精品解析：江苏省扬州市邗江区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期末考试 九年级数学 试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一分析选项。 【详解】解：选项A：方程中未知数x的次数为1，属于一元一次方程，故不符合题意； 选项B：方程中含有两个未知数x和y，属于二元二次方程，不符合“一元”的条件，故不符合题意； 选项C：方程的右边含有分式，不是整式方程，不属于一元二次方程，故不符合题意； 选项D：方程中只含有一个未知数x，且最高次数为2，移项后，是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 2. 扬州某日天气预报显示最高气温为，最低气温为，则该日的气温极差为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了极差的定义、有理数加减运算等知识点，掌握极差的定义是解题的关键． 根据最大值与最小值的差叫做极差，列式，再根据有理数加减运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴该日的气温极差为． 故答案为：C． 3. 已知的半径为，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径大小比较即可求解，掌握点和圆的位置关系的判断方法是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为，， ∴, ∴点在圆外， 故选：． 4. 某校运动会前夕，要选60名身高基本相同的女同学组成表演方阵，在这个问题中，最值得关注的是该校所有女生身高的（ ） A. 方差 B. 众数 C. 平均数 D. 中位数 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差、众数、平均数、中位数所代表的意义，即可判定． 【详解】解：在这个问题中，最值得关注的是队伍的整齐，身高必须差不多， 故应该关注该校所有女生身高的众数， 故选：B． 【点睛】本题考查了方差、众数、平均数、中位数所代表的意义，平均数说明的是整体的平均水平；众数说明的是数据中的多数情况；中位数说明的是数据中的中等水平；方差是反应一组数据波动大小的量． 5. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴有唯一交点 【答案】C 【解析】 【分析】先利用配方法得到，可根据二次函数的性质可对、、进行判断；通过解方程可对进行判断． 【详解】解：， 抛物线的开口向下，顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，当 时，随的增大而增大， 令，则，解方程解得 ，， △， 抛物线与轴有两个交点． 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的顶点式的知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 6. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为（　　） A. 3 B. 12 C. 4π D. 12π 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，含度角的直角三角形的性质；如图，过作于，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】如图，过作于， 圆的内接正十二边形的圆心角为， ， ， ， 这个圆的内接正十二边形的面积为， 故选：B． 7. 如图，中，半径，弦交于D，过B作的切线，交的延长线于C，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角是解题的关键．连接，先根据切线的性质得到，则利用勾股定理可计算出，接着证明得到，则，然后在中利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图∶连接， ∵为切线， ∴， ∴ 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，． 故选：D． 8. 若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（ ） A B. 2024 C. D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键． 利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为，则，即、，然后对原式变形后再整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为， ∵方程是“贺岁”方程， ∴，即、， ∴ ． 故选C． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若是一元二次方程的两个根，则的值是_________． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， 故答案为：-3． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 10. 某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为________  【答案】 【解析】 【分析】此题考查了几何概率计算公式以及其简单应用，注意面积之比几何概率．利用击中黑色区域的概率等于黑色区域面积与正方形总面积之比，进而求出答案． 【详解】解：整个正方形被分成了9个小正方形，黑色正方形有5个， 落在黑色区域即获得笔记本的概率为， 故答案为：． 11. 小红参加学校举办的“我爱我的祖国”主题演讲比赛，她的演讲稿、语言表达、形象风度得分分别为90分，80分，60分，若依次按照的百分比确定最终成绩，那么她的最终成绩是_______分． 【答案】78 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数的求法，掌握加权平均数公式是解题关键．本问题是求小红三项成绩的加权平均数，利用加权平均数的计算公式，列式算出答案即可． 【详解】解：小红的平均成绩为：（分） 故答案为：78． 12. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是______________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式解集的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 13. 