精品解析：江西省南昌市心远中学2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024-2025学年第一学期期末阶段性学习质量检测初三数学试卷 说明： 1．本卷共有六个大题，23个小题，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列四个数中，比小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点射入，经过地板反射到天花板上形成光斑．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为，当时，光斑移动的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 约定：当时，代数式的值记为；当时，代数式的值记为．若，且，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算的结果是_______． 8. 在中，，，，那么的值是__________． 9. 已知x、y满足方程组，则x+y的值为_____． 10. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 11. 如图，已知的两弦相交于，且点为的中点，若，则的度数为______． 12. 如图，已知，，将绕点旋转逆时针旋转，旋转角为，当点恰好落在的边上时的长为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）如图，将绕点顺时针旋转，得到，若，求的度数． 14. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 15. 化学实验课上，邱老师带来了四个常考的实验，让同学们随机选择一个实验来制取氧气． A．高锰酸钾制取氧气： B．碳酸钙制取二氧化碳： C．电解水： D．一氧化碳还原氧化铜： （1）若小红从四个实验中任意选一个实验，则选到实验A．高锰酸钾制取氧气的概率为___________； （2）小红先从这四个实验中随机选一个实验，小明再从剩下的三个实验中随机选一个，利用列表或画树状图的方法求两个实验均能制取氧气的概率． 16. 如图，中，是⊙的一条弦，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求画图（不写画法，保留画图痕迹）． （1）如图1，点在⊙上，在图中画一个含有角的直角三角形； （2）如图2，点在⊙内，在图中画一个含有角的直角三角形． 17. 如图，平分，D为的中点，． （1）求证：． （2）若，求的长． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，轴，垂足为．反比例函数的图象经过点，交于点．已知． （1）若，求反比例函数的解析式： （2）连接，若，求的长． 19. 赣南脐橙果大形正，橙红鲜艳，肉质脆嫩化渣，风味浓甜芳香．某水果店购进了一批成本为元千克的赣南脐橙．当售价为元千克时，平均每周能售出千克，为了扩大销售量，减少库存，水果店决定降价促销，调查发现，如果每降价元千克，那么该水果店平均每周可多售出千克赣南脐橙． （1）商家要想平均每周盈利元，每千克赣南脐橙应该降价多少元？ （2）商家要想获得最大收益，每千克赣南脐橙应该降价多少元？最大收益是多少元？ 20. 图（1）是某广场社会主义核心价值观标牌雕塑，将其抽象为如图（2）所示的平面示意图，六边形，为两个正六边形，且点、、、在同一水平线上，已知． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接，当点为的中点时，，请你计算点、两点之间的距离．（结果精确到．参考数据：） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 问题探究如图，是的直径，． （1）求的度数． （2）拓展延伸如图，若，与的交点记作，． ①求的半径； ②如图，若是的切线，且点在的延长线上，求图中阴影部分的周长． 22. 课本再现 （1）如图1，和都是等边三角形，且点、、在一条直线上，连接和相交于点，线段与有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？ 深入探究 （2）如图2，将绕点逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同． ①线段与的数量关系是___________； ②的度数为___________． 拓展应用 （3）如图3，四边形中，，，，，，求边的长度． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图（1），在中，，点为边上一动点，过点作，交于点．将沿折叠，点的对应点为，若的长为与重叠部分的面积为（点与点或点重合时，不妨设），与之间的函数关系如图（2）所示． （1）①的长为___________，的长为___________； ②当时，关于的函数解析式为___________． （2）当时，与之间的关系图象是抛物线的一部分，且时，取得最大值，求抛物线的解析式． （3）在（2）的条件下，若存在对应的值相等，且，求此时与重叠部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期末阶段性学习质量检测初三数学试卷 说明： 1．本卷共有六个大题，23个小题，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列四个数中，比小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的法则是关键．根据有理数的大小比较法则：正数>0>负数；然后根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得到答案． 