2024-2025学年沪教版(上海)八年级数学第二学期 22.4-22.6梯形讲义（第8讲）【进阶优等生系列】

2024-2025春季培优课 【进阶优等生系列】【2024-2025春季培优课】 八年级第二学期第8讲 22.4-22.6梯形 目录 1、 【进门测试】共5题； 2、 【知识精讲】共6个知识点； 3、 【典例解析】共15例题； 4、 【过关演练】共10题； 5、 【拓展进阶】共2题； 6、 【温故知新】共25题：A组14题，B组11题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 【习题1】（1）等腰梯形的两底之差为12cm，高为6cm，则其锐角为________； （2）等腰梯形的对角线为17，底边分别为10和20，则梯形的面积是_________． 【习题2】如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，AN，BN，DM，CM划分四边形所成的7个区域的面积分别为，，，，，，，那么恒成立的关系式是( )． A．+= B．+= C．+= D．+= ( A B C D E M G )【习题3】如图，在梯形ABCD中，，，若AE=10，求CE. ( A B C D O E )【习题4】如右图，已知梯形ABCD中，BC是下底，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，且BD⊥CD，若梯形周长是30cm，求此梯形的面积． 【习题5】如图所示，在等腰梯形中，，对角线，若两底长分别为，试列出这个梯形的面积用表示的等式． 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 一．梯形 （1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形． 梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高． （2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形． （3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形． 二．直角梯形 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形． 边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直． 角：有两个内角是直角． 过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个矩形和直角三角形．这是常用的一种作辅助线的方法． 三．等腰梯形的性质 （1）性质： ①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线； ②等腰梯形同一底上的两个角相等； ③等腰梯形的两条对角线相等． （2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质． 四．等腰梯形的判定 （1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形； （2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形． （3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形． 判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系． 注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用． 五．三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC． 六．梯形中位线定理 （1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． （2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． （3）梯形面积与中位线的关系： 梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积，即 梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高 （4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线． 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 一．梯形 1．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB，AC⊥BC，那么下列结论不正确的是（　　） A．AC＝2CD B．∠ABC＝60° C．∠CBD＝∠DBA D．BD⊥AD 2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AF⊥BC于F，M是CD中点，AM的延长线交BC的延长线于E，AE⊥AB，∠B＝60°，AF＝，则梯形的面积是　　． 二．直角梯形 1．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝，CD＝5，那么∠C＝　 　． 2．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝3，CD＝6，则∠D的度数是 　 　． 三．等腰梯形的性质 1．下列四边形中，对角线相等且互相平分的是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形 2．下列四边形中，对角线一定不相等的是（　　） A．直角梯形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 3．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝8，M是AB的中点，若MD⊥CD，则梯形的面积为 　　． 4．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是两腰的中点，联结AF，过点F作FG∥AB，交BC于点G，联结EG． （1）求证：四边形AEGF是平行四边形； （2）当∠GFC＝2∠EGB时，求证：四边形AEGF是矩形． 四．等腰梯形的判定 1．如果一个四边形四个内角的度数之比是1：2：2：3，那么这个四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 2．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥DB，则四边形OCED是（　　） A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 3．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别为两个底角的平分线． 求证：四边形BCDE是等腰梯形． 五．三角形中位线定理 1．在△ABC中，∠BAC的角平分线AN⊥BN，M是BC的中点，已知AB＝4，AC＝6，则MN＝　　． 六．梯形中位线定理 1．我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比．如果一个腰长为5的等腰梯形，底差等于6，面积为24，那么这个等腰梯形的纵横比等于（　　） A． B． C． D． 2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，点E在AB上，若AD：BC＝2：3，AD＝a，则用a表示FE＝　　． 3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝12，AB＝DC＝8．∠B＝60°． （1）求梯形的中位线长． （2）求梯形的面积． 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 【1】（1）在周长为30cm的梯形ABCD中，上底CD=5cm，DE∥BC交AB于点E，则 △ADE的周长为___________cm； ( A B C D )（2）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ACB=90°，且AC平分∠BAD，∠D=120°，CD=3cm，则梯形的周长是_________cm． 【2】如图所示：在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠D=90°，AB=BC，AG⊥BC于点G，，求的值. 【3】如图所示;在梯形ABCD中，AD//BC，CA平分∠BCD，DE//BC，交BC的延长线于点E，∠B=2∠E.求证：AB=DC. 【4】如图，梯形中，，，，，、分 ( G A B C D F E H )别为、的中点，则的长等于（ ） A． B． C． D． 【5】如图所示;在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC.过点A作AE⊥BC，垂足为点E，∠B=60°，∠CAD=45°，,求梯形ABCD的面积. 【6】如图所示：在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=30°，∠C=60°，点M、N分别为BC、DA的中点，BC=10,,求AD的长度. 【7】如图所示;在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC.且AC⊥BD，AE为高，等腰梯形ABCD的面积为49，求高AE的长度. 【8】如图所示：在直角梯形ABCD中，AB//CD，M是腰BC的中点，MN⊥AD于点N，求证：梯形ABCD的面积为. 【9】如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD＝BC，对角线AC、BD的交点O，∠AOB＝60°，又S、P、Q分别是DO、AO、BC的中点． 求证：△SPQ是等边三角形． 【10】如图所示，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE平分，交 ( A B C D E F O G )BC于点E，交OB于点F，求证：CE=2OF． 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 【例1】已知：如图，在直角梯形中，，以为原点建立平面直角坐 标系，三点的坐标分别为，点为线段的中点，动点从点出发，以每秒1个单位的速度，沿折线的路线移动，移动的时间为秒． （1）求直线的解析式； （2）若动点在线段上移动，当为何值时，四边形的面积是梯形面积的? （3）动点从点出发，沿折线的路线移动过程中，设的面积为，请直接写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围． ( A B D C O P x y ) 【例2】如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立直角坐标系，A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，8），CB＝4，D为OA中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的线路移动，速度为1个单位/秒，移动时间为t秒． （1）求AB的长，并求当PD将梯形COAB的周长平分时t的值，并指出此时点P在哪条边上； （2）动点P在从A到B的移动过程中，设⊿APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，并指出t的取值范围； （3）几秒后线段PD将梯形COAB的面积分成1:3的两部分？求出此时点P的坐标． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 基础过关练 1．下列命题中，真命题是（　　） A．两条对角线相等的四边形是矩形 B．两条对角线垂直的四边形是菱形 C．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形 D．两条对角线相等的梯形是等腰梯形 2．已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC⊥BD，梯形高为10厘米，那么它的中位线长为　　厘米． 3．已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为 　　． 4．如图已知，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，连接MN，如果AB＝10，BC＝15．MN＝3，那么△ABC的周长是　　． 5．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝4，AC⊥AB，那么梯形ABCD的周长＝　　． 6．等腰梯形的腰长为6cm，它的周长是22cm，则它的中位线长为 　　cm． 7．如果一个梯形的中位线长为10，上底长为6，那么下底长为 　　． 8．梯形的面积为12平方厘米，中位线长为4厘米，则这个梯形的高为 　　厘米． 9．梯形的中位线长8cm，高10cm，则该梯形的面积为　　cm2． 10．我们把联结四边形对边中点的线段称为“中对线”．凸四边形ABCD的对角线AC＝BD＝12，且这两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较长的“中对线”的长度为 　　． 11．如图，在△ABC中，BM、CN平分∠ABC和∠ACB的外角，AM⊥BM于M，AN⊥CN于N，AB＝10，BC＝13，AC＝6，则MN＝　　． 12．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC⊥BD，如果高DE＝8cm，那么等腰梯形ABCD的中位线的长为 　8　cm． 13．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C＝30°，AD的长为3，高AH的长为，那么梯形的中位线长为 　　． 14．已知一个梯形的中位线长为5cm，其中一条底边的长为6cm，那么该梯形的另一条底边的长是　　cm． 题组B 能力提升练 1．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为　　． 2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，且AD＞BC，AB＝BC＝10，点P在BC边上，点B关于直线AP的对称点为Q，CQ的延长线交边AD于点R，如果AR＝CP，那么线段AP的长为 　　． 3．已知等腰梯形一个底角是60°，它的两底分别是6和10，那么它的腰长是 　　． 4．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AD＝2，BC＝4，则该梯形的面积为　　． 5．如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形，那么①平行四边形，②等腰梯形，③正六边形，④圆，以上图形中，平移重合图形是　　（填序号）． 6．如图，梯形的对角线将中位线EF分成EG、GH、HF三段，AD＝7，BC＝9，则GH＝　　． 7.如图所示;在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC.对角线AC与BD相交于点O，∠BOC=60°，AC=10cm,求梯形的高DE的长. 8．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC．AD＝AB，BC＝2AD．E是BC边的中点，AE、BD相交于点F． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）设边CD的中点为G，联结EG．求证：四边形FEGD是矩形． 9．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，点E在AB上，EG∥AD，EF⊥AD，垂足为F． （1）求∠1和∠2的度数． （2）联结DE，若S△ADE＝S梯形EFDG，猜想线段EG的长和AF的长有什么关系？说明理由． 10．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、G分别是AB、CD的中点，点F在边BC上，且BF＝（AD+BC）． （1）求证：四边形AEFG是平行四边形； （2）若四边形AEFG是矩形，求证：AG平分∠FAD． 11.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．已知两底的差是8，两腰和是12，求△EFG的周长。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025春季培优课 【进阶优等生系列】【2024-2025春季培优课】 八年级第二学期第8讲 22.4-22.6梯形 目录 1、 【进门测试】共5题； 2、 【知识精讲】共6个知识点； 3、 【典例解析】共15例题； 4、 【过关演练】共10题； 5、 【拓展进阶】共2题； 6、 【温故知新】共25题：A组14题，B组11题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 【习题1】（1）等腰梯形的两底之差为12cm，高为6cm，则其锐角为________； （2）等腰梯形的对角线为17，底边分别为10和20，则梯形的面积是_________． 【答案】（1）45°；（2）120． ( E H Q )【习题2】如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，AN，BN，DM，CM划分四边形所成的7个区域的面积分别为，，，，，，，那么恒成立的关系式是( )． A．+= B．+= C．+= D．+= 【答案】B 过A作AE⊥DC于点E，过M作MH⊥DC于H， 过点B作BQ⊥CD于Q， 则AE//MH//BQ． ∵M是AB中点，∴H是EQ中点， 即MH是梯形AEQB的中位线，∴2MH=AE+BQ ∵，， ，又DN=CN ∴ ∴， ∴． 【习题3】 ( A B C D E M G )如图，在梯形ABCD中，，，若AE=10，求CE. 【答案】过点B作DA的垂线交DA延长线于M，M为垂足, 延长DM到G，使得MG=CE，联结BG， 可得四边形BCDM是正方形． ∴BC=BM，∠C=∠BMG=90°，EC=GM， ∴△BEC≌△BMG， ∴∠MBG=∠CBE ∵∠ABE=45°，∴∠CBE+∠ABM=45°，∴∠GBM+∠ABM=45°， ∴∠ABE=∠ABG=45°，∴△ABE≌△ABG，AG=AE=10 设CE=x，则AM=10x，∴AD=12（10x）=2+x，DE=12x． 在Rt△ADE中，由AE2=AD2+DE2，解得：x=4或x=6． 故CE的长为4或6． ( A B C D O E )【习题4】如右图，已知梯形ABCD中，BC是下底，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，且BD⊥CD，若梯形周长是30cm，求此梯形的面积． 【答案】∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=30°． ∵AD//BC，∴∠ADB=∠DBC=30°，∴AB=AD ∵BD⊥CD，∴∠DCB=60°，∴∠ABC=∠DCB， ∴AB=CD． 设AB = CD = AD = x， Rt△BCD中，∵∠DBC=30°，∴BC = 2CD = 2x， ∴30 = x+x+x+2x，解得：x=6． 作AE⊥BC，Rt△ABE中， ∵∠BAE=30°， ∴BE=3，AE=． ∴S=（AD+BC）AE=． ( E F )【习题5】如图所示，在等腰梯形中，，对角线，若两底长分别为，试列出这个梯形的面积用表示的等式． 【答案】过点D作DE//AC交BC延长线于点E， 则可得平行四边形ADEC． ∵等腰梯形ABCD中，AC=BD， ∴△BDE是等腰三角形， ∴BE=BC+CE=BC+AD=a+b． 过D作DF⊥BC于点F， 等腰直角△DBE中，DF=， ∴=． 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 一．梯形 （1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形． 梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高． （2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形． （3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形． 二．直角梯形 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形． 边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直． 角：有两个内角是直角． 过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个矩形和直角三角形．这是常用的一种作辅助线的方法． 三．等腰梯形的性质 （1）性质： ①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线； ②等腰梯形同一底上的两个角相等； ③等腰梯形的两条对角线相等． （2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质． 四．等腰梯形的判定 （1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形； （2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形． （3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形． 判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系． 注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用． 五．三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC． 六．梯形中位线定理 （1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． （2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． （3）梯形面积与中位线的关系： 梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积，即 梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高 （4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线． 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 一．梯形 1．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB，AC⊥BC，那么下列结论不正确的是（　　） A．AC＝2CD B．∠ABC＝60° C．∠CBD＝∠DBA D．BD⊥AD 【分析】A、根据三角形的三边关系即可得出A不正确；B、通过等腰梯形的性质结合全等三角形的判定与性质即可得出∠ADB＝90°，从而得出B正确；C、由梯形的性质得出AB∥CD，结合角的计算即可得出∠ABC＝60°，即C正确；D、由平行线的性质结合等腰三角形的性质即可得出∠DAC＝∠CAB，即D正确．综上即可得出结论． 【解答】解：A、∵AD＝DC， ∴AC＜AD+DC＝2CD，A不正确； B、∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴∠ABC＝∠BAD， 在△ABC和△BAD中， ， ∴△ABC≌△BAD（SAS）， ∴∠BAC＝∠ABD， ∵AB∥CD， ∴∠CDB＝∠ABD，∠ABC+∠DCB＝180°， ∵DC＝CB， ∴∠CDB＝∠CBD＝∠ABD＝∠BAC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CDB＝∠CBD＝∠ABD＝30°， ∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝60°，B正确， C、∵AB∥CD， ∴∠DCA＝∠CAB， ∵AD＝DC， ∴∠DAC＝∠DCA＝∠CAB，C正确． D、∵△DAB≌△CBA， ∴∠ADB＝∠BCA． ∵AC⊥BC， ∴∠ADB＝∠BCA＝90°， ∴DB⊥AD，D正确； 故选：A． 【点评】本题考查了梯形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是逐项分析四个选项的正误．本题属于中档题，稍显繁琐，但好在该题为选择题，只需由三角形的三边关系得出A不正确即可． 2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AF⊥BC于F，M是CD中点，AM的延长线交BC的延长线于E，AE⊥AB，∠B＝60°，AF＝，则梯形的面积是　8　． 【分析】（1）根据直角三角形的性质、勾股定理分别求出BF、AB，根据直角三角形的性质求出BE，证明△DAM≌△CEM，根据全等三角形的性质得到AD＝CE，根据梯形的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：设BF＝x， 在Rt△ABF中，∠B＝60°， ∴∠BAF＝30°， ∴AB＝2BF＝2x， 由勾股定理得，（2x）2﹣x2＝（2）2， 解得，x＝2， ∴AB＝4， 在Rt△ABE中，∠B＝60°， ∴∠AEB＝30°， ∴BE＝2AB＝8， ∵AD∥BC， ∴∠DAM＝∠CEM， 在△DAM和△CEM中， ， ∴△DAM≌△CEM（AAS） ∴AD＝CE， ∴AD+BC＝CE+BC＝BE＝8， ∴梯形的面积＝×（AD+BC）×AF＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查的是梯形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 二．直角梯形 1．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝，CD＝5，那么∠C＝　60°或120°　． 【分析】可分两种情况：当∠C为锐角时，当∠C为钝角时，过D（C）作垂线，结合矩形的判定与性质，利用勾股定理可求解∠CDF（∠DCF）的度数，进而可求解． 【解答】解：当∠C为锐角时，如图，过D作DF⊥BC，垂足为F， ∵AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠A+∠B＝180°， ∴∠B＝90°， ∴四边形ABFD是矩形， ∴DF＝AB＝， ∵CD＝5， ∴CF＝， ∴CD＝2CF， ∴∠CDF＝30°， ∴∠C＝90°﹣30°＝60°； 当∠C为钝角时，如图，过C作CF⊥AD，垂足为F， ∵AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠A+∠B＝180°， ∴∠B＝90°， ∴四边形ABCF是矩形， ∴CF＝AB＝，∠BCF＝90°， ∵CD＝5， ∴DF＝， ∴CD＝2DF， ∴∠DCF＝30°， ∴∠BCD＝90°+30°＝120°． 综上，∠BCD＝60°或120°， 故答案为60°或120°． 【点评】本题主要考查直角梯形，矩形的判定与性质，含30° 角的直角三角形，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 2．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝3，CD＝6，则∠D的度数是 　150°或30°　． 【分析】分两种情形：①如图1中，过D作DE⊥BC于E，求出四边形ABED是矩形，根据矩形的性质得出∠ADE＝90°，AB＝DE＝3，解直角三角形求出∠C，即可得出答案．②如图2中，过点C作CE⊥AD于E，同法可得∠D＝30°． 【解答】解：①如图1中，过D作DE⊥BC于E，则∠DEC＝∠DEB＝90°， ∵AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠B＝90°， ∴四边形ABED是矩形， ∴∠ADE＝90°，AB＝DE＝3， ∵CD＝10， ∴sinC＝＝， ∴∠C＝30°， ∴∠EDC＝60°， ∴∠ADC＝90°+50°＝150°． ②如图2中，过点C作CE⊥AD于E， 同法可得∠D＝30°， 即∠D的度数是30°或150°， 故答案为：150°或30°． 【点评】本题考查了矩形的性质和判定，直角梯形，解直角三角形等知识点，解此题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 三．等腰梯形的性质 1．下列四边形中，对角线相等且互相平分的是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形 【分析】根据平行四边形、菱形、矩形和等腰梯形的性质进行判断． 【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A选项不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直平分，所以B选项不符合题意； C、矩形的对角线相等且互相平分，所以C选项符合题意； D、等腰梯形的对角线相等，所以D选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了等腰梯形的性质：等腰梯形的两条对角线相等．也考查了平行四边形、矩形、菱形的性质． 2．下列四边形中，对角线一定不相等的是（　　） A．直角梯形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 【分析】根据直角梯形、矩形、正方形及等腰梯形的对角线的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、直角梯形的对角线一定不相等，符合题意； B、矩形的对角线相等，不符合题意； C、正方形的对角线相等，不符合题意； D、等腰梯形的对角线相等，不符合题意， 故选：A． 【点评】考查了直角梯形、矩形、正方形及等腰梯形的性质，了解这些四边形的对角线的性质是解答本题的关键，难度不大． 3．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝8，M是AB的中点，若MD⊥CD，则梯形的面积为 　　． 【分析】延长DM，交CB的延长线于E，作DH⊥CB，垂足为H，根据ASA证明△AMD≌△BME，进而利用等腰梯形的性质解答即可． 【解答】解：延长DM，交CB的延长线于E，作DH⊥CB，垂足为H． ∵AD∥BC， ∴∠DAM＝∠EBM， ∵∠AMD＝∠BME，AM＝BM， ∴△AMD≌△BME（ASA）， ∴BE＝AD， ∵ABCD为等腰梯形， ∴， ∵EH＝CE﹣CH＝10﹣3＝7， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】此题考查等腰梯形的性质，关键是根据ASA证明△AMD≌△BME解答． 4．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是两腰的中点，联结AF，过点F作FG∥AB，交BC于点G，联结EG． （1）求证：四边形AEGF是平行四边形； （2）当∠GFC＝2∠EGB时，求证：四边形AEGF是矩形． 【分析】（1）根据等腰梯形的性质得到∠B＝∠C，根据平行线的性质得到∠FGC＝∠B，得到∠FGC＝∠C，推出AE＝FG，于是得到四边形AEGF是平行四边形； （2）连接DG，根据直角三角形的判定得到∠DGC＝90°，∠FDG＝∠FGD，由三角形的外角的性质得到∠CFG＝2∠DGF，等量代换得到∠DGF＝∠BGE，求得∠EGF＝90°，于是得到结论． 【解答】（1）证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD， ∴∠B＝∠C， ∵AB∥FG， ∴∠FGC＝∠B， ∴∠FGC＝∠C， ∴FG＝FC， ∵AB＝CD，E、F分别是腰AB、CD的中点， ∴AE＝CF， ∴AE＝FG， ∴四边形AEGF是平行四边形； （2）证明：连接DG， ∵FG＝DF＝CF， ∴∠DGC＝90°，∠FDG＝∠FGD， ∵∠CFG＝∠FDG+∠DGF， ∴∠CFG＝2∠DGF， ∵∠GFC＝2∠EGB， ∴∠DGF＝∠BGE， ∵∠DGF+∠FGC＝90°， ∴∠FGC+∠BGE＝90°， ∴∠EGF＝90°， ∴四边形AEGF是矩形． 【点评】本题考查了等腰梯形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定，直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 四．等腰梯形的判定 1．如果一个四边形四个内角的度数之比是1：2：2：3，那么这个四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【分析】先根据四边形的四个内角的度数之比分别求出四个内角，根据直角梯形的特点判定这个四边形的形状． 【解答】解：设四边形的四个内角的度数分别为x，2x，2x，3x，则 2x+2x+x+3x＝360°， 解得x＝45°． 则2x＝90°，3x＝135°． ∴这个四边形的形状是直角梯形． 故选：C． 【点评】本题用比的形式考查了多边形内角和的公式，同时考查了直角梯形的判定等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 2．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥DB，则四边形OCED是（　　） A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 【分析】根据平行四边形的判定定理得到四边形OCED是平行四边形，根据菱形的性质得出AC⊥BD，根据矩形的判定定理证明即可． 【解答】解：∵DE∥AC，CE∥DB， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠COD＝90°， ∴四边形OCED是矩形， 故选：B． 【点评】本题考查的是平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质，掌握有一个角是直角的平行四边行是矩形是解题的关键． 3．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别为两个底角的平分线． 求证：四边形BCDE是等腰梯形． 【分析】由于AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线，利用等边对等角，角平分线定义，可得∠ABC＝∠ACB，∠DBC＝∠ECB，而BC＝CB，利用ASA可证△EBC≌△DBC，再利用全等三角形的性质可证BE＝CD，根据三角形的内角和得到∠AED＝∠ABC得到DE∥BC，于是得到结论． 【解答】证明：如图所示， ∵AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线． ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠DBC＝∠ECB， 又∵BC＝CB， ∴△EBC≌△DCB（ASA）， ∴BE＝CD， ∴AE＝AD， ∴∠AED＝（180°﹣∠A）， ∵∠ABC＝（180°﹣∠A）， ∴∠AED＝∠ABC， ∴DE∥BC， ∴四边形BCDE是等腰梯形． 【点评】本题考查了等腰梯形的判定，等腰三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 五．三角形中位线定理 1．在△ABC中，∠BAC的角平分线AN⊥BN，M是BC的中点，已知AB＝4，AC＝6，则MN＝　1　． 【分析】延长线段BN，交AC于E，利用已知易证△ABN≌△AEN，所以BN＝EN，从而证得MN是△BCE的中位线，所以求出EC，再运用中位线定理求MN． 【解答】解：延长线段BN，交AC于E． ∵AN平分∠BAC， ∴∠BAN＝∠EAN． ∵在△ABN与△AEN中， ， ∴△ABN≌△AEN（ASA）． ∴AE＝AB＝14，BN＝NE． 又∵M是△ABC的边BC的中点， 故MN＝EC＝（AC﹣AE）＝（6﹣4）＝1． 故答案是：1． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 六．梯形中位线定理 1．我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比．如果一个腰长为5的等腰梯形，底差等于6，面积为24，那么这个等腰梯形的纵横比等于（　　） A． B． C． D． 【分析】利用勾股定理求出高，根据面积求出中位线的长度，然后按照题目所给信息即可求出纵横比． 【解答】解：根据题意做出图形，过A作BC边的高AE， 由题意得：BC﹣AD＝6， 则BE＝3， ∵AB＝5， ∴AE＝＝4， 又∵面积为24， ∴（AD+BC）•AE＝24， 代入AE可得：＝6， 故等腰梯形的中位线长度为6， 则该等腰梯形的纵横比＝＝． 故选：C． 【点评】本题考查了等腰梯形的性质，难度适中，认真读题求出高及中位线的长度是关键． 2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，点E在AB上，若AD：BC＝2：3，AD＝a，则用a表示FE＝　a　． 【分析】利用梯形的中位线定理求解即可． 【解答】解：∵AD：BC＝2：3，AD＝a， ∴BC＝a， ∵EF是梯形ABCD的中位线， ∴EF＝（AD+BC）＝（a+a）＝a， 故答案为：a． 【点评】本题考查梯形的中位线定理，解题的关键是理解梯形的中位线定理，属于中考常考题型． 3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝12，AB＝DC＝8．∠B＝60°． （1）求梯形的中位线长． （2）求梯形的面积． 【分析】（1）过A作AE∥CD交BC于E，则四边形AECD是平行四边形，得AD＝EC，AE＝DC，证出△ABE是等边三角形，得BE＝AB＝8，则AD＝EC＝4，即可得出答案； （2）作AF⊥BC于F，则∠BAF＝90°﹣∠B＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BF＝AB＝4，AF＝BF＝4，由梯形面积公式即可得出答案． 【解答】解：（1）过A作AE∥CD交BC于E， ∵AD∥BC， ∴四边形AECD是平行四边形， ∴AD＝EC，AE＝DC， ∵AB＝DC， ∴AB＝AE， ∵∠B＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴BE＝AB＝8， ∴AD＝EC＝BC﹣BE＝12﹣8＝4， ∴梯形ABCD的中位线长＝（AD+BC）＝（4+12）＝8； （2）作AF⊥BC于F， 则∠BAF＝90°﹣∠B＝30°， ∴BF＝AB＝4，AF＝BF＝4， ∴梯形ABCD的面积＝（AD+BC）×AF＝（4+12）×4＝32． 【点评】本题考查了梯形中位线定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及梯形面积公式等知识；熟练掌握梯形中位线定理和等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 【1】（1）在周长为30cm的梯形ABCD中，上底CD=5cm，DE∥BC交AB于点E，则 △ADE的周长为___________cm； ( A B C D )（2）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ACB=90°，且AC平分∠BAD，∠D=120°，CD=3cm，则梯形的周长是_________cm． 【答案】（1）20 ； （2）15． 【2】如图所示：在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠D=90°，AB=BC，AG⊥BC于点G，， 求的值. 【答案】作CH⊥AB,交AB于点H， 可把梯形分为矩形和直角三角形， 易证Rt△AGB≌Rt△CHB,有BH=BG,从而AH=CG， 于是 【3】如图所示;在梯形ABCD中，AD//BC，CA平分∠BCD，DE//BC，交BC的延长线于点E，∠B=2∠E.求证：AB=DC. 【答案】根据内角相等的梯形是等腰梯形易证. 【4】如图，梯形中，，，，，、分 ( G A B C D F E H )别为、的中点，则的长等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【5】如图所示;在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC.过点A作AE⊥BC，垂足为点E，∠B=60°，∠CAD=45°，,求梯形ABCD的面积. 【答案】16.过点D作DF⊥BC， 再根据等腰梯形的性质好求. 【6】如图所示：在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=30°，∠C=60°，点M、N分别为BC、DA的中点，BC=10,,求AD的长度. 【答案】思想：通过作梯形的腰的平行线，把梯形的问题转化为平行四边形和三角形的问题. 法1：过点N作AB的平行线交BC于点E, 过点N作CD的平行线交BC于点F. 法2：过点A作MN的平行线交BC于点H, 过点A作CD的平行线交BC于点G. 法3：延长BA、CD交于点P，联结PN，转化为Rt△PBC和Rt△PAD的问题. 【7】如图所示;在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC.且AC⊥BD，AE为高，等腰梯形ABCD的面积为49，求高AE的长度. 【答案】7.过点A作AF//BD，交CB的延长线于点F， 运用面积的割补法易求. 【8】如图所示：在直角梯形ABCD中，AB//CD，M是腰BC的中点，MN⊥AD于点N，求证：梯形ABCD的面积为. 【答案】思想：倍长中线对图形进行割补. 法1:过M作MF//AD,EF交DC延长线于点E，交AB于点F， 易证△MCE≌△MBF,于是 【9】如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD＝BC，对角线AC、BD的交点O，∠AOB＝60°，又S、P、Q分别是DO、AO、BC的中点． 求证：△SPQ是等边三角形． 【答案】联结CS，BP． ∵四边形ABCD是等腰梯形，且AC与BD相交于O， ∴可得出：△CAB≌△DBA， ∴∠CAB＝∠DBA， 同理可得出：∠ACD＝∠BDC， ∴AO＝BO，CO＝DO． ∵∠AOB ＝60°， ∴△OCD与△OAB均为等边三角形． ∵S是OD的中点， ∴CS⊥DO． 在Rt△BSC中，Q为BC中点，SQ是斜边BC的中线， ∴SQ＝BC． 同理BP⊥AC． 在Rt△BPC中，PQ＝BC． 又∵SP是△OAD的中位线， ∴SP＝AD＝BC． ∴SP＝PQ＝SQ． 故△SPQ为等边三角形 【10】如图所示，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE平分，交 ( A B C D E F O G )BC于点E，交OB于点F，求证：CE=2OF． 【答案】取AE的中点G，联结OG ∵正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O， ∴OG//CE，CE=2OG ∴∠AOG=∠ACB=45°，∠GOB=∠OBC=45°． ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE=22.5°， ∴∠EGO=∠EAC+∠AOG=22.5°+45°=67.5°， ∴△OFG中，∠OFG=180°-67.5°-45°=67.5°， ∴∠OFG=∠EGO， ∴OG=OF， ∴CE=2OF． 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 【例1】已知：如图，在直角梯形中，，以为原点建立平面直角坐 标系，三点的坐标分别为，点为线段的中点，动点从点出发，以每秒1个单位的速度，沿折线的路线移动，移动的时间为秒． （1）求直线的解析式； （2）若动点在线段上移动，当为何值时，四边形的面积是梯形面积的? （3）动点从点出发，沿折线的路线移动过程中，设的面积为，请直接写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 【答案】（1）设BC解析式为y=kx+b，代入B（8，10），C（0，4）， ( A B D C O P x y )解得直线的解析式为：； （2）∵D是线段BC中点，∴D（4，7）． ∵， ∴，解得：； （3）当P点在OA上时，S=； 当P在AB上时， =； 当P在BD上时，S==（18＜t＜23）； 当P在OD上时，S=0，（舍） ∴． 【例2】如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立直角坐标系，A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，8），CB＝4，D为OA中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的线路移动，速度为1个单位/秒，移动时间为t秒． （1）求AB的长，并求当PD将梯形COAB的周长平分时t的值，并指出此时点P在哪条边上； （2）动点P在从A到B的移动过程中，设⊿APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，并指出t的取值范围； （3）几秒后线段PD将梯形COAB的面积分成1:3的两部分？求出此时点P的坐标． 【答案】（1）点B坐标为（4，8）， 由，得t＝11 ；此时点P在CB上 （2）证法一：作OF⊥AB于F，BE⊥OA于E，DH⊥AB于H，则 BE＝OC＝8． ∵ ,∴ ，DH＝4． ∴ （0≤t≤10） （3）点P只能在AB或OC上， （ⅰ）当点P在AB上时，设点P的坐标为（x，y） 由； 得 ，得y＝ 由 ，得t＝7； 由 ，得. 即在7秒时有点； （ⅱ）当点P在OC上时，设点P的坐标为（0，y） 由； 得 ，得y＝ 此时t＝； 即在16秒时，有点. 故在7秒时有点、在16秒时，有点使PD将梯形COAB的面积分成1:3的两部分． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 基础过关练 1．下列命题中，真命题是（　　） A．两条对角线相等的四边形是矩形 B．两条对角线垂直的四边形是菱形 C．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形 D．两条对角线相等的梯形是等腰梯形 【分析】A、根据矩形的判定定理作出分析、判断； B、根据菱形的判定定理作出分析、判断； C、根据正方形的判定定理作出分析、判断； D、根据等腰梯形的判定定理作出分析、判断． 【解答】解：A、两条对角线相等的四边形不一定是矩形．例如等腰梯形的两条对角线也相等；故本选项错误； B、两条对角线垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误； C、两条对角线垂直且相等的四边形也可能是等腰梯形；故本选项错误； D、两条对角线相等的梯形是等腰梯形，此说法正确；故本选项正确； 故选：D． 【点评】本题综合考查了等腰梯形、正方形菱形以及矩形的判定．解答该题时，需要牢记常见的四边形的性质． 2．已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC⊥BD，梯形高为10厘米，那么它的中位线长为　10　厘米． 【分析】过点E作DE∥AC交BC的延长线于点E，作DF⊥BC于F，由全等三角形的性质就可以得出BD＝ED，就可以得出△BDE是等腰直角三角形，根据梯形的高就可以求出三角形的高，就可以求出底边，从而求出中位线的长． 【解答】解：过点E作DE∥AC交BC的延长线于点E，作DF⊥BC于F， ∴∠BOC＝∠BDC，∠DFB＝90°． ∵AD∥BC，DE∥AC， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AC＝DE． ∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC， ∴AC＝BD． ∴BD＝DE． ∵AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴∠BDE＝90°， ∴△BDE是等腰直角三角形． ∵DF⊥BC， ∴BE＝2DF． ∵DF＝10cm， ∴BE＝20cm， ∴梯形的中位线的长等于BE＝10cm． 故答案为：10 【点评】本题考查了等腰梯形的性质的运用，平行四边形的判定与性质的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形的中位线的性质和梯形的中位线的性质的运用，解答时根据等腰梯形的性质求解是关建． 3．已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为 　8　． 【分析】根据三角形中位线定理得到EF＝AB，DE＝AC，DF＝BC，根据三角形周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵点D，E，F分别为△ABC三边的中点， ∴EF＝AB，DE＝AC，DF＝BC， ∵△ABC的周长为16， ∴AB+AC+BC＝16， ∴△DEF的周长＝EF+DE+DF＝（AB+AC+BC）＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 4．如图已知，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，连接MN，如果AB＝10，BC＝15．MN＝3，那么△ABC的周长是　41　． 【分析】延长BN交AC于D，利用ASA定理证明∴△ANB≌△AND，根据全等三角形的性质得到AD＝AB＝10，BN＝ND，根据三角形中位线定理求出DC，进而求出AC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：延长BN交AC于D， 在△ANB和△AND中， ， ∴△ANB≌△AND（ASA）， ∴AD＝AB＝10，BN＝ND， ∵BM＝MC， ∴DC＝2MN＝6， ∴AC＝AD+DC＝16， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝10+15+16＝41， 故答案为：41． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 5．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝4，AC⊥AB，那么梯形ABCD的周长＝　20　． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA，根据平行线的性质得到∠DAC＝∠ACB，得到∠DCA＝∠ACB，根据直角三角形的性质列式求出∠BCA＝30°，根据直角三角形的性质求出BC，根据梯形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵AD＝DC， ∴∠DAC＝∠DCA， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∴∠DCA＝∠ACB， ∵AD∥BC，AB＝DC， ∴∠B＝∠BCD＝2∠ACB， ∵AC⊥AB， ∴∠B+∠BCA＝90°，即3∠BCA＝90°， ∴∠BCA＝30°， ∴BC＝2AB＝8， ∵AB＝AD＝DC＝4，BC＝8， ∴梯形的周长＝4+4+4+8＝20， 故答案为：20． 【点评】本题考查的是梯形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握含30° 的直角三角形的性质是解题的关键． 6．等腰梯形的腰长为6cm，它的周长是22cm，则它的中位线长为 　5　cm． 【分析】由等腰梯形的腰长为6cm，它的周长是22cm，即可求得此梯形两底的和，又由梯形中位线的性质，即可求得答案． 【解答】解：根据题意得：AB＝CD＝6cm，AD∥BC， ∵等腰梯形ABCD的周长是22cm， ∴AB+BC+CD+AD＝22cm， ∴AD+BC＝22﹣6﹣6＝10（cm）， ∴梯形ABCD的中位线长EF＝（AD+BC）＝5（cm）． 故答案为：5． 【点评】此题考查了等腰梯形的性质以及梯形中位线的性质．掌握梯形的中位线等于两底和的一半是解决问题的关键． 7．如果一个梯形的中位线长为10，上底长为6，那么下底长为 　14　． 【分析】根据梯形中位线定理计算即可． 【解答】解：设梯形的下底长为x， 则（6+x）＝10， 解得：x＝14， 故答案为：14． 【点评】本题考查的是梯形的中位线，掌握梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半是解题的关键 8．梯形的面积为12平方厘米，中位线长为4厘米，则这个梯形的高为 　3　厘米． 【分析】根据梯形的中位线定理求出梯形的上底+下底，根据梯形的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：∵梯形的中位线为4厘米， ∴梯形的上底+下底＝2×4＝8（厘米）， ∴这个梯形的高＝＝3（厘米）， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是梯形的中位线定理、梯形的面积公式，掌握梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半是解题的关键． 9．梯形的中位线长8cm，高10cm，则该梯形的面积为　80　cm2． 【分析】根据梯形中位线定理求出梯形的上底+下底，根据梯形的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：∵梯形的中位线长8， ∴梯形的上底+下底＝16， ∴该梯形的面积＝×16×10＝80（cm2）， 故答案为：80． 【点评】本题考查的是梯形的中位线定理，掌握梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半是解题的关键． 10．我们把联结四边形对边中点的线段称为“中对线”．凸四边形ABCD的对角线AC＝BD＝12，且这两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较长的“中对线”的长度为 　6　． 【分析】连接EF、FG、GH、HE，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，EF＝6，GH∥BD，GH＝6，EH∥AC，EH＝6，证明四边形EFGH为菱形，根据菱形的性质和勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：设四边形ABCD的“中对线”交于点O，连接EF、FG、GH、HE， ∵E，F分别为AB，AD的中点， ∴EF∥BD，EF＝BD＝×12＝6， 同理可得：GH∥BD，GH＝6，EH∥AC，EH＝6， ∴四边形EFGH为菱形，∠EFG＝60°， ∴∠EFO＝30°， ∴OE＝EF＝3， 在Rt△OEF中，OF＝＝＝3， ∴FH＝6，即该四边形较长的“中对线”的长度为6， 故答案为：6． 【点评】本题考查的三角形中位线定理、菱形的判定定理和性质定理，根据三角形中位线定理和菱形的判定定理证明四边形EFGH为菱形是解题的关键． 11．如图，在△ABC中，BM、CN平分∠ABC和∠ACB的外角，AM⊥BM于M，AN⊥CN于N，AB＝10，BC＝13，AC＝6，则MN＝　4.5　． 【分析】延长AM交BC于点G，根据BM为∠ABC的平分线，AM⊥BM得出∠BAM＝∠G，故△ABG为等腰三角形，所以AM＝GM．同理AN＝DN，根据三角形中位线定理即可求得MN． 【解答】解：延长AM交BC于点G，延长AN交BC延长线于点D， ∵BM为∠ABC的平分线， ∴∠CBM＝∠ABM， ∵BM⊥AG， ∴∠ABM+∠BAM＝90°，∠MGB+∠CBM＝90°， ∴∠BAM＝∠MGB， ∴△ABG为等腰三角形， ∴AM＝GM．BG＝AB＝10， 同理AN＝DN，CD＝AC＝6， ∴MN为△ADG的中位线， ∴MN＝DG＝（BC﹣BG+CD）＝（BC﹣AB+AC）＝（13﹣10+6）＝4.5． 故答案为：4.5． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 12．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC⊥BD，如果高DE＝8cm，那么等腰梯形ABCD的中位线的长为 　8　cm． 【分析】过D点作DF∥AC交BC的延长线于F，如图，根据等腰梯形的性质得到AC＝BD，再证明四边形ACFD为平行四边形得到DF＝AC＝BD，AD＝CF，接着判断△DBF为等腰直角三角形，所以DE＝BF＝（BC+AD）＝8cm，然后根据梯形的中位线定理求解． 【解答】解：过D点作DF∥AC交BC的延长线于F，如图， ∵梯形ABCD为等腰梯形， ∴AC＝BD， ∵AD∥BC，DF∥AC， ∴四边形ACFD为平行四边形， ∴DF＝AC＝BD，AD＝CF， ∵AC⊥BD， ∴DF⊥BD， ∴△DBF为等腰直角三角形， ∵DE⊥BC， ∴DE＝BF＝（BC+CF）＝（BC+AD）＝8cm， ∴等腰梯形ABCD的中位线的长＝（BC+AD）＝8cm． 故答案为8． 【点评】本题考查了梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．也考查了等腰梯形的性质．通过平移把两条对角线组成一个三角形的两边是解决问题的关键． 13．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C＝30°，AD的长为3，高AH的长为，那么梯形的中位线长为 　6　． 【分析】过点D作DG⊥BC于G，根据矩形的性质得到HG＝AD＝3，根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理求出BH，根据梯形的中位线定理计算，得到答案． 【解答】解：过点D作DG⊥BC于G， ∵AH⊥BC， ∴AH∥DG， ∵AD∥BC， ∴四边形AHGD为平行四边形， ∵DG⊥BC， ∴平行四边形AHGD为矩形， ∴HG＝AD＝3， 在Rt△ABH中，∠B＝30°，AH＝， ∴AB＝2AH＝2， 由勾股定理得：BH＝＝＝3， 同理可得：GC＝3， ∴BC＝BH+HG+GC＝9， ∴梯形的中位线长＝×（3+9）＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查的是梯形的中位线、直角三角形的性质、勾股定理的应用，掌握梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半是解题的关键． 14．已知一个梯形的中位线长为5cm，其中一条底边的长为6cm，那么该梯形的另一条底边的长是　4　cm． 【分析】根据梯形的中位线等于梯形两底和的一半进行计算即可． 【解答】解：设梯形的另一条底边为xcm， 由题意得：6+x＝2×5， 解得x＝4． 即梯形的另一条底边的长为4cm． 故答案为：4． 【点评】本题考查了梯形的中位线定理，解题的关键是熟记梯形的中位线定理并灵活的应用． 题组B 能力提升练 1．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为　2　． 【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出DF，计算即可． 【解答】解：∵DE为△ABC的中位线， ∴DE＝BC＝5， ∵∠AFB＝90°，D是AB 的中点， ∴DF＝AB＝3， ∴EF＝DE﹣DF＝2， 故答案为：2 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，且AD＞BC，AB＝BC＝10，点P在BC边上，点B关于直线AP的对称点为Q，CQ的延长线交边AD于点R，如果AR＝CP，那么线段AP的长为 　5　． 【分析】如图，连接BQ交AP于O．首先证明四边形APCR是平行四边形，再证明BP＝CP＝5，可得结论． 【解答】解：如图，连接BQ交AP于O． ∵PC＝AR，PC∥AR， ∴四边形APCR是平行四边形， ∴AP∥CR， ∵B，Q关于AP对称， ∴OB＝OQ， ∴BP＝CP＝5， 在Rt△ABP中，∠ABP＝90°，AB＝10，BP＝5， ∴AP＝＝＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查直角梯形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线等分线段定理，勾股定理等知识，解题的关键是证明OP∥CQ，由BO＝OQ，推出BP＝CP＝5． 3．已知等腰梯形一个底角是60°，它的两底分别是6和10，那么它的腰长是 　4　． 【分析】过D作DE∥AB，交BC于E，得出四边形ABED是平行四边形，推出AB＝DE＝DC，AD＝BE＝6，求出CE，由等腰梯形的性质得到∠C＝∠B＝60°，进而得到△DEC是等边三角形，求出CE＝DC即可求出答案． 【解答】解：过D作DE∥AB，交BC于E， ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴AB＝DE，AD＝BE＝6， ∴CE＝BC﹣BE＝10﹣6＝4， ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴∠C＝∠B＝60°，AB＝DC＝DE， ∴△DEC是等边三角形， ∴DC＝CE＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了等腰梯形性质，平行四边形性质和判定，等边三角形的性质和判定的应用，关键是能把梯形转化成平行四边形和等腰三角形． 4．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AD＝2，BC＝4，则该梯形的面积为　9　． 【分析】过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，作DF⊥BC于F，证平行四边形ADEC，推出AC＝DE＝BD，∠BDE＝90°，根据等腰三角形性质推出BF＝DF＝EF＝BE，求出DF，根据梯形的面积公式求出即可． 【解答】解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E， ∵AD∥BC（已知）， 即AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AD＝CE＝2，AC＝DE， 在等腰梯形ABCD中，AC＝DB， ∴DB＝DE（等量代换）， ∵AC⊥BD，AC∥DE， ∴DB⊥DE， ∴△BDE是等腰直角三角形， 作DF⊥BC于F， 则DF＝BE＝3， S梯形ABCD＝（AD+BC）•DF＝（2+4）×3＝9．故答案为：9． 【点评】本题主要考查对等腰三角形性质，平行四边形的性质和判定，等腰梯形的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，能求出高DF的长是解此题的关键． 5．如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形，那么①平行四边形，②等腰梯形，③正六边形，④圆，以上图形中，平移重合图形是　①　（填序号）． 【分析】证明平行四边形是平移重合图形即可． 【解答】解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF． ∵四边形ABEF向右平移可以与四边形EFDC重合， ∴平行四边形ABCD是平移重合图形， 故答案为：①． 【点评】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6．如图，梯形的对角线将中位线EF分成EG、GH、HF三段，AD＝7，BC＝9，则GH＝　1　． 【分析】根据梯形中位线的性质，计算出EF的长，再根据三角形中位线的性质，求出EG和HF的长，从而计算出GH的长． 【解答】解：∵EF是梯形ABCD的中位线， ∵EF∥AD∥BC， ∴E、G、H、F分别为AB、BD、AC、DC的中点， 又∵AD＝7，BC＝9， ∴EF＝（7+9）÷2＝8，EG＝HF＝7÷2＝3.5， ∴GH＝EF﹣EG﹣HF＝8﹣3.5﹣3.5＝1． 故答案为：1， 【点评】本题考查梯形的中位线定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握梯形中位线定理，属于中考常考题型． 7.如图所示;在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC.对角线AC与BD相交于点O，∠BOC=60°，AC=10cm,求梯形的高DE的长. 【答案】过点D作DF//AC,交BC的延长线于点F. 易得△BDF为等边△，易得 8．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC．AD＝AB，BC＝2AD．E是BC边的中点，AE、BD相交于点F． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）设边CD的中点为G，联结EG．求证：四边形FEGD是矩形． 【分析】（1）根据“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明； （2）根据题意，首先判定四边形DFEG是平行四边形，然后推知其有一内角为直角，此题得证． 【解答】（1）证明：如图，∵AD∥BC， ∴AD∥EC． ∵BC＝2AD，E是BC边的中点， ∴AD＝EC． ∴四边形AECD是平行四边形； （2）证明：如图，连接GE， 由（1）知，四边形AECD是平行四边形，则FE∥DG． 又∵点E是BC的中点，点G是CD的中点， ∴EG∥BD，即EG∥FD， ∴四边形DFEG是平行四边形． ∵在梯形ABCD中，AD∥BC， ∴∠1＝∠2． 又∵AD＝AB， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3，即BF是∠ABE的平分线． ∵BC＝2AD，E是BC边的中点， ∴AD＝BE． ∴AB＝BE， ∴BF⊥AE， ∴平行四边形FEGD是矩形． 【点评】本题主要考查了梯形，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，解题时，需要熟练掌握矩形与平行四边形间的关系． 9．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，点E在AB上，EG∥AD，EF⊥AD，垂足为F． （1）求∠1和∠2的度数． （2）联结DE，若S△ADE＝S梯形EFDG，猜想线段EG的长和AF的长有什么关系？说明理由． 【分析】（1）根据角平分线的的定义得到∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，根据平行线的性质求出∠1，根据直角三角形的性质求出∠2； （2）根据梯形的面积公式、三角形的面积公式计算，得出结论． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°， ∵EG∥AD， ∴∠1＝∠BAD＝∠30°， ∵EF⊥AD， ∴∠2＝90°﹣∠BAD＝60°， ∴∠1＝30°，∠2＝60°； （2）相等， 理由如下：∵EF⊥AD， ∴S△ADE＝AD•EF，S梯形EFDG＝（DF+EG）•EF， ∵S△ADE＝S梯形EFDG， ∴AD•EF＝（DF+EG）•EF， ∴AD＝DF+EG， ∵AD＝AF+DF， ∴DF+EG＝AF+DF， ∴AF＝EG． 【点评】本题考查的是梯形的面积计算、直角三角形的性质、三角形的面积计算，掌握直角三角形的性质、梯形的面积公式是解题的关键． 10．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、G分别是AB、CD的中点，点F在边BC上，且BF＝（AD+BC）． （1）求证：四边形AEFG是平行四边形； （2）若四边形AEFG是矩形，求证：AG平分∠FAD． 【分析】（1）连接EG，根据梯形的中位线定理得到EG＝（AD+BC），EG∥AD∥BC，根据题意得到EG＝BF，得到四边形BEGF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到BE＝GF，BE∥GF，进而证明AE＝GF，根据平行四边形的判断定理证明结论； （2）根据矩形的性质得到OA＝OG，得到∠OAG＝∠OGA，根据平行线的性质得到∠DAG＝∠OGA，根据角平分线的定义证明即可． 【解答】证明：（1）连接EG交AF于点O， ∵E、G分别是AB、CD的中点， ∴EG是梯形ABCD的中位线， ∴EG＝（AD+BC），EG∥AD∥BC， ∵BF＝（AD+BC）， ∴EG＝BF， ∴四边形BEGF是平行四边形， ∴BE＝GF，BE∥GF， ∵AE＝BE， ∴AE＝GF， ∴四边形AEFG是平行四边形； （2）∵四边形AEFG是矩形， ∴OA＝OG， ∴∠OAG＝∠OGA， ∵AD∥EG， ∴∠DAG＝∠OGA， ∴∠OAG＝∠DAG，即AG平分∠FAD． 【点评】本题考查的是梯形的中位线定理、平行四边形的判定、矩形的性质，得到OA＝OG解题的关键． 11.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．已知两底的差是8，两腰和是12，求△EFG的周长。 【答案】联结AE并延长，交CD于点H． ∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠HDE，∠EAB＝∠EHD， 又∵E为BD中点， ∴BE＝DE． ∴△AEB≌△HED． ∴DH＝AB，AE＝EH． ∵F为AC中点； ∴EF＝HC＝ (CD—DH)＝ (CD—AB)＝4 ∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点 ∴EG＝BC， FG＝AD； ∴EG+ FG＝(BC+AD)＝6 ∴△EFG的周长为10 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$