将函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图象对应的函数表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 利用二次函数平移规律“左加右减，上加下减”求出答案即可． 【详解】解：把二次函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，平移后的函数表达式是：． 故答案为：． 14. 用半径为6，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的相关计算，掌握扇形的弧长公式是解题的关键． 先根据弧长公式求出扇形弧长，再根据圆的周长公式计算即可． 【详解】解：扇形的弧长， ∴圆锥的底面圆的周长， ∴圆锥的底面圆半径． 故答案为：2． 15. 为解决群众看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为300元的药品进行连续两次降价后为243元．设平均每次降价的百分率为x，则x的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设平均每次降价的百分率为x，根据该种药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，再求解即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 根据题意得：． 解得：（舍去）， 所以平均每次降价的百分率为， 故答案为：． 16. 如图，是的直径，是弦，延长交的延长线于点A，连接，若，，则的度数是_______． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、三角形的内角和定理等知识点，作出合适的辅助线是解本题的关键． 如图，连接，证明，由可得，由圆周角定理可得，则，由四边形为圆的内接四边形，可得，再根据三角形内角和定理求得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选答案为：． 17. 如图，在正方形中，，E为边上的动点，连接，以为边作正方形，连接，，则面积的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设，则，证明，得出，根据，由此利用二次函数的性质求解即可． 详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ， ∴当时，最大，且最大值为， 即面积的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，二次函数的应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 18. 已知二次函数，的解集为，且当时，函数最大值与最小值的差为2，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质、二次函数的最值等知识点，灵活利用二次函数的性质是解答本题的关键． 根据题意可以根据a的正负得到关于a的方程，从而可以求得a的值即可． 【详解】解：∵，的解集为， ∴，方程的解集为，， ∴该函数的对称轴是直线，即， ∵， ∴当时，有最大值， ∵， ∴当时，有最小值， ∵函数最大值与最小值的差为2， ∴，解得：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列方程 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据公式法解一元二次方程，即可求解； （2）先移项整理方程，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴， ， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得： ． 20. 某中学举行“庆国庆·校园歌手”比赛，七、八年级根据初赛成绩，各选出5名选手组成年级代表队进行决赛，两队选出的5名选手成绩如下图所示． （1）根据图示填写下表； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 七年级 ________ 85 ________ 八年级 85 ________ 100 （2）哪个年级的代表队选手成绩较为稳定？为什么？（计算方差说明） 【答案】（1）见解析 （2）七年级的代表队选手成绩较为稳定，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数和众数的定义求解即可； （2）方差越小成绩越稳定，据此分别求出两个年级的方差即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意得，七年级的平均数为分， ∵七年级5位选手中得分为85分人数最多， ∴七年级的众数为85分； 把八年级5位选手的得分按照从低到高排列为70分，75分，80分，100分，100分， ∴八年级的中位数为80分； 填表如下； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 七年级 85 85 85 八年级 85 80 100 【小问2详解】解：七年级的代表队选手成绩较为稳定，理由如下： 七年级的方差为， 八年级的方差为， ∵， ∴七年级的代表队选手成绩较为稳定． 21. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可； （2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可． 【详解】解：（1）设方程的另一根为x1， ∵该方程的一个根为1， ∴， 解得． ∴a的值为，该方程的另一根为． （2）∵， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用． 22. 