精品解析：山东全省统考暨金乡县2024-2025学年上学期期末九年级数学测试题

山东全省统考暨金乡县2024-2025学年上学期期末九年级数学测试题 一、选择题（3×10=30分） 1. 下列各数在数轴上表示的点距离原点最近的是（ ） A. B. C. D. 2. 敦煌莫高窟是世界优秀文化遗产．下列是莫高窟壁画中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年12月2日，年输气能力达380亿立方米的中俄东线天然气管道全线贯通，它是中国四大油气战略通道的重要组成部分，也是目前世界上单管输量最大的长输天然气管道．将380亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 有4张只有数字不同的卡片，上面分别写有2，3，4，5．从中随机抽取2张，所抽取卡片上的数字之和能够被3整除的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知五边形为正五边形，以点A为圆心，以的长为半径画弧，分别交的延长线于点F，G.连接，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 10. 某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2400元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（3×5=15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 若关于的方程的一个根是2，则另一个根是______． 13. 已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴正半轴上的一点，连接．当的面积等于4时，直线的表达式为 ___________． 14. 如图，将绕点A逆时针方向旋转一定角度得到，使点D落在上，与相交于点F，若，，则的大小为___________． 15. 在平面直角坐标系中，若，均为整数，对于点，规定：当为奇数时，将其减1后除以2作为点的横坐标，当为偶数时，将其除以2作为点的横坐标；同时对进行和同样的处理作为点的纵坐标．由点A到点这样的坐标变换称为一次“归一变换”．经过数次“归一变换”后，平面直角坐标系内所有横，纵坐标均为整数的点终将变换为，，，中的一个．当，均为整数且，时，经过数次“归一变换”后最终变换为的是______．（写出一个满足题意的点即可） 三、解答题（8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图1，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N．分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点E．作射线．过点C作，交于点D． （1）求的长； （2）如图2，连接．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q．作直线，交的延长线于点F．连接，交于点G．当时，求的长． 18. 在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中，． （1）当反比例函数的图象和矩形有交点时，的最大值为 ．（请直接写出结果） （2）如图，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接． ①当时，求的面积； ②连接，判断与是否平行？并说明理由． 19. 某市旅游资源丰富，每年都有大量游客前来旅游．该市实验中学数学兴趣社团开展社会实践活动，在国庆节当天随机选取100名游客进行满意度调查．每名游客分别对该市的历史文化、自然景观、地域特色、旅游产品、旅游服务五个项目打分，每个项目20分，共100分．将各项打分进行了整理，下面给出了部分信息． 信息一 每名游客对五个项目打分之和记为满意度分数，满意度分数用表示，将满意度分数数据分成如下四组：第1组，第2组，第3组，第4组．以下是满意度分数的频数分布直方图和扇形统计图的部分信息． 结合信息一解决下列问题： （1）将频数分布直方图补全，并判断这100个满意度分数的中位数位于第________组： （2）在扇形统计图中，第4组所对应的圆心角度数是________； （3）据统计，当天本市游客人数达到6.8万．请估计这6.8万人中满意度分数不低于80分的人数： 信息二 100名游客对本市历史文化、自然景观、地域特色、旅游产品、旅游服务打分的平均分和方差如下表： 项目 统计量 历史文化 自然景观 地域特色 旅游产品 旅游服务 平均分 18.3 17.6 16.1 15.1 16.8 方差 2.1 2.3 1.8 1.9 3.4 （4）为了更好地服务游客，提升本市旅游形象，请结合信息二，写出合理建议供主管部门参考． 20. 在数学探究课上，老师要求同学们按照下列步骤进行探究． 动手操作： 第一步，画出等腰，使得． 第二步，作出关于对称的． 第三步，过点作的平行线，交直线于点． 第四步，分别以，为边作． 根据以上操作，甲，乙，丙三位同学各自作出了如下图所示的三个图形，并共同进行了探究．请你根据三位同学作出的图形解决下列问题． （1）直接写出图1中的度数； （2）图2，图3中均有．请就图2给出证明； （3）图3中．求出的长． 21. 如图，等腰内接于，点D是线段上异于O，B的一点．连接并延长交于点E，点P在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值． 22. 【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度． 【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具． 【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是，，，且，，，在同一水平面上．经过多次测量，得到如下数据：，，，． 【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）． （1）求，两点间的距离； （2）求该条待建环山路的长度（结果保留）． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时． ①求证：该抛物线的顶点不在第三象限； ②若为自然数，且该抛物线与轴有两个不同交点和，求的值． （2）若，直线与该抛物线有两个交点，，其坐标分别为和．当时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东全省统考暨金乡县2024-2025学年上学期期末九年级数学测试题 一、选择题（3×10=30分） 1. 下列各数在数轴上表示的点距离原点最近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查绝对值的含义，熟练计算无理数的绝对值是解题的关键．比较各项的绝对值，绝对值最小的即为距离最近． 【详解】解：数轴上表示的点距离原点最近的是， 故选：B． 2. 敦煌莫高窟是世界优秀文化遗产．下列是莫高窟壁画中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是解题的关键．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 3. 2024年12月2日，年输气能力达380亿立方米的中俄东线天然气管道全线贯通，它是中国四大油气战略通道的重要组成部分，也是目前世界上单管输量最大的长输天然气管道．将380亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，要正确确定的值以及的值是解决此题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，据此解答即可． 【详解】解：380亿， 故选：C． 4. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了物体的三视图，掌握三视图的画法是解题的关键． 根据从上面看到的平面图形即可求解． 【详解】解：这个几何体从上面看，形状如图：， 故答案为：D． 5. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟练运用解不等式的方法是正确解决本题的关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集是， 故答案为：A． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．同底数幂相除，底数不变指数相减；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变；根据合并同类项、积的乘方法则以及同底数幂的除法法则逐项分析即可． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故不正确； B、，故运算正确； C、不是同类项，不能合并，故不正确； D、，而非，故不正确； 故选：B． 7. 有4张只有数字不同的卡片，上面分别写有2，3，4，5．从中随机抽取2张，所抽取卡片上的数字之和能够被3整除的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，用列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果以及满足题意的结果数成为解题的关键．先根据列表法确定所有等可能结果数、以及能被3整除的结果数，然后再运用概率公式求解即可． 【详解】解：如下： 2 3 4 5 2 —— 3 —— 4 —— 5 —— 由表知，共有12种等可能结果，数字之和能够被3整除的有种4种结果， 概率． 故选：A． 8. 如图，已知五边形为正五边形，以点A为圆心，以的长为半径画弧，分别交的延长线于点F，G.连接，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角的性质，正多边形的性质以及等腰三角形的性质．连接，，首先，由正五边形内角和公式求出内角的度数，进而得到的度数，然后，根据等腰三角形性质求出和的度数，求出的度数，最后通过，求出的度数． 【详解】解：如图，连接， 则与是上弧所对的圆心角和圆周角， ∴， ∵五边形为正五边形 在等腰， 同理： ∴ 故选：C． 9. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了逆命题、命题真假的判定、不等式的性质、绝对值等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．分别写出逆命题，然后根据相关知识判断命题的真假即可． 【详解】解：A．逆命题为：如果，那么是假命题，不符合题意； B．逆命题为：如果，那么是假命题，不符合题意； C．逆命题为：如果，那么是假命题，不符合题意； D．逆命题为：如果，那么是真命题，符合题意． 故选：D． 10. 某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2400元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系式．根据题意，设购买了个篮球，购买了个足球，根据题意，列出方程，分类讨论即可． 【详解】解：根据题意，设购买了个篮球，购买了个足球， ， 整理得：且，为正整数， 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，该社团共有3种购买方案． 故选：C． 二、填空题（3×5=15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 若关于的方程的一个根是2，则另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于两根之积等于是解题的关键． 设方程的另一个根为n，根据两根之和等于，即可得出关于n的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为n， 则有，解得：． 故答案为． 13. 已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴正半轴上的一点，连接．当的面积等于4时，直线的表达式为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形面积、求函数解析式等知识点，确定点的坐标是解题的关键．先求得，，设点的坐标为，则，再根据的面积等于4求得，即；然后运用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， 当，则，当，则， ∴，， 设点的坐标为，则， 的面积等于4， ， 解得：或（不合题意，舍弃）， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的表达式为． 故答案为：． 14. 如图，将绕点A逆时针方向旋转一定角度得到，使点D落在上，与相交于点F，若，，则的大小为___________． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转性质以及三角形内角和定理，解题的关键是利用旋转性质得到对应角相等，并结合直角三角形的性质求解． 【详解】由旋转的性质可得，、，再根据直角三角形两锐角互余可得，进而得到，然后根据等腰三角形的性质进而得，最后根据三角形外角的性质求解即可． 【解答】解：由题意可得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，若，均为整数，对于点，规定：当为奇数时，将其减1后除以2作为点的横坐标，当为偶数时，将其除以2作为点的横坐标；同时对进行和同样的处理作为点的纵坐标．由点A到点这样的坐标变换称为一次“归一变换”．经过数次“归一变换”后，平面直角坐标系内所有横，纵坐标均为整数的点终将变换为，，，中的一个．当，均为整数且，时，经过数次“归一变换”后最终变换为的是______．（写出一个满足题意的点即可） 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查了点坐标规律探索，理解“归一变换”的定义是解题的关键． 根据“归一变换”的定义求解即可． 【详解】解∶，均为整数且，， 可以为，，, , 选取, 进行“归一变换”可得∶, 对进行“归一变换”可得∶, 对进行“归一变换”可得∶, 对进行“归一变换”可得∶, 对进行“归一变换”可得∶, 故答案为∶ (答案不唯一). 三、解答题（8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的化简，分式的化简求值，熟练掌握运算法则和相关知识点是解题的关键． （1）分别化简二次根式，计算零指数幂和化简绝对值，再进行二次根式的加减计算； （2）直接运用分式的混合运算法则化简求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； 当时，原式． 17. 如图1，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N．分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点E．作射线．过点C作，交于点D． （1）求的长； （2）如图2，连接．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q．作直线，交的延长线于点F．连接，交于点G．当时，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了了角平分线性质、等腰三角形判定、等边三角形判定与性质、平行线性质、垂直平分线的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）由作图知平分，根据平行线的性质和角平分线的性质得，然后根据等角对等边即可得出答案； （2）由作图知垂直平分，然后得，再根据得为等边三角形，然后利用线段的和差即可解答． 【小问1详解】 解：由题意知平分， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以 因为， 所以． 【小问2详解】 解：由题意知垂直平分， 所以， 因为， 所以为等边三角形， 所以， 因为， 所以， 所以． 18. 在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中，． （1）当反比例函数的图象和矩形有交点时，的最大值为 ．（请直接写出结果） （2）如图，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接． ①当时，求的面积； ②连接，判断与是否平行？并说明理由． 【答案】（1）12 （2）①；②与相互平行，见解析 【解析】 【分析】（1）由反比例函数的性质可得，再根据反比例函数图象和矩形有交点，即，，进而得到当，时，有最大值； （2）先根据题意得到，，①连接，，由，得到，，求得，，，，然后利用割补法即可求得答案；②连接，先求得，，可得，从而证明，得到，即可推出． 【小问1详解】 解：反比例函数， ， 反比例函数的图象和矩形有交点，其中， ，， 当，时，有最大值， 故答案为：12． 【小问2详解】 解：，，且四边形为矩形， ， ，， 反比例函数的图象与，分别交于点，， ，， ①连接，，如图 ， ，， ，， ，， ； ②与相互平行，理由如下： 连接，如图 ，， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握以上知识点，利用数形结合的思想是解题的关键． 19. 某市旅游资源丰富，每年都有大量游客前来旅游．该市实验中学数学兴趣社团开展社会实践活动，在国庆节当天随机选取100名游客进行满意度调查．每名游客分别对该市的历史文化、自然景观、地域特色、旅游产品、旅游服务五个项目打分，每个项目20分，共100分．将各项打分进行了整理，下面给出了部分信息． 信息一 每名游客对五个项目打分之和记为满意度分数，满意度分数用表示，将满意度分数数据分成如下四组：第1组，第2组，第3组，第4组．以下是满意度分数的频数分布直方图和扇形统计图的部分信息． 结合信息一解决下列问题： （1）将频数分布直方图补全，并判断这100个满意度分数的中位数位于第________组： （2）在扇形统计图中，第4组所对应的圆心角度数是________； （3）据统计，当天本市游客人数达到6.8万．请估计这6.8万人中满意度分数不低于80分的人数： 信息二 100名游客对本市历史文化、自然景观、地域特色、旅游产品、旅游服务打分的平均分和方差如下表： 项目 统计量 历史文化 自然景观 地域特色 旅游产品 旅游服务 平均分 18.3 17.6 16.1 15.1 16.8 方差 2.1 2.3 1.8 1.9 3.4 （4）为了更好地服务游客，提升本市旅游形象，请结合信息二，写出合理建议供主管部门参考． 【答案】（1）见解析 （2） （3）3.536万人； （4）旅游产品的平均分最低，应进一步开发旅游产品以满足游客需求；旅游服务的满意度打分的方差大，所以服务质量良莠不齐，应加大监督力度，切实提升游客的体验感． 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图、中位数的定义、用样本估计整体、方差等知识点，从统计图中获取所需信息成为解题的关键． （1）先用样本容量乘以第二组所占的百分比求出第二组的频数，然后再求出第四组的频数，再补全条形统计图即可；再根据中位数的定义即可确定其所在的组； （2）用乘以第四组所占的频率即可解答； （3）用样本估计整体即可解答； （4）根据平均数和方差进行分析即可解答． 【小问1详解】 解：第二组的频数为：， 第四组的频数为：， 故补全频数分布直方图如下： 由于有100个数据，则中位数为数据从大到小排列后的第50和51个数的平均数，又一、二两组的数量总和为，一、二、三组数量之和为，则这100个满意度分数的中位数位于第3组． 故答案为：三． 【小问2详解】 解：在扇形统计图中，第4组所对应的圆心角度数是． 故答案为：． 【小问3详解】 解：（万人）． 答：这6.8万人中满意度分数不低于80分的人数为3.536万人． 【小问4详解】 解：旅游产品的平均分最低，应进一步开发旅游产品以满足游客需求；旅游服务的满意度打分的方差大，所以服务质量良莠不齐，应加大监督力度，切实提升游客的体验感． 20. 在数学探究课上，老师要求同学们按照下列步骤进行探究． 动手操作： 第一步，画出等腰，使得． 第二步，作出关于对称的． 第三步，过点作的平行线，交直线于点． 第四步，分别以，为边作． 根据以上操作，甲，乙，丙三位同学各自作出了如下图所示的三个图形，并共同进行了探究．请你根据三位同学作出的图形解决下列问题． （1）直接写出图1中的度数； （2）图2，图3中均有．请就图2给出证明； （3）图3中．求出的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，则，，根据对称的性质，等边对等角，则，根据平行线的性质，即可； （2）根据平行四边形的性质，则，，根据对称的性质，可得，，等量代换，则，，最后根据全等三角形的判定定理即可证明； （3）过点作，垂足为点，根据勾股定理，求出，根据平行四边形的性质，对称的性质，可得，，根据等边对等角，求出，根据矩形的判定和性质，可得四边形是矩形，根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，四边形是平行四边形， ，， ，， ，关于对称的， ，， ， ， ； 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， 由对称可得，，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ； 【小问3详解】 解：过点作，垂足为点， ，， ，， ， 由对称可得，，， ， ， ， ， 过点作交的延长线于点， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 设， ，， ， ， ， 即． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查平行四边形，等腰三角形，勾股定理，矩形，全等三角形，对称的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的应用，对称的性质． 21. 如图，等腰内接于，点D是线段上异于O，B的一点．连接并延长交于点E，点P在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质与判定、垂径定理、等腰三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定、垂径定理、等腰三角形的性质与判定、勾股定理是解题的关键． （1）连接，，由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）设，则，则有，然后根据勾股定理可得，则有，进而问题可求解． 【小问1详解】 证明：连接，， ∵是等腰的外接圆，O为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：设，则，此时， ∵是直角三角形， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 22. 【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度． 【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具． 【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是，，，且，，，在同一水平面上．经过多次测量，得到如下数据：，，，． 【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）． （1）求，两点间的距离； （2）求该条待建环山路的长度（结果保留）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握这些定理与性质，并可以通过正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，过点作，垂足为点．由，，得出，，在中，，即可求出和， 即可求解； （2）连接，先求出，再在中利用勾股定理求出，利用圆周长的一半即可求的长，即可解决． 【小问1详解】 解：如图，连接，过点作，垂足为点． ∵， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 答：，两点之间的距离为； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴的长， 答：待建环山路的长度为． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时． ①求证：该抛物线的顶点不在第三象限； ②若为自然数，且该抛物线与轴有两个不同交点和，求的值． （2）若，直线与该抛物线有两个交点，，其坐标分别为和．当时，求的最小值． 【答案】（1）①见解析；②2 （2） 【解析】 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程、解不等式组等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）①先求出时的函数解析式并化成顶点式，据此确定顶点坐标；假设顶点坐标在第三象限列出关于的不等式组，根据不等式组的解集情况即可证明结论； ②由二次函数与一元二次方程的关系结合题意可得，进而得到，从而确定函数解析式．最后求出、，然后作差即可解答； （2）先根据一次函数的性质得到，解得：；则，解得；抛物线解析式可化为，然后将点的坐标代入直线和抛物线解析式求得、，即可确定抛物线解析式，再确定对称轴，最后分三种情况分别根据二次函数的增减性即可解答． 【小问1详解】 ①证明：当时，代入抛物线并化为顶点式得： ， 顶点坐标为， 若顶点在第三象限，则 解得：， 该不等式组无解， 抛物线的顶点不在第三象限； ②解：为自然数，且该抛物线与轴有两个不同交点和， ． ， ， 抛物线为， 当时，，．则； 【小问2详解】 解：，直线与该抛物线有两个交点，，其坐标分别为和， ． 解得：． ． ， ． ， 直线与该抛物线有交点，将点的坐标分别代入得： ， 解得：， 抛物线为． 的图象开口方向向上，对称轴为直线． ①当，即时，，随的增大而减小， 当时，取最小值为． ②当，即时，，随的增大而减小， ，随的增大而增大， 当时，取最小值为0． ③当时，，随的增大而增大， 当时，取最小值为． 综上可知，当时，取最小值为；当时，取最小值为0；当时，取最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $