22.7-22.9平面向量及其加减运算讲义（第9讲）【进阶优等生系列】2024-2025学年沪教版数学八年级下册

2024-2025春季培优课 【进阶优等生系列】【2024-2025春季培优课】 八年级第二学期第9讲 22.7-22.9平面向量及其加减运算 目录 1、 【进门测试】共5题； 2、 【知识精讲】共3个知识点； 3、 【典例解析】共13例题； 4、 【过关演练】共11题； 5、 【拓展进阶】共3题； 6、 【温故知新】共16题：A组7题，B组9题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1.已知、为非零向量，下列判断错误的是（ ） A．如果，那么； B．如果，那么或； C．的方向不确定，大小为0； D．如果为单位向量且，那么向量. 2.如图，向量与均为单位向量，且，令，则=（ ） （A）； （B）； （C）； （D）. 3.已知矩形的对角线与相交于点，如果，，那么等于(▲) （A）； （B）； （C）； （D）． ( 图 4 )4.如图4，在△ABC中，点D是边AB的中点．如果，，那么 ▲ （结果用含、的式子表示）． 5. 化简下列各式：①＋＋； ②—＋—； ③—＋；④＋＋—．结果为零向量的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 要点一、平面向量 1.有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段. 有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向. 要点诠释： （1）“有向线段AB”符号标记为，且表示点B相对于点A的位置差别. （2）用两个字母标记有向线段时，起点字母必须写在终点字母的前面. 2.平面向量的定义及表示 （1）向量: 既有大小又有方向的量叫做向量.其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）. 要点诠释： ①向量的两要素：向量的大小、向量的方向. ②数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；而向量有方向，有大小，具有双重性，不能比较大小. ③向量与有向线段的区别： （a）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量； （b）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. （2）向量的表示方法: ①小写英文字母表示法: 如等. ②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如等. （3）向量的分类： 固定向量：有大小、方向、作用点的向量； 自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量. 要点诠释：我们学习的主要是自由向量. 3. 特殊的向量 零向量:长度为零的向量叫零向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 互为相反向量: 长度相等且方向相反的向量. 平行向量:方向相同或相反的非零向量，叫平行向量(平行向量又称为共线向量). 规定:与任一向量共线. 要点诠释： （1）零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写的不同. （2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. (3)零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 要点二、平面向量的加法运算 1. 定义：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法. 2. 运算法则： （1）三角形法则：一般来说，求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量.这样的规定叫做向量的加法的三角形法则.如图： （2）多边形法则：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，这样的规定叫做几个向量相加的多边形法则. （3）平行四边形法则：如果是两个不平行的向量，那么求它们和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点，作两个向量分别与相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是和的向量.如图： ( Ａ Ｂ Ｃ Ｄ )　　　　　　　　　 　　　　　　 要点诠释： 1.两个向量的和是一个向量，规定. 2.可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点. 3. “向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加，即得到几个向量相加的多边形法则. 4..探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题. 3.运算律： （1）交换律：； （2）结合律： 要点三、向量的减法运算 1.定义：已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法. 2.运算法则： 在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量，这样求两个向量的差向量的规定叫做向量减法的三角形的法则. 要点诠释： （1）减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：，从而用加法法则来解决减法问题. （2）向量的加法、减法的结果仍然是向量，规定. （3）与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，即. 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 一、平面向量的概念 例1．如图，点、在线段上，，那么下列结论中，正确的是（ ） A．与是相等向量 B．与是平行向量 C．与是相反向量 D．与是相等向量 例2．计算：= . 例3．已知四边形是矩形，点是对角线与的交点.下列四种说法：①向量与向量是相等的向量；②向量与向量是互为相反的向量；③向量与向量是相等的向量；④向量与向量是平行向量．其中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 例4．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB﹦CD，那么下列结论中正确的是（ ）． A．与是相等向量； B．与是相等向量； C．与是相反向量； D．与是平行向量． 例5．在矩形中，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 二、向量的加法 例1．在平行四边形中，设，，点是对角线与的交点，那么向量可以表示为（ ） A．； B．； C．； D．． 例2．如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点．下列结论不正确的是（　　） A．∥ B． C． D． 例3．在□ABCD中，O是对角线的交点，那么____． 例4．平行四边形中，对角线、相交于点，设向量，，则向量______． 例5．已知向量 、 求作：． 例6．已知：如图，在等腰梯形中，，，为的中点，设，． （1）填空：________；________；________；（用，的式子表示） （2）在图中求作．（不要求写出作法，只需写出结论即可） 三、向量的减法 例1．下列各式中错误的是( ) A． B． C． D． 例2．已知向量，（如图），请用向量的加法的平行四边形法则作向量（不写作法，画出图形） 例3．一条渔船距对岸4km，以2km/h速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速. 例4．如图，在ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，∠B＝60°，AC平分∠DAB． (1)求∠ACB的度数； (2)如果AD＝1，请直接写出向量和向量的模． 例5．如图，已知点M是△ABC边BC上一点，设＝，＝． （1）当＝2时，＝　　 ；（用与表示） （2）当＝+时，＝　　 ； （3）在原图上作出在、上的分向量． 例6．如图已知：矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O． （1）利用图中的向量表示：+＝　　； （2）利用图中的向量表示：﹣＝　　； （3）如果||＝5，||＝5，则||＝　　． 例7．已知：如图，平行四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD上的点，且AE＝CG，BF＝DH． （1）写出与相反的向量； （2）写出与平行的向量； （3）在图中求作﹣．（不要求写出作法，只需写出结论即可．） 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 【习题1】已知非零向量，在下列条件中，不能判定的是（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）． 【习题2】 已知是单位向量，且，，那么下列说法错误的是（ ） （A）； （B） ；（C） ； （D）． 【习题3】计算：= ▲ ． 【习题4】已知梯形，，点和点分别在两腰和上，且是梯形的中位线，，。设，那么向量___________。（用向量表示） 【习题5】下列判断错误的是 （ ） （A）如果或，那么； （B）设为实数，则； （C）如果，那么； （D）在平行四边形中，. 【习题6】计算：_________． 【习题7】已知=3，=5，且与的方向相反，用表示向量为（　　　） A．； B．； C．； D．． 【习题8】如果，那么　　 　　　（用向量表示向量）． 【习题9】如图，在平行四边形中，对角线和相交于点，若，，则用、可表示为 . 【习题10】已知在梯形中，，是的中点，联结和 ．画出图形，并写出所有与平行的向量． 【习题11】如图，已知中，设，，试用、表示下列向量： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）求作向量：； （6）求作向量：． 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 【1】如图，四边形中，，是边的中点，已知， （1） 设，，求关于的函数关系式并写出定义域； （2） 当时，求的度数； （3） 当为直角三角形时，求边的长 【2】如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线平行，且直线与轴分别交于A（-1，0）、点B，点C（1，）在直线上. （1） 求直线的表达式以及点C的坐标； （2） 点P在轴正半轴上，点Q是坐标平面内一点，如果四边形PAQC为矩形，求点P、Q的坐标. （1） 求AB的长； （2） 求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3） 联结CQ，当CQAE,求x的值。 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 基础过关练 1．以下描述和的关系不正确的是（　　） A．方向相反 B．模相等 C．平行 D．相等． 2．已知向量、满足||＝||，则（　　） A．＝ B．＝﹣ C．∥ D．以上都有可能 3．下列关于向量的运算，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E在BC上，且AB＝BE＝AD，下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 5．下列关于向量的运算中，错误的是（　　） A．+＝+ B．﹣＝+（﹣） C．+（﹣）＝0 D．+（+）＝（+）+ 6．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AE＝2EB，CF＝2FD，联结EF．下列结论不正确的是（　　） A． B． C．∥ D． 7．已知四边形ABCD满足＝，且|+|＝|﹣|，那么四边形ABCD的形状是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 题组B 能力提升练 1．如图，在平行四边形ABCD中，已知＝，＝，E为AB中点，则+＝（　　） A． B． C． D． 2．在△ABC中，设，，P是中线AE与中线CF的交点，则＝　 ．（用表示） 3．如图，在△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，＝a，＝b，则＝　　 ． 4．已知△ABC，＝，＝，边BC上有点P1、P2、P3…P22，使得BP1＝P1P2＝P2P3＝…P22C，则+++…+＝　　 ． 5．如图，平面内有三个非零向量、、，它们的模都相等，并且两两的夹角均为120度，则++＝　　． 6．如图，点E在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上． （1）填空：+＝　　.﹣＝　　； （2）求作：+（不写作法，保留作图痕迹，写出结果） 7．如图，已知点E在四边形ABCD的边AB上，设＝，＝，＝． （1）试用向量、和表示向量，； （2）在图中求作：+﹣．（不要求写出作法，只需写出结论即可） 8．如图，已知点E在平行四边形ABCD的边AB上，设＝，＝，＝，再用图中的线段作向量， （1）写出与平行的向量　 　． （2）试用向量、、表示向量、.＝ 　 ；＝　　 ． （3）求作． 9．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是对角线BD上的两点，且BE＝DF，＝，＝，＝． （1）用向量、、表示下列向量：向量＝　　，向量＝　　，向量= ； （2）求作：+． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025春季培优课 【进阶优等生系列】【2024-2025春季培优课】 八年级第二学期第9讲 22.7-22.9平面向量及其加减运算 目录 1、 【进门测试】共5题； 2、 【知识精讲】共3个知识点； 3、 【典例解析】共13例题； 4、 【过关演练】共11题； 5、 【拓展进阶】共3题； 6、 【温故知新】共16题：A组7题，B组9题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1.已知、为非零向量，下列判断错误的是（ ） A．如果，那么； B．如果，那么或； C．的方向不确定，大小为0； D．如果为单位向量且，那么向量. 【答案】B 2.如图，向量与均为单位向量，且，令，则=（ ） （A）； （B）； （C）； （D）. 【答案】B 3.已知矩形的对角线与相交于点，如果，，那么等于(▲) （A）； （B）； （C）； （D）． 【答案】A ( 图 4 )4. 如图4，在△ABC中，点D是边AB的中点．如果，，那么 ▲ （结果用含、的式子表示）． 【答案】 5. 化简下列各式：①＋＋； ②—＋—； ③—＋； ④＋＋—．结果为零向量的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 参考答案：D； 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 要点一、平面向量 1.有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段. 有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向. 要点诠释： （1）“有向线段AB”符号标记为，且表示点B相对于点A的位置差别. （2）用两个字母标记有向线段时，起点字母必须写在终点字母的前面. 2.平面向量的定义及表示 （1）向量: 既有大小又有方向的量叫做向量.其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）. 要点诠释： ①向量的两要素：向量的大小、向量的方向. ②数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；而向量有方向，有大小，具有双重性，不能比较大小. ③向量与有向线段的区别： （a）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量； （b）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. （2）向量的表示方法: ①小写英文字母表示法: 如等. ②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如等. （3）向量的分类： 固定向量：有大小、方向、作用点的向量； 自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量. 要点诠释：我们学习的主要是自由向量. 3. 特殊的向量 零向量:长度为零的向量叫零向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 互为相反向量: 长度相等且方向相反的向量. 平行向量:方向相同或相反的非零向量，叫平行向量(平行向量又称为共线向量). 规定:与任一向量共线. 要点诠释： （1）零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写的不同. （2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. (3)零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 要点二、平面向量的加法运算 1. 定义：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法. 2. 运算法则： （1）三角形法则：一般来说，求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量.这样的规定叫做向量的加法的三角形法则.如图： （2）多边形法则：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，这样的规定叫做几个向量相加的多边形法则. （3）平行四边形法则：如果是两个不平行的向量，那么求它们和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点，作两个向量分别与相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是和的向量.如图： ( Ａ Ｂ Ｃ Ｄ )　　　　　　　　　 　　　　　　 要点诠释： 1.两个向量的和是一个向量，规定. 2.可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点. 3. “向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加，即得到几个向量相加的多边形法则. 4..探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题. 3.运算律： （1）交换律：； （2）结合律： 要点三、向量的减法运算 1.定义：已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法. 2.运算法则： 在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量，这样求两个向量的差向量的规定叫做向量减法的三角形的法则. 要点诠释： （1）减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：，从而用加法法则来解决减法问题. （2）向量的加法、减法的结果仍然是向量，规定. （3）与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，即. 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 一、平面向量的概念 例1．如图，点、在线段上，，那么下列结论中，正确的是（ ） A．与是相等向量 B．与是平行向量 C．与是相反向量 D．与是相等向量 【答案】B 【分析】由AC=BD，可得AD=BD，即可得与是平行向量，，继而证得结论． 【详解】A、∵AC=BD， ∴，该选项错误； B、∵点C、D是线段AB上的两个点， ∴与是平行向量，该选项正确； C、∵AC=BC， ∴AD≠BD， ∴与不是相反向量，该选项错误； D、∵AC=BD， ∴AD=BC， ∴，该选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握相等向量与相反向量的定义是解此题的关键． 例2．计算：= . 【答案】 例3．已知四边形是矩形，点是对角线与的交点.下列四种说法：①向量与向量是相等的向量；②向量与向量是互为相反的向量；③向量与向量是相等的向量；④向量与向量是平行向量．其中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用矩形的性质，相等向量，平行向量的定义一一判断即可． 【详解】解：如图： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD， ∴①向量与向量是相等的向量，正确． ②向量与向量是互为相反的向量，正确． ③向量与向量是相等的向量；错误． ④向量与向量是平行向量．正确． 故选：C． 【点睛】本题考查平面向量，矩形的性质等知识，长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量，平行向量也叫共线向量，是方向相同或相反的非零向量． 例4．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB﹦CD，那么下列结论中正确的是（ ）． A．与是相等向量； B．与是相等向量； C．与是相反向量； D．与是平行向量． 【答案】D 【分析】根据相等向量、相反向量、平行向量的定义解答即可． 【详解】解：A、AB=CD，但AB不平行于CD，≠，故本选项错误； B、AD//BC，AB=CD，AC=BD，但AC不平行于BD，≠，故本选项错误； C、AD//BC，与不一定是相反向量，故本选项错误； D、AD//BC，与是平行向量，故本选项正确． 故答案为：D． 【点睛】本题考查了平面向量的相关知识，掌握相等向量、相反向量、平行向量的定义是解答本题的关键． 例5．在矩形中，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可． 【详解】相等向量：长度相等且方向相同的两个向量 ． A. ，故该选项错误； B. ，但方向不同，故该选项错误； C. 根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相等，所以，故该选项正确； D. ，故该选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键． 二、向量的加法 例1．在平行四边形中，设，，点是对角线与的交点，那么向量可以表示为（ ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】利用平行四边形的性质以及三角形法则计算即可． 【详解】解：∵ABCD为平行四边形， ∴ ∴ ∴ 故答案选:A 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 例2．如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点．下列结论不正确的是（　　） A．∥ B． C． D． 【答案】B 【解析】根据三角形法则，结合图形，即可判断出不正确的选项． 解：∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点， ∴DE∥BC， ∴∥，A选项正确； ﹣=，B选项错误； =﹣，C选项正确； ++=，D选项正确； 故选B． 例3．在□ABCD中，O是对角线的交点，那么____． 【答案】 【分析】由向量的平行四边形法则及相等向量的概念可得答案． 【详解】解：因为：□ABCD， 所以，， 所以：． 故答案为：． 【点睛】本题考查向量的平行四边形法则，掌握向量的平行四边形法则是解题的关键． 例4．平行四边形中，对角线、相交于点，设向量，，则向量______． 【答案】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则可得: ,然后根据平行四边形的性质可求出:. 【详解】解:∵平行四边形中, 向量，， ∴, ∴ 故答案为: . 【点睛】此题考查的是平行四边形的性质及向量的加法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键. 例5．已知向量 、 求作：． 【分析】在平面内任取一点，分别作出，，利用向量运算的平行四边形法则即可得到答案． 【详解】解：在平面内任取一点，作，作 ，则即为所求．如下图． 【点睛】已知基底求作向量，就是先取平面上任意一点，先分别作出与基底共线的向量，再利用向量加法的平行四边形法则作出和向量． 例6．已知：如图，在等腰梯形中，，，为的中点，设，． （1）填空：________；________；________；（用，的式子表示） （2）在图中求作．（不要求写出作法，只需写出结论即可） 【答案】（1）；；（或）；（2）图见解析， ． 【分析】（1）利用即可求出,首先根据已知可知，然后利用即可求出，利用即可求出； （2）首先根据已知可知，然后利用三角形法则即可求出． 【详解】（1）． ∵，， ∴， ∴． ； （2）作图如下： ∵，为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查向量的运算，掌握向量的运算法则是解题的关键． 三、向量的减法 例1．下列各式中错误的是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的运算法则和运算律判断即可. 【详解】解：A. ，故本选项错误，B，C，D，均正确，故选：A. 【点睛】本题考查了向量的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键. 例2．已知向量，（如图），请用向量的加法的平行四边形法则作向量（不写作法，画出图形） 【分析】利用向量的加法的平行四边形法则即可解决问题． 【详解】如图: 即为所求． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握向量的加法的平行四边形法则，属于中考常考题型． 例3．一条渔船距对岸4km，以2km/h速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速. 【答案】 【分析】由题意知，由勾股定理求出水流的距离，然后求解河水的流速. 【详解】解：如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度， 则由，就是渔船实际航行的速度， 航行的时间为 在中，， 【点睛】 本题主要考查了向量在物理中的应用，直角三角形以及勾股定理模型的应用，数形结合是解答本题的关键. 例4．如图，在ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，∠B＝60°，AC平分∠DAB． (1)求∠ACB的度数； (2)如果AD＝1，请直接写出向量和向量的模． 