在一个不透明的箱子里装有3个红球和若干个白球，每个小球除颜色外完全相同，将小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，重复多次试验后，经统计发现摸到红球的频率大约稳定在0.75. （1）用频率估计概率，估计箱子里白球的个数为___个； （2）现从该箱子里随机摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里摇匀，再随机摸出1个小球，用画树状图或列表的方法记录颜色，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）设白球有x个，根据题意可知，估计摸到红球的概率为0.75，根据概率公式列出关于x的方程，进行求解即可； （2）画树状图可得共有16种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果有6种可能，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75， ∴估计摸到红球的概率为0.75， 设白球有x个， 根据题意得，，解得：， 经检验是原分式方程的解， ∴估计箱子里白色小球的个数为1， 故答案为：1； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果有6种可能， ∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为：． 【点睛】本题考查列表法或树状图求概率、概率公式、利用频率估计概率，熟练掌握列表法或树状图求概率和概率公式是解题的关键． 23. 足球训练中，小军从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球离球门的水平距离为2米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【答案】（1） （2）球不能射进球门 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求抛物线解析式； （1）由题可得抛物线的顶点坐标为，经过，再根据抛物线的顶点式可设抛物线为，将代入计算，即可求解； （2）当时，求出球的高度，判断是否超过球门高度米，即可求解； 能根据题意找出顶点坐标，掌握抛物线的顶点式，理解、的实际意义是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得 抛物线的顶点坐标为，经过， 可设抛物线为， 把点代入得： ， 解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意得 当时， ， 球不能射进球门． 24. 如图，在中，，以为直径的分别与交于点，过点D作，垂足为点F． （1）求证：直线是切线； （2）若的半径为2，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由，证明即可； （2）连接，根据已知求出，从而可得和，即可得到答案． 【小问1详解】 解：连接，如图： ， ， ， ， ， ， ， ， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 连接，如图： ， ， ， ， ， ∵的半径为2， ， 【点睛】本题考查圆的综合题，考查切线判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，扇形面积等知识，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质． 25. 2022年冬奥会在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件元，当销售单价定为元时，每天可售出件，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低１元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售利润为y（元）． （1）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润为元； （2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）元或元 （2）当销售单价为元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为元． 【解析】 【分析】（1）根据“销售单价每降低1元，则每天可多售出2件”求出销量，利用销量乘以每件的利润即可得到总利润列出方程，解方程即可得到答案； （2）根据总利润＝单件利润×销售量列出函数关系式，然后利用二次函数的性质分析其最值即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 解得， 答：当销售单价为元或元时，销售这款文化衫每天所获得的利润为元； 【小问2详解】 设销售这款文化衫每天所获得的利润为w，由题意可得： ， 整理，得：， ， 当时，w取最大值， 当销售单价为元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为元． 【点睛】此题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程和函数关系式是解题的关键． 26. 请用圆规和无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹，写出主要作图步骤）． 【问题再现】如图1，过点P作的一条切线； 【问题联想】如图2，在l上作一点Q，使得直线被截得的弦被点P平分； 【问题再解】如图3，过点P作一条直线，使得该直线被截得的弦其长度等于弦的长． 【问题再现】（1）主要作图步骤： ； 【问题联想】（2）主要作图步骤： ； 【问题再解】（3）主要作图步骤： ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）先作的垂直平分线得到的中点M，再以为直径作交于点A，则根据圆周角定理得到，然后根据切线的判定方法得到直线为的切线； （2）连接并延长至点，过点P作的垂线，交直线l于点Q，交于点和，则弦被点P平分； （3）过点O作的垂线，垂足为点，以点O为圆心，为半径作小，作的垂直平分线得到的中点M，再以为直径作交小于点H，则根据圆周角定理得到，射线，交于点和，则弦． 【详解】解：（1）如图1，直线为所作； （2）如图2，连接并延长至点，过点P作的垂线，交直线l于点Q，交于点和，则弦被点P平分； （3）如图3，过点O作的垂线，垂足为点，以点O为圆心，为半径作小，作的垂直平分线得到的中点M，再以为直径作交小于点H，则根据圆周角定理得到，射线，交于点和，则弦． ． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理，垂径定理和切线的判定与性质． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于E、F两点，长方形的顶点C、D在轴上，，． （1）如图1，若抛物线过点A，求抛物线的函数表达式和点F的坐标； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点A的对应点P落在直线上，点F的对应点Q落在抛物线上，求Q点的横坐标； （3）若抛物线与图2中恰有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】（1）， （2）Q点横坐标为 （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形、平移性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质，借助图象找到临界点是解答的关键． （1）先根据坐标与图形性质得到，，再利用待定系数法求得抛物线的函数表达式为；令，求解x值即可； （2）先利用待定系数法求得直线的解析式为，设，利用平移性质得到，代入中求解即可； （3）根据该抛物线的对称轴为直线，开口向上，只需上下平移抛物线，分别求得临界点的c值，结合图形可得答案． 【小问1详解】 解：∵长方形的顶点C、D在轴上，，． ∴，， ∵抛物线过点A， ∴将代入中，得， ∴抛物线的函数表达式为； 令，由得，， ∴； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将、代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵，，由平移所得， ∴点Q向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到点P坐标，即， ∵点P在直线上， ∴将P坐标代入中，得， 解得，（与点A重合，舍去）， ∴Q点的横坐标为； 【小问3详解】 解：由得该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当抛物线经过点B时，将代入中，得，此时抛物线与恰有一个交点B； 当抛物线经过点A时，由（1）知，此时抛物线与恰有三个交点， ∴当时，该抛物线与恰有两个交点； 当抛物线的顶点在线段上时，则，解得，此时抛物线与恰有三个交点， 当抛物线与线段只有一个交点时， 由得， 由得， 当抛物线经过点C时，将代入中，得，此时抛物线与线段有两个交点， ∴当时，该抛物线与恰有两个交点， 综上，当或时，该抛物线与图2中恰有两个交点， 故答案为：或． 28. 伽利略曾说：“圆是最完美的图形”．某数学兴趣小组的同学们在学完《圆》这章后，尝试解决下面问题（1），请你协助完成． （1）如图1，在中，，其外接圆半径等于，求的长以及面积的最大值． 数学综合实践课上，老师鼓励学生不仅要学会解题，更要学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界．恰逢校园改造，兴趣小组通过实地观察和测量，提出了下面问题（2）和（3）．经过讨论，他们认为可以运用解决问题（1）时所积累的经验和方法来解决当前问题，请你协助完成． （2）如图2，一块施工地，经测量，，米．现要在墙上选择一点，搭支架与墙垂直，支架与墙垂直，之间拉围栏保证施工安全，则围栏长度的最小值为 米． （3）如图3，学校决定在校园内建造一个花坛，为了确保观赏性，在点和边的中点之间铺设一条笔直的小径，长是米．根据设计要求，从点看去，视角为角，即．现希望花坛面积尽可能大，以种植更多的花卉，同时保持小径长度和视角大小不变．在这些条件下，花坛面积的最大值为 平方米． 【答案】（1），最大值 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆问题，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，勾股定理与垂径定理； （1）根据题意作的外接圆，由圆周角定理可得是等边三角形，则有，如图所示，过点作于点，延长交于点，连接，当点在点处，即点在垂直于的直径上时，高的值最大，此时的面积等于的面积，且面积最大，由等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理可得，结合三角形面积的计算公式即可求解； （2）先证明点四点共圆，设圆心为点，半径为，连接，连接，过点作于点，根据垂径定理和勾股定理得出，根据题意当最小时，长度的最小，而是直径，进而转化为当时，取得最小值，此时是等腰直角三角形，即可得出，进而即可求解； （3）根据（1）的结论可得点在垂直于的直径上时，高的值最大，则的面积最大，设，则，，根据建立方程，解方程，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，根据题意作的外接圆， ∵，其外接圆半径等于，所对的圆周角是，所对的圆心角是， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵如图所示，过点作于点，延长交于点，连接， ∴， ∵线段是定值， ∴当点在点处，即点在垂直于的直径上时，高的值最大，此时的面积等于的面积，且面积最大， ∵是等边三角形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大面积为； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， 在四边形中，，， ∴， ∴点四点共圆， 如图所示，设圆心为点，半径为，连接，连接，过点作于点, ∵ ∴是直径， ∵，， ∴， 又∵，则 ∴，则 ∴ ∵要使得最小，即最小，而是直径，， ∴当时，取得最小值，此时最小， ∴是等腰直角三角形， 又∵ ∴ ∴ ∴（米） 故答案为：． 【小问3详解】 解：依题意，， 如图所示，作，则在优弧上， 由（1）可得点在垂直于的直径上时，高的值最大，则的面积最大， 如图所示， 设，则， ∵ ∴ ∴ 答：花坛面积的最大值为平方米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期末考试 九年级数学 试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 扬州某日天气预报显示最高气温为，最低气温为，则该日的气温极差为 （ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径为，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定 4. 某校运动会前夕，要选60名身高基本相同的女同学组成表演方阵，在这个问题中，最值得关注的是该校所有女生身高的（ ） A. 方差 B. 众数 C. 平均数 D. 中位数 5. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴有唯一交点 6. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为（　　） A. 3 B. 12 C. 4π D. 12π 7. 如图，中，半径，弦交于D，过B作的切线，交的延长线于C，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 8. 若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（ ） A. B. 2024 C. D. 2025 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若是一元二次方程的两个根，则的值是_________． 10. 某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为________  11. 小红参加学校举办的“我爱我的祖国”主题演讲比赛，她的演讲稿、语言表达、形象风度得分分别为90分，80分，60分，若依次按照的百分比确定最终成绩，那么她的最终成绩是_______分． 12. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是______________． 13. 将函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图象对应的函数表达式是______． 14. 用半径为6，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为_______． 15. 为解决群众看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为300元的药品进行连续两次降价后为243元．设平均每次降价的百分率为x，则x的值为_______． 16. 如图，是的直径，是弦，延长交的延长线于点A，连接，若，，则的度数是_______． 17. 如图，在正方形中，，E为边上的动点，连接，以为边作正方形，连接，，则面积的最大值为_______． 18. 已知二次函数，的解集为，且当时，函数最大值与最小值的差为2，则的值为_______． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列方程 （1） （2）． 20. 某中学举行“庆国庆·校园歌手”比赛，七、八年级根据初赛成绩，各选出5名选手组成年级代表队进行决赛，两队选出的5名选手成绩如下图所示． （1）根据图示填写下表； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 七年级 ________ 85 ________ 八年级 85 ________ 100 （2）哪个年级的代表队选手成绩较为稳定？为什么？（计算方差说明） 21. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 22. 在一个不透明的箱子里装有3个红球和若干个白球，每个小球除颜色外完全相同，将小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，重复多次试验后，经统计发现摸到红球的频率大约稳定在0.75. （1）用频率估计概率，估计箱子里白球的个数为___个； （2）现从该箱子里随机摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里摇匀，再随机摸出1个小球，用画树状图或列表方法记录颜色，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率． 23. 足球训练中，小军从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球离球门的水平距离为2米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 24. 如图，在中，，以为直径的分别与交于点，过点D作，垂足为点F． （1）求证：直线是的切线； （2）若的半径为2，，求图中阴影部分的面积． 25. 2022年冬奥会在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件元，当销售单价定为元时，每天可售出件，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低１元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售利润为y（元）． （1）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润为元； （2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？ 26. 请用圆规和无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹，写出主要作图步骤）． 【问题再现】如图1，过点P作的一条切线； 【问题联想】如图2，在l上作一点Q，使得直线被截得的弦被点P平分； 【问题再解】如图3，过点P作一条直线，使得该直线被截得的弦其长度等于弦的长． 【问题再现】（1）主要作图步骤： ； 【问题联想】（2）主要作图步骤： ； 问题再解】（3）主要作图步骤： ． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于E、F两点，长方形的顶点C、D在轴上，，． （1）如图1，若抛物线过点A，求抛物线的函数表达式和点F的坐标； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点A的对应点P落在直线上，点F的对应点Q落在抛物线上，求Q点的横坐标； （3）若抛物线与图2中恰有两个交点，则的取值范围是 ． 28. 伽利略曾说：“圆是最完美的图形”．某数学兴趣小组的同学们在学完《圆》这章后，尝试解决下面问题（1），请你协助完成． （1）如图1，在中，，其外接圆半径等于，求长以及面积的最大值． 数学综合实践课上，老师鼓励学生不仅要学会解题，更要学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界．恰逢校园改造，兴趣小组通过实地观察和测量，提出了下面问题（2）和（3）．经过讨论，他们认为可以运用解决问题（1）时所积累的经验和方法来解决当前问题，请你协助完成． （2）如图2，一块施工地，经测量，，米．现要在墙上选择一点，搭支架与墙垂直，支架与墙垂直，之间拉围栏保证施工安全，则围栏长度的最小值为 米． （3）如图3，学校决定在校园内建造一个花坛，为了确保观赏性，在点和边的中点之间铺设一条笔直的小径，长是米．根据设计要求，从点看去，视角为角，即．现希望花坛面积尽可能大，以种植更多的花卉，同时保持小径长度和视角大小不变．在这些条件下，花坛面积的最大值为 平方米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $