河北省沧州市名校联考2024-2025学年高三上学期质量监测考试（1月）数学试题

绝密女启用前 名校联考2025届高三年级质量监测考试 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.已知集合A={-2,1,4},集合B={1,a2},若A∩B=B,则实数a= A.2 B.-2 C.±2 D.0 2.已知复数z=1+2i,则二在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知向量a,b,c,d为不共线的非零向量，若a+b=c,a-b=d,则“|a=b”是“c⊥d”成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.右图是下列选项中某个函数的部分图象，则该函数的解析式为 B.y= D.y= 5.对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时，得到一组样本数 据(4,1)，(m,2),(8,3),(10,5),(12,6),并由该组数据求得y关于 x的回归方程为y=0.65x-1.8,则样本点(m,2)处的残差为 -2-1012 A.0.1 B.-0.1 C.1.2 D.-1.2 25届高三质量监测·数学第1页（共4页)】 霸 6.已知meR时，直线l41:mx-y-2m+4=0与直线2：x+my-2m-4=0相交于点P(,yo),则 号+的值 A.无最大值，最小值为8 B.最大值为32，无最小值 C.最大值为32，最小值为8 D.不存在最值 7.函数f代x)=cosx(2sinx+cosx)在区间(0，号)上的值域为 A(o,2 B(分， c.o,5) n(分，) 8.已知n=10时，单调递增的等差数列{a,}前n项和的值最小，且亏x-a+之lx-a+ 子lx-a,的最小值为1，则a,的取值范围为 A.[-20,-18] B.(-20,-18) C.[-10,-9] D.(-10,-9) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.如图，把长方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角D-AC-B,若|AB|=3,|BC=4, 则折纸后 A.四面体ABCD外接球的表面积为25π 0 BR.四面体ABCD的体积为号 C.异面直线AB与CD所成角为90 D.直线DA与平面ABC所成角的余弦值为号 10.定义在R上的奇函数f(x+1)与函数g(x-1)的图象关于直线x=1对称，则 A.函数f(x)图象关于点(1,0)对称 B.函数g(x)图象关于点(2,0)对称 C.函数f(x)与g(x)图象关于直线x=1对称 D.函数f(x-1)与g(x+1)图象关于直线x=1对称 椭圆C,:号+女=1(a>1>0)与双曲线C,:。多=1(a,>0,6:>0)有共同的左焦 F(-c,0)和右焦点F(c,0),C,与C2离心率分别为e,2,它们在第一象限的交点为P(0为 坐标原点)，圆I1是△FPF2的内切圆，过点P且与直线PI,垂直的直线与F,I1交于I2,则 A当Rl=20P时7+号=2 B.当|FF2|=2|0Pl时，|PI1l+|P2|=2(a1-a2) C.F I-FI=a-a2 D.过右焦点F2分别作直线PI1,PL2的垂线，垂足分别为M,N,则OW-OM=a1-a2 ·25届高三质量监测·数学第2页（共4页)】 霸 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(1+2x)7的展开式的第4项的二项式系数为 13.已知f(x)是f(x)的导函数，且f'(x)=lnx,则f(x)= (写出一个符合条件 的即可) D 14.如图，在正方体ABCD-AB,C,D,中，M,N分别为棱AD,CD的中点， 动点P满足CC,=AC,当四面体DMWP外接球的体积最小时，A= D. M 四、解答题：本题共5小题，共T7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a2(1-cosC)+b2=accosA+c2. (1)求C; (2)若a+b=4,求c的最小值. 16.(15分)如图，在三棱锥S-ABC中，△SAB是边长为2的正三角形，△SAC为等腰直角三角形， ∠SAC=90°，D为SC中点. (1)求证：SA⊥BD; (2)当BC=2√2时，求平面SAB和平面DAB夹角的余弦值. 17.(15分)平面直角坐标系中，动点P(,y)到点(1,0)的距离比它到y轴的距离多1. (1)求动点P的轨迹方程； (2)若点C为(1,2)，过M(2,0)的直线l与点P的轨迹交于A,B两点(A,B与C不重合)，直 线AC,BC与直线x=-2交于点E,F.证明：以EF为直径的圆在x上截得的弦长为定值. ·25届高三质量监测·数学第3页（共4页）】 翻可 18.(17分)已知函数fx)=e-了am2-ar(aeR). (1)当a=3时，求曲线y=f(x)在(0，f(0)处的切线方程； (2)求证：当a≤1时，F(x)=x)+2ar2在(0，+0)不存在最小值； (3)若g()=孔在(-0,0)存在极值点，求实数a的取值范围。 19.(17分)已知数列{an}前π项和为S.,且满足a+1=2an+√3a+1,a1=1. (1)证明：对任意的n∈N',an的值均为正整数，且2a.1an+1为完全平方数； (2)记S.的个位数字为bn,求数列{b.}的前100项和； (3)是否存在x∈N,y∈N,使2an1an+1=(x+y)2+3x+y成立，如果存在求出x,y的值，如 果不存在说明理由. ·25届高三质量监测·数学第4页（共4页）】 翻 数学答案与解析 1.【答案】C ra2=4 【解析】AnB=B=BCA,.{1,a2}≤{-2,1,4}，a2≠1a=±2.故选C. la2≠-2 2.【答案】C 【解折1+2则1-2到a92-4故选C (1-2i)2 3.【答案】C 4.【答案】A 【解析】由图可知当x<0时f八x)>0,故排除B,D; 段(x)=,则)=心>3，故排徐C,故选A 5.【答案】B 【解析】国为x=写(4+m+8+10+12)=(34+m)=1+2+3+5+6)=号 所以将其代入y=0.65x-1.8可得m=6,此时的预测值为y=3.9-1.8=2.1,且观测值为2， 故残差为2-2.1=-0.1.故选B. 6.【答案】B 【解析】l1:mx-y-2m+4=0可整理为m(x-2)-(y-4)=0, 令x-2=0且y-4=0得，x=2,y=4. 知直线l1:mx-y-2m+4=0恒过A(2,4).但不是过A(2,4)所有的直线， 11:mx-y-2m+4=0表示过A(2,4)的直线，但不包含直线x=2. 同理l2:x+my-2m-4=0表示恒过B(4,2)的直线，但不包含直线y=2. 又m=0时，1：y=4与l2:x=4垂直，m≠0时，1：mx-y-2m+4=0的斜率为m, 2:x+my-2m-4=0的斜率为-，故112. m 所以，点P的轨迹为以AB为直径的圆去掉，点(2,2)： 而x后+y后表示点P(x0,yo)到原点距离的平方。 所以x后+y后的最大值为32，最小值不存在.故选B. 7.【答案】A 【解析】由f八x)=cosx(2sinx+cosx）=2 sinxcosx+cos2x=sin2x+ 1 cos2x =i2r+m2+-m(2x+p)+分p= 2 Γ5 霸巴宝王 由xe(0,7)→2x+4∈(p,m+p), 则sin(m+p）<sin(2x+p)≤l,又sin(m+p)=-sinp=- 5 所以-9<n(2+p)≤1=0<号n(2x+p)+分≤告5成选 8.【答案】A 【解1【法-)设a,}前n项和为s,公差为d且d>0,则S=受2+(a,-受)n 因为名x-a,+号x-a+写lk-a,=右(x-a,+3x-a+21k-a,) =右(x-a,+x-a,+x-a,+x-a,+x-a+x-a)绝对值共有6项 其中a5,a6,a6,a6,a,a,最中间两项均为a6,由绝对值函数性质得 当x=a,时，石(x-a,+x-a,+k-a,+x-a,+x-a,+x-a,)有最小值1 又学差数列a,单调递增，石，-a,+a,-a,+写a。-a,=l, 即合+了=1，解得d=2 、以 1-2_1-1 又n=10时，单调递增的等差数列{a}前n项和的值最小，得-d =2 由二次高数性魔，得9.5≤2≤105，得-20≤≤-18故造 【法二】等差数列{an}单调递增，设其公差为d,得d>0,则a5<a6<a 设x)=右x-a,+2x-a,+3x-a 11 -x+605+20,+34,(x≤a) 21。,1。,1 3-6as+26+3a,(a5<x≤a6) 得f(x)= 111 3 6-26+3,（a<x≤a,) x-6-26-3,（x>a） 故)在x=a,取得最小值，即后a,-a+号a。