【答案】(1)∠ACB＝90°；(2)模分别为1和2． 【分析】（1）证明四边形ABCD是等腰梯形即可解决问题；（2）求出线段CD、AB的长度即可； 【详解】(1)∵CD∥AB，AD＝BC， ∴四边形ABCD是等腰梯形， ∴∠DAB＝∠B＝60°， ∵AC平分∠DAB， ∴∠CAB＝∠DAB＝30°， ∴∠B+∠CAB＝90°， ∴∠ACB＝90°． (2)∵CD∥AB， ∴∠DCA＝∠CAB＝∠CAD＝30°， ∴AD＝CD＝BC＝1， 在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°， ∴AB＝2BC＝2， ∵， ∴向量和向量的模分别为1和2． 【点睛】本题考查平面向量、等腰梯形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 例5．如图，已知点M是△ABC边BC上一点，设＝，＝． （1）当＝2时，＝　+　；（用与表示） （2）当＝+时，＝　　； （3）在原图上作出在、上的分向量． 【分析】（1）根据三角形法则∴＝+，只要求出即可； （2）由题意可得＝（﹣）＝，推出BM：BC＝3：7，即可解决问题； （3）根据平行四边形法则即可解决问题； 【解答】解：（1）∵＝+＝﹣， ∵BM：CM＝2， ∴＝（﹣）， ∴＝+＝+﹣＝+． 故答案为+． （2）∵＝+＝+， ∴＝（﹣）＝， ∴BM：BC＝3：7， ∴BM：MC＝3：4， 故答案为． （3）如图所示：在、上的分向量分别为，． 【点评】本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 例6．如图已知：矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O． （1）利用图中的向量表示：+＝　　； （2）利用图中的向量表示：﹣＝　　； （3）如果||＝5，||＝5，则||＝　　． 【分析】（1）（2）运用三角形法则即可解决问题． （3）利用勾股定理求出则||＝||＝5，根据||＝||＝即可解决问题． 【解答】解：（1）利用图中的向量表示：+＝； 故答案为 （2）利用图中的向量表示：﹣＝； 故答案为 （3）如果||＝5，||＝5，则||＝||＝5， ∴||＝||＝， 故答案为 【点评】本题考查平面向量、勾股定理、矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题． 例7．已知：如图，平行四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD上的点，且AE＝CG，BF＝DH． （1）写出与相反的向量； （2）写出与平行的向量； （3）在图中求作﹣．（不要求写出作法，只需写出结论即可．） 【分析】（1）根据相反的向量的定义即可判断； （2）根据的平行的向量的定义即可判断； （3）利用三角形法则，即为所求． 【解答】解：（1）与相反的向量为、； （2）与平行的向量有、、； （3）图中向量即为所求． 【点评】本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题． 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 【习题1】已知非零向量，在下列条件中，不能判定的是（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）． 【答案】D 【习题2】 已知是单位向量，且，，那么下列说法错误的是（ ） （A）； （B） ；（C） ； （D）． 【答案】C 【习题3】计算：= ▲ ． 【答案】 【习题4】已知梯形，，点和点分别在两腰和上，且是梯形的中位线，，。设，那么向量___________。（用向量表示） 【答案】 【习题5】下列判断错误的是 （ ） （A）如果或，那么；（B）设为实数，则； （C）如果，那么；（D）在平行四边形中，. 【答案】 【习题6】计算：_________． 【答案】 【习题7】已知=3，=5，且与的方向相反，用表示向量为（　　　） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【习题8】如果，那么　　 　　　（用向量表示向量）． 【答案】 【习题9】如图，在平行四边形中，对角线和相交于点，若，，则用、可表示为 . 【答案】 【习题10】已知在梯形中，，是的中点，联结和 ．画出图形，并写出所有与平行的向量． 【答案】图形如图所示， 与平行的向量有． 【习题11】如图，已知中，设，，试用、表示下列向量： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）求作向量：； （6）求作向量：． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； 1. ． 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 【1】如图，四边形中，，是边的中点，已知， （1） 设，，求关于的函数关系式并写出定义域； （2） 当时，求的度数； （3） 当为直角三角形时，求边的长 【答案】（1） (3)2或 (1) 作 （2）连接 (3)① ② ~ 【2】如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线平行，且直线与轴分别交于A（-1，0）、点B，点C（1，）在直线上. （1） 求直线的表达式以及点C的坐标； （2） 点P在轴正半轴上，点Q是坐标平面内一点，如果四边形PAQC为矩形，求点P、Q的坐标. 【答案】 （1） 设，因为，所以 代入得 所以 代入得 （2） 如果 代入得 所以点 如果也在 , 设，,得 所以， （1） 求AB的长； （2） 求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3） 联结CQ，当CQAE,求x的值。 【答案】（1）4 （2）过点A作AM⊥BC 所以 （3）因为 所以 又因为,做 得 所以 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 基础过关练 1．以下描述和的关系不正确的是（　　） A．方向相反 B．模相等 C．平行 D．相等． 【分析】利用单位向量的定义和性质直接判断即可． 【解答】解：A、和的关系是方向相反，正确；B、和的关系是模相等，正确； C、和的关系是平行，正确；D、和的关系不相等，错误；故选：D． 【点评】此题考查平面向量问题，解题时要认真审题，注意单位向量、零向量、共线向量的定义和的性质的合理运用． 2．已知向量、满足||＝||，则（　　） A．＝ B．＝﹣ C．∥ D．以上都有可能 【分析】利用单位向量的定义和性质直接判断即可． 【解答】解：若向量、满足||＝||， 可得：＝，或＝﹣，或∥， 故选：D． 【点评】此题考查平面向量问题，解题时要认真审题，注意单位向量、零向量、共线向量的定义和的性质的合理运用． 3．下列关于向量的运算，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由三角形法则直接求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用． 【解答】解：A、＝+＝，故本选项正确； B、﹣＝，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误． 故选：A． 【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用． 4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E在BC上，且AB＝BE＝AD，下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意判定四边形ABED是平行四边形，则AB＝DE，AB∥DE，结合相等向量的定义作出判断即可． 【解答】解：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，则AD∥BE． ∵BE＝AD， ∴四边形ABED是平行四边形． ∴AB＝DE，AB∥DE． ∴＝． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平面向量和梯形，解题时需要注意：相等向量的模相等，方向也相等． 5．下列关于向量的运算中，错误的是（　　） A．+＝+ B．﹣＝+（﹣） C．+（﹣）＝0 D．+（+）＝（+）+ 【分析】根据平面向量的加法的交换律与结合律判断即可． 【解答】解：A、+＝+，正确，本选项不符合题意． B、﹣＝+（﹣），正确，本选项不符合题意． C、+（﹣）＝0，错误应该等于，本选项符合题意． D、+（+）＝（+）+，本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查平面向量，平面向量的加法法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 6．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AE＝2EB，CF＝2FD，联结EF．下列结论不正确的是（　　） A． B． C．∥ D． 【分析】根据平行四边形的性质条件题目条件一一判断即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵AE＝2EB，CF＝2FD， ∴AE＝CF，DF＝EB， ∴＝，＝﹣，∥，故选项A，B，C正确， ∵＝++＝++，故D错误， 故选：D． 【点评】本题考查平面向量，平行四边形的性质等知识，解题的关键是证明DF＝BE，CF＝AE． 7．已知四边形ABCD满足＝，且|+|＝|﹣|，那么四边形ABCD的形状是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 【分析】根据题意知，该四边形是对角线相等的平行四边形，由此判定它是矩形． 【解答】解：如图，∵＝， ∴AB＝DC，AB∥DC． ∴四边形ABCD是平行四边形． ∴＝． ∵|+|＝|﹣|， ∴||＝||． ∴CA＝BD． ∴平行四边形ABCD是矩形． 故选：A． 【点评】本题主要考查了平面向量，矩形的判定．解题的关键是根据相等向量和三角形法则推知：AB＝DC且AB∥DC，CA＝BD． 题组B 能力提升练 1．如图，在平行四边形ABCD中，已知＝，＝，E为AB中点，则+＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相等向量的几何意义和三角形法则解答． 【解答】解：∵＝，E为AB中点， ∴＝， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴＝＝， ∴+＝+＝， 故选：A． 【点评】本题考查平面向量，三角形法则，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，设，，P是中线AE与中线CF的交点，则＝　﹣　．（用表示） 【分析】首先根据题意画出图形，利用三角形法则，求得，又由P是中线AE与中线CF的交点，利用重心的性质，即可求得，继而求得答案． 【解答】解：∵，AE是△ABC的中线， ∴＝＝﹣＝﹣， ∵， ∴＝+＝﹣+， ∵P是中线AE与中线CF的交点， ∴＝＝（﹣+）＝﹣， ∴＝+＝﹣+﹣＝﹣． 故答案为：﹣． 【点评】此题考查了平面向量的知识以及三角形重心的性质．注意掌握三角形法则的应用是解此题的关键． 3．如图，在△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，＝a，＝b，则＝　﹣　． 【分析】首先连接DE，由在△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，＝a，＝b，可求得的值，然后由三角形法则，求得长，又由三角形中位线的性质，证得△PED∽△PCB，可得DP：PB＝DE：BC＝1：2，继而求得答案． 【解答】解：连接DE， ∵＝，＝， ∵D为AC的中点， ∴＝＝， ∴＝﹣＝﹣， ∵在△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点， ∴DE∥BC， ∴△PED∽△PCB， ∴DP：PB＝DE：BC＝1：2， ∴＝＝（﹣）＝﹣． 故答案为：﹣． 【点评】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 4．已知△ABC，＝，＝，边BC上有点P1、P2、P3…P22，使得BP1＝P1P2＝P2P3＝…P22C，则+++…+＝　11+11　． 【分析】如图，设＝，利用三角形法则求解即可． 【解答】解：如图，设＝， 则有++•••+＝（+）+（+2）+•••+（+22） ＝22+23×11， ∵+23＝， ∴++•••+＝11+11+23×11＝11+11（+23）＝11+11， 故答案为：11+11． 【点评】本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则解决问题，属于中考常考题型． 5．如图，平面内有三个非零向量、、，它们的模都相等，并且两两的夹角均为120度，则++＝　　． 【分析】延长AO到T，使得OT＝OA，连接TB．证明+＝+＝，再证明BT∥OC，BT＝OC，可得结论． 【解答】解：延长AO到T，使得OT＝OA，连接TB． ∵＝， ∴+＝+＝， ∵OB＝OT，∠BOT＝60°， ∴△OBT是等边三角形， ∴∠T＝∠TOC＝60°， ∴BT∥OC，BT＝OC， ∴+＝， ∴++＝， 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用三角形法则解决问题，属于中考常考题型． 6．如图，点E在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上． （1）填空：+＝　　.﹣＝　　； （2）求作：+（不写作法，保留作图痕迹，写出结果） 【分析】（1）根据向量的平行四边形法则写出+即可，根据平行四边形的对边平行且相等可得＝，然后根据向量的三角形法则求解即可； （2）根据平行四边形的对边平行且相等可得＝，然后根据向量的平行四边形法则作出以DC、DE为邻边的平行四边形，其对角线即为所求． 【解答】解：（1）+＝， ∵＝， ∴﹣＝﹣＝； 故答案为：；． （2）如图，即为所求+． 【点评】本题考查了平面向量，平行四边形的性质，向量的问题，熟练掌握平行四边形法则和三角形法则是解题的关键． 7．如图，已知点E在四边形ABCD的边AB上，设＝，＝，＝． （1）试用向量、和表示向量，； （2）在图中求作：+﹣．（不要求写出作法，只需写出结论即可） 【分析】（1）由＝，＝，＝，直接利用三角形法则求解，即可求得答案； （2）由三角形法则可得：+﹣＝﹣＝，继而可求得答案． 【解答】解：（1）∵＝，＝，＝， ∴＝﹣＝﹣；＝﹣＝﹣（﹣）＝﹣+； （2）+﹣＝﹣＝． 如图：即为所求． 【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用． 8．如图，已知点E在平行四边形ABCD的边AB上，设＝，＝，＝，再用图中的线段作向量， （1）写出与平行的向量　、和　． （2）试用向量、、表示向量、.＝　﹣　；＝　﹣+　． （3）求作． 【分析】（1）与平行的向量即与共线的向量； （2）根据三角形法则填空； （3）利用三角形法则将转化为，然后解答． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴与平行的向量有：、和． 故答案是：、和． （2）＝﹣＝﹣，即； ＝﹣＝﹣+，即． 故答案是：﹣，﹣+； （3）∵， ∴为所求作向量． 【点评】本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题． 9．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是对角线BD上的两点，且BE＝DF，＝，＝，＝． （1）用向量、、表示下列向量：向量＝　﹣　，向量＝　﹣　，向量＝　﹣　； （2）求作：+． 【分析】（1）根据平面向量的加法法则计算即可； （2）延长EC到K，使得CK＝EC，连接BK，则向量即为所求； 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠ADF＝∠CBE， ∵DF＝BE， ∴△ADF≌△CBE， ∴∠AFD＝∠CEB，AF＝CE， ∴∠AFB＝∠CED， ∴AF∥CE， ∴＝﹣＝﹣＝﹣， ＝+＝﹣， ＝+＝﹣， 故答案为﹣，﹣，﹣． （2）延长EC到K，使得CK＝EC，连接BK，则向量即为所求； 【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$