秒，过点作交于点． （1）求直线的解析式； （2）设的面积为，求当时，与时间的函数关系； （3）在动点运动的过程中，点是矩形内（包括边界）一点，且以为顶点的四边形是菱形，直接写出值和与其对应的点的坐标． 【答案】（1）y=-x+6；（2）S=﹣+t；（3）t的值为或24-12，点H坐标为（，）或（，6） 【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求直线AB的解析式； （2）先求出点E坐标，再利用三角形面积公式可求解； （3）分两种情况讨论，利用菱形的性质和直角三角形的性质可求解． 【详解】 解：（1）∵矩形AOBC的顶点C的坐标是（2，6）， ∴OA=BC=6，OB=AC=2， ∴点A（0，6），点B（2，0） 设直线AB解析式为：y=kx+b， ∴ 解得：， ∴直线AB的解析式为：y=-x+6； （2）∵点P、Q的运动速度均为每秒1个单位， ∴AP=BQ=t， ∴OP=6-t， ∵PE⊥AO， ∴点E纵坐标为6-t， ∴6-t=﹣x+6， x=， ∴点E（，6-t）， Q到直线PE的距离为6－2t， ∴当0＜t＜3时， S=×（6-2t） ∴S=﹣+t； （3）如图，当四边形EHBQ是菱形时，延长PE交BC于F， ∵AB=， ∴OB=AB， ∴∠BAO=30°， ∵AO∥BC，PE⊥AO， ∴∠ABC=∠BAO=30°，PE⊥BC， ∵四边形EHBQ是菱形， ∴BQ=EQ=t，EH∥BQ， ∴∠QEB=∠EBQ=30°， ∴∠FEQ=30°， ∴FQ=EQ=t， ∴BC=t+t+t=6， ∴t=， ∴BQ=EH=， ∴点E（，）， ∴点H（，） 如图，若四边形EHQB是菱形，延长PE交BC于F， ∵四边形EHQB是菱形， ∴BE=BQ=t，EH∥BQ， ∵∠ABC=30°，EF⊥BC， ∴BE=2EF， ∴t=2（－t） ∴t=24-12 ∴点E（，12－18）， ∴点H（，6）， 综上所述：t的值为或24-12，点H坐标为（，）或（，6）． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，待定系数法求解析式，一次函数的性质等知识；利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 二、图形运动求函数解析式 例1．如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点A、B，再将△A0B沿直钱CD折叠，使点A与点B重合．折痕CD与x轴交于点C，与AB交于点D． （1）点A的坐标为　　；点B的坐标为　　； （2）求OC的长度，并求出此时直线BC的表达式； （3）直线BC上是否存在一点M，使得△ABM的面积与△ABO的面积相等？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（4，0），（0，3）；（2）y=﹣x+3;（3）见解析． 【分析】 （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）设OC=x，则AC=BC=4﹣x，在Rt△BOC中，利用勾股定理求出x，再利用待定系数法求出直线BC的解析式即可； （3）过点O作OM∥AB交直线BC于M．由OM∥AB，可知S△AOB=S△ABM，由直线AB的解析式为，OM∥AB，推出直线OM的解析式为，由 解得 ，可得M，根据对称性可知，经过点O′（0，6）与直线AB平行的直线与直线BC的交点M′，也满足条件． 【详解】 解：（1）令y=0，则x=4；令x=0，则y=3， 故点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）． 故答案为（4，0），（0，3）； （2）设OC=x， ∵直线CD垂直平分线段AB， ∴AC=CB=4﹣x， ∵∠BOA=90°， ∴OB2+OC2=CB2， 32+x2=（4﹣x）2， 解得 ∴ ∴设直线BC的解析式为y=kx+b， 则有 解得 ∴直线BC的解析式为 （3）过点O作OM∥AB交直线BC于M． ∵OM∥AB， ∴S△AOB=S△ABM， ∵直线AB的解析式为，OM∥AB， ∴直线OM的解析式为 由解得， ∴M， 根据对称性可知，经过点O′（0，6）与直线AB平行的直线与直线BC的交点M′，也满足条件，易知BM′=BM， 设M′（m，n），则有 ∴ ∴M′ 综上所述，满足条件的点M坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数综合题、翻折变换、线段的垂直平分线的性质、等高模型、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会有添加辅助线，构造平行线解决问题，注意一题多解，属于中考压轴题． 例2.如图，等腰梯形ABCD中，AD＝BC＝5，AB＝20，CD＝12，DH⊥AB，E是线段HB上一动点，在线段CD上取点F使AE＝EF，设AE＝x，DF＝y． （1）当EF∥AD时，求AE的长； （2）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）将△ADF沿AF所在直线翻折，点D落在平面上的D′处，当D′E＝1时，求AE 的长． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）； （3）的长为或． 【解析】解：（1），四边形是平行四边形， ，四边形是菱形，； （2） 过点作于， 在中，， ， ； （3） 联结， ，． ， 必落在射线上，当时，有或， 解得：或． 