-a,+兮a,-a=1, 得名d+写=1，解得d=2 又n=10时，单调递增的等差数列{an}前n项和的值最小， 腾巴 设a前n项和为5，则8=2+(a,-受n d a1- 由二次函数性质得S.=号+(a-受)x的对称轴为x= 21-a1 d 2 又neN,所以9.5≤2≤10.5，得-20≤a≤-18故造人 【法三】同法一、法二求得d=2, 因为n=10时，单调递增的等差数列a,的前n项和最小， 所以a1o≤0，即a1+9d≤0，得a1≤-18，且a11≥0，即a1+10d≥0，得a1≥-20. 综上，-20≤a1≤-18.故选A 9.【答案】AB 【解析】长方形中AB=3,BC=4,则AC=5,设AC的中点为O,折起 后的图形如图所示，连接B0,D0,则01=0B=0C=0D=弓：故0 为四面体ABCD外接球的球心，半径BO=),则外接球表面积为 4m()2=25m故A正确 又平面ABC⊥平面ADC,平面ABC∩平面ADC=AC; △DAC中，DC=3,AD=4,过点D作DH⊥AC于H,则DH⊥平面ABC; 且D=号，又△ABC面积为6，则回面体ABCD的休积为兮×6×号-号，故B正确 若异面直线AB与CD所成角为90°，则CD⊥AB,又CD⊥AD,AB∩AD=A, 则得CD⊥面ABD,BDC面ABD,得CD⊥DB,又由DC=3,BC=4,DB=√DP+BF=37 5 CD+DB≠BC2与CD⊥DB矛盾，故C错误. 因二面角D-AC-B为直二面角，则直线AC为直线AD在平面ABC上的射影 则直线DA与平面ABC所成角为LDAC,其余弦值为号，故D错误故选AB. 10.【答案】ACD 【解析】【法一】因为f(x+1)是奇函数，则f(x+1)+f(-x+1)=0,则f(x)图象关于点 (1,0)对称，A正确. 奇函数f八x+1)关于原点对称，又函数(x+1)与g(x-1)关于直线x=1对称，则g(x-1) 关于点(2,0)对称，得g(x-1)+g(4-x-1)=0→g(x-1)+g(3-x)=0,得g(x)关于点 (1,0)对称，故B错误 由f(x+1)与函数g(x-1)关于直线x=1对称得f八x+1)=g(2-x-1)→f(x+1)=g(1- x),所以函数f八x)与g(x)图象关于x=1对称，故C正确. f(x+1)=g(2-x-1)→f(x+2)-1]=g(1-x),得函数f(x-1)与g(x+1)图象关于 x=1对称，故D正确. 霸恩廷 【法二】因为f八x+1)是奇函数，设fx+1)=x,则f八x)=x-1f(x-1)=x-2, 又f(x+1)与函数g(x-1)关于直线x=1对称，则g(x-1)=2-x→g(x)=1-x, g(x+1)=-x,由f八x)=x-1,故A正确. g(x)=1-x不关于点(2,0)对称，故B错误 由f(x)=x-1,g(x)=1-x关于直线x=1对称，故C正确. 由(x-1)=x-2,g(x+1)=-x关于直线x=1对称，故D正确. 【法三】（画图象）由图可知，ACD正确. fx+1) fx)fx-1) g(x+1)g(x)g(x-1) 11.【答案】ABD 【解析】由题意可设|F,F2|=2c,|PF,|+|PF2=2a1,PF,|-PF2=2a2, 解得PF,=a1+a2,|PF2|=a1-a2.当F,F2|=2OP时，得△F,PF2为直角三角形. 由勾股定理得，PF,2+PF21P=4c2,即(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c2,得a+a=2c2. 分-2数A亚跳 即 圆是△FPF,的内切圆，则其半径为PF+PE,-EE 2 =a1-C, 得PI,|=2(a1-c),且PI,为∠F,PF2的平分线.PI2⊥PI1,则PL2为∠F,PF2外角的平分线， 故以I2为圆心，以I2到直线PF,的距离为半径的圆，必与直线PF,FF2,PF2均相切 (△F,PF2的一个旁切圆)， 可知该圆半径为c-a2,得P12|=2(c-a2),所以P叫，|+P2|=2(a1-a2).故B正确. 由以上分析知F,山1，山2在同一直线上，易证圆I与x轴切于C2的右顶点，圆I2与x轴切于 C,的右顶点，所以F,l2|-|F,I1|>a1-a2,故C错误。 因F2M⊥PI1,垂足为M,延长F,M交F,P于点D, 因为PI1平分∠F,PF2,由三线合一得PD=PF2, M为F2D的中点， 则|F,Dl=|PF,|-|PD|=PF,|-|PF2|=2a2, 连接OM,由中位线性质得OM=7|F,D=4, 因F2N⊥PI2,垂足为N,延长F2N交FP于点E, 因为PI2平分∠F,PF2的外角，由三线合一得PE=PF2,N为F,E的中点， FE=PF+PE=PF+PF2=2a1, 连接ON,由中位线性质得ON=2F,E=a, 则1ONI-IOM1=a1-a2.故D正确.故选ABD. 霸巴 12.【答案】35 13.【答案】xlnx-x(只要符合xlnx-x+c,c为常数，均可) 4【答案】±号 【解析】由CP=入CC,可知点P为CC,上的动点，由正方体性质可知， D 四面体DMNP的外接球球心O在过线段MN的中，点O1,且与底面 A B ABCD垂直的直线上，易得直线OO,与直线C,C平行，若四面体 0 DMNP的外接球体积最小，必须外接球半径最小， 设正四面体的棱长为4，得直线0,0与直线C,C间的距离为0，C=√10， M O 所以直线C,C上的动点P与直线O,0O上的，点O间最短距离为√10 故四面体DMNP的外接球O的半径最小为√10，此时OD=√I0, 则圆心O到底面ABCD的距离O,O=2√2， 所以点P到底面ABCD的距离PC=2√2，则符合条件的P点有两个 222 所以入=±4=±2 15.解：(1)【法-】因为a2(1-cosC)+b2=accosA+c2, a2+b2-c2=accosA a'cosC, 西边同时除以2b得，Q+0C ccos4 acosC 2分 26 26 cosC, 2 bcosC=ccosA+acosC,由正弦定理得， 所以2 sinBcosC-sinAcosC=cosAsinC,得2 sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC, 即2 sinBco0sC=sin(A+C),…3分 1 又A+B+C=T,所以sin(A+C)=sinB≠0，所以cosC= …4分 又0<C<m,得C=号 …5分 【法二】因为a2(1-cosC)+b2=accosA+c2,由余弦定理得 d1。+-c)+6=ae6+c-d +c2, 2ab 2be 2分 2-a02+2-c +6=a+c2- 2+c2, 2b 2b a2+b2-c2=a 62 '=2,所以cosC= 26=6a2+b2-e2= 2，… .. 4分 2ab 又0<C<π，得C=号 4454405 (2)由余弦定理得c2=a2+b2-2 abcosCz→c2=a2+b2-ab-→c2=(a+b)2-3ab,…7分 又a+b=4,得c2=16-3ah.…9分 b≤(0）4， 11分 当且仅当“a=b=2”时，等号成立. 则c2=16-3ab≥16-12=4，故c的最小值为2. 13分 霸® 16.证明：(1)设SA的中点为E,连接DE,连接BE,则DE∥AC, 又因为△SMC为等腰直角三角形，∠SAC=90°， ∴.DE⊥SA 2分 又△SAB是正三角形，.BE⊥SA,…4分 又因为BE∩DE=E,则SA⊥面BDE, BDC面BDE,SA⊥BD.… 6分 B (2)解：【法一】由题意知，AB=AC=2,又由BC=22, 得△ABC为等腰直角三角形，且AB⊥AC. 又，·∠SAC=90,得SA⊥AC,SA∩AB=A, 所以AC⊥面SAB,ACC面ABC,得面SAB⊥面ABC且交线为AB. 设AB的中点为O,则S0⊥AB,S0⊥面ABC. 以0为坐标原点，过点O与AC平行的直线为y轴，分别以 AB、OS所在直线为x轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标 系，得S(0,0,3),A(-10,0),B(1,0,0),C(-1,2,0), …8分 D为5C的中点，得D(-号1，)。 B 励=31.)d=(31,}: 设平面DAB的一个法向量为n=(x,y,2), rn·Bd=0 2x+y+ 22-0 则n·-0 2t++ 22-0 可取n=(0,-,5列： 10分 平面SAB的一个法向量可取m=(0,1,0),… 12分 3 因为cos<m,n>|= m·n 2 21 m×n 14分 9 +3 所以平面SMB和平面DAB夹角的余弦值为2T 7 15分 【法=】取SM的中点E,连接DE,则DE∥AC,且DE=24C=1, BC=22,AB=2,AC=2, et-- ·∠BAC=90°，又∠SAC=90°，∴AC⊥面SAB,…8分 又DE∥AC,.DE⊥面SAB,.DE⊥AB.…9分 B 过E作EN⊥AB于N,EN⊥AB,且EN=5, 2 …10分 霸巴