2024-2025学沪教版(上海)八年级数学第二学期-21.1-21.7代数方程讲义（第11讲）

2024-2025春季培优课 【进阶优等生系列】【2024-2025春季培优课】 八年级第二学期第11讲 21.1-21.7代数方程 目录 1、 【进门测试】共9题； 2、 【知识精讲】第20章节知识点； 3、 【典例解析】共14例题； 4、 【过关演练】共10题； 5、 【拓展进阶】共3题； 6、 【温故知新】共20题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．下列方程中，有实数根的方程是（　　） A．+1＝0 B．x2+1＝0 C．＝x D．x2﹣x+1＝0 2．下列方程中，有一个根是x＝2的方程是（　　） A． B． C． D． 3．方程＝2的解是　 　． 4． 方程＝2﹣x的根为　 　． 5．方程组的解是　 　． 6．下列方程中，有实数根的方程是（　　） A．x4+16＝0 B．x3+9＝0 C． D．+3＝0 7．如果是方程mx2+y2＝xy的一个解，那么m＝　 　． 8．在2、﹣2、0中，x＝　 　是方程2x4+x2＝﹣18x的解． 9．关于x的方程有一个增根x＝4，则a＝　　． 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 代数方程章节知识点梳理与复习 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 例1．下列说法正确的是（ ） A．是二项方程 B．是二元二次方程 C．是分式方程 D．是无理方程 例2．下列无理方程中，有实数解的是（ ） A． B． C． D． 例3．当m＝　 　时，关于x的方程会产生增根． 例4．用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是　　 A． B． C． D． 例5．解方程，如果设=__________，=__________那么原方程组转化为关于，的方程组是______________________________． 例6．解方程组：． 例7．解方程组：． 例8．某宾馆有客房200间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房恰好全部住满；如果每间客房每天的定价每增加10元，就会减少4间客房出租．设每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租的客房为y间．求： （1）y关于x的函数关系式； （2）如果某天宾馆客房收入38400元，那么这天每间客房的价格是多少元？ 例9．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD）两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米． （1）饲养场另一边BC＝　 　米（用含x的代数式表示）． （2）若饲养场的面积为180平方米，求x的值． 例10．某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务，后来市政府调整了原定计划，不但绿化面积在原计划的基础上增加20%，而且要提前1年完成任务．经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩，求原计划平均每年的绿化面积． 例11．某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，需缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务．求原计划每天铺设多少米？ 例12.当m为何值时，关于x的方程无解? 例13.已知方程组有两组相等的实数解，求m的值，并求出此时方程组的解. 例14.今年上海市政府计划年内改造1.8万个垃圾箱房，把原有的分类垃圾箱房改造成可以投放“干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾”四类垃圾的新型环保垃圾箱房. 环卫局原定每月改造相同数量的分类垃圾箱房，为确保在年底前顺利完成改造任务，环卫局决定每月多改造250个分类垃圾箱房，提前一个月完成任务.求环卫局每个月实际改造分类垃圾箱房的数量. 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 1．下列关于x的方程中，有实数根的是（　　） A．x2+2x+3＝0 B．x3+2＝0 C． D．． 2．在元旦前夕，某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信．已知全公司共发出2450条短信，那么这个公司有员工 　 　人． 3．方程的解是　　． 4．方程的解是（ ） A．±1 B．1 C．-1 D．无解 5．方程组的解有（ ）组. A．1 B．2 C．3 D．4 6．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是（　　） A． B． C． D． 7．下列方程组中是二元二次方程组的是（       ） A． B． C． D． 8．下列方程中，有实数根的是（       ） A． B． C． D． 9．用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是（            ）． A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（       ） A．是二项方程 B．是二元二次方程 C．是分式方程 D．是无理方程 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 1． 若关于x的方程-2x+m+4020=0存在整数解，则正整数m的所有取值的和为___________. 2.为传播“绿色出行，低碳生活”的理念，小贾同学的爸爸从家里出发，骑自行车去图书馆看书，图1表达的是小贾的爸爸行驶的路程y（米）与行驶时间x（分钟）的变化关系. （1）求线段BC所表达的函数关系式； （2）如果小贾与爸爸同时从家里出发，小贾始终以速度120米/分行驶，当小贾与爸爸相距100米时，求小贾的行驶时间； （3）如果小贾的行驶速度是v米/分，且在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括在家、图书馆两地），请直接写出v的取值范围. 3．已知a＞1，解方程：＝x． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 1． 某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为__________________． 2． 方程组有两组相等的实数解，则的值为________． 3． 用换元法解方程，如果设，，那么原方程组可化为关于，的方程组是______． 4． 方程的解是__________． 5．把二元二次方程化成两个一次方程，则这两个一次方程分别是：__________和__________． 6．方程的根是____________________． 7． _______方程组的解（填“是”或“不是”）． 8． 方程的增根是_________________． 9．某商品原价1820元，经过两次降价，若两次降价的百分率相同为x，则两次降价后的价钱为__________________元。（用含x的代数式表示） 10．如果方程有增根，则m的值为____. 11．如图在一块长为22米,宽为17米的矩形地面上,要修建一条长方形道路LMPQ及一条平行四边形道路RSTK,剩余部分种上草坪,使草坪面积为300平方米,若LM=RS=米,则根据题意可列出方程为______ 12． 若x+=，则x-=____________. 13．若关于x的分式方程 = 的根为正数，则k的取值范围是(   ) A．k<- 且k≠-1        B．k≠-1          C．- <k<1       D．k<- 14．如果关于的方程无解，则的值是（       ） A．－1 B．1 C．0 D．2 15.二元二次方程组的解的个数是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．下列方程有实数解的是（   ） A． B． C． D． 17.解关于x的方程：. 18.解方程：＝2． 19．解方程：＝3． 20．某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长8千米的公路．如果平均每天的修建费y（万元）与修建天数x（天）之间在50≤x≤100时具有一次函数关系，如表所示： x（天） 60 80 100 y（万元） 45 40 35 （1）直接写出y关于x的函数解析式是　 　； （2）后来在修建的过程中计划发生改变，政府决定多修3千米，因此在没有增减建设力量的情况下，修完这条路比计划晚了21天，求原计划每天的修建费？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025春季培优课 【进阶优等生系列】【2024-2025春季培优课】 八年级第二学期第11讲 21.1-21.7代数方程 目录 1、 【进门测试】共9题； 2、 【知识精讲】第20章节知识点； 3、 【典例解析】共14例题； 4、 【过关演练】共10题； 5、 【拓展进阶】共3题； 6、 【温故知新】共20题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．下列方程中，有实数根的方程是（　　） A．+1＝0 B．x2+1＝0 C．＝x D．x2﹣x+1＝0 【分析】由无理方程、一元二次方程的解法，分别解各方程，即可得出答案． 【解答】解：A、由+1＝0得：＝﹣1， ∵一个数的算术平方根不能为负数， ∴原方程无实数解， 故A不符合题意； B、由x2+1＝0得：x2＝﹣1， ∵一个数的平方不能为负数， ∴原方程无实数解， 故B不符合题意； C、由＝x得x2﹣x＝0， 解得x＝0或x＝1， 经检验，x＝0或x＝1均是原方程的根， 故C符合题意； D、x2﹣x+1＝0得判别式Δ＝﹣3＜0， ∴x2﹣x+1＝0无实数根， 故D不符合题意， 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元二次方程、分式方程及无理方程的解，熟练应用相关方法进行求解是解决本题的关键，特别注意分式方程和无理方程都要检验． 2．下列方程中，有一个根是x＝2的方程是（　　） A． B． C． D． 【分析】把x＝2代入选项中的每个方程，再逐个判断即可． 【解答】解：A．＝， 方程两边都乘以x﹣2，得x＝2， 检验：当x＝2时，x﹣2＝0，所以x＝2是增根， 即x＝2不是原方程的解，故本选项不符合题意； B．当x＝2时，分母不等于0， 方程的左边＝+＝0，右边＝0， 即左边＝右边， 所以x＝2是原方程的解，故本选项符合题意； C．当x＝2时，中x﹣3＜0， 所以x＝2不是方程•＝0的解，故本选项不符合题意； D．当x＝2时，中x﹣6＜0， 所以x＝2不是方程＝2的解，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了解分式方程和解无理方程，注意：解分式方程和解无理方程都必须进检验． 3．方程＝2的解是　x＝﹣1　． 【分析】根据算术平方根的性质得x≤3，然后把方程两平方得x的解，检验即可得到答案． 【解答】解：∵3﹣x≥0， ∴x≤3， ∵＝2， ∴3﹣x＝4， ∴x＝﹣1， 经检验，x＝﹣1是原方程的解，符合题意， 故答案为：x＝﹣1． 【点评】此题考查的是无理方程，掌握算术平方根的性质是解决此题关键． 4．方程＝2﹣x的根为　x＝1　． 【分析】首先把无理方程化成整式方程，再求出整式方程的解，然后检验即可． 【解答】解：＝2﹣x， 两边平方得：3﹣2x＝4﹣4x+x2， 整理得：x2﹣2x+1＝0， 解得：x1＝x2＝1， 经检验，x＝1是原方程的根， ∴方程＝2﹣x的根为x＝1， 故答案为：x＝1． 【点评】本题考查了无理方程的解法；熟练掌握无理方程的解法是解题的关键． 5．方程组的解是　，　． 【分析】方程组中的两个方程相加，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，再代入求出y即可． 【解答】解： ②+①得：x2+x＝2， 解得：x＝﹣2或1， 把x＝﹣2代入①得：y＝﹣2， 把x＝1代入①得：y＝1， 所以原方程组的解为，， 故答案为：，． 【点评】本题考查了解高次方程组，能把二元二次方程组转化成一元二次方程是解此题的关键． 6．下列方程中，有实数根的方程是（　　） A．x4+16＝0 B．x3+9＝0 C． D．+3＝0 【分析】利用乘方的意义可对A进行判断；通过解无理方程可对B、C进行判断；通过算术平方根的概念可对D进行判断． 【解答】解：A、x4≥0，x4+16＞0，方程x4+16＝0没有实数解； B、移项得，x3＝﹣9，两边开立方得，x＝，故方程的解为x＝； C、两边平方得x2﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝1，经检验经x2﹣1＝0，原方程没有实数解； D、≥0，，原方程没有实数解， 故选：B． 【点评】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 7．如果是方程mx2+y2＝xy的一个解，那么m＝　﹣　． 【分析】依据方程的解概念，将方程的解代入方程进行计算，即可得到m的值． 【解答】解：把方程的解代入方程mx2+y2＝xy，可得 4m+1＝﹣2， ∴4m＝﹣3， 解得m＝﹣， 故答案为：﹣． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，方程的解就是满足方程的未知数的值，把解代入方程即可． 8．在2、﹣2、0中，x＝　﹣2或0　是方程2x4+x2＝﹣18x的解． 【分析】将2、﹣2、0依次代入方程左右两边，相等即是原方程的解． 【解答】解：当x＝2时，方程左边＝2×24+22＝36，右边＝﹣18×2＝﹣36，左边≠右边，故x＝2不是原方程的解； 当x＝﹣2时，方程左边＝2×（﹣2）4+（﹣2）2＝36，右边＝﹣18×（﹣2）＝36，左边＝右边，故x＝﹣2是原方程的解； 当x＝0时，方程左边＝2×04+02＝0，右边＝﹣18×0＝0，左边＝右边，故x＝0是原方程的解； ∴x＝﹣2或0是原方程的解， 故答案为：﹣2或0． 【点评】本题考查高次方程的解，将x的值代入方程左右两边检验是否相等是解题关键． 9．关于x的方程有一个增根x＝4，则a＝　5　． 【分析】先移项，再去根号，转化成整式方程求解． 【解答】解：原方程移项得：＝+1． 两边平方得：2x﹣4＝x+a+1+2． 整理得：x﹣a﹣5＝2． 两边平方得：（x﹣5）2﹣2a（x﹣5）+a2＝4（x+a）． 当x＝4时，1+2a+a2＝16+4a． 解得：a＝5或a＝﹣3． 当a＝5时，符合要求，有增根x＝4． 当a＝﹣3时，不符合要求增根x＝4． ∴a＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查无理方程的增根，去根号将无理方程转化为整式方程是求解本题的关键． 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 代数方程章节知识点梳理与复习 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 例1．下列说法正确的是（ ） A．是二项方程 B．是二元二次方程 C．是分式方程 D．是无理方程 【答案】A 【分析】根据整式方程、分式方程和无理方程的概念逐一判断即可得． 【详解】A．方程是一般式，且方程的左边只有2项，此方程是二项方程，此选项正确； B．x2y−y＝2是二元三次方程，此选项错误； C．是一元一次方程，属于整式方程，此选项错误； D．是一元二次方程，属于整式方程；故选A． 【点睛】本题主要考查无理方程，解题的关键是掌握整式方程、分式方程和无理方程的定义． 例2．下列无理方程中，有实数解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件可得答案． 【详解】解：．由知，此方程无实数解； ．知，此方程有实数根； ．由知，而时，得到，故此方程无实数根； ．由无解可知此方程无实数根； 故选：． 【点睛】本题主要考查无理方程，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 例3．当m＝　6或﹣4　时，关于x的方程会产生增根． 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值． 【解答】解：方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得 2（x+2）+mx＝3（x﹣2）， ∵最简公分母为（x+2）（x﹣2）， ∴原方程增根为x＝﹣2或2， ∴把x＝﹣2代入整式方程，得﹣2m＝﹣12，解得m＝6； 把x＝2代入整式方程，得8+2m＝0，解得m＝﹣4． 故答案为：6或﹣4． 【点评】考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程； ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 例4．用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是，设，换元后整理即可求得． 【详解】解：把代入方程，得：． 方程两边同乘以y得：． 故选A． 【点睛】用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧． 例5．解方程，如果设=__________，=__________那么原方程组转化为关于，的方程组是______________________________． 【答案】 【分析】根据换元法，即可得到答案； 【详解】解：设，=， 则原方程组转化为关于，的方程组为：； 故答案为：；；； 【点睛】本题主要考查了换元法解分式方程，掌握换元法解分式方程是解题的关键. 例6．解方程组：． 【分析】把方程②化为两个一次因式的积，与方程①组成两个方程组：或，解出即可． 【解答】解： 由②得：（x﹣y）2＝4， x﹣y＝±2， 则或， 解得：；；；． 【点评】本题是解二元二次方程组，把其中一个方程化为两个一次方程是关键，注意不丢解． 例7．解方程组：． 【分析】先将①中的x2﹣6xy+9y2分解因式为：（x﹣3y）2，则x﹣3y＝±2，与②组合成两个方程组，解出即可． 【解答】解： 由①得x﹣3y＝2，x﹣3y＝﹣2， ∴原方程组可化为二个方程组， 解这两个方程组得原方程组的解是． 【点评】本题考查了解高次方程，通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解；所以解高次方程一般思路是降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解；本题就是通过因式分解将方程①降次，化成二元一次方程组． 例8．某宾馆有客房200间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房恰好全部住满；如果每间客房每天的定价每增加10元，就会减少4间客房出租．设每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租的客房为y间．求： （1）y关于x的函数关系式； （2）如果某天宾馆客房收入38400元，那么这天每间客房的价格是多少元？ 【分析】（1）设每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租的客房为y间，根据某宾馆有客房200间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房恰好全部住满；如果每间客房每天的定价每增加10元，就会减少4间客房出租可列出函数式． （2）38400是利润，根据价格和住房的关系可列方程求出解 【解答】解：（1）由题意每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租的客房为y间， 根据题意，得： y＝200﹣4×， ∴． （2）设每间客房每天的定价增加x元 根据题意，得． 整理后，得x2﹣320x+6000＝0． 解得x1＝20，x2＝300．（2分） 当x＝20时，x+180＝200（元）． 当x＝300时，x+180＝480（元）． 答：这天的每间客房的价格是200元或480元． 【点评】本题考查理解题意的能力，关键知道涨价和住房的关系，表示出关系，根据利润作为等量关系可列方程求解． 例9．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD）两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米． （1）饲养场另一边BC＝　（48﹣3x）　米（用含x的代数式表示）． （2）若饲养场的面积为180平方米，求x的值． 【分析】（1）用（总长+3个1米的门的宽度）﹣3x即为所求； （2）由（1）表示饲养场面积计算即可， 【解答】解：（1）由题意得：（48﹣3x）米． 故答案是：（48﹣3x）； （2）由题意得：x（48﹣3x）＝180 解得x1＝6，x2＝10 【点评】考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 例10.某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务，后来市政府调整了原定计划，不但绿化面积在原计划的基础上增加20%，而且要提前1年完成任务．经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩，求原计划平均每年的绿化面积． 【分析】本题的相等关系是：原计划完成绿化时间﹣实际完成绿化实际＝1．设原计划平均每年完成绿化面积x万亩，则原计划完成绿化完成时间年，实际完成绿化完成时间：年，列出分式方程求解． 【解答】解：设原计划平均每年完成绿化面积x万亩， 根据题意，可列出方程， 去分母整理得：x2+60x﹣4000＝0 解得：x1＝40，x2＝﹣100…（2分） 经检验：x1＝40，x2＝﹣100都是原分式方程的根， 因为绿化面积不能为负，所以取x＝40． 答：原计划平均每年完成绿化面积40万亩． 【点评】本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．列分式方程解应用题的检验要分两步：第一步检验它是否是原方程的根，第二步检验它是否符合实际问题． 例11．某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，需缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务．求原计划每天铺设多少米？ 【分析】设原计划每天铺设管道为xm，故实际施工每天铺设管道为1.2xm．等量关系为：原计划完成的天数﹣实际完成的天数＝2，根据这个关系列出方程求解即可． 【解答】解：设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道1.2x米， 由题意，得﹣＝2． 解得：x＝60． 经检验，x＝60是原方程的解．且符合题意． 答：原计划每天铺设管道60米． 【点评】本题考查分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．期中找到合适的等量关系是解决问题的关键． 例12.当m为何值时，关于x的方程无解? 【答案】m=1或-4或6； 【解析】解：去分母，得，去括号，得，移项合并，得 . ①当时，，方程无解；②当时，，根据题意，原方程无解，故其解为增根，所以，解之得，综上所述：当m=1或-4或6时，关于x的方程无解. 例13.已知方程组有两组相等的实数解，求m的值，并求出此时方程组的解. 【答案】；当时，原方程组的解为；当时，原方程组的解为； 【解析】解：将代入中得，依题方程组有两组相等的实数解，所以，解之得；当时，，所以得原方程组的解为；当时，，所以得原方程组的解为. 例14.今年上海市政府计划年内改造1.8万个垃圾箱房，把原有的分类垃圾箱房改造成可以投放“干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾”四类垃圾的新型环保垃圾箱房. 环卫局原定每月改造相同数量的分类垃圾箱房，为确保在年底前顺利完成改造任务，环卫局决定每月多改造250个分类垃圾箱房，提前一个月完成任务.求环卫局每个月实际改造分类垃圾箱房的数量. 【答案】2250个； 【解析】解：设原计划每个月改造垃圾箱房x万个，则实际上每月改造万个，根据题意，得 ，化简，得，解得. 经检验：均是原方程的解，但是不合题意，舍去. 所以，万个=2250个. 答：环卫局每个月实际改造分类垃圾箱房2250个. 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 1．下列关于x的方程中，有实数根的是（　　） A．x2+2x+3＝0 B．x3+2＝0 C． D．． 【分析】先计算出△，再根据△的意义可对A进行判断；利用立方根的定义可对B进行判断；对于C，先去分母得x＝1，而x＝1时，分母x﹣1＝0，即x＝1是原方程的增根，则原方程没有实数根；对于D，先移项得到＝﹣3，然后根据二次根式的非负性易判断方程无实数解． 【解答】解：A、Δ＝4﹣4×3＝﹣8＜0，则方程没有实数根，所以A选项不正确； B、x3＝﹣2，则x＝﹣，所以B选项正确； C、去分母得x＝1，而x＝1时，分母x﹣1＝0，则x＝1是原方程的增根，原方程没有实数根，所以C选项不正确； D、＝﹣3，方程左边为非负数，右边为负数，则方程无实数解，所以D选项不正确． 故选：B． 【点评】本题考查了无理方程：根号下含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程常用平方法或换元法把它转化为整式方程，解整式方程，然后检验确定无理方程的解．也考查了一元二次方程根的判别式以及解分式方程． 2．在元旦前夕，某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信．已知全公司共发出2450条短信，那么这个公司有员工 　50　人． 【分析】设这个公司有员工x人，则每人需发送（x﹣1）条祝贺元旦的短信，根据全公司共发出2450条短信，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设这个公司有员工x人，则每人需发送（x﹣1）条祝贺元旦的短信， 依题意，得：x（x﹣1）＝2450， 解得：x1＝50，x2＝﹣49（不合题意，舍去）． 故答案为：50． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．方程的解是　x＝1　． 【分析】先把方程两边平方，把无理方程转化成有理方程，求出方程的解，再进行检验即可求出答案． 【解答】解：， 两边平方得：x2﹣1＝x﹣1， x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， 解得：x1＝0，x2＝1， 检验：当x1＝0时，左边＝，方程无意义， 当x2＝1时，左边＝右边＝0， 则原方程的解是x＝1； 故答案为：x＝1． 【点评】此题考查了无理方程，关键是通过把方程两边平方，把无理方程转化成有理方程，要注意检验． 4．方程的解是（ ） A．±1 B．1 C．-1 D．无解 【答案】D 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到y的值，经检验即可得到分式方程的解. 【详解】去分母得，y-1+y+1-y-1=0，解得，y=1， 经检验，y=1是分式方程的增根，所以，原方程无解. 故选D. 【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 5．方程组的解有（ ）组. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由①+②得：2x²=18，解出x的值，分别代入①求出y即可． 【详解】解：，①+②得：2x²=18,解得：; 把x=3代入①得：， 把x=-3代入①得： ∴方程组的解为：，故选D. 【点睛】本题考查了二元二次方程组和解一元二次方程的应用，关键是能把方程组转化成一元二次方程． 6．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设小李每小时走x千米，则小张每小时走（x+1）千米，根据题意可得等量关系：小李所用时间-小张所用时间=半小时，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设小李每小时走x千米，依题意得： 故选B． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程． 7．下列方程组中是二元二次方程组的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据二元二次方程组的定义进行判断即可． 【解析】 解：A是二元二次方程组，故选项符合题意； B是三元二次方程组，故选项不合题意； C是二元一次方程组，故选项不合题意； D中含有无理方程，不是二元二次方程组，故选项不合题意； 故选：A． 【点睛】 本题考查了高次方程，掌握二元二次方程组的定义是解决本题的关键． 8.下列方程中，有实数根的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据二次根式有意义的条件对A选项判断，解分式方程可对B选项进行判断，根据二元一次方程根的判别式可对C选项进行判断，D选项方程两边同时平方，再解二元一次方程可对D选项进行判断；综上即可得答案． 【解析】 ∵， ∴， ∴方程没有实数根，故A选项错误； ， 去分母得，x＝2， 检验当x＝2时，x－2＝0， ∴原方程无解， ∴方程没有实数根，故B选项错误； 中，a＝2，b＝1，c＝1， ∴， ∴方程没有实数根，故C选项错误； ， 两边同时平方得：， 移项得：， 解得：，， 检验：x＝－3是原方程的解，x＝1不是原方程的解， ∴方程有实数根，故D选项正确． 故选：D． 【点睛】 本题考查二次根式有意义的条件、二元一次方程根的判别式、解分式方程及无理方程，熟练掌握相关方程的解法是解题关键． 9．用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是（            ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据换元法将分式方程化为整式方程即可． 【解析】 解：设，则 原方程可化为 两边同时乘以，得 故选A 【点睛】 本题考查了换元法解分式方程，掌握换元法解方程是解题的关键． 10．下列说法正确的是（       ） A．是二项方程 B．是二元二次方程 C．是分式方程 D．是无理方程 【答案】B 【分析】 根据二项方程，二元二次方程，分式方程，无理方程的定义依次判断即可. 【解析】 A. 不是二项方程，故不符合题意； B. 是二元二次方程，故符合题意； C. 是一元二次方程，不是分式方程，故不符合题意； D. 是一元二次方程，不是无理方程，故不符合题意． 故选：B. 【点睛】 本题考查了二项方程，二元二次方程，分式方程，无理方程的定义等知识，熟知各项方程的定义是解题的关键. 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 1．若关于x的方程-2x+m+4020=0存在整数解，则正整数m的所有取值的和为___________. 【答案】18 【分析】 将原方程变形为m=2x-4020，由m为正整数、被开方数非负，可得出2010≤x≤2018，依此代入各值求出m的值，再将是正整数的m的值相加即可得出结论． 【解析】 原题可得：m=2x-4020， ∵m为正整数， ∴m≥0， ∴2x-4020≥0， ∴x≥2010． ∵2018-x≥0， ∴x≤2018， ∴2010≤x≤2018． 当x=2010时，2m=0，m=0，不符合题意； 当x=2011时，m=2，m=，不符合题意； 当x=2012时，m=4，m=，不符合题意； 当x=2013时，m=6，m=，不符合题意； 当x=2014时，2m=8，m=4； 当x=2015时，m=10，m=，不符合题意； 当x=2016时，m=12，m=6，不符合题意； 当x=2017时，m=14； 当x=2018时，0=16，不成立． ∴正整数m的所有取值的和为4+14=18． 故答案为18． 【点睛】 本题考查了无理方程，由被开方数非负及m为正整数，找出x的取值范围是解题的关键． 2.为传播“绿色出行，低碳生活”的理念，小贾同学的爸爸从家里出发，骑自行车去图书馆看书，图1表达的是小贾的爸爸行驶的路程y（米）与行驶时间x（分钟）的变化关系. （1）求线段BC所表达的函数关系式； （2）如果小贾与爸爸同时从家里出发，小贾始终以速度120米/分行驶，当小贾与爸爸相距100米时，求小贾的行驶时间； （3）如果小贾的行驶速度是v米/分，且在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括在家、图书馆两地），请直接写出v的取值范围. 【答案与解析】解：（1）由题意得，，设BC的表达式为，所以得，解之得，所以BC表达式为：； （2）由题意可得小贾行驶路程（米）与时间x（分钟）的函数关系式为：,线段OA的表达式为. ①当时，小贾与爸爸相距100米的时间用如下关系表示 ：，解得；②当时，，解得；③当时，，解得；④时，3000-120=100，解得（分钟）； （3）. 因为小贾在途中与爸爸恰好相遇两次即是对应的图像有两个交点，故小贾的图像在过B点与过C点两直线之间；过B点时，小贾的速度为100米/分，过点C时，小贾的速度为米/分，故. 3．已知a＞1，解方程：＝x． 【分析】设y＝，代入原方程可得＝x，两式平方后相减可得x2﹣y2＝﹣y﹣x，分解因式可得x+y＝0或x﹣y+1＝0，分情况计算可得方程的解． 【解答】解：设y＝，则y2＝a+x①， 则原式变形为：＝x， ∴x2＝a﹣y②， ②﹣①得：x2﹣y2＝﹣y﹣x， ∴（x+y）（x﹣y+1）＝0， ∴x+y＝0或x﹣y+1＝0， 当x+y＝0时， ∵x≥0，y≥0， ∴x＝y＝0， ∴a＝0，此种情况不符合题意； 当x﹣y+1＝0时，代入①得：（x+1）2＝a+x， 解得：x＝， ∵x≥0， ∴x＝（a＞1）， ∴原方程的解为：x＝（a＞1）． 【点评】本题考查了解无理方程，利用换元法将原方程变形后进行因式分解可解答． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 1．某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为__________________． 【答案】+=18 【分析】 根据题意，分别列出采用新技术前和采用新技术后所用时间，相加等于18即可． 【解析】 根据题意，采用新技术前所用时间为：天， 采用新技术后所用时间为：天， 所列方程为：+=18， 故答案为：+=18． 【点睛】 本题主要考查列分式方程，属于基础题，找出题目中的关键语，找到相应的等量关系是解决问题的关键． 2．方程组有两组相等的实数解，则的值为________． 【答案】 【分析】 将方程②变形为，代入①式中，根据一元二次方程有2个相等实根进行求解即可 【解析】 由②得③， 将③代入①得：， 整理得：， 原方程组有两组相等的实数解， 则， 解得． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二元二次方程有相等实数解，转化为一元二次方程有相等实数解是解题的关键． 3．用换元法解方程，如果设，，那么原方程组可化为关于，的方程组是______． 【答案】 【分析】 设，，则，，，从而得出关于、的二元一次方程组． 【解析】 解：设，， 原方程组变为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查用换元法使分式方程简便．换元后再在方程两边乘最简公分母可以把分式方程转化为整式方程．应注意换元后的字母系数． 4．方程的解是__________． 【答案】 【分析】先左右两边同时平方，然后解整式方程即可，注意检验求出的整式方程的根是否为原方程的增根． 【详解】∵，∴， 即 ，解得或． 当时， ， ∴是原方程的增根，∴原方程的解为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查无理方程的解法，掌握无理方程的解法是解题的关键． 5．把二元二次方程化成两个一次方程，则这两个一次方程分别是：__________和__________． 【答案】 【分析】把方程则左边分解因式，根据两个式子的积是0，则至少有一个因式是0，即可转化成两个一次方程． 【详解】解：x2﹣2xy﹣3y2＝0 即（x﹣6y）（x＋y）＝0， 则这两个一次方程分别是：x﹣6y＝0和x＋y＝0． 故答案是：x﹣6y＝0和x＋y＝0． 【点睛】本题考查了高次方程通过分解因式的方法转化成两个一次方程，降次是高次方程的基本思想． 6．方程的根是____________________． 【答案】x1=-1，x2=3 【分析】两边都乘以x(2x+3)，化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】两边都乘以x(2x+3)，得2x+3=x2， ∴x2-2x-3=0，∴(x+1)(x-3)=0，∴x1=-1或x2=3， 检验：当x=-1时，x(2x+3) ≠0，当x=3时，x(2x+3) ≠0， ∴方程的根是x1=-1，x2=3．故答案为：x1=-1，x2=3． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出x的值后不要忘记检验．也考查了一元二次方程的解法． 7．_______方程组的解（填“是”或“不是”）． 【答案】不是 【分析】把代入原方程组的两个方程即可得到答案． 【详解】解：把代入原方程组中的中， 方程左边＝右边，所以不是原方程组的解． 故答案为：不是． 【点睛】本题考查的是方程组的解的含义，掌握方程组的解满足方程组的每一个方程是解题的关键． 8．方程的增根是_________________． 【答案】 【分析】两边平方，把无理方程化为，解得，，然后进行检验确定原方程的解，从而得到原方程的增根． 【详解】解：，， 整理得，解得，， 检验：当时，左边，右边，左边右边，则为原方程的增根； 当时，左边，右边，左边右边，则为原方程的根， 所以原方程的解为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法．解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 9．某商品原价1820元，经过两次降价，若两次降价的百分率相同为x，则两次降价后的价钱为__________________元。（用含x的代数式表示） 【答案】1820（1-x）2 【分析】先求出第一次降价后的价格，再根据现在的价格=第一次降价后的价格×（1-降价的百分率）． 【详解】解：第一次降价后的价格为1820（1-x）元，第二次降价是在第一次降价后完成的，所以应为：1820（1-x）（1-x）元，即1820（1-x）2元． 故答案为：1820（1-x）2． 【点睛】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b． 10．如果方程有增根，则m的值为____. 【答案】或2. 【分析】方程有增根，则x2+x=0，解得x=0或x=-1，方程整理得，代入即可求出m的值. 【详解】解：∵方程有增根， ∴，解得：或， ∵， 整理得：， ∴， 把或，代入， 解得：或； 故答案为：或2. 【点睛】本题考查了分式方程的增根，有增根说明最简公分母为0，则可得出x的值，代入即可求得m的值． 11．如图在一块长为22米,宽为17米的矩形地面上,要修建一条长方形道路LMPQ及一条平行四边形道路RSTK,剩余部分种上草坪,使草坪面积为300平方米,若LM=RS=米,则根据题意可列出方程为______ 【答案】(22−x)(17−x)=300. 【分析】将每条道路平移到矩形的一边处，表示出新矩形的长和宽，利用矩形的面积的计算方法得到方程即可． 【详解】根据题意得：(22−x)(17−x)=300； 故答案为：(22−x)(17−x)=300. 【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于理解题意列出方程. 12．若x+=，则x-=____________. 【答案】±2 【分析】先对等式x+=两边平方得，整理得到，再用完全平方公式求出的值，再开平方求出的值. 【详解】解：∵x+=，∴ ∴，∴ ∴，∴ 故答案是： ±2. 【点睛】本题考查了互为倒数的两个数的和与差的完全平方公式的应用，利用当两数互为倒数时积为1这个特征去解题是关键. 13．若关于x的分式方程 = 的根为正数，则k的取值范围是(   ) A．k<- 且k≠-1        B．k≠-1          C．- <k<1       D．k<- 【答案】A 【分析】 先去分母求出分式方程的解，再根据此方程的解为正数，列出关于k的不等式，注意此方程有解，则x≠1，x≠﹣k，求出k的取值范围即可． 【解析】 方程两边同时乘以（x+k）（x-1）得： x﹣1=5x+5k 解之：x= ∵x＞0且x≠1，x≠﹣k ∴＞0且≠1且≠﹣k， 解得：k＜且k≠﹣1， ∴k＜且k≠﹣1 故答案为：A 【点睛】 本题考查分式方程的解、解分式方程、解一元一次不等式，理解分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解答的关键，注意使分式有意义的隐含条件． 14．如果关于的方程无解，则的值是（       ） A．－1 B．1 C．0 D．2 【答案】B 【分析】 去分母把分式方程化为整式方程，由于关于的分式方程无解即是分母为，由此可得，再按此进行计算即可． 【解析】 去分母得：， 可得：， 当，即时，分式方程无解， 此时， 故选：B． 【点睛】 本题考查了分式方程无解的情况，关键是理解分式方程无解即是分母为. 15.二元二次方程组的解的个数是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 由①得x-y=0或x+2y=0，原方程组可变为：或，然后用代入消元法求解即可． 【解析】 ， 由①得 (x-y)(x+2y)=0， ∴x-y=0或x+2y=0， ∴原方程组可变为： 或， 由③得 x=y， 把x=y代入④得 y2+4y=-2， 解得 y=-2±， ∴，； 由⑤得 x=-2y， 把x=-2y代入⑥得 4y2+4y+2=0，即2y2+2y+1=0， ∆=4-8=-4＜0， ∴此时方程无实数根， 综上可知，方程组有两组解：，． 故选B． 【点睛】 本题考查了二元二次方程组的解法，熟练掌握代入消元法是解答本题的关键． 16．下列方程有实数解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 A选项根据等式左右两边的大小关系可以判断该方程是否有实根． B.解分式方程，进行验根即可得解； C选项根据等式左右两边的大小关系可以判断该方程是否有实根． D选项根据被开方数的非负性，容易求出x的大小，从而判断选项的正确与否． 【解析】 A. 中可得，此不等式组无解，即原方程无解，故A错误； B. ，去分母得整理得，5-x=3，解得x=2，经检验，原方程无解. C. 中，故原方程无解； D. 中x-1≥0，1-x≤0，可以得到x=1，检验x=1为方程的解. 故选D． 【点睛】 本题考查了二次根式的非负性，同时也考查了解根式方程的基本方法，即将根式方程转化为整式方程，它体现数学中的转化思想． 17.解关于x的方程：. 【解析】解：去括号，得，移项合并，得，①当时，，所以原方程无解；②当时，原方程有唯一解.所以当时，原方程无解；当时，原方程有唯一解. 18．解方程：＝2． 【答案】x＝1和x＝﹣1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】去分母得：x2+4x+4﹣3x2＝2x2+4x， 整理得：4x2＝4，即x2＝1， 解得：x＝1或x＝﹣1， 经检验x＝1和x＝﹣1都为分式方程的解 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 19．解方程：＝3． 【答案】无解 【分析】先移项得到＝+3，两边平方得x+3＝x+6+9，则＝﹣1，利用算术平方根的定义可判断方程无解． 【详解】＝+3，两边平方得x+3＝x+6+9， 整理得＝﹣1，方程无解，所以原方程无解 【点睛】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等． 用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 20．某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长8千米的公路．如果平均每天的修建费y（万元）与修建天数x（天）之间在50≤x≤100时具有一次函数关系，如表所示： x（天） 60 80 100 y（万元） 45 40 35 （1）直接写出y关于x的函数解析式是　 　； （2）后来在修建的过程中计划发生改变，政府决定多修3千米，因此在没有增减建设力量的情况下，修完这条路比计划晚了21天，求原计划每天的修建费？ 【答案】（1）y＝+60；（2）原计划每天的修建费是46万元 【分析】 （1）根据题意设出函数解析式，由表格中的数据可以求得函数的解析式； （2）根据题意可以列出相应的方程，求出原计划修路用的天数，从而可以求得原计划每天修建的费用． 【解析】 解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵图象过点（60，45），（80，40）， ∴， 解得：； ∴y关于x的函数解析式为y＝+60． 故答案为：y＝+60； （2）设原计划修完这条路需要m天， 根据题意得： 解得m＝56， 经检验m＝56是原方程的根， ∵50≤m≤100， ∴y＝×56+60＝46（万元）， 答：原计划每天的修建费是46万元． 【点睛】 本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用待定系数法求出y关于x的函数解析式． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$