【总结】本题主要考查直角三角形的性质及翻折的综合应用，一方面要注意定义域的确定，另一方面要注意分类讨论． 例3.如图，已知：△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D是边AC上不与点A、C重合的任意一点，DE⊥AB，垂足为点E，M是BD的中点． （1）求证：CM=EM； （2）如果BC=，设AD=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当点D在线段AC上移动时，∠MCE的大小是否发生变化?如果不变，求出∠MCE的大小；如果发生变化，说明如何变化． 【难度】★★★ 【答案】（1）详见解析；（2）； （3）不变，． 【解析】（1）证明：在中，， ∵是的中点，，同理， ； （2） 解：在中， ，∴由勾股定理，得：． ． 在中，， ， ； （3） 不变． 是斜边的中点，， ，同理． ∴， 即． ，． 【总结】本题主要考查了直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，对于直角三角形的性质与推论要灵活运用． 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 1、已知直线经过点，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数解析式． 解：因为直线过点，所以， ① 又因为直线与轴、轴的交点坐标分别为， 再根据，所以 整理得 ②． 根据方程①和②可以得出，， 所以，．所以所求一次函数解析式为或 2、如图所示，已知直线交轴于点A，交轴于点B，过B作BD⊥AB交轴于D． (1)求直线BD的解析式； (2)若点C是轴负半轴上一点，过C作AC的垂线与BD交于点E．请判断线段AC与CE的大小关系？并证明你的结论． 【答案】 解：(1)由直线可得：A(0，8)，B(8，0)． ∴ OA＝OB＝8，∠ABO＝45°． ∵ BD⊥AB， ∴ ∠DBO＝45°， △ABD为等腰直角三角形． ∴ OD＝OA＝8，D点坐标为(0，－8)． 设BD的解析式为． ∵ 过B(8，0)，D(0，－8) ∴ ，解得． ∴ BD的解析式为 (2)AC＝CE；过点C作CM⊥AB于M，作CN⊥BD于点N． ∵ BC为∠ABD的平分线， ∴ CM＝CN． ∵ ∠ACE＝90°，∠MCN=90° ∴ ∠ACM＝∠ECN． 在△ACM和△ECN中 ∴ △ACM≌△ECN(ASA)． ∴ AC＝CE． 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 1．如图1，在菱形中，，，点是上一点，点在上，且，设． （1）当时，如图2，求的长； （2）设，求关于的函数关系式及其定义域； （3）若是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】（1）=（2）y=x-8（≤x≤）（3）4 【分析】（1）先根据菱形的边长和对角线的长得到∠ABO =30°，再根据，求出AP的长，故可得到DP的长； （2）作HP⊥AB，根据AP=PQ，得到AH=QH=，BH=8-,BP=BD-DP=-x,再根据（1）可得HP=-x，在Rt△BPH中，BP2=HB2+HP2，化简即可求解，再求出x的取值范围； （3）根据题意作图，由等腰三角形的性质可得△AQP是等边三角形，故可得到DP的长． 【详解】（1）∵，， ∴BO==4,AC⊥BD 故AO==4= ∴∠ABO =30°=∠ADO ∵ ∴∠APB =90°-∠ABO =60° 故∠PAD=∠APB -∠ADO =30° 即∠PAD=∠ADO ∴DP=AP 设AP=x，则BP=2x， 在Rt△ABP中，BP2=AB2+AP2 即（2x）2=82+x2 解得x= 故=； （2）作HP⊥AB，∵AP=PQ ∴AH=QH= ∴BH=BQ+QH=(8-y)+=8-, BP=BD-DP=-x, 由（1）可得HP==-x 在Rt△BPH中，BP2=HB2+HP2 即（-x）2=(8-)2+(-x)2 ∵-x＞0，8-＞0，-x＞0 ∴化简得y=x-8 ∵0≤x-8≤8 ∴x的取值范围为≤x≤ ∴关于的函数关系式是y=x-8（≤x≤）； （3）如图，若是以为腰的等腰三角形， 则∠QPB=∠QBP=30°， ∴∠AQP=∠QPB+∠QBP=60° ∵∠BAP=90°-∠QBP=60°， ∴△APQ是等边三角形，∠APQ=60° ∴∠QPB +∠APQ=90°， 则AP⊥BP，故O点与P点重合， ∴PD=DO==4． 【点睛】此题主要考查菱形的性质综合，解题的关键是熟知菱形的性质及含30度的直角三角形的性质． 2．如图，已知直角梯形，，，过点作，垂足为点，，，点是边上的一动点，过作线段的垂直平分线，交于点，并交射线于点． （1）如图1，当点与点重合时，求的长； （2）设，，求与的函数关系式，并写出定义域； （3）如图2，联结，当是等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）BC=5；（2）；（3）的长为或3或． 【分析】（1）根据垂直平分线性质可知，设，，在中用勾股定理求出，即可解答； （2）联结，，在中，，在中，，消去二次项即可得到与的函数关系式；根据点是边上的一动点结合（1）即可得出的定义域； （3）分三种情况讨论，分别画出图形，根据相等的边用勾股定理列方程求解即可． 【详解】 解：（1）∵梯形中，，，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， 在中，， 又∵，，设，， ， ∴， ∴． （2）联结，， ∵是线段的垂直平分线， ∴ ∵，， ∴ 在中， 在中， ∴ ∴ （3）在中，，， ∴， 当是等腰三角形时 ①∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ② 取中点，联结 ∵为的中点 ∴为梯形中位线 ∴ ∵ ∴为中点， ∴此时与重合 ∴ ③ 联结并延长交延长线于点 此时． ∴，， ∴， ∴在中，， ∵ ∴解得，（不合题意含去） ∴综上所述，当是等腰三角形时，的长为或3或 【点睛】本题综合考查了矩形的性质、勾股定理解三角形、等腰三角形性质和判定、全等三角形性质和判定，灵活运用勾股定理求线段长是解题的关键． 3．如图，在梯形中，，，．是边的中点，联结、，且．设，． （1）如果，求的长； （2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）联结．如果是以边为腰的等腰三角形，求的值． 【答案】（1）；（2），自变量的取值范围是，且；（3） 【分析】（1）首先过点D作DH⊥BC，垂足为点H，由AD∥BC，AB⊥BC，DH⊥BC，可求得DH的长，然后设CH=，则 CD=2，利用勾股定理即可求得答案； （2）首先取CD的中点F，连接EF，由梯形的中位线，可表示出EF的长，易得四边形ABHD是平行四边形，然后由勾股定理可求得答案； （3）分别从CD=BD或CD=BC去分析求解即可求得答案． 【详解】（1）过点作，垂足为点． ∵，，， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． 设，则， 利用勾股定理，得． 即得， 解得（负值舍去）． ∴； （2）取CD的中点F，连接EF， ∵为边的中点， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴． 由，，得． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即得， 在中，利用勾股定理，得． 即得． 解得． ∴所求函数解析式为． 自变量的取值范围是，且． （3）当是以边为腰的等腰三角形时，有两种可能情况： 或． ①如果， 作于H， ∴， 即得， ∵， ∴． 解得，． 经检验：，，是方程的解， 但不合题意，舍去． ∴； ②如果，则． 即得（不合题意，舍去）． 综上，如果是以边为腰的等腰三角形，的值为． 【点睛】本题属于四边形的综合题．考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识．注意掌握辅助线的作法，掌握方程思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键． 4．如图，矩形中，边在轴上，点，，直线过点且交边于，另有一条直线与平行且分别交，于，． （1）求，的长； （2）当为菱形时，求直线解析式； （3）当直线将矩形分成两个面积比例为的梯形时，直接写出此时直线的解析式． 【答案】（1）=4，=1；（2）直线解析式：；（3）直线解析式：或． 【分析】 （1）利用，求出B、G的坐标，即可得到，的长； （2）依据勾股定理求出BG的长，依据菱形的性质求 F的坐标，并用待定系数法求直线的解析式； （3），用表示两个梯形的上下底，直线将矩形分成两个面积比例为的梯形，可两种情况列出关于的方程解出，用E的坐标求直线的解析式即可. 【详解】 解：（1）∵直线过点B，B在轴上， ∴， ∵， ∴， ∴=4， ∵当时，，， ∴， ∴=1； （2）∵矩形， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴, 设直线解析式：， 将代入中，得到， ∴直线解析式：； （3）设（），则，， 设直线解析式：，将代入，求得， 则直线解析式：， ∵矩形， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴, ∴， ∵直线将矩形分成两个面积比例为的梯形， ①若=，； ②若=2，； 综上所述：或. 则直线解析式：或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何图形综合，待定系数法，矩形的性质、菱形的性质、梯形的面积，解题的关键是运用几何图形的性质求点的坐标，及分类讨论思想的运用. 5．已知：如图，在中，，，，AD平分，交BC边于点D．点E是边AB上一动点（与点A、B不重合）．过点E作，垂足为点G，与射线AC交于点F． （1）当点F在边AC上时， ①求证：； ②设，，求y与x之间的函数解析式并写出定义域． （2）当是等腰三角形时，求BE的长． 【答案】（1）①见详解；②；（2）BE=8或12-4． 【分析】（1）①先证明∆AGF≅∆AGE，从而得AD垂直平分FE，根据中垂线的性质，即可得到结论；②分两种情况：（a）当点F在线段AC上时，（b）当点F在AC的延长线上时，分别求出y与x之间的函数解析式，即可； （2）分三种情况：①当∠AFD是顶角，即FA=FD时，②当∠FAD是顶角，即FA=DA时，③当∠ADF是顶角，即DF=DA时，分别求解，即可． 【详解】 （1）①∵，， ∴∠BAC=60°， ∵AD平分， ∴∠FAG=∠EAG， ∵， ∴∠AGF=∠AGE=90°， 又∵AG=AG， ∴∆AGF≅∆AGE， ∴FG=EG， ∴AD垂直平分FE， ∴DE=DF； ②∵在中，，，， ∴AB=2AC=12， （a）当点F在线段AC上时，如图， ∵，， ∴AE=12-x， ∵∆AGF≅∆AGE， ∴AF=AE=12-x， ∴y=6-(12-x)=x-6， ∵0＜AF≤6， ∴0＜12-x≤6， ∴6≤x＜12； （b）当点F在AC的延长线上时，如图， ∵，， ∴AF=AE=12-x， ∴y=12-x-6=6-x， ∵6＜AF， ∴6＜12-x， ∴0＜x＜6； 综上所述：y与x之间的函数解析式为：； （2）①当是等腰三角形时，∠AFD是顶角，即FA=FD时，如图 ∵， ∴AF=FD=6-y， ∵∠FAG=∠EAG=∠BAC=30°， ∴∠FDG=∠FAG=30°， ∵∠C=90°，∠ADC=90°-30°=60°， ∴∠CDF=30°， ∴DF=2CF， ∴6-y=2y，解得：y=2， ∴AF=6-2=4， ∴AE=AF=4， ∴BE=12-4=8； ②当是等腰三角形时，∠FAD是顶角，即FA=DA时，如图， ∵∠ACD=90°，∠CAD=30°，AC=6， ∴AD=2CD=2×（6÷）=4， ∴AE=AF=4， ∴BE=12-4； ③当是等腰三角形时，∠ADF是顶角，即DF=DA时，如图， ∵DC⊥AF， ∴CF=CA=6， ∴AF=12， ∴AE=AF=12，此时，点E与点B重合，舍去， 综上所述：BE=8或12-4． 【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的定义，中垂线的性质以及函数解析式，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质以及分类讨论思想，是解题的关键 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 基础过关练 1. 一次函数的图象经过哪几个象限（ ） A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限 C. 一、三、四象限 D. 二、三、四象限 【答案】B 【解析】 【详解】因为解析式y=-2x+1中，-2＜0，1＞0，图象过一、二、四象限，故选B． 2. 下列方程，有实数解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先移项，再根据算术平方根的非负性即可判断A；方程两边都乘以x-2，求出x=2，再进行检验，即可判断B；移项后开四次方，即可判断C；根据算术平方根的非负性得出x-4=0且x-3=0，即可判断D． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵是非负数， ∴原方程无实数解，故本选项不符合题意； B、， 方程两边都乘以x-2，得x=2， 检验：当x=2时，x-2=0，所以x=2是增根， 即原方程无实数解，故本选项不符合题意； C、∵（x+2）4-1=0， ∴（x+2）4=1， ∴x+2=， ∴x1=-2+1=-1，x2=-2-1=-3，即方程有实数解，故本选项符合题意； D、∵， ∴x-4=0且x-3=0， ∴x不存在， 即原方程无实数解，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了解无理方程，算术平方根，四次方根，解分式方程等知识点，能把无理方程转化成有理方程和把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 3. 如果，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. 与是相等向量 C. 与是相反向量 D. 与是平行向量 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件可以判定四边形是平行四边形，结合平行四边形的性质和相等向量、平行向量的定义作出判断． 【详解】解：， ，． 四边形是平行四边形． A、当平行四边形是矩形时，该结论才成立，故不符合题意． B、由四边形是平行四边形得到：，且，则与是相等向量，故符合题意． C、如图所示，与不是相反向量，故不符合题意． D、如图所示，与不是平行向量，故不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平面向量，解题的关键是根据题意判定四边形是平行四边形． 4. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A. 黄河入海流 B. 锄禾日当午 C. 手可摘星辰 D. 大漠孤烟直 【答案】C 【解析】 【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件的意义结合具体问题情境进行判断即可． 【详解】解：A．“黄河入海流”是必然事件，因此选项A 不符合题意； B．“锄禾日当午”是随机事件，因此选项B不符合题意； C．“手可摘星辰”是不可能事件，因此选项C 符合题意； D．“大漠孤烟直”是随机事件，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了必然事件、随机事件、不可能事件，理解必然事件、随机事件、不可能事件的意义是正确判断的前提． 5. 下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 等腰梯形 D. 平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形及轴对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：A、菱形即使中心对称图形，也是轴对称图形，故A错误； B、矩形即使中心对称图形，也是轴对称图形，故B错误； C、等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C错误； D、平行四边形是中心对称但不是轴对称图形，故D正确， 故答案为：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形及轴对称图形的概念，掌握基本概念是解题的关键． 6. 已知四边形中，，下列判断中的正确的是（ ） A. 如果，那么四边形是等腰梯形 B. 如果，那么四边形是菱形 C. 如果AC平分BD，那么四边形是矩形 D. 如果，那么四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形、等腰梯形、矩形和菱形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A． 如果BC=AD，那么四边形ABCD可能是等腰梯形，也可能是矩形，错误； B．如果AD∥BC，那么四边形ABCD是矩形，错误； C． 如果AC平分BD，那么四边形ABCD是矩形，正确； D．如果AC⊥BD，那么四边形ABCD不一定是正方形，错误； 故选：C． 【点睛】此题考查等腰梯形的判定，关键是根据正方形、等腰梯形、矩形和菱形的判定定理解答． 7. 将直线向上平移3个单位长度，所得直线函数表达式是 __． 【答案】y=-x+1 【解析】 【分析】根据平移法则上加下减可得出平移后的解析式． 【详解】解：将直线y=-x-2向上平移3个单位长度，所得直线的函数表达式是：． 故答案为：y=-x+1． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 8. 已知一次函数，若y的值随x的增大而增大，则m的取值范围是_________． 【答案】m＞0 【解析】 【分析】根据一次函数图象与系数的关系可判断m＞0． 【详解】解：∵一次函数一次函数y=mx+1（m≠0）中，y的值随x的增大而增大， ∴m＞0， 故答案是：m＞0． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键，即在y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小． 9. 方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】方程整理后，利用立方根定义求出解即可． 【详解】方程整理得：x3=-8， 开立方得：x=-2． 故答案为：x=-2 【点睛】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 10. 方程 的解是_________． 【答案】x=-7 【解析】 【分析】两边平方得出2-x=9，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 两边平方，得2-x=9， 解得：x=-7， 经检验x=-7是原方程的解， 故答案为：x=-7． 【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键． 11. 已知一次函数图象如图所示，那么关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】一次函数的图象在x轴上方时，，再根据图象写出解集即可． 【详解】解：当不等式时，一次函数的图象在x轴上方， 故． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是能正确利用数形结合的方法解决问题． 12. 如果关于是方程有两个相等的实数根，那么的值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△=b2-4ac=0，即可求m值． 【详解】解：∵方程x2-x+m=0有两个相等的实数根， ∴△=b2-4ac=（-1）2-4m=0， 解得m=， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实根，当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，当△=b2-4ac＜0时，方程无实数根． 13. 已知一个n边形的内角和等于，则n＝_____ 【答案】5 【解析】 【分析】已知n边形的内角和为540°，根据多边形内角和的公式易求解． 【详解】解：依题意有 （n﹣2）•180°＝540°， 解得n＝5． 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查的是多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 14. 用换元法解方程时，如果设，那么原方程化成关于的整式方程是________ 【答案】y²-3y+2=0 【解析】 【分析】将原方程左右两边同时乘以，再将代入即可. 【详解】解：∵， ∴， 设， 则原方程可化成y²-3y+2=0. 故答案为y²-3y+2=0. 【点睛】本题主要考查整体思想，解此题的关键在于根据题找到原方程与所求式子之间的关系. 15. 我们古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：“九百九十九文钱，甜果苦果共买千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？”如果设买甜果个，买苦果个，那么列出的关于的二元一次方程组是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由甜果苦果共买千可得出，利用总价单价数量可得出，联立两方程组成方程组即可得出结论． 【详解】解：甜果苦果共买千， ； 甜果九个十一文，苦果七个四文钱，且购买两种果共花费九百九十九文钱， ． 联立两方程组成方程组． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 16. 已知，如图，边长为4的正方形中，点分别在的延长线上，且，那么四边形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接BD交AC于O，首先证明四边形EBFD是菱形，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可解决问题． 【详解】解：如图，连接BD交AC于O． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD=4，∠CAD=∠CAB=45°， ∴∠EAD=∠EAB=135°， 在△EAB和△EAD中， ， ∴△EAB≌△EAD， ∴∠AEB=∠AED=22.5°，EB=ED， ∴∠ADE=180°-∠EAD-∠AED=22.5°， ∴∠AED=∠ADE=22.5°， ∴AE=AD=4， 同理证明∠DFC=22.5°，FD=FB， ∴∠DEF=∠DFE， ∴DE=DF， ∴ED=EB=FB=FD， ∴四边形EBFD的面积=•BD•EF=， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是发现四边形EBFD是菱形，记住菱形的面积等于对角线乘积的一半．属于中考常考题型． 17. 我们把联结四边形对边中点的线段称为“中对线”． 凸四边形的对角线 ，且这两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较长的“中对线”的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理可得菱形EFGH，然后根据菱形的性质及等边三角形的性质可得EH，利用勾股定理求出EN，可得EG． 【详解】解：如图，设两条对角线AC、BD的夹角为60°， 取四边的中点并连接起来，设AC与EH交于M，HF与EG交于N， ∴EH是三角形ABD的中位线， ∴EH=BD=2，EH∥BD， 同理，FG=BD=2，FG∥BD，EF=AC=2，EF∥AC，HG=AC=2，HG∥AC， ∴EH∥HG∥AC，EF=FG=HG=HE， ∴四边形EFGH是菱形， ∵EH=BD=2，EH∥BD， ∴∠AOB=60°=∠AME， ∵FE∥AC， ∴∠FEH=∠AME=60°， ∴∠HEN=∠FEN=30°， ∴HN=EH=1， ∴EN==， ∴EG=， ∴较长的“中对线”长度为． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是三角形的中位线定理，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握其定理是解决此题关键． 18. 已知等边的边长为是边上一点，DE∥BC交边于点，以 为一边在形内构造矩形DEFG． 且．设， 则关于的函数关系式是________ (无需写出定义域)． 【答案】 【解析】 【分析】延长DG交BC于H，利用等边三角形和矩形的性质表示出BD和BH，利用勾股定理求出DH，在△BHG中，利用勾股定理列出x和y的关系式，化简可得结果． 【详解】解：延长DG交BC于H， ∵△ABC是等边三角形，边长为6， ∴∠A=∠ABC=∠C=60°，AB=6， ∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠C=60°， ∴∠A=∠ADE=∠AED， ∴△ADE是等边三角形， ∴AD=DE=x， ∵四边形DGFE是矩形， ∴∠GDE=90°， ∵DE∥BC， ∴∠DHB=∠GDE=90°， ∵AD=x，AB=6， ∴BD=AB-AD=6-x， 在△DHB中，∠DBH=60°， ∴BH=， DH==， ∵DG=DE=x， ∴GH=DH-DG=， 在△BHG中，， ∴， 化简可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是添加辅助线GH，利用等边三角形的性质求出线段之间的关系． 19. 解方程组：． 【答案】或或或 【解析】 【分析】将每个方程因式分解，降次化为两个一次方程，解出重新组合的方程组即可得到答案． 【详解】解：x2-5xy-6y2=0可化为（x-6y）（x+y）=0， ∴x-6y=0或x+y=0， x2-4xy+4y2=1可化为（x-2y+1）（x-2y-1）=0， ∴x-2y+1=0或x-2y-1=0， 原方程组相当于以下四个方程组： ，，， 解得①②③④分别得：，，，， ∴原方程组的解是：或或或 【点睛】本题考查解二元二次方程组，将每个二次方程因式分解，降次化为两个一次方程是解题的关键． 20. 如图，的对角线相交于点． 点在对角线的延长线上，且． （1）图中与相等的向量是______； （2）计算：； （3）在图中求作 ．（保留作图痕迹，不要求写作法，请指出哪个向量是所求作的向量） 【答案】（1），；（2）；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）证明，可得结论． （2）连接，利用三角形法则求解即可． （3）如图，延长到，使得，连接即为所求． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， ， ， ， 与相等的向量为，． 故答案为：，． （2）连接． ． ． （3）如图，延长到，使得，连接即为所求． 【点睛】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则解决问题，属于中考常考题型． 21. 小明和小杰从同一地点去青浦郊野公园，小明坐公交车去，小杰因为有事晚出发，乘出租车以1.6千米/分钟的平均速度沿路追赶．图中，分别表示公交车与出租车在行驶中的路程（千米）与时间（分钟）的关系，根据图像解决下列问题： （1）小明早到了____分钟，公交车的平均速度为______千米/分钟； （2）小杰路上花费的时间是_____分钟，比小明晚出发_____分钟； （3）求出租车行驶过程中s与t的函数关系式，并写出定义域． 【答案】（1）5；1；（2）25；20；（3）l1：s=t（0≤t≤40）；l2：s=1.6t-32（20≤t≤45）． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象可以解答本题； （2）根据“时间=路程÷速度”列式计算即可求解； （3）利用待定系数法可得l1和l2对应的表达式． 【详解】解：（1）根据图象可知，小明早到了：45-40=5（分钟）， 公交车的平均速度为：40÷40=1（千米/分钟）， 故答案为：5；1； （2）小杰路上花费的时间是：40÷1.6=25（分钟）， 小杰比小明晚出发：45-25=20（分钟）， 故答案为：25；20； （3）由公交车的平均速度为1千米/分钟，可得l1对应的表达式为s=t（0≤t≤40）； 设l2对应的表达式为s=kt+b（k≠0），由题意得： ， 解得， ∴l2对应的表达式为s=1.6t-32（20≤t≤45）． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 22. 小杰和小明玩扑克牌游戏，各出一张牌比输赢．游戏的规则是：谁的牌数字大谁赢，同样大就平：A遇2就输，遇其他牌（除A外）都赢．目前小杰手中A、K、J，小明手中有2、Q、J． （1）求出小明抽到的牌恰好是“2”的概率； （2）小杰、小明两人谁获胜的机会大？画出树状图，通过计算说明理由． 【答案】（1）；（2）小明获胜机会大．理由见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解； （2）画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出小杰获胜的结果数和小明获胜的结果数，则可计算出小杰获胜的概率和小明获胜的概率，然后比较两个概率的大小可判断谁获胜的机会大． 【详解】解：（1）小明抽到的牌恰好是“2”的概率=； （2）小明获胜的机会大． 理由如下： 画树状图为： 共有9种等可能的结果，其中小杰获胜的结果数为3，小明获胜的结果数为4， 所以小杰获胜的概率=；小明获胜的概率=， 而， 所以小明获胜的机会大． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 题组B 能力提升练 1. 为响应国家号召，全体公民接种疫苗，提高对“新冠”病毒的免疫功能．现某大型社区有6000人需要接种疫苗，为了尽快完成该项任务，防疫部门除固定接种点外还增加了一辆流动疫苗接种车，实际每日接种人数比原计划多了250人，结果提前了2天完成全部接种任务．求原计划每天接种人数是多少？ 【答案】750人 【解析】 【分析】设原计划每天接种人数为x人，则实际每日接种人数为（x+250）人，由题意：现某大型社区有6000人需要接种疫苗，实际每日接种人数比原计划多了250人，结果提前了2天完成全部接种任务，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设原计划每天接种人数为x人，则实际每日接种人数为（x+250）人， 由题意得：， 解得：x=750或x=-1000（舍去）， 经检验，x=750是原方程的解，且符合题意， 答：原计划每天接种人数为750人． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的解法，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验． 2. 如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、G分别是AB、CD的中点，点F在边BC上，且． （1）求证：四边形AEFG是平行四边形； （2）若四边形AEFG是矩形，求证：AG平分∠FAD． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接EG，根据梯形的中位线定理得到EG=（AD+BC），EG∥AD∥BC，根据题意得到EG=BF，得到四边形BEGF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到BE=GF，BE∥GF，进而证明AE=GF，根据平行四边形的判断定理证明结论； （2）根据矩形的性质得到OA=OG，得到∠OAG=∠OGA，根据平行线的性质得到∠DAG=∠OGA，根据角平分线的定义证明即可． 【详解】解：证明：（1）连接EG交AF于点O， ∵E、G分别是AB、CD的中点， ∴EG是梯形ABCD的中位线， ∴EG=（AD+BC），EG∥AD∥BC， ∵BF=（AD+BC）， ∴EG=BF， ∴四边形BEGF是平行四边形， ∴BE=GF，BE∥GF， ∵AE=BE， ∴AE=GF， ∴四边形AEFG是平行四边形； （2）∵四边形AEFG是矩形， ∴OA=OG， ∴∠OAG=∠OGA， ∵AD∥EG， ∴∠DAG=∠OGA， ∴∠OAG=∠DAG，即AG平分∠FAD． 【点睛】本题考查的是梯形的中位线定理、平行四边形的判定、矩形的性质，得到OA=OG解题的关键． 3. 已知，如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，将△ABC绕着顶点B旋转后，点C的对应点C’落在y轴上，点A的对应点A’恰好落在反比例函数 的图像上． （1）求的面积； （2）如果的值为6 (即反比例函数为)，求点的坐标； （3）如果四边形是梯形，求的值． 【答案】（1）4；（2）（3，2）；（3） 【解析】 【分析】（1）一次函数与轴交于点，与轴交于点，求出点，坐标，利用三角形面积公式：计算即可； （2）根据题意求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线A′B的解析式，与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得A′的坐标； （3）①先分析四边形中对边与不平行，证明同旁内角相加不是180度，即度．②再分析四边形中对边，由此得出．过，分别作，的垂线，垂足分别为，，由旋转得出△，解出坐标，代入，可得值． 【详解】解：（1）因为直线， 令x=0，则y=-4，令y=0，则x=-2， ，， ，， △的面积； （2）设A′B与x轴的交点为D，由题意可知D（2，0）， 设直线A′B解析式为y=kx-4， 把D（2，0）代入得0=2k-4， 解得k=2， ∴直线A′B的解析式为y=2x-4， 由，解得：或， ∴点A′的坐标是（3，2）； （3）若四边形为梯形，由于点在轴的正半轴． ①证明与不平行； ∵，在中， 令，则， 又， 则， （由于在中，，即， 所以与不平行； ②当时，可得， 即，， 又，， 所以， 过作垂线，垂足为，过作垂线，垂足为， ∵BC=，AB=8，OC=2， ∴AM==， ∴BM==， ∴， 由旋转易得△， ，， 又， ∴， ，， 又点在反比例函数图象上， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点，三线合一，面积法，解题的关键是掌握函数图像上的点坐标满足函数关系式． 4. 已知：正方形ABCD的边长为8，点E是BC边的中点，点F是边AB上的动点，联结DE、EF． （1）如图1，如果BF=2，求证：EF⊥DE； （2）如图2，如果BF=3，求证：∠DEF=3∠CDE； （3）联结DF，设DF的中点为G，四边形AFEG是否可能为菱形？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不可能，证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接DF，求出EF，DE，EF，利用勾股定理的逆定理可得∠FED=90°，即可得证； （2）过E作EH⊥AD于H，连接AE，证明∠CDE=∠DEH=∠AEH=∠FEA即可得到∠DEF=3∠CDE． （3）结论：四边形AFEG不可能是菱形，利用反证法证明EF＞AF即可． 【详解】解：（1）证明：如图1中，连接DF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=AD=8， ∵点E是BC边的中点， ∴BE=CE=4， ∵BF=2， ∴AF=6， ∴DF==10，EF==，DE==， ∴， ∴∠FED=90°， ∴EF⊥DE． （2）证明：如图中，过E作EH⊥AD于H，连接AE． ∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AD于H， ∴AB∥EH∥CD， ∴∠CDE=∠DEH， ∵E是BC中点， ∴AH=DH， ∴EH垂直平分AD， ∴∠AEH=∠DEH， ∴∠CDE=∠DEH=∠AEH， Rt△BEF中，BF=3，BE=4， ∴EF==5， ∴AF=AB-BF=5， ∴EF=AF， ∴∠FAE=∠FEA， 而∠FAE=∠AEH， ∴∠FEA=∠AEH， ∴∠CDE=∠DEH=∠AEH=∠FEA， ∴∠DEF=3∠CDE． （3）结论：四边形AFEG不可能是菱形． 理由：连接AE．假设四边形AFEG是菱形，则AE⊥DF， ∴∠BAE+AFD=90°，∠AFD+∠ADF=90°， ∴∠BAE=∠ADF， ∵AB=DA，∠B=∠DAF=90°， ∴△ABE≌△DAF（ASA）， ∴BE=AF， ∵BE=EC，BC=AB， ∴AF=BF， 在Rt△BEF中，EF＞BF， ∴EF＞AF，这与假设矛盾， ∴四边形AFEG不可能是菱形． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查正方形性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握四边形的性质，属于中考压轴题 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$