【详解】解：∵ 正数>0>负数，， ∴ ∴， ∴比小的是． 故选：D． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂相乘（除），合并同类项，根据运算法则计算，并逐项判断即可． 【详解】解：因为，所以A不正确，不符合题意； 因为，所以B不正确，不符合题意； 因为不是同类项，不能计算，所以C不正确，不符合题意； 因为，所以D正确，符合题意． 故选：D． 3. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 4. 如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限， 故选项B正确，选项C错误； 当时，函数的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项A，D错误； 故选：B． 5. 如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点射入，经过地板反射到天花板上形成光斑．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为，当时，光斑移动的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，矩形的性质与判定，解直角三角形的应用；设中午和下午某时刻光线与地板的交点分别为，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点，则四边形是矩形，则，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，设中午和下午某时刻光线与地板的交点分别为，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点，则四边形是矩形，则， ∵， ∴， 根据对称性可得， ∴ 故选：B． 6. 约定：当时，代数式的值记为；当时，代数式的值记为．若，且，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的应用，设，根据对称轴公式求出对称轴，然后根据，可知当和当时函数值相等，从而求出对称轴，得出关于m、n的方程，于是得出，再把和分别代入解析式即可得出的值． 【详解】解：设， 由抛物线的对称性及可得， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算的结果是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查分式的加减，直接利用分式的加减运算的法则进行求解即可． 【详解】解：原式， 故答案为：2． 8. 在中，，，，那么的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，根据正切的定义计算，得到答案． 【详解】解：如图，，，， ∴． 故答案为：． 9. 已知x、y满足方程组，则x+y的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】由2x+y＝5，x+2y＝4，两式相加化简即可得出． 【详解】解：， 两式相加得：3（x+y）＝9，即x+y＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解，准确分析是解题的关键． 10. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 11. 如图，已知的两弦相交于，且点为的中点，若，则的度数为______． 【答案】##58度 【解析】 【分析】本题主要考查运用垂径定理求值，连接交于点F，则由垂径定理得，由得，再根据直角三角形两锐角互余可求值． 【详解】解：连接交于点F，如图， ∵点A为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， 故答案为：． 12. 如图，已知，，将绕点旋转逆时针旋转，旋转角为，当点恰好落在的边上时的长为______． 【答案】3或或 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转，直角三角形的性质，熟练掌握图形的旋转及直角三角形的性质是解答本题的关键．先利用直角三角形的性质求出和的长，再求出斜边上的高的长，当点D落在边上时，；当点D落在边上时，可得点D与点H重合，利用勾股定理求得的长；当点D落在边上时，直接利用勾股定理求得的长，由此即得答案． 【详解】解：作斜边上的高， ，， ， ， ， ，， ， ， 当点D落在边上时，如图1，； 当点D落在边上时，如图2，点D与点H重合， ； 当点D落在边上时，如图3， ； 综上所述，的长为3或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）如图，将绕点顺时针旋转，得到，若，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程、旋转的性质、三角形的外角的性质等知识点． （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． （2）由旋转的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，然后求解即可． 【详解】解：（1） ∴ ∴或， 解得：； （2）绕点顺时针旋转得到， ∴， 又∵， ． 故答案为． 14. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 将解集表示在数轴上如图： ． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 15. 化学实验课上，邱老师带来了四个常考的实验，让同学们随机选择一个实验来制取氧气． A．高锰酸钾制取氧气： B．碳酸钙制取二氧化碳： C．电解水： D．一氧化碳还原氧化铜： （1）若小红从四个实验中任意选一个实验，则选到实验A．高锰酸钾制取氧气的概率为___________； （2）小红先从这四个实验中随机选一个实验，小明再从剩下的三个实验中随机选一个，利用列表或画树状图的方法求两个实验均能制取氧气的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率： （1）直接由概率公式求解即可； （2）根据题意，画出树状图，可得总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两个实验能制取氧气的结果有2种，再根据概率公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：共有4个实验，小红选到实验A．高锰酸钾制取氧气的概率为； 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如图， 共有12种等可能结果，其中两个实验能制取氧气的结果有2种， ∴两个实验均能制取氧气的概率为． 16. 如图，中，是⊙的一条弦，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求画图（不写画法，保留画图痕迹）． （1）如图1，点在⊙上，在图中画一个含有角的直角三角形； （2）如图2，点在⊙内，在图中画一个含有角的直角三角形． 【答案】（1） 解：如图，是的直径，连接，即为所作． ∵是的直径， ∴， ∵， ∴是含有角的直角三角形； （2） 解：如图，延长交于点F，是圆的直径，连接、，即为所作． ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴是含有角的直角三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-应用与设计，圆周角定理． （1）连接，延长交于E，连接，即为所求； （2）延长交于F，作直径，连接、，即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，平分，D为的中点，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似，进行证明即可； （2）根据相似三角形的性质进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，轴，垂足为．反比例函数的图象经过点，交于点．已知． （1）若，求反比例函数的解析式： （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理和反比例函数图象的性质． （1）利用等腰三角形的性质得出，的长，再利用勾股定理得出的长，得出C点坐标即可得出答案； （2）设A点的坐标为，首先表示出D，C点坐标，进而利用反比例函数图象上的性质求出C点坐标，然后利用勾股定理即可求得的长． 【小问1详解】 解：作，垂足为E， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴C点的坐标为：， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，作，垂足为E， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 设A点的坐标为， ∵，， ∴， ∴D，C两点的坐标分别为：，． ∵点C，D都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴C点的坐标为：， ∴． 19. 赣南脐橙果大形正，橙红鲜艳，肉质脆嫩化渣，风味浓甜芳香．某水果店购进了一批成本为元千克的赣南脐橙．当售价为元千克时，平均每周能售出千克，为了扩大销售量，减少库存，水果店决定降价促销，调查发现，如果每降价元千克，那么该水果店平均每周可多售出千克赣南脐橙． （1）商家要想平均每周盈利元，每千克赣南脐橙应该降价多少元？ （2）商家要想获得最大收益，每千克赣南脐橙应该降价多少元？最大收益是多少元？ 【答案】（1）商家要想平均每周盈利元，每千克赣南脐橙应该降价3元 （2）每千克赣南脐橙应该降价元，商家获得收益最大为元． 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用； （1）根据“每降价元千克，那么该水果店平均每周可多售出千克赣南脐橙”可知降价x元，多售出千克，根据题意结合销量×每千克的利润，进而求出答案； （2）根据题意结合销量×每千克的利润，进而利用二次函数增减性求出答案． 【小问1详解】 解：设每本纪念册应降价元，每周可售出纪念册的本数是本； 根据题意，得， 整理，得， 解得，． ∵商店扩大销售量，减少库存， ∴， 答：每千克赣南脐橙应该降价3元； 【小问2详解】 解：设每千克赣南脐橙应该降价元，商家获得收益最大为元， 根据题意，得． 所以，当时，商家获得收益最大，最大收益是元． 答：每千克赣南脐橙应该降价元，商家获得收益最大为元． 20. 图（1）是某广场社会主义核心价值观标牌雕塑，将其抽象为如图（2）所示的平面示意图，六边形，为两个正六边形，且点、、、在同一水平线上，已知． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接，当点为的中点时，，请你计算点、两点之间的距离．（结果精确到．参考数据：） 【答案】（1） 证明：∵六边形，为两个正六边形， ∴，， ∴， ∴， 即 ∴四边形为平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，平行四边形的判定，解直角三角形的应用； （1）根据正六边形的性质得出，，，进而可得，即可得证； （2）根据正六边形的性质得出是等边三角形，结合平行四边形的性质得出，，结合已知，进而解，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵六边形，为两个正六边形， ∴ ∴是等边三角形，则， ∵四边形为平行四边形； ∴，， ∴ ∵，点为的中点 ∴， ∴ 如图所示，在中，过点作于点， ∵， ∴ ∵， ∴ 即点、两点之间的距离为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 问题探究如图，是的直径，． （1）求的度数． （2）拓展延伸如图，若，与的交点记作，． ①求的半径； ②如图，若是的切线，且点在的延长线上，求图中阴影部分的周长． 【答案】（1）； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）连接，先根据圆周角定理得到，进而结合题意进行角的运算即可求解； （2）①连接，先根据圆周角定理结合等腰三角形的性质得到，，进而得到的度数，设的半径为，则，再根据题意解直角三角形即可求解；②连接，进而根据圆周角定理得到，由①可得的半径为，进而根据弧长的计算公式得到的长，再根据切线的性质得到，再解直角三角形得到和，从而根据“阴影部分的周长为”即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， 是的直径 ． ． 【小问2详解】 解：①如图，连接． ，是的直径 ，， ． 设的半径为，则． 在中， ，即 解得． ②如图，连接． ． 由①可得的半径为 的长为． 是的切线 ． 在中， ， ， ， 阴影部分的周长为 【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质、弧长的计算以及解直角三角形等，解题的关键在于正确画出辅助线． 22. 课本再现 （1）如图1，和都是等边三角形，且点、、在一条直线上，连接和相交于点，线段与有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？ 深入探究 （2）如图2，将绕点逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同． ①线段与的数量关系是___________； ②的度数为___________． 拓展应用 （3）如图3，四边形中，，，，，，求边的长度． 【答案】 （1），理由如下， 和都是等边三角形， ， ，即． 将绕点逆时针旋转得到， ； （2）①； ②； （3） 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质得到，进而根据旋转的性质将绕点逆时针旋转得到，即可得到； （2）①证明得到； ②根据得到，再根据三角形外角的性质求出，则可得； （3）先证明是等边三角形，如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，连接，则，证明是等边三角形，得到，进一步证明．由勾股定理得． 【详解】解：（1）略 （2）①和都是等边三角形， ， ，即． 在和中， ， ， 故答案为：． ② ， ， ， 故答案为：． （3）， 是等边三角形， ， 如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，连接， ∴， 是等边三角形， ， 由旋转的性质知， ， ． 在中，由勾股定理得， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，三角形外角的性质等等，熟练掌握手拉手模型证明三角形全等是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图（1），在中，，点为边上一动点，过点作，交于点．将沿折叠，点的对应点为，若的长为与重叠部分的面积为（点与点或点重合时，不妨设），与之间的函数关系如图（2）所示． （1）①的长为___________，的长为___________； ②当时，关于的函数解析式为___________． （2）当时，与之间的关系图象是抛物线的一部分，且时，取得最大值，求抛物线的解析式． （3）在（2）的条件下，若存在对应的值相等，且，求此时与重叠部分的面积． 【答案】（1）①，；② （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，相似三角形的性质与判定，折叠问题； （1）根据函数图象可得时，则，当时，则点与点重合，此时是的中点，进而可得是的中位线，则，根据函数图象时，，进而根据三角形的面积公式求得，即可得出的长； ②根据得出，根据相似三角形的性质求得，进而根据三角形的面积公式列出函数关系式，即可求解； （2）根据题意设抛物线解析式为：，根据函数图象可得，在抛物线上，待定系数法求解析式，即可求解； （3）分，两种情况讨论；当时根据对称性可得，联立，确定和的值，代入（2）中解析式，即可求解；当时，确定的范围，联立与求得的值，进而根据的取值范围取舍，即可求解． 【小问1详解】 解：①根据函数图象可得与重合时，时，则， 当时，则点与点重合，此时是的中点， 根据函数图象可得时，， 即时，，则 ∵ ∴ ∴ ∴是的中位线，则 ∴， 故答案为：，． ②∵ ∴ ∴，即， ∴ ∴当时，， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵时，与之间的关系图象是抛物线的一部分，且时，取得最大值， ∴设抛物线解析式为：， 将，，代入， 得，， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 【小问3详解】 解：∵时，，存在对应的值相等， ∴对称轴为直线① 又∵②， 联立①②解得： ∴此时与重叠部分的面积为． 当时， ∵，则 ∴ ∴ ∵当时， ∴当 整理得， 解得：或 ∵ ∴不存在此情形， 综上所述，与重叠部分的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $