2024-2025学年沪教版(上海)八年级数学第二学期-22.2-22.6动点产生的面积问题讲义（第10讲）【进阶优等生系列】

2024-2025春季培优课 【进阶优等生系列】【2024-2025春季培优课】 八年级第二学期 第10讲 动点产生的面积问题 目录 1、 【进门测试】共2题； 2、 【知识精讲】共2个知识点； 3、 【典例解析】共8例题； 4、 【过关演练】共6题； 5、 【拓展进阶】共2题； 6、 【温故知新】共25题：A组22题，B组3题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．已知直线y=kx+b经过点A（﹣3，﹣8），且与直线的公共点B的横坐标为6． （1）求直线y=kx+b的表达式； （2）设直线y=kx+b与y轴的公共点为点C，求△BOC的面积． 【答案】（1）（2）12． 【解析】（1）先由已知直线求得点B的坐标，再根据待定系数法求得直线y=kx+b的表达式； （2）先根据求得的直线解析式，求得点C的坐标，再根据点C和点B的位置，计算△BOC的面积． 解：（1）在直线中，由 x=6，得， ∴点B（6，4）， 由直线y=kx+b经过点A、B，得 ，解得 ∴所求直线表达式为； （2）在直线中，当 x=0时，得 y=﹣4， 即C（0，﹣4）， 由点B（6，4）、C（0，﹣4），可得 △BOC的面积=×4×6=12， ∴△BOC的面积为12． “点睛”本题主要考查了两直线相交或平行的问题，解决问题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式，解题时注意：求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值． 2．如图，已知两直线y＝－x＋3和y＝2x－1，求它们与y轴所围成的三角形的面积. 【答案】两直线y＝－x＋3和y＝2x－1与y轴所围成的△ABC的面积为3. 试题分析：由图象可知道A，B的坐标，由两条直线的解析式可得出交点的坐标，有了A，B，C三点的坐标，就能求出三角形ABC的面积． 试题解析:设直线y＝－x＋3与y轴的交点是A，直线y＝2x－1与y轴的交点是B，两直线的交点是C. 在y＝－x＋3中，令x＝0，得y＝3，即点A的坐标为（0，3）； 在y＝2x－1中，令x＝0，得y＝－1，即点B的坐标为（0，－1）； 由解得 所以两直线的交点坐标为C（，2）， 即AB＝4，点C到AB的距离为. 则两直线y＝－x＋3和y＝2x－1与y轴所围成的△ABC的面积＝×4×＝3. 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 一、面积计算的问题 本节主要是在函数背景下求三角形或四边形的面积问题，较复杂的题目可以采取“割补”的思想构造较简单的图形进行求解． 二、与面积相关的函数解析式 本节主要研究点在运动的背景下，产生的面积与动点之间的关系，关键点是找出决定这个面积变化的几个量是怎样变化的，重点在于思维能力的培养，难度较大． 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 一、面积计算的问题 例1．一次函数的图像随增大而减小，且经过点． 求（1）的值； （2）求该直线与坐标轴围成的三角形的面积及坐标原点到直线的距离. 【答案】（1）；（2）该直线与坐标轴围成的三角形的面积为，坐标原点到直线的距离为． 【分析】（1）由一次函数的定义和性质列出方程和不等式求出m的值，代入A点坐标，可求出n值； （2）由解析式可得轴截距与轴截距，然后根据三角形面积公式求解；利用勾股定理求出直线与坐标轴围成的三角形的斜边长，然后用等积法求解. 【详解】解：（1）是一次函数 即 解得；． 又随增大而减小 即 一次函数解析式为： 代入点得 n=9 （2）由（1）得： 轴截距： 轴截距： 该直线与坐标轴围成的三角形的面积： 该直线与坐标轴围成的三角形的斜边长： 设坐标原点到直线的距离为． 有 坐标原点到直线的距离为． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 例2．在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点的坐标为，直线轴. 点与点关于原点对称，直线（为常数）经过点，且与直线相交于点． （1）求的值和点的坐标； （2）在轴上有一点，使的面积为,求点的坐标； （3）在轴的正半轴上是否存在一点，使得为等腰三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）或.（3）存在.或或. 【分析】（1）先求出点B的坐标，由直线过点B，把点B的坐标代入解析式，可求得b的值；点D在直线CM上，其纵坐标为4，利用求得的解析式确定该点的横坐标即可； （2）过点作轴，根据三角形面积公式求出BQ的长，可得Q点坐标； （3）△POD为等腰三角形，有三种情况：，，，故需分情况讨论，要求点P的坐标，只要求出点P到原点O的距离即可； 【详解】 解：（1）与关于原点对称 过点 当时， ，. （2）过点作轴，垂足为，则是在边上的高. 在轴上存在两个点满足条件. 即：或. （3）存在. 当时 ， 当时 ， 是边得中线 ，， 当时 设 在中，，， 解得：. 综上所述：或或. 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征以及等腰三角形的判定和性质，注意分情况讨论是解决本题的关键． 例3．如图，已知一次函数y=kx+3的图形经过点A (1， m)，与x轴、y轴分别相交于B、C两点，且∠ABO=45°，设点D的坐标为(3，0) (1) 求m的值； (2) 联结CD、AD，求△ACD的面积； (3) 设点E为x轴上一动点，当∠ADC=∠ECD时，求点E的坐标． 【答案】（1）m＝4；（2）；（3）点E的坐标为（，0）或（6，0）． 【分析】（1）求出点B坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式即可解决问题； （2）根据进行计算即可； （3）分点E在点D左侧和点E在点D右侧两种情况，分别求出直线CE1和直线CE2的解析式即可得到对应的点E的坐标． 【详解】解：（1）∵一次函数y=kx+3的图象与x轴、y轴分别相交于B、C两点，∠ABO=45°， ∴OB＝OC＝3， ∴B（－3，0）， 将B（－3，0）代入y=kx+3得：0=－3k+3， 解得：k＝1， ∴直线BC的解析式为：y＝x+3， 当x＝1时，y＝x+3＝4， ∴m＝4； （2）∵B（－3，0），C（0，3），D（3，0），A（1，4）， ∴BD＝6， ∴； （3）如图所示，当点E在点D左侧时， ∵∠ADC＝∠E1CD， ∴AD∥CE1， 设直线AD的解析式为：y＝k1x+b（k≠0）， 代入A（1，4），D（3，0）得：，解得：， ∴直线AD的解析式为：， 故设直线CE1的解析式为：， 代入C（0，3）得：， ∴直线CE1的解析式为：， 当y＝0时，解得：， ∴E1（，0）； 当点E在点D右侧时，AD与CE2交于点F， ∵∠ADC＝∠E2CD， ∴FC＝FD， ∵OB＝OD＝3，∠ABO＝45°， ∴∠CDB＝45°， ∴∠ACD＝45°＋45°＝90°，即∠ACF＋∠FCD＝90°， ∵∠CAF＋∠FDC＝90°， ∴∠ACF＝∠CAF， ∴FC＝FA， ∴F为线段AD的中点， ∴点F的坐标为， 设直线CE2的解析式为：， 代入F得：，解得：， ∴直线CE2的解析式为：， 当y＝0时，解得：， ∴E2（6，0）， 综上所述，点E的坐标为（，0）或（6，0）． 【点睛】本题是一次函数与几何综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积计算以及等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握待定系数法，灵活运用数形结合的思想是解答本题的关键． 例4．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像与轴、轴分别相交于点、，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为6． （1）直接写出点与点的坐标（用含的代数式表示）； （2）求的值； （3）如果一次函数的图像经过第二、三、四象限，点C的坐标为（2，m），其中，试用含的代数式表示△的面积． 【答案】（1）； （2） （3） 【分析】（1）由一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，令y=0求出x，得到A点坐标；令x=0，求出y，得到B点坐标； （2）根据一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为6列出方程，即可求出b的值； （3）根据一次函数的图象经过第二、三、四象限，得出b=-4，确定A（-3，0），B（0，-4）．利用待定系数法求出直线AC的解析式，再求出D（0，m），那么BD=m+4，再根据S△ABC=S△ABD+S△DBC，即可求解． 【详解】解：（1）∵一次函数y=x+b的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B， ∴当y=0时，x+b=0，解得x=b，则A（b，0）， 当x=0时，y=b，则B（0，b）； 故 ；; （2） ∵ ∴， ∴； （3） ∵函数图像经过二、三、四象限， ∴， ∴. ∴，. 设直线AC的解析式为， 将A、C坐标代入得 解得 设直线AC与轴交于点，则. ∴ ∵ ∴. 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式． 例5．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像经过点，点的坐标为． （1）求的值； （2）求的面积； （3）若点（不与点重合）在此正比例函数图像上，且点的横坐标为，求的面积．（用的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）利用待定系数法求k的值； （2）求直线OB的解析式，从而求得D点坐标，然后利用三角形面积公式求解； （3）过点C做CE⊥y轴，交AB于点E，求得直线AB的解析式，从而求得E点坐标，然后利用三角形面积公式求解 【详解】解：（1）将代入正比例函数中得： （2）设直线OB的解析式为，将B代入，得： ，解得： ∴直线OB的解析式为： 过点A作AD⊥x轴，交OB于点D 则D点坐标为（1，3） ∴AD= ∴ （3）由题意可得：C点坐标为 过点C做CE⊥y轴，交AB于点E 设直线AB的解析式为，将，B代入，得： ，解得： ∴直线AB的解析式为： ∴E点坐标为 ∴EC= ∴ ∴或 【点睛】本题考查一次函数与几何综合，掌握一次函数图像上点的坐标特点，利用数形结合思想解题是关键． 二、与面积相关的函数解析式 例1．已知一次函数y=-x+6的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E． （1）求点B的坐标； （2）求直线AE的表达式； （3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积． 【答案】（1）B（8，0）；（2）直线AE的表达式为y=-2x+6； (3) △OFB为等腰三角形，S△OBF=8. 【分析】（1）对于一次函数y=-x+6，令y=0和x=0求出对应的x与y的值，确定出OA及OB的长，即可确定出B的坐标； （2）由（1）得出A的坐标，利用勾股定理求出AB的长，过E作EG垂直于AB，由AE为角平分线，利用角平分线定理得到EO=EG，利用HL可得出直角三角形AOE与直角三角形AGE全等，可得出AO=AG，设OE=EG=x，由OB-OE表示出EB，由AB-AG=AB-AO表示出BG，在直角三角形BEG中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OE的长，得出E的坐标，设直线AE的解析式为y=kx+b（k≠0），将A和E的坐标代入，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可得到直线AE的解析式； （3）延长BF与y轴交于K点，由AF为角平分线得到一对角相等，再由AF与BF垂直得到一对直角相等，以及AF为公共边，利用ASA得出三角形AKF与三角形ABF全等，可得出AK=AB，利用三线合一得到F为BK的中点，在直角三角形OBK中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到OF为BK的一半，即OF=BF，过F作FH垂直于x轴于H点，利用三线合一得到H为OB的中点，由OB的长求出OH的长，即为F的横坐标，将求出的横坐标代入直线AE解析式中求出对应的纵坐标，即为HF的长，以OB为底，FH为高，利用三角形的面积公式即可求出三角形BOF的面积； 【详解】（1）对于y=-x+6， 当x=0时，y=6；当y=0时，x=8， ∴OA=6，OB=8， 在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB=10， 则A（0，6），B（8，0）； （2）过点E作EG⊥AB，垂足为G ∵AE平分∠BAO，EO⊥AO，EG⊥AG， ∴EG=OE， 在Rt△AOE和Rt△AGE中， ∴Rt△AOE≌Rt△AGE（HL）， ∴AG=AO， 设OE=EG=x，则有BE=8-x，BG=AB-AG=10-6=4， 在Rt△BEG中，EG=x，BG=4，BE=8-x， 根据勾股定理得：x2+42=（8-x）2， 解得：x=3， ∴E（3，0）， 设直线AE的表达式为y=kx+b（k≠0）， 将A（0，6），E（3，0）代入y=kx+b得： ，解得 则直线AE的表达式为y=-2x+6； (3)延长BF交y轴于点K， ∵AE平分∠BAO， ∴∠KAF=∠BAF， 又BF⊥AE， ∴∠AFK=∠AFB=90° ∵AF=AF ∴△AFK≌△AFB， ∴FK=FB，即F为KB的中点， 又∵△BOK为直角三角形， ∴OF= BK=BF， ∴△OFB为等腰三角形， 过点F作FH⊥OB，垂足为H（如图所示）， ∵OF=BF，FH⊥OB， ∴OH=BH=4， ∴F点的横坐标为4， 设F（4，y），将F（4，y）代入y=-2x+6，得：y=-2， FH=|-2|=2， 则S△OBF= OB•FH= ×8×2=8. 例2．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，在轴上有一点，动点从点以每秒2个单位的速度沿轴向左移动． （1）求、两点的坐标 （2）求的面积与的移动时间（秒）之间的函数关系式； （3）当何值时，并求此时点的坐标． （4）当何值时的面积是一半，并求此时点的坐标． 【答案】（1）A(9，0)；（2）B(0，3)；（2）S=；（3）当t=3，M(3，0)，当t=6，M(-3，0)；（4）当t=，M(，0)；当t=，M(-，0) 【分析】（1）对于，令x=0可求出B点坐标，令y=0可求出A点坐标； （2）分点M在原点左侧和右侧两种情况，根据三角形的面积公式解答即可； （3）分点M在原点左侧和右侧两种情况，根据全等三角形的性质列式求出t的值，进而可求出点M的坐标； （4）根据三角形的面积公式列式求出OM的长，进而分点M在原点左侧和右侧两种情况，可求出t的值及点M的坐标． 【详解】解：（1）当x=0时，y=3， ∴B(0，3)． 当y=0时，，x=9， ∴A(9，0)； （2）9÷2=4.5秒， 当点M在原点右侧时，即0≤t≤4.5时，由题意得，OM=9-2t， ∴S==． 当点M在原点左侧时，即t＞4.5时，由题意得，OM=2t-9， ∴S==， ∴S=； （3）当点M在原点右侧时，即0≤t≤4.5时， ∵， ∴OM=OB， ∴9-2t=3， ∴t=3， ∴OM=9-6=3， ∴M(3，0)； 当点M在原点左侧时，即t＞4.5时， ∵， ∴OM=OB， ∴2t-9=3， ∴t=6， ∴OM=12-9=3， ∴M(-3，0)； 综上可知，当t=3，M(3，0)，当t=6，M(-3，0)； （4）S△AOB=， ∵S△COM=S△AOB， ∴， ∴OM=， 当点M在原点右侧时， 9-2t=， ∴t=， 此时M(，0)； 当点M在原点左侧时， 2t-9=， ∴t=， 此时M(-，0)， 综上可知，当t=，M(，0)；当t=，M(-，0)． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，全等三角形的性质，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键． 例3．如图，在平面直角坐标系中，点，，边上有一点，点，分别在边，上，联结，，联结，，． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2当时，求出点的坐标； （3）在（2）的条件下，点在射线上，，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）直线AB解析式为y＝x＋9，P点坐标为（-，2）（2）C点坐标为（-2，0）（3）R（2，-6）． 【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得直线AB的解析式，再把P点坐标代入直线解析式可求得P点坐标； （2）由条件可证明△BPQ≌△CDQ，可证得四边形BDCP为平行四边形，由B、P的坐标可求得BP的长，则可求得CD的长，利用平行线分线段成比例可求得OC的长，则可求得C的坐标； （3）由条件可知AR∥BO，故可先求出直线OB，BC的解析式，再根据直线平行求出AR的解析式，联立直线AR、BC即可求出R点坐标． 【详解】（1）设直线AB解析式为y＝kx＋b， 把A、B两点坐标代入可得，解得， ∴直线AB解析式为y＝x＋9， ∵在直线AB上， ∴2＝−m＋9，解得m＝-， ∴P点坐标为（-，2）； （2）∵， ∴∠PBQ＝∠DCQ， 在△PBQ和△DCQ中 ∴△PBQ≌△DCQ（ASA）， ∴BP＝CD， ∴四边形BDCP为平行四边形， ∵，（-，2）， ∴CD＝BP＝， ∵A（-6，0）， ∴OA＝6，AB＝， ∵CD∥AB， ∴△COD∽△AOB ∴，即，解得CO＝2， ∴C点坐标为（-2，0）； （3）∵， ∴点A和点R到BO的距离相等， ∴BO∥AR， 设直线BO的解析式为y=nx，把代入得3=-4n，解得n=-x ∴直线BO的解析式为y=-x， ∴设直线AR的解析式为y=-x+e， 把A(-6，0)代入得0=-×（-6）+e 解得e=- ∴直线AR的解析式为y=-x-， 设直线BC解析式为y＝px＋q， 把C、B两点坐标代入可得，解得， ∴直线AB解析式为y＝-x-3， 联立 解得 ∴R（2，-6）． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点，解题的关键是熟知待定系数法求出函数解析式． 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 1.一次函数的图像经过点,且与轴、轴分别交于点、,求△的面积. 【答案】 【详解】先将点P坐标代入函数解析式，可求出m值，再根据函数解析式求出A、B两点坐标即可求出△的面积. 解：将代入得， 当时， ∴点A坐标为（，0）， 当时， ∴点B坐标为（0，-1）， ∴ ∴ 2．如图，直线的解析式为，且与x轴交于点D，直线经过点A,B，两条直线交于点C，在直线上存在一点P，使得△ADP的面积是△ADC面积的2倍，那么点P的坐标为____________ 【答案】（8，6）或（0，−6） 【分析】已知l1的解析式，令y＝0求出D点坐标，设l2的解析式为y＝kx＋b，由图联立方程组求出k，b的值，联立方程组，求出交点C的坐标，继而可求出S△ADC，△ADP与△ADC底边都是AD，根据△ADP的面积是△ADC面积的2倍，可得点P的坐标． 【详解】由y＝−3x＋3，令y＝0，得−3x＋3＝0， ∴x＝1， ∴D（1，0）； 设直线l2的解析表达式为y＝kx＋b， 由图象知：x＝4，y＝0；x＝3，y＝−，代入表达式y＝kx＋b， ∴ ∴， ∴直线l2的解析表达式为y＝x−6； 由， 解得， ∴C（2，−3）， ∵AD＝3， ∴S△ADC＝×3×|−3|＝， ∵△ADP与△ADC底边都是AD，△ADP的面积是△ADC面积的2倍， ∴△ADC高就是点C到直线AD的距离的2倍， 即C纵坐标的绝对值＝6，则P到AD距离＝6， ∴点P纵坐标是±6， ∵y＝x−6，y＝6， ∴x−6＝6， 解得x＝8， ∴P1（8，6）． ∵y＝x−6，y＝−6， ∴x−6＝−6， 解得x＝0， ∴P2（0，−6） 综上所述，P1（8，6）或P2（0，−6）． 故填：（8，6）或（0，−6）. 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式是解题关键． 3．已知直线经过点且平行于直线．若该直线经过，求的面积． 【答案】6 【分析】根据平行确定k=-2，将点A（0,6）代入即可求出直线，再将点P（m,2）代入即可求出m的值，进而根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：∵直线平行于直线， ∴k=-2， 将点代入中得：， ∴ 将点代入中得：，解得m=2， ∴三角形AOP的高为2， ∵OA=6， ∴的面积=． 【点睛】本题考查了一次函数解析式的求解，以及一次函数与几何问题，解题的关键是根据平行得出k的值，并画出图形，通过数形结合的思想求△AOP的面积． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知直线，都经过点，它们分别与轴交于点和点，点、均在轴的正半轴上，点在点的上方． （1）如果，求直线的表达式； （2）在（1）的条件下，如果的面积为3，求直线的表达式． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先根据A点坐标求出OA的长度，然后根据求出OB的长度，进而得到B点的坐标，最后利用待定系数法即可求出直线的表达式； （2）首先利用的面积求出点C的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线的表达式． 【详解】（1），．， 点在轴正半轴，． 设的函数解析式为， 把，代入得 解得：，． （2），，∵，． 设，则，点在点上方， ，． 设的函数解析式为， 把，代入得， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查一次函数，掌握待定系数法及数形结合是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与正比例函数的图像交于点，与轴交于点． （1）求、的值： （2）求的面积． 【答案】(1)， ；(2) 【分析】（1）将点A的坐标代入正比例函数的解析式中即可求出m的值．将点A的坐标代入一次函数的解析式中即可求出b的值． （2）先求得B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可． 【详解】（1）正比例函数的图象过点A（2，m）． ∴m＝×2＝3． 又∵一次函数的图象过点A（2，3）． ∴3＝−×2＋b， ∴b＝4． （2）∵一次函数y＝−x＋4的图象与x轴交于点B， 令y=0，即−x＋4=0， 解得x=8 ∴B（8，0）， ∴S△AOB＝×8×3＝12． 【点睛】本题考查一次函数，涉及待定系数法，三角形面积公式，解方程等知识，本题属于中等题型． 6．如图,直线与轴、轴分别交于点A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,且∠BAC=900.如果在第二象限内有一点P,且△ABP的面积与Rt△ABC的面积相等,求的值. 【答案】 试题分析：由已知求出A、B的坐标，求出三角形ABC的面积，再利用S△ABP=S△ABC建立含a的方程，把S△ABP表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差，通过解方程求得答案． 试题解析:由已知可得A、B(0,1),OA=,OB=1. 故AB=. 因此,S△ABC=×2×2=2. 连接PO,则S△ABP=S△PBO+S△ABO－S△APO ==. 又S△ABP=S△ABC， ∴， 解得. 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 1. 如图，现有一张矩形纸片ABCD，其中cm，cm，点E是BC的中点，将纸片沿直线AE折叠，使点B落在梯形AECD内，记为点，那么、C两点之间的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示：过点作，垂足为F，连接，设AE与交于点O，由折叠的性质可得，，先求出，利用勾股定理求出，利用三角形面积公式求出，则，设，在中，，在中，，则，解得，则，，，，在中，． 【详解】解：如图所示：过点作，垂足为F，连接，设AE与交于点O， 由折叠的性质可得，， ∵点E是BC的中点， ∴， 在中，， ∵ ∴， ∴， 设， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键． 2. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设． （1）当，求x的值． （2）随着点M在边AD上位置的变化，的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值． （3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式． 【答案】（1） （2）不变，2 （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得，由勾股定理建立方程，解方程即可求得x的值； （2）设，中，由勾股定理得，由，得，从而可得的周长为定值； （3）作于H．则四边形BCFH是矩形，连接BM交EF于O，交FH于K．易得△ABM≌△HFE，从而可得EH、CF的表达式，根据梯形面积公式即可得到S关于x的函数． 【小问1详解】 由折叠的性质得：， 在中，，， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 的周长不变，为2． 理由：设，则，， 在中，由勾股定理得， ，解得， ∴， ∵， ∴ ∴，即， 解得． ∴的周长为2． 【小问3详解】 作于H．则四边形BCFH是矩形． 连接BM交EF于O，交FH于K， 在中，， ∵B、M关于EF对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题是四边形的综合，考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，关键是学会添加辅助线，合理引入参数，构造全等三角形解决问题 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 基础过关练 1. 下列方程中，有实数解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】解方程，验证是否有实数满足等式关系； 【详解】A选项：，故方程没有实数解； B选项：方程两边同时乘以，得到，经检验，不是方程的根； C选项：，，有实数解； D选项：，无实数解． 故选：C． 【点睛】本题考查方程解得判断，分式方程通分后要验证根，二次方程可由根的判别式． 2. 下列命题中，假命题是（ ） A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 两条对角线相等的平行四边形是矩形D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行四边形及特殊的平行四边形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，是真命题，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题，不符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，不正确，是假命题，符合题意，故选D． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形及特殊的平行四边形的性质，难度不大． 3. 某校修建一条400米长的跑道，开工后每天比原计划多修10米，结果提前2天完成了任务.设原计划每天修米，那么根据题意可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设原计划每天修米，根据结果提前2天完成了任务列方程即可． 【详解】设原计划每天修米，由题意得 ．故选D． 【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的运用及分式方程的解法的运用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤． 4. 如果是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则逐项判断即可． 【详解】∵为非零向量， ∴，故A正确； 与为相反向量，故B错误； ，故C错误； ∵为非零向量， ∴，故D错误； 故选A． 【点睛】本题考查向量的线性运算．掌握向量的线性运算法则是解题关键． 5. 顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是（　　） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一条对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等，所以是平行四边形． 【详解】解：如图，连接AC， ∵E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点， ∴HG∥AC，HG＝AC，EF∥AC，EF＝AC； ∴EF＝HG且EF∥HG； ∴四边形EFGH是平行四边形． 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是根据中位线性质证得EF＝HG且EF∥HG． 6. 从，0，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数的系数k，b，则一次函数的图像不经过第四象限的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与一次函数y＝kx+b的图像不经过第四象限的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：由题意可得，y=kx+b是一次函数， 则， 列树状图如下 共有9种等可能情况， ∵图像不经过第四象限， ∴且， ∴图像不经过第四象限有4种， ∴， 故选B． 【点睛】此题考查是用列表法或树状图法求概率与一次函数的性质．注意概率＝所求情况数与总情况数之比，注意掌握一次函数的定义及图像与系数的关系． 7. 解关于的方程，则方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】依据等式的基本性质依次移项、合并同类项、系数化为1即可得出答案． 【详解】解：方程移项得：， 合并得：， ， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程的能力，熟练掌握等式的基本性质及解一元一次方程的基本步骤是解题的关键． 8. 无理方程＝﹣x的实数解是_____． 【答案】-1． 【解析】 【分析】化为有理方程，再解出有理方程，最后检验即可得答案． 【详解】解：将＝﹣x两边平方得：2x+3=x2， 整理得x2-2x-3=0， 解得x1=3，x2=-1， 当x1=3，左边=，右边=-3， ∴左边≠右边， ∴x1=3不是原方程的解，舍去， 当x2=-1时，左边=，右边=1， ∴左边=右边， ∴x2=-1是原方程的解， ∴x=-1， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查解无理方程，利用两边平方将无理方程化为有理方程是解题的关键． 9. 关于x的方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】先移项，系数化1，利用开方求出方程的根即可． 【详解】解：移项得：， 系数化1： 即 ， 开5次方得． 【点睛】本题考查高次方程的解法，开方法，掌握解方程的方法与步骤，理解开平方，开立方解方程的方法，探索高次方程的解法是解题根据． 10. 一个多边形的内角和是，那么这个多边形边数是________． 【答案】10 【解析】 【分析】利用多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：假设这个多边形的边数是n， 则由题意可知：，解得： 故答案为：10． 【点睛】本题考查多边形的内角和公式，熟记内角和公式是解本题的关键． 11. 已知一次函数，若y值随x值的增大而减少，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一次函数的性质得出关于k的不等式，再解不等式即可求出k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数y=（k-2）x+3中，函数值y随自变量x的增大而减小， ∴k-2<0，解得k<2． 故答案为：k<2． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 12. 直线与平行，将该直线向下平移3个单位长度后经过点则该函数解析式为______． 【答案】##y=-7+3x 【解析】 【详解】由，得， ∵与直线平行， ∴，解得， ∴直线解析式为：， ∵直线向下平移3个单位长度后的解析式为：， 将点代入得，，解得，， 所以该函数解析式为：． 故答案为： 【点睛】本题考查了根据条件求一次函数解析式，掌握两条直线平行则对应的函数解析式中的一次项系数相等是关键． 13. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】不等式的解集即为直线在直线上方时x的取值范围，因而根据图像即可完成． 【详解】根据图像可知，当时，直线在直线上方 所以的解集为 故答案为： 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，注意数形结合． 14. 口袋里只有10个球，其中有个x红球，y个白球，这些球除了颜色不同之外，其余均相同．从中随意摸出一个球，若摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性，则x的可能值为______． 【答案】6或7或8或9 【解析】 【分析】根据口袋里只有10个球， 列出方程，从中随意摸出一个球，摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性，得出，即，，列一元一次不等式，得出即可． 【详解】解：口袋里只有10个球，其中有x个红球，y个白球， ∴， 从中随意摸出一个球，摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性， ∴，即，， ， ∴ 则x的可能取值为或7或8或9． 故答案为：6或7或8或9． 【点睛】本题考查概率，二元一次方程，一元一次不等式，掌握概率，二元一次方程，一元一次不等式是解题关键． 15. 已知梯形的上、下底长分别为6，8，一腰长为7，则梯形另一腰长a的取值范围是______． 【答案】5＜a＜9． 【解析】 【分析】通过平移腰可得：两底边之差和两腰构成三角形，则根据三角形三边之间的关系可以进行求解． 【详解】解：如图，根据题意得：AD=6，BC=8，CD=7，AB=a， 过点A作AE∥CD，交BC于点E， ∵AD∥BC， ∴四边形AECD是平行四边形， ∴CE=AD=6，AE=CD=7， ∴BE=BC-CE=8-6=2， ∴a的取值范围是：5＜a＜9 故答案为：5＜a＜9． 【点睛】此题考查了梯形的性质、三角形三边关系以及等腰梯形的判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 16. 直角梯形ABCD中，，，E点是CD边上的中点，且满足，，则梯形的面积为______． 【答案】9 【解析】 【分析】连接AE，过E作交AB于点F，先证明，由垂直平分线的性质，得到，然后由勾股定理求出，再求出梯形的面积即可． 【详解】解：连接AE，过E作交AB于点F， ∵E为CD的中点， ∴点F是AB的中点，EF是梯形ABCD的中位线， 故， 又∵， ∴EF是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得：， ∵，， ∴是等腰直角三角形． 由勾股定理得：， 即， ． 【点睛】本题考查了垂直平分线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是正确的作出辅助线，从而进行解题． 17. 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD≠AD，那么∠BAD的度数为______． 【答案】75° 【解析】 【分析】根据“等腰四边形”定义画出图形，对角线BD是该四边形的“等腰线”，所以△CBD和△ABD为等腰三角形，由于AB＝BC＝CD≠AD，所以△ABD中分两种情形进行讨论即可； 【详解】解：∵凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”， ∴△CBD和△ABD为等腰三角形． 由于AB≠AD，△ABD中分两种情形：①AB＝BD，②AD＝BD． 当①AB＝BD时，如下图： ∵AB＝BC＝CD，AB＝BD． ∴BC＝CD＝BD． ∴△BDC为等边三角形． ∴∠DBC＝60°． ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝30°． ∵AB＝BD， ∴∠BAD＝∠BDA＝＝75°． 当②AD＝BD时，如下图， 过点D作DE⊥AB，过点D作DF⊥CB，交CB延长线于点F， ∵AD＝BD，DE⊥AB， ∴BE＝AB． ∵DE⊥AB，DF⊥CB，∠ABC＝90°， ∴四边形EBFD为矩形． ∴DF＝BE＝AB． ∵AB＝CD， ∴DF＝CD． 在Rt△DCF中，sin∠DCF＝＝， ∴∠DCF＝30°． ∵BC＝CD， ∴∠DBC＝∠BDC＝＝15°． ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝75°． ∵AD＝BD， ∴∠BAD＝∠ABD＝75°． 综上，∠BAD＝75°． 故答案为：75°． 【点睛】本题主要考查了四边形综合，结合等边三角形、矩形的性质求解是解题的关键． 19. 解方程：． 【答案】x＝1 【解析】 【分析】因式分解，确定最简公分母，化分式方程为整式方程求解 【详解】解：方程两边同乘以（x+3）（x﹣3）得： 4x＝﹣9+2（x+3）﹣2（x﹣3）， 整理得：﹣4x+3＝0， 解得：＝1，＝3， 经检验：＝3是原方程的增根， 所以，原方程的解为x＝1． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，通过因式分解确定最简公分母，化成整式方程求解是解题的关键，注意验根是防止出错的根本． 20. 解方程组：． 【答案】或 【解析】 【分析】利用完全平方公式对二元二次方程进行因式分解，得到两个二元一次方程，分别与原方程组中的第一个方程构成两个二元一次方程组，即可得到方程组的解． 【详解】解：方程组： 由方程②得：， ，或， 即组成方程组或 解这两个方程组得：或． 即原方程组的解为：或． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，关键在于通过因式分解把二次方程组化为二元一次方程组． 21. 如图，四边形ABCD是平行四边形，P是AD上一点，且BP和CP分别平分和，cm． （1）求平行四边形ABCD的周长． （2）如果cm，求PC的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线可得，，由平行线的性质及等量代换得出，，依据等角对等边可得cm，cm，即可求出平行四边形的周长； （2）由（1）可得，，利用平行线的性质得出，结合各角之间的数量关系可得，在直角三角形中利用勾股定理即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵BP、CP平分，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴cm，(cm)， ∴(cm)， ∴平行四边形的周长为：(cm)； 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，cm， ∴(cm)． 【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，等角对等边及勾股定理解三角形，三角形内角和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 22. 如图，已知点E在四边形ABCD的边AB上，设，，． （1）试用向量、、表示向量 ， ． （2）在图中求作：．（不要求写出作法，只需写出结论即可） 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由，，，直接利用三角形法则求解，即可求得答案； （2）由三角形法则可得：，继而可求得答案． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； ． 故答案为：；； 【小问2详解】 解：， 如图：即为所求． 【点睛】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用． 题组B 能力提升练 1. 某单位举行“健康人生”徒步走活动，某人从起点体育村沿建设路到市生态园，再沿原路返回，设此人离开起点的路程s（千米）与徒步时间t（小时）之间的函数关系如图所示，其中从起点到市生态园的平均速度是4千米/小时，用2小时，根据图象提供信息，解答下列问题． （1）求图中的a值． （2）若在距离起点5千米处有一个地点C，此人从第一次经过点C到第二次经过点C，所用时间为1.75小时． ①求AB所在直线的函数解析式； ②请你直接回答，此人走完全程所用的时间． 【答案】（1）a=8；（2）①s=–3t+14；②t=． 【解析】 【分析】（1）根据路程=速度×时间即可求出a值； （2）①根据速度=路程÷时间求出此人返回时的速度，再根据路程=8-返回时的速度×时间即可得出AB所在直线的函数解析式； ②令①中的函数关系式中s=0，求出t值即可． 【详解】（1）a=4×2=8． （2）①此人返回的速度为（8–5）÷（1.75–）=3（千米/小时）， AB所在直线的函数解析式为s=8–3（t–2）=–3t+14． ②当s=–3t+14=0时，t=． 答：此人走完全程所用的时间为小时． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据路程=速度×时间求出a值；（2）①根据路程=8-返回时的速度×时间列出s与t之间的函数解析式；②令s=0求出t值． 2. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，，． （1）判断四边形OEFG的形状，并证明． （2）若，，求四边形OEFG的面积． 【答案】（1）矩形，证明见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理可得AE＝DE，OE∥AB，由矩形的判定可求解； （2）由勾股定理可求AB的长，得到AD、AE的长，再由中位线定理求得OE、FG的长，在Rt△AEF和Rt△OBG中，由勾股定理，，利用EF=OG 得到BG方程，求得BG，进一步得到OG的长，利用矩形面积公式，即得答案． 【小问1详解】 解：四边形OEFG是矩形． 证明如下： ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴DO＝BO， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE，OE是△ABD的中位线 ∴OE∥AB， ∴OE∥FG， 又∵OG∥EF， ∴四边形OEFG是平行四边形． ∵EF⊥AB， ∴∠EFG＝90°， ∴四边形OEFG是矩形． 【小问2详解】 解：∵四边形ABCD是菱形 ∴， ， ， ， ∴∠AOB=90° ∴△AOB是直角三角形 由勾股定理得 ， ∴， ∵E是AD中点， ∴， ∵，E是AD中点， ∴OE是△ABD的中位线 ∴， ∵四边形OEFG是矩形， ∴，，， ∴， Rt△AEF和Rt△OBG中， 由勾股定理得 ，， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，矩形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 3. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴，y轴于A、B两点过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点． （1）求直线AM的解析式． （2）试在直线AM上找一点P，使得，请求出点P的坐标． （3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是直角梯形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，，，， 【解析】 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，由点M为线段OB的中点可得出点M的坐标，根据点A，M的坐标，利用待定系数法即可求出直线AM的函数解析式； （2）利用平行线间的距离处处相等，过O作直线，为与AM交点，由点P1到直线AB的距离等于点O到直线AB的距离，求出的表达式，与直线AM的表达式联立求出交点即，再利用平移求出另一个点的坐标； （3）分情况讨论，作出不同的辅助线，求出对应点H的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵交x轴于A， ∴，解得， ∴， ∵交y轴于B， ∴当x=0时， ∴， ∵M为OB中点， ∴， 设过，， 得到，解得， ∴直线AM的解析式是． 【小问2详解】 解：过O作直线，为与AM交点，如图1， ∴ 点P1到直线AB的距离等于点O到直线AB的距离 ∴此时， 设直线， ∵， ∴ ∴， ∵直线AM的解析式是 ∴，解得， 此时 ∴， 由是直线AB:向下平移8个单位得到的， 把直线AB:向上平移8个单位得到 交直线AM于，此时， ∴由，得， ∴． 综上所述，点P的坐标为， 【小问3详解】 解：①过点B作BHAM，过点A作AH⊥BH于点H，如图2， 如图，则， 设直线BH表达式为： ∵ ∴ ∵直线BH经过点 ∴ ∴直线BH的表达式为， 设直线AH的表达式为， ∵， ∴，得到， 又∵直线AH过点 ∴，解得 ∴直线AH的表达式为， 由 解得 ∴此时点H的坐标为； ②过点A作，作BH⊥AH，垂足为点H，则，如图3， ∵，， ∴此时点H的坐标为， ③过点M作AB的平行线，分别过点A、B向AB的平行线作垂线，垂足分别为H1、H2，如图4，此时， 设直线MH1的表达式为 ∵ ∴ ∵直线MH1经过点 ∴ ∴直线MH1的表达式为， 设直线AH1的表达式为 ∵， 则，， ∵过点 ∴ 解得 ∴直线AH1的表达式为 由 解得 ∴， 当时， ∵为矩形， 把点经过向左平移4个单位，向上平移8个单位即可得到点H2 ∴点H的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图像交点坐标、三角形的面积相等、直角梯形等相关知识，关键在于正确画出图形，进行正确的解答． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025春季培优课 【进阶优等生系列】【2024-2025春季培优课】 八年级第二学期 第10讲 动点产生的面积问题 目录 1、 【进门测试】共2题； 2、 【知识精讲】共2个知识点； 3、 【典例解析】共8例题； 4、 【过关演练】共6题； 5、 【拓展进阶】共2题； 6、 【温故知新】共25题：A组22题，B组3题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．已知直线y=kx+b经过点A（﹣3，﹣8），且与直线的公共点B的横坐标为6． （1）求直线y=kx+b的表达式； （2）设直线y=kx+b与y轴的公共点为点C，求△BOC的面积． 2．如图，已知两直线y＝－x＋3和y＝2x－1，求它们与y轴所围成的三角形的面积. 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 一、面积计算的问题 本节主要是在函数背景下求三角形或四边形的面积问题，较复杂的题目可以采取“割补”的思想构造较简单的图形进行求解． 二、与面积相关的函数解析式 本节主要研究点在运动的背景下，产生的面积与动点之间的关系，关键点是找出决定这个面积变化的几个量是怎样变化的，重点在于思维能力的培养，难度较大． 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 一、面积计算的问题 例1．一次函数的图像随增大而减小，且经过点． 求（1）的值； （2）求该直线与坐标轴围成的三角形的面积及坐标原点到直线的距离. 例2．在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点的坐标为，直线轴. 点与点关于原点对称，直线（为常数）经过点，且与直线相交于点． （1）求的值和点的坐标； （2）在轴上有一点，使的面积为,求点的坐标； （3）在轴的正半轴上是否存在一点，使得为等腰三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．如图，已知一次函数y=kx+3的图形经过点A (1， m)，与x轴、y轴分别相交于B、C两点，且∠ABO=45°，设点D的坐标为(3，0) (1) 求m的值； (2) 联结CD、AD，求△ACD的面积； (3) 设点E为x轴上一动点，当∠ADC=∠ECD时，求点E的坐标． 例4．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像与轴、轴分别相交于点、，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为6． （1）直接写出点与点的坐标（用含的代数式表示）； （2）求的值； （3）如果一次函数的图像经过第二、三、四象限，点C的坐标为（2，m），其中，试用含的代数式表示△的面积． 例5．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像经过点，点的坐标为． （1）求的值； （2）求的面积； （3）若点（不与点重合）在此正比例函数图像上，且点的横坐标为，求的面积．（用的代数式表示） 二、与面积相关的函数解析式 例1．已知一次函数y=-x+6的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E． （1）求点B的坐标； （2）求直线AE的表达式； （3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积． 例2．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，在轴上有一点，动点从点以每秒2个单位的速度沿轴向左移动． （1）求、两点的坐标 （2）求的面积与的移动时间（秒）之间的函数关系式； （3）当何值时，并求此时点的坐标． （4）当何值时的面积是一半，并求此时点的坐标． 例3．如图，在平面直角坐标系中，点，，边上有一点，点，分别在边，上，联结，，联结，，． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2当时，求出点的坐标； （3）在（2）的条件下，点在射线上，，请直接写出点的坐标． 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 1.一次函数的图像经过点,且与轴、轴分别交于点、,求△的面积. 2．如图，直线的解析式为，且与x轴交于点D，直线经过点A,B，两条直线交于点C，在直线上存在一点P，使得△ADP的面积是△ADC面积的2倍，那么点P的坐标为____________ 3．已知直线经过点且平行于直线．若该直线经过，求的面积． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知直线，都经过点，它们分别与轴交于点和点，点、均在轴的正半轴上，点在点的上方． （1）如果，求直线的表达式； （2）在（1）的条件下，如果的面积为3，求直线的表达式． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与正比例函数的图像交于点，与轴交于点． （1）求、的值： （2）求的面积． 6．如图,直线与轴、轴分别交于点A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,且∠BAC=900.如果在第二象限内有一点P,且△ABP的面积与Rt△ABC的面积相等,求的值. 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 1. 如图，现有一张矩形纸片ABCD，其中cm，cm，点E是BC的中点，将纸片沿直线AE折叠，使点B落在梯形AECD内，记为点，那么、C两点之间的距离是______． 2. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设． （1）当，求x的值． （2）随着点M在边AD上位置的变化，的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值． （3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 基础过关练 1. 下列方程中，有实数解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，假命题是（ ） A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 两条对角线相等平行四边形是矩形 D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 3. 某校修建一条400米长的跑道，开工后每天比原计划多修10米，结果提前2天完成了任务.设原计划每天修米，那么根据题意可列出方程（ ） A. B. C. D. 4. 如果是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是（　　） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 6. 从，0，1，2这四个数中，任取两个不同数作为一次函数的系数k，b，则一次函数的图像不经过第四象限的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 解关于的方程，则方程的解是________． 8. 无理方程＝﹣x的实数解是_____． 9. 关于x的方程的解是______． 10. 一个多边形的内角和是，那么这个多边形边数是________． 11. 已知一次函数，若y值随x值的增大而减少，则k的取值范围是________． 12. 直线与平行，将该直线向下平移3个单位长度后经过点则该函数解析式为______． 13. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为______． 14. 口袋里只有10个球，其中有个x红球，y个白球，这些球除了颜色不同之外，其余均相同．从中随意摸出一个球，若摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性，则x的可能值为______． 15. 已知梯形的上、下底长分别为6，8，一腰长为7，则梯形另一腰长a的取值范围是______． 16. 直角梯形ABCD中，，，E点是CD边上的中点，且满足，，则梯形的面积为______． 17. 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD≠AD，那么∠BAD的度数为______． 18. 如图，现有一张矩形纸片ABCD，其中cm，cm，点E是BC中点，将纸片沿直线AE折叠，使点B落在梯形AECD内，记为点，那么、C两点之间的距离是______． 19. 解方程：． 20. 解方程组：． 21. 如图，四边形ABCD是平行四边形，P是AD上一点，且BP和CP分别平分和，cm． （1）求平行四边形ABCD的周长． （2）如果cm，求PC的长． 22. 如图，已知点E在四边形ABCD的边AB上，设，，． （1）试用向量、、表示向量 ， ． （2）在图中求作：．（不要求写出作法，只需写出结论即可） 题组B 能力提升练 1. 某单位举行“健康人生”徒步走活动，某人从起点体育村沿建设路到市生态园，再沿原路返回，设此人离开起点的路程s（千米）与徒步时间t（小时）之间的函数关系如图所示，其中从起点到市生态园的平均速度是4千米/小时，用2小时，根据图象提供信息，解答下列问题． （1）求图中的a值． （2）若在距离起点5千米处有一个地点C，此人从第一次经过点C到第二次经过点C，所用时间为1.75小时． ①求AB所在直线的函数解析式； ②请你直接回答，此人走完全程所用的时间． 2. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，，． （1）判断四边形OEFG的形状，并证明． （2）若，，求四边形OEFG的面积． 3. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴，y轴于A、B两点过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点． （1）求直线AM解析式． （2）试在直线AM上找一点P，使得，请求出点P的坐标． （3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是直角梯形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$