第7讲-22.3特殊的平行四边形【进阶优等生系列】 2024-2025学年沪教版（五四制） 八年级数学第二学期 培优课

2024-2025春季培优课 【进阶优等生系列】【2024-2025春季培优课】 八年级第二学期第7讲 22.3特殊的平行四边形 目录 1、 【进门测试】共10题； 2、 【知识精讲】共5个知识点； 3、 【典例解析】共12例题； 4、 【过关演练】共10题； 5、 【拓展进阶】共2题； 6、 【温故知新】共24题：A组10题，B组14题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，AE＝DF，BF与DE相交于点G，CG与BD相交于点H．下列结论中：①∠DBC＝60°；②△AED≌△DFB；③∠BGE＝60°，正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC′D′，如果∠DAD′＝30°，那么菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比是（　　） A． B． C． D．1 3．如图，四边形ABCD为菱形，四边形AOBE为矩形，O，C，D三点的坐标为（0，0），（2，0），（0，1），则点E的坐标为　 　． 4．已知AC、BD是四边形ABCD的两条对角线．如果将“AC⊥BD”记为①，“四边形ABCD是矩形”记为②，“四边形ABCD是菱形”记为③，那么下列判断正确的是（　　） A．由①推出② B．由①推出③ C．由②推出① D．由③推出① 5．如图，正方形ABCD的边长等于4，对角线AC、BD相交于点O，E是DB延长线上一点，∠BCE＝15°，那么△BCE的面积等于 　 　． 6．如果存在一条直线将一个图形分割成两部分，使其中一部分图形按某个方向平移后能够与另一部分重合，那么我们把这种图形称为平移重合图形，下列图形中，不是平移重合图形的是（　　） A．ㅤㅤ正方形 B．ㅤㅤ长方形 C．ㅤㅤ平行四边形 D．ㅤㅤ圆 7．如图，正方形ABCD边长为2，CE∥BD，BE＝BD，则CE＝　　 ． 8．如图，E、F分别为边长为1的正方形ABCD边BC、CD上的两个动点，若∠EAF的大小始终保持45°不变，则△CEF的周长为 　 　． 9．如果菱形的一条对角线长是另一条长的倍，这个菱形的面积等于6，那么这个菱形的周长等于 　 　． 10．矩形各角的角平分线交成的四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 要点一、矩形、菱形、正方形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形 叫做正方形. 要点二、矩形、菱形、正方形的性质 矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 菱形的性质：1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； 3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴. 正方形的性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等. 2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点三、矩形、菱形、正方形的判定 矩形的判定：1. 有三个角是直角的四边形是矩形. 2. 对角线相等的平行四边形是矩形. 3. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 菱形的判定：1. 四条边相等的四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 要点诠释：前一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.后两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形， 正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形. 2.有一个内角是直角的菱形是正方形. 要点四、特殊平行四边形之间的关系 要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 一．菱形的性质 1．我们定义：联结平行四边形一组对边中点的线段叫做“对边中位线”，联结平行四边形一组邻边中点的线段叫做“邻边中位线”．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，对角线BD＝8，那么“对边中位线”EF与“邻边中位线”EG、FG所围成的△EFG的面积是 　　． 2．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，FC与对角线BD交于点G，过G作GE⊥BC于点E，∠ADB＝∠FCB． （1）求证：AB＝2BE； （2）求证：DG＝CF+GE． 二．菱形的判定 3．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，联结OE，OC＝OE． （1）求证：OE＝AC； （2）如果DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形． 三．菱形的判定与性质 4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，点E为BC的中点 （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）联结BD，如果BD平分∠ABC，AD＝2，求BD的长． 四．矩形的性质 5．已知：如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，点E、F是垂足． （1）联结DE、FB，求证：四边形DFBE是平行四边形； （2）如果AF＝EF＝2，求矩形ABCD的面积． 五．矩形的判定 6．如图，在△ABC中，O为边AC的中点，过点A作AD∥BC，与BO的延长线相交于点D，E为AD延长线上的任一点，联结CE、CD． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形： （2）当D为边AE的中点，且CE＝2CO时，求证：四边形ABCD为矩形． 7．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，将边AB延长至点E，使AB＝BE，联结DE、EC，DE与BC交于点O． （1）求证：四边形BECD是平行四边形； （2）若∠COE＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形． 六．矩形的判定与性质 8．已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AO＝BO＝CO，∠BAC＝∠ACD． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）如果点E在边AB上，DE平分∠ADB，BD＝AB，求证：BD＝AD+AE． 七．正方形的性质 9．如图，正方形ABCD中，点G是CD边上的一点（点G不与点C，点D重合），以CG为一边向正方形ABCD外做正方形GCEF，联结DE交BG的延长线于点H． （1）求证：BH⊥DE； （2）若正方形ABCD的边长为1，当点H为DE中点时，求CG的长． 10．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，联结DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与边CD相交于点G． （1）求证：CG＝CE； （2）联结CF，求证：∠BFC＝45°； （3）如果正方形ABCD的边长为2，点G是边DC的中点，求EF的长． 八．正方形的判定 11．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，过点F作AE的平行线交对角线AC的延长线于点G，连接EG． （1）求证：四边形AEGF是菱形； （2）如果∠B＝∠BAE＝30°，求证：四边形AEGF是正方形． 12．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD，E是对角线BD上的一点，且AE＝CE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果AB＝BE，且∠ABE＝2∠DCE，求证：四边形ABCD是正方形． 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 1．如果菱形边长是10，短的对角线长为12，那么这个菱形的面积是 　 　． 2．在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是（　　） A．AO＝CO B．AO＝BO C．AO⊥BO D．AB⊥BC 3．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为BC中点，BD⊥DC，EA平分∠DEB． （1）求证：AE＝DC； （2）求证：四边形ABED是菱形． 4．如图，已知BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，垂足分别为E、D，联结CD、DE，DE与AB交于点O，CD∥AB．求证：四边形OBCD是菱形． 5．如图，在△ABC中，AB＝BC，点D、E分别在边AB、BC上，且DE∥AC，AD＝DE，点F在边AC上，且CE＝CF，联结FD． （1）求证：四边形DECF是菱形； （2）如果∠A＝30°，CE＝4，求四边形DECF的面积． 6．矩形的较短边长是1，两条对角线的夹角为60°，则这个矩形的面积是 　　． 7．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，延长AE至点G，使EG＝AE，联结GC、CF． （1）求证：AE∥CF； （2）当AC＝2AB时，求证：四边形EGCF是矩形． 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（　　） A． B． C． D．5 9．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAC的平分线分别交BD、BC于点G、H，如果AB＝4，那么OG＝　 　． 10．已知：如图，在等边三角形ABC中，过边AB上一点D作DE⊥BC，垂足为点E，过边AC上一点G作GF⊥BC，垂足为点F，BE＝CF，联结DG． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）连接AF，当∠BAF＝3∠FAC时，求证：四边形DEFG是正方形． 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 1．已知：如图1．四边形ABCD是菱形，AB＝6，∠B＝∠MAN＝60°．绕顶点A逆时针旋转∠MAN，边AM与射线BC相交于点E（点E与点B不重合），边AN与射线CD相交于点F． （1）当点E在线段BC上时，求证：BE＝CF； （2）设BE＝x，△ADF的面积为y．当点E在线段BC上时，求y与x之间的函数关系式，写出函数的定义域； （3）连接BD，如果以A、B、F、D为顶点的四边形是平行四边形，求线段BE的长． 2．已知：正方形ABCD的边长为厘米，对角线AC上的两个动点E，F．点E从点A，点F从点C同时出发，沿对角线以1厘米/秒的相同速度运动，过E作EH⊥AC交Rt△ACD的直角边于H，过F作FG⊥AC交Rt△ACD的直角边于G，连接HG，EB．设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为S1，AE，EB，BA围成的图形面积为S2（这里规定：线段的面积为0）E到达C，F到达A停止．若E的运动时间为x秒，解答下列问题： （1）如图，判断四边形EFGH是什么四边形，并证明； （2）当0＜x＜8时，求x为何值时，S1＝S2； （3）若y是S1与S2的和，试用x的代数式表示y．（如图为备用图） 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 基础过关练 一．选择题 1．如图，在四边形ABCD中，AC于BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么下列条件中不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．∠ABC＝90 B．AO＝OC C．AB||CD D．AB＝CD 2．四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，下列条件能使这个四边形是正方形的是（　　） A．∠D＝90° B．AB＝CD C．BC＝CD D．AC＝BD 二．填空题 3．如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　 　． 4．矩形ABCD的周长为56，对角线交于点O，△OAB比△OBC周长小4，则AB＝　　． 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点，∠ADB＝30°，联结EF，作点D关于直线EF的对称点P．若PE⊥BD，则DF的长为 　 　． 6．如图，平面直角坐标系中，O为原点，已知菱形OABC，若点A的坐标为（3，4），则点B的坐标为　 　． 7．如图，点E是正方形ABCD的边AD延长线上一点，正方形ABCD的边长为6cm，点F是线段BE的中点，△BFC的面积是　 　cm2． 8．如图，将边长为1个单位长度的正方形ABCD置于平面直角坐标系中，如果BC与x轴平行，且点A的坐标是（3，3），那么点C的坐标是 　 　． 9．如图，正方形OABC的边长等于4，且AO边与x轴正半轴夹角为60°，点O为坐标原点，则点B的坐标为 　 　． 三．解答题 10．菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝60°．求证：AE＝AF． 题组B 能力提升练 一．选择题 1．在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，下列条件能判定这个四边形是菱形的是（　　） A．AD∥BC，∠A＝∠C B．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD C．AB∥CD，AC＝BD，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC 2．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD，那么下列条件中不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AD＝BC B．AB＝CD C．∠DAB＝∠ABC D．∠DAB＝∠DCB 二．填空题 3．如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC的延长线上，且CE＝BD，联结AE交BD于点F，如果∠E＝15°，那么∠AFB的度数为　 　． 4．我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2的矩形叫做“和谐矩形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10cm，则矩形的面积为　 　cm2． 5．如图，等边三角形AEF的顶点E，F分别落在矩形ABCD的两邻边BC、CD上，若BE＝1，CE＝2，则△AEF边长为　　 ． 6．如图，将长方形ABCD绕点A顺时针旋转，点D落在边BC上的点D′处，点B、C分别落在点B′、点C′处，如果∠D′BC′＝∠D′C′B，那么DC：D′C的比值等于 ． 7．已知，大正方形的边长为4厘米，小正方形的边长为2厘米，起始状态如图所示，大正方形固定不动，把小正方形向右平移，当两个正方形重叠部分的面积为2平方厘米时，小正方形平移的距离为　　厘米． 8．已知边长为4的正方形ABCD，点E、F分别在CA、AC的延长线上，且∠BED＝∠BFD＝45°，那么四边形EBFD的面积是　 　． 9．如图，在一块长方形的展板上，整齐地贴着许多大小相同的长方形卡片，卡片之间有三块正方形空隙（图中阴影部分），已知卡片的短边长12cm，那么图中三块阴影部分的总面积是　 　cm2． 10．如图在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交CB、DC延长线于E、F点且∠EAF＝45°，如果BE＝1，DF＝7，则EF＝　 　． 三．解答题 11．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、BC的中点，点F、G是边AC的三等分点，DF、EG的延长线相交于点H． （1）求证：四边形FBGH是平行四边形； （2）如果AC平分∠BAH，求证：四边形ABCH是菱形． 12．已知：如图，在□ABCD中，E为边CD的中点，联结AE并延长，交边BC的延长线于点F． （1）求证：四边形ACFD是平行四边形； （2）如果∠B+∠AFB＝90°，求证：四边形ACFD是菱形． 13．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形． （I）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长； （Ⅱ）判断CF与AC有怎样的位置关系并说明理由． 14．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，联结DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与边CD相交于点G． （1）求证：CG＝CE； （2）联结CF，求证：∠BFC＝45°； （3）如果正方形ABCD的边长为2，点G是边DC的中点，求EF的长． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025春季培优课 【进阶优等生系列】【2024-2025春季培优课】 八年级第二学期第7讲 22.3特殊的平行四边形 目录 1、 【进门测试】共10题； 2、 【知识精讲】共5个知识点； 3、 【典例解析】共12例题； 4、 【过关演练】共10题； 5、 【拓展进阶】共2题； 6、 【温故知新】共24题：A组10题，B组14题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，AE＝DF，BF与DE相交于点G，CG与BD相交于点H．下列结论中：①∠DBC＝60°；②△AED≌△DFB；③∠BGE＝60°，正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【分析】先证明△ABD为等边三角形，即可得到∠DBC的度数；根据“SAS”即可证明△AED≌△DFB；依据三角形外角性质即可得到∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°． 【解答】解：∵ABCD为菱形， ∴AB＝AD， ∵AB＝BD， ∴△ABD为等边三角形， ∴∠A＝∠BDF＝60°＝∠DBC， 又∵AE＝DF，AD＝BD， ∴△AED≌△DFB，故①、②正确； 当点E，F分别是AB，AD中点时， ∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°，为定值， 故③正确； 综上所述，正确的结论有①②③， 故选：D． 【点评】此题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质是解题的关键． 2．四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC′D′，如果∠DAD′＝30°，那么菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比是（　　） A． B． C． D．1 【分析】过D'作D'M⊥AB于M，求出正方形ABCD的面积＝AB2，再由含30°角的直角三角形的性质得AM＝AD'，D'M＝AM＝AD'，然后求出菱形ABCD的面积＝AB×D'M＝AB2，即可求解． 【解答】解：过D'作D'M⊥AB于M，如图所示： 则∠D'MA＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴正方形ABCD的面积＝AB2，AB＝AD，∠BAD＝90°， ∵∠DAD′＝30°， ∴∠D'AM＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AD'M＝30°， ∴AM＝AD'，D'M＝AM＝AD'， ∵四边形ABC′D′是菱形， ∴AB＝AD'＝AD，菱形ABCD的面积＝AB×D'M＝AB2， ∴菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比＝＝， 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质和正方形的性质，证出D'M＝AD'是解题的关键． 3．如图，四边形ABCD为菱形，四边形AOBE为矩形，O，C，D三点的坐标为（0，0），（2，0），（0，1），则点E的坐标为　（﹣2，﹣1）　． 【分析】求出OC、OD的长，根据菱形的性质求出OA＝OC＝2，根据矩形的性质求出OB＝EA＝1，即可得出答案． 【解答】解：∵O，C，D三点的坐标为（0，0），（2，0），（0，1）， ∴OC＝2，OD＝1， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝2，OB＝OD＝1， ∵四边形AOBE为矩形， ∴∠EAO＝∠EBO＝90°，EB＝OA＝2，EA＝OB＝1， ∵E在第二象限， ∴E点的坐标是（﹣2，﹣1）， 故答案为：（﹣2，﹣1）． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，矩形的性质和菱形的性质，能求出OA和OB的长是解此题的关键． 4．已知AC、BD是四边形ABCD的两条对角线．如果将“AC⊥BD”记为①，“四边形ABCD是矩形”记为②，“四边形ABCD是菱形”记为③，那么下列判断正确的是（　　） A．由①推出② B．由①推出③ C．由②推出① D．由③推出① 【分析】根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直即可即可进行判断． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD．∴由③推出①．故选：D． 【点评】本题考查了菱形的性质、矩形的性质；熟练掌握矩形、菱形的性质是解题的关键． 5．如图，正方形ABCD的边长等于4，对角线AC、BD相交于点O，E是DB延长线上一点，∠BCE＝15°，那么△BCE的面积等于 　4﹣4　． 【分析】根据正方形的性质得到∠DBC＝45°，求出∠E＝30°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBC＝45°， ∴∠E＝∠DBC﹣∠BCE＝30°， ∵AB＝BC＝4， ∴AC＝＝4， ∴OC＝OB＝， ∵∠E＝30°， ∴OE＝OC＝2，BE＝2﹣2， ∴△BCE的面积＝＝（2﹣2）×＝4﹣4． 故答案为：4﹣4． 【点评】本题考查的是正方形的性质、勾股定理，掌握正方形的对角线平分一组对角是解题的关键． 6．如果存在一条直线将一个图形分割成两部分，使其中一部分图形按某个方向平移后能够与另一部分重合，那么我们把这种图形称为平移重合图形，下列图形中，不是平移重合图形的是（　　） A．ㅤㅤ正方形 B．ㅤㅤ长方形 C．ㅤㅤ平行四边形 D．ㅤㅤ圆 【分析】证明平行四边形、长方形、正方形是平移重合图形即可． 【解答】解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF． ∵四边形ABEF向右平移可以与四边形EFDC重合， ∴平行四边形ABCD是平移重合图形， ∴长方形和正方形也是平移重合图形，故选：D． 【点评】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 7．如图，正方形ABCD边长为2，CE∥BD，BE＝BD，则CE＝　　． 【分析】过点E作EH⊥BC，交BC的延长线于点H，由CE∥BD结合正方形的性质求得∠ECH＝45°、BD＝BE＝2，从而得到△EFC是等腰直角三角形，然后设CH＝EH＝x，再结合勾股定理求得x的值，最后求得CE的长． 【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC，交BC的延长线于点H， ∵CE∥BD， ∴∠ECH＝∠DBC， ∵四边形ABCD为正方形，且边长为2， ∴∠DBC＝45°，BD＝2， ∴∠ECH＝45°，BE＝BD＝2， ∴△EHC是等腰直角三角形， 设CH＝EH＝x，则BH＝BC+CH＝2+x， 在Rt△BEH中，EH2+BH2＝BE2， ∴x2+（2+x）2＝（2）2， 解得：x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍）， ∴CH＝EH＝﹣1， ∴CE＝CE＝×（﹣1）＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的性质、平行线的性质、勾股定理，解题的关键是熟知正方形的性质和等腰直角三角形三边的关系． 8．如图，E、F分别为边长为1的正方形ABCD边BC、CD上的两个动点，若∠EAF的大小始终保持45°不变，则△CEF的周长为 　2　． 【分析】将△ABE绕点A顺时针旋转90°，得到△ADG，证明△EAF≌△GAF（SAS），推出EF＝GF可得结论． 【解答】解：如图中，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，得到△ADG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝1，∠BAD＝90°， 由旋转得：△ABE≌ADG， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠EAF＝45°， ∴∠DAF+∠BAE＝∠DAF+∠DAG＝45°， ∴∠EAF＝∠FAG＝45°， ∵AF＝AF， ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF＝GF， ∴EF＝GD+DF＝BE+DF， ∴△ECF的周长＝EF+EC+CF＝BE+DF+EC+CF＝BC+CD＝2，故答案为2． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 9．如果菱形的一条对角线长是另一条长的倍，这个菱形的面积等于6，那么这个菱形的周长等于 　8　． 【分析】根据菱形的面积等于对角线积的一半，因此可设较短对角线长x，则较长的对角线为x，根据已知列方程求得两条对角线的长，再根据勾股定理求得其边长即可． 【解答】解：设较短对角线长x，则较长的对角线为x，根据题意可得： x•x＝6， 解得：x＝2， 故较长的对角线为：2×＝6， 则菱形的边长为：＝2， 故这个菱形的周长等于：2×4＝8． 故答案为：8． 【点评】此题主要考查了菱形的面积公式以及勾股定理，正确得出菱形对角线的长是解题关键． 10．矩形各角的角平分线交成的四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【分析】根据题意画出图形，由矩形得出∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝∠ABC＝90°，由AM、DM、CP、BP分别平分∠BAD、∠ADC、∠DCB、∠ABC知∠BAM＝∠DAM＝∠ADM＝∠CDM＝∠DCP＝∠ABP＝45°，从而得∠PQM＝90°，∠AMD＝90°，∠PNM＝90°，从而可得四边形PQMN是矩形，再证△ABQ≌△DCN得AQ＝DN，由∠MAD＝∠MDA＝45°知MA＝MD，从而得出MQ＝MN，据此即可说明四边形PQMN是正方形． 【解答】解：如图所示， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝∠ABC＝90°， ∵AM、DM、CP、BP分别平分∠BAD、∠ADC、∠DCB、∠ABC， ∴∠BAM＝∠DAM＝∠ADM＝∠CDM＝∠DCP＝∠ABP＝45°， ∴∠AQB＝∠PQM＝90°，∠AMD＝90°，∠CND＝∠PNM＝90°， ∴四边形PQMN是矩形， 在△ABQ和△DCN中， ∵， ∴△ABQ≌△DCN（ASA）， ∴AQ＝DN， ∵∠MAD＝∠MDA＝45°， ∴MA＝MD， ∴MQ＝MN， ∴矩形PQMN是正方形， 故选：D． 【点评】本题主要考查矩形的判定和性质，解题的关键是掌握矩形的性质和判定、三角形内角和定理等知识点． 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 要点一、矩形、菱形、正方形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形 叫做正方形. 要点二、矩形、菱形、正方形的性质 矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 菱形的性质：1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； 3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴. 正方形的性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等. 2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点三、矩形、菱形、正方形的判定 矩形的判定：1. 有三个角是直角的四边形是矩形. 2. 对角线相等的平行四边形是矩形. 3. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 菱形的判定：1. 四条边相等的四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 要点诠释：前一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.后两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形， 正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形. 2.有一个内角是直角的菱形是正方形. 要点四、特殊平行四边形之间的关系 要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 一．菱形的性质 1.我们定义：联结平行四边形一组对边中点的线段叫做“对边中位线”，联结平行四边形一组邻边中点的线段叫做“邻边中位线”．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，对角线BD＝8，那么“对边中位线”EF与“邻边中位线”EG、FG所围成的△EFG的面积是 　8　． 【分析】由题意可证△ABD是等边三角形，可求菱形ABCD的面积＝32，可证四边形AEFB是平行四边形，可得▱AEFB的面积＝16，EF∥AB，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝BC＝CD， ∵∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴S△ABD＝×BD2＝16， ∴菱形ABCD的面积＝32， ∵EF是对边中位线， ∴AE＝AD，BF＝BC， ∴AE＝BF， 且AE∥BF， ∴四边形AEFB是平行四边形， ∴▱AEFB的面积＝16，EF∥AB， ∵EG是邻边中位线， ∴S△EFG＝S▱AEFB＝8， 故答案为8． 【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，理解“对边中位线”与“邻边中位线”定义是解题的关键． 2．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，FC与对角线BD交于点G，过G作GE⊥BC于点E，∠ADB＝∠FCB． （1）求证：AB＝2BE； （2）求证：DG＝CF+GE． 【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝BC，AD∥BC，可得∠ADB＝∠DBC＝∠FCB，可证GB＝GC，由等腰三角形的性质可得AB＝BC＝2BE； （2）由“AAS”可证△AFH≌△BFC，可得CF＝FH，由“SAS”可证△BGF≌△BGE，可得FG＝GE，可得结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵∠ADB＝∠FCB， ∴∠FCB＝∠DBC， ∴GB＝GC， 又∵GE⊥BC， ∴BC＝2BE， ∴AB＝2BE； （2）如图，延长CF，DA交于点H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，∠ABD＝∠DBC， ∴∠H＝∠FCB， ∴∠H＝∠ADB， ∴DG＝HG， ∵点F是AB的中点， ∴AF＝BF，AB＝2BF， ∴BF＝BE， 在△AFH和△BFC中， ， ∴△AFH≌△BFC（AAS）， ∴CF＝FH， 在△BGF和△BGE中， ， ∴△BGF≌△BGE（SAS）， ∴FG＝GE， ∴DG＝HG＝HF+FG＝FC+GE． 【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二．菱形的判定 3．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，联结OE，OC＝OE． （1）求证：OE＝AC； （2）如果DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形． 【分析】（1）过O作OF⊥CE于F，由等腰三角形的性质得CF＝EF，再证OF是△ACE的中位线，得OA＝OC，即可得出结论； （2）证△AOB≌△OCD（ASA），得OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形，再证BC＝DC，即可得出结论． 【解答】证明：（1）过O作OF⊥CE于F，如图所示： ∵OC＝OE， ∴CF＝EF， ∵OF⊥CE，CE⊥CD， ∴OF∥CD， ∵AB∥DC， ∴OF∥AB， ∴OF是△ACE的中位线， ∴OA＝OC， ∴OE＝AC； （2）∵AB∥DC， ∴∠OAB＝∠OCD， 在△AOB和△OCD中， ， ∴△AOB≌△OCD（ASA）， ∴OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB， ∴∠CBD＝∠CDB， ∴BC＝DC， ∴平行四边形ABCD是菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的判定和等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 三．菱形的判定与性质 4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，点E为BC的中点 （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）联结BD，如果BD平分∠ABC，AD＝2，求BD的长． 【分析】（1）由直角三角形的性质可得AE＝AD＝EC，且AD∥BC，可证四边形AECD是平行四边形，即可得结论； （2）由角平分线的性质和平行线的性质可得AD＝AB＝CD，可证四边形ABCD是等腰梯形，可得BD＝AC，由勾股定理可求AC的长，即可得BD的长． 【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，点E为BC的中点， ∴AE＝EC＝BC ∵BC＝2AD， ∴AD＝BC ∴AD＝EC，且AD∥BC， ∴四边形AECD是平行四边形，且AE＝EC， ∴四边形AECD是菱形 （2）如图， ∵AD∥BC，AD＜BC ∴四边形ABCD是梯形， ∵BD平分∠ABD， ∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD ∵四边形AECD是菱形， ∴AD＝DC＝2 ∴AB＝DC＝2 ∴四边形ABCD是等腰梯形， ∴AC＝BD ∵BC＝2AD＝4． ∴BD＝AC＝＝2 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，求证BD＝AC是本题的关键． 四．矩形的性质 5．已知：如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，点E、F是垂足． （1）联结DE、FB，求证：四边形DFBE是平行四边形； （2）如果AF＝EF＝2，求矩形ABCD的面积． 【分析】（1）先根据矩形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，再证明BE∥DF，接着证明△ABE≌△CDF，从而得到BE＝DF，然后根据平行四边形的判定方法得到结论； （2）矩形ABCD的面积＝AC•DF，想办法求DF，AC即可． 【解答】证明：（1）如图： ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠EAB＝∠FCD， ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴BE∥DF，∠AEB＝∠DFC＝90°， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝DF， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠DAC＝∠BCA， 又∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠DAF＝∠BCE， 在△DAF和△BCE中， ， ∴△DAF≌△BCE（AAS）， ∴AF＝CE， 连接BD交AC于点O， ∵AF＝FE＝2， ∴AC＝BD＝6， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝DO＝3， 在△ODF中，OD＝3，OF＝1，∠OFD＝90°， ∴DF＝＝＝2， ∴矩形ABCD的面积＝AC×DF＝6×2＝12． 【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 五．矩形的判定 6．如图，在△ABC中，O为边AC的中点，过点A作AD∥BC，与BO的延长线相交于点D，E为AD延长线上的任一点，联结CE、CD． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形： （2）当D为边AE的中点，且CE＝2CO时，求证：四边形ABCD为矩形． 【分析】（1）证明△AOD≌△COB（AAS），由全等三角形的性质得出AD＝BC，则可得出答案； （2）证明∠ADC＝90°，由矩形的判定方法可得出结论． 【解答】证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO， ∵O是AC的中点， ∴AO＝CO． 在△AOD和△COB中， ， ∴△AOD≌△COB（AAS）， ∴AD＝BC， 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO＝， ∵CE＝2CO， ∴CE＝CA， 又∵D是AE的中点， ∴CD⊥AE， 即∠ADC＝90°． 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形． 【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 7．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，将边AB延长至点E，使AB＝BE，联结DE、EC，DE与BC交于点O． （1）求证：四边形BECD是平行四边形； （2）若∠COE＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，再由AB＝BE．得BE＝CD，且BE∥CD，即可得出结论； （2）证BO＝EO，中由平行四边形的性质得，，则BC＝ED，即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵AB＝BE， ∴BE＝CD，且BE∥CD， ∴四边形BECD是平行四边形； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠A＝∠EBO， ∵∠COE＝2∠A＝2∠EBO，∠COE＝∠EBO+∠BEO， ∴∠EBO＝∠BEO， ∴BO＝EO， 由（1）得：四边形BECD是平行四边形， ∴，， ∴BC＝ED， ∴平行四边形BECD是矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质，证出BO＝EO是解题的关键． 六．矩形的判定与性质 8．已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AO＝BO＝CO，∠BAC＝∠ACD． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）如果点E在边AB上，DE平分∠ADB，BD＝AB，求证：BD＝AD+AE． 【分析】（1）证△AOB≌△COD（ASA），得BO＝DO，再由AO＝CO，得四边形ABCD是平行四边形，然后证AC＝BD，即可得出结论； （2）过点E作EF⊥BD于F，证△ABD是等腰直角三角形，得∠ABD＝45°，再证△BEF是等腰直角三角形，得FE＝FB，然后证△ADE≌△FDE（AAS），得AD＝FD，AE＝FE，则AE＝FB，即可得出结论． 【解答】证明：（1）在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴BO＝DO， ∵AO＝CO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AO＝BO＝CO，BO＝DO， ∴AO＝BO＝CO＝DO， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）过点E作EF⊥BD于F，如图所示： 由（1）得：四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∵BD＝AB， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ABD＝45°， ∵EF⊥BD， ∴∠EFB＝∠EFD＝90°， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴FE＝FB， ∵DE平分∠ADB， ∴∠ADE＝∠FDE， 在△ADE和△FDE中， ， ∴△ADE≌△FDE（AAS）， ∴AD＝FD，AE＝FE， ∴AE＝FB， ∵BD＝FD+FB， ∴BD＝AD+AE． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的平对于性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明△AOB≌△COD是解题的关键． 七．正方形的性质 9．如图，正方形ABCD中，点G是CD边上的一点（点G不与点C，点D重合），以CG为一边向正方形ABCD外做正方形GCEF，联结DE交BG的延长线于点H． （1）求证：BH⊥DE； （2）若正方形ABCD的边长为1，当点H为DE中点时，求CG的长． 【分析】（1）先由四边形ABCD和CGFE是正方形求证△DCE≌△BCG，再得出BG⊥DE． （2）连接BD，解题关键是利用垂直平分线的性质得出BD＝BE，从而找到BD＝，CE＝BE﹣BC＝﹣1，根据全等三角形的性质求解即可． 【解答】（1）证明： ∵正方形ABCD， ∴∠BCD＝90°，BC＝CD， 同理：CG＝CE， ∠GCE＝90°， ∴∠BCD＝∠GCE＝90°， ， ∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴∠GBC＝∠CDE， 在Rt△DCE中∠CDE+∠CED＝90°， ∴∠GBC+∠BEH＝90°， ∴∠BHE＝180°﹣（∠GBC+∠BEH）＝90°， ∴BH⊥DE； （2）连接BD， ∵点H为DE中点，BH⊥DE， ∴BH为DE的垂直平分线， ∴BE＝BD， ∵BC＝CD＝1， ∴BD＝＝， ∴BE＝BD＝， ∵CE＝BE﹣BC＝﹣1， ∴CG＝CE＝﹣1． 【点评】此题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．特殊图形的特殊性质要熟练掌握． 10．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，联结DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与边CD相交于点G． （1）求证：CG＝CE； （2）联结CF，求证：∠BFC＝45°； （3）如果正方形ABCD的边长为2，点G是边DC的中点，求EF的长． 【分析】（1）把CG和CE分别放在Rt△BCG和Rt△DCE中，说明它们全等即可得证； （2）连接CF，过点C作MC⊥CF交BG于M，说明△MCF为等腰三角形即可得证； （3）过点C作CN⊥BF于N，构造△CNG≌△DFG，即可求出DF＝NC，再利用线段和差即可求出EF的长． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE， ∵BF⊥DE， ∴∠E+∠CBG＝∠E+∠EDC， ∴∠CBG＝∠EDC， 在Rt△BCG与Rt△DCE中， ∴Rt△BCG≌Rt△DCE（ASA）， ∴CG＝CE． （2）作CM⊥CF交BF于点M， ∵△BCG≌△DCE， ∴∠E＝∠BGC， ∵∠MCG+∠FCG＝∠ECF+∠FCG＝90°， ∴∠MCG＝∠FCE， 在△MCG和△FCE中， ， ∴△MCG≌△FCE（ASA）， ∴MG＝FE，MC＝FC， ∴△MCF为等腰直角三角形， ∴∠BFC＝45°． （3）作CN⊥BF于点N， ∴△CNF为等腰直角三角形，CN＝NF， ∵G为CD中点，正方形ABCD的边长为2， ∴CG＝DG＝CE＝1， ∴BG＝DE＝＝， ∴BC•CG＝BG•CN， ∴CN＝＝＝， 在△CNG和△DFG中， ， ∴△CNG≌△DFG（AAS）， ∴DF＝CN＝， ∴EF＝DE﹣DF＝﹣＝． 【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，构造特殊三角形和三角形全等是解题的关键． 八．正方形的判定 11．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，过点F作AE的平行线交对角线AC的延长线于点G，连接EG． （1）求证：四边形AEGF是菱形； （2）如果∠B＝∠BAE＝30°，求证：四边形AEGF是正方形． 【分析】（1）先证△ABE≌△ADF，得到AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，根据FG∥AE，得到∠EAG＝∠FGA，从而得到FG＝AF＝AE，所以可得四边形AEGF是平行四边形，进而得到其为菱形； （2）由全等三角形的性质及平行四边形的性质得出∠EAF＝90°，由正方形的判定可得出答案． 【解答】（1）证明：∵菱形ABCD， ∴AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAC， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF， ∴∠EAG＝∠FAG， ∵FG∥AE， ∴∠EAG＝∠FGA， ∴∠FAG＝∠FGA， ∴FG＝AF＝AE， ∵FG∥AE， ∴四边形AEGF是平行四边形， 又∵AF＝AE， ∴四边形AEGF是菱形； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD， ∴∠B+∠BAD＝180°， ∵∠B＝∠BAE＝30°， ∵△ABE≌△ADF， ∴∠BAE＝∠DAF＝30°， ∴∠BAD＝180°﹣∠B＝150°， ∴∠EAF＝∠BAD﹣∠BAE﹣∠DAF＝150°﹣30°﹣30°＝90°， ∵四边形AEGF是菱形， ∴四边形AEGF是正方形． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 12.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD，E是对角线BD上的一点，且AE＝CE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果AB＝BE，且∠ABE＝2∠DCE，求证：四边形ABCD是正方形． 【分析】（1）（1）首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE＝∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE＝∠CBD，易得∠CDB＝∠CBD，可得BC＝CD，易得AD＝BC，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD＝CD可得四边形ABCD是菱形； （2）由全等三角形的性质得到∠DAE＝∠DCE，进而得到∠ABE＝2∠DAE，由菱形的性质得到AB＝AD，进而得到∠ABE＝∠ADE，由三角形的外角的性质结合已知条件得到∠BAE＝3∠DAE，可得∠BAD＝4∠DAE，根据三角形内角和定理求得4∠DAE＝90°，即∠BAD＝90°，即可得到四边形ABCD是正方形． 【解答】证明：（1）在△ADE与△CDE中， ， ∴△ADE≌△CDE（SSS）， ∴∠ADE＝∠CDE， ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDE， ∴∠ABD＝∠ADE， ∴AB＝AD， ∵AD＝CD， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AD＝CD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）∵△ADE≌△CDE， ∴∠DAE＝∠DCE， ∵∠ABE＝2∠DCE， ∴∠ABE＝2∠DAE， 由（1）知，四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∴∠ABE＝∠ADE＝2∠DAE ∴∠AEB＝∠ADE+∠DAE＝3∠DAE， ∵AB＝BE， ∴∠BAE＝∠AEB＝3∠DAE， ∴∠BAD＝∠BAE+∠DAE＝4∠DAE， ∵∠ABE+∠ADE+∠BAD＝180°， ∴2∠DAE+2∠DAE+4∠DAE＝180°， ∴4∠DAE＝90°， ∴∠BAD＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD是正方形． 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，根据全等三角形判定证得△ADE≌△CDE是解题的关键． 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 1．如果菱形边长是10，短的对角线长为12，那么这个菱形的面积是 　96　． 【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，CO＝AO＝6，BO＝DO，在Rt△BOC中，由勾股定理可求BO，由菱形的面积公式可求解． 【解答】解：如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，CO＝AO＝6，BO＝DO， ∴BO＝＝＝8， ∴BD＝16， ∴菱形ABCD＝＝＝96， 故答案为96． 【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的面积等于对角线积的一半是解题的关键． 2．在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是（　　） A．AO＝CO B．AO＝BO C．AO⊥BO D．AB⊥BC 【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出即可． 【解答】解：添加AO⊥BO， 理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，AO⊥BO， ∴▱ABCD为菱形， 只有选项C正确；选项A、B、D都错误； 故选：C． 【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 3．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为BC中点，BD⊥DC，EA平分∠DEB． （1）求证：AE＝DC； （2）求证：四边形ABED是菱形． 【分析】（1）由直角三角形斜边中线的性质得到DE＝BE＝CE，再根据角平分线的定义和平行线的性质证得∠DAE＝∠AED，得到AD＝CE，证得明四边形ABCD为平行四边形，由平行四边形的性质即可得到AE＝DC； （2）由（1）可得AD∥BE，AD＝BE＝DE，根据平行四边形和菱形的判定定理可证得四边形ABED是平行四边形，平行四边形ABED是菱形． 【解答】证明：（1）∵E为BC中点，BD⊥DC， ∴DE＝BC＝BE＝CE， ∵EA平分∠DEB， ∴∠AEB＝∠AED， ∵AD∥BC， ∴AD∥CE， ∴∠DAE＝∠AEB，AD∥CE， ∴∠DAE＝∠AED， ∴AD＝DE， ∴AD＝CE， ∴四边形AECD平行四边形， ∴AE＝DC； （2）由（1）知，四边形AECD平行四边形， ∴AD∥CE，AD＝CE， ∴AD∥BE， 由（1）知，DE＝BE＝CE， ∴AD＝BE＝DE， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴四边形ABED是菱形． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，根据角平分线的定义、平行线的性质证和等腰三角形的性质和判定证得AD＝DE＝CE是解决问题的关键． 4．如图，已知BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，垂足分别为E、D，联结CD、DE，DE与AB交于点O，CD∥AB．求证：四边形OBCD是菱形． 【分析】根据已知条件首先证明四边形AEBD是矩形，可得OB＝OD，再证明四边形OBCD是平行四边形，进而可得结论． 【解答】证明：∵BD、BE分别是∠ABC与∠ABF的平分线， ∴∠ABD+∠ABE＝×180°＝90°， 即∠EBD＝90°， 又∵AE⊥BE，AD⊥BD，E、D是垂足， ∴∠AEB＝∠ADB＝90°， ∴四边形AEBD是矩形． ∴OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∵BD平分∠ABC， ∴∠OBD＝∠DBC， ∴∠ODB＝∠DBC， ∴OD∥BC， ∵CD∥AB， ∴四边形OBCD是平行四边形， ∵OB＝OD， ∴平行四边形OBCD是菱形． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的判定，解决本题的关键是证明四边形AEBD是矩形． 5．如图，在△ABC中，AB＝BC，点D、E分别在边AB、BC上，且DE∥AC，AD＝DE，点F在边AC上，且CE＝CF，联结FD． （1）求证：四边形DECF是菱形； （2）如果∠A＝30°，CE＝4，求四边形DECF的面积． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到∠BDE＝∠BED，求得BD＝BE，推出四边形DECF是平行四边形，于是得到结论； （2）过点F作FG⊥BC交BC于G，根据菱形的性质得到CF＝4，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠C，根据直角三角形的性质得到FG＝FC＝2，于是得到结论． 【解答】解：（1）∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C， ∵DE∥AC， ∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C， ∴∠BDE＝∠BED， ∴BD＝BE， ∴BA﹣BD＝BC﹣BE， ∴AD＝CE， ∵AD＝DE， ∴DE＝EC， ∵CE＝CF， ∴DE＝CF， ∵DE∥FC， ∴四边形DECF是平行四边形， ∵CE＝CF， ∴四边形DECF是菱形； （2）过点F作FG⊥BC交BC于G， ∵四边形DECF是菱形，CE＝4， ∴CF＝4， ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C， ∵∠A＝30°， ∴∠C＝30°， ∵∠FGC＝90°，∠C＝30°， ∴FG＝FC＝2， ∴四边形DECF的面积＝EC•FG＝4×2＝8． 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 6．矩形的较短边长是1，两条对角线的夹角为60°，则这个矩形的面积是 　　． 【分析】由矩形的性质得出OA＝OB，再证明△AOB是等边三角形，得出OA＝AB＝1，然后由勾股定理求出BC的长，即可得出结果． 【解答】解：如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD， ∴OA＝OB， 又∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝AB＝1， ∴AC＝2OA＝2， ∴BC＝＝＝， ∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝1×＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出BC的长是解决问题的关键． 7．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，延长AE至点G，使EG＝AE，联结GC、CF． （1）求证：AE∥CF； （2）当AC＝2AB时，求证：四边形EGCF是矩形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到OB＝OD，OA＝OC，根据三角形中位线定理得到EO＝OB，FO＝OD，求得EO＝FO，由全等三角形的性质得到∠AEO＝∠CFO，根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）根据三角形中位线定理得到EO∥GC，推出四边形EGCF是平行四边形，求得AB＝AO，根据等腰三角形的性质得到AE⊥OB，求得∠OEG＝90°，于是得到结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC， ∵点E、F分别为OB、OD的中点， ∴EO＝OB，FO＝OD， ∴EO＝FO， 在△AEO和△CFO中， ， ∴△AEO≌△CFO（SAS）， ∴∠AEO＝∠CFO， ∴AE∥CF； （2）∵EA＝EG，OA＝OC， ∴EO是△AGC的中位线， ∴EO∥GC， ∵AE∥CF， ∴四边形EGCF是平行四边形， ∵AC＝2AB，AC＝2AO， ∴AB＝AO， ∵E是OB的中点， ∴AE⊥OB， ∴∠OEG＝90°， ∴四边形EGCF是矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，正确的识别图形是解题的关键． 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（　　） A． B． C． D．5 【分析】连接PC，当CP⊥AB时，PC最小，利用三角形面积解答即可． 【解答】解：连接PC，如图所示， ∵PE⊥AC，PF⊥BC， ∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°， ∴四边形ECFP是矩形， ∴EF＝PC， ∴当PC最小时，EF也最小， 即当CP⊥AB时，PC最小， ∵AC＝8，BC＝6， ∴AB＝10， ∴PC的最小值为：＝4.8． ∴线段EF长的最小值为4.8． 故选：B． 【点评】本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答． 9．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAC的平分线分别交BD、BC于点G、H，如果AB＝4，那么OG＝　4﹣2　． 【分析】过点G作GE⊥AB于E，根据HL可得Rt△AEG≌Rt△AOG，EG＝BE＝OG，利用勾股定理得到AO的长，进而可得OG的长． 【解答】解：过点G作GE⊥AB于E，如图： 正方形ABCD中，AC⊥BD， ∴∠AOG＝90°， ∵AH平分∠BAD，GE⊥AB， ∴OG＝EG， ∵正方形ABCD中，∠ABD＝45°， ∴EG＝BE＝OG， 在Rt△AEG和Rt△AOG中， ， ∴Rt△AEG≌Rt△AOG（HL）， ∴AE＝AO， ∵AB＝BC＝4，∠ABC＝90°， ∴AC＝＝4， ∴AO＝AC＝2， ∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣AO＝4﹣2， 即OG＝4﹣2． 故答案为：4﹣2． 【点评】本题考查正方形的性质和角平分线的性质定理，正确作出辅助线并得到三角形全等是解题关键． 10．已知：如图，在等边三角形ABC中，过边AB上一点D作DE⊥BC，垂足为点E，过边AC上一点G作GF⊥BC，垂足为点F，BE＝CF，联结DG． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）连接AF，当∠BAF＝3∠FAC时，求证：四边形DEFG是正方形． 【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行四边形的判定证明即可； （2）根据等边三角形的判定和性质以及正方形的判定解答即可． 【解答】证明：（1）在等边三角形ABC中， ∵DE⊥BC，GF⊥BC， ∴∠DEF＝∠GFC＝90°， ∴DE∥GF， ∵∠B＝∠C＝60°，BE＝CF，∠DEB＝∠GFC＝90°， ∴△BDE≌△CGF， ∴DE＝GF， ∴四边形DEFG是平行四边形； （2）在平行四边形DEFG中， ∵∠DEF＝90°， ∴平行四边形DEFG是矩形， ∵∠BAC＝60°，∠BAF＝3∠FAC， ∴∠GAF＝15°， 在△CGF中， ∵∠C＝60°，∠GFC＝90°， ∴∠CGF＝30°， ∴∠GFA＝15°， ∴∠GAF＝∠GFA， ∴GA＝GF， ∵DG∥BC， ∴∠ADG＝∠B＝60°， ∴△DAG是等边三角形， ∴GA＝GD， ∴GD＝GF， ∴矩形DEFG是正方形． 【点评】此题考查正方形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质以及正方形的判定解答． 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 1．已知：如图1．四边形ABCD是菱形，AB＝6，∠B＝∠MAN＝60°．绕顶点A逆时针旋转∠MAN，边AM与射线BC相交于点E（点E与点B不重合），边AN与射线CD相交于点F． （1）当点E在线段BC上时，求证：BE＝CF； （2）设BE＝x，△ADF的面积为y．当点E在线段BC上时，求y与x之间的函数关系式，写出函数的定义域； （3）连接BD，如果以A、B、F、D为顶点的四边形是平行四边形，求线段BE的长． 【分析】（1）连接AC，通过证明△ABE≌△ACF（ASA）即可得出BE＝CF； （2）过点A作AH⊥CD，垂足为H，先根据勾股定理求出AH的长，又CF＝BE＝x，DF＝6﹣x，根据三角形的面积公式即可列出函数关系式； （3）根据题意画出图形，并连接BD，先根据四边形BDFA是平行四边形，证出∠BAE为直角，在Rt△ABE中，∠B＝60°，∠BEA＝30°，AB＝6，继而即可求出BE的长． 【解答】解：（1）连接AC（如图1）． 由四边形ABCD是菱形，∠B＝60°， 易得：BA＝BC，∠BAC＝∠DAC＝60°，∠ACB＝∠ACD＝60°． ∴△ABC是等边三角形． ∴AB＝AC． 又∵∠BAE+∠MAC＝60°，∠CAF+∠MAC＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF． 在△ABE和△ACF中， ∵∠BAE＝∠CAF，AB＝AC，∠B＝∠ACF， ∴△ABE≌△ACF（ASA）． ∴BE＝CF． （2）过点A作AH⊥CD，垂足为H（如图2） 在Rt△ADH中，∠D＝60°，∠DAH＝90°﹣60°＝30°， ∴.． 又CF＝BE＝x，DF＝6﹣x， ∵S△ADF＝DF•AH， ∴， 即（0＜x＜6）． （3）①当点F在CD的延长线上时， 如图3，连接BD，易得． 当四边形BDFA是平行四边形时，AF∥BD． ∴∠FAD＝∠ADB＝30°． ∴∠DAE＝60°﹣30°＝30°，∠BAE＝120°﹣30°＝90°． 在Rt△ABE中，∠B＝60°，∠BEA＝30°，AB＝6． 易得：BE＝2AB＝2×6＝12； ②当点F与C重合时，此时点E与点B重合（不合题意舍去）． 【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质及平行四边形的性质，是一道综合题，有一定难度，关键是对这些知识的熟练掌握以便灵活运用． 2．已知：正方形ABCD的边长为厘米，对角线AC上的两个动点E，F．点E从点A，点F从点C同时出发，沿对角线以1厘米/秒的相同速度运动，过E作EH⊥AC交Rt△ACD的直角边于H，过F作FG⊥AC交Rt△ACD的直角边于G，连接HG，EB．设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为S1，AE，EB，BA围成的图形面积为S2（这里规定：线段的面积为0）E到达C，F到达A停止．若E的运动时间为x秒，解答下列问题： （1）如图，判断四边形EFGH是什么四边形，并证明； （2）当0＜x＜8时，求x为何值时，S1＝S2； （3）若y是S1与S2的和，试用x的代数式表示y．（如图为备用图） 【分析】（1）首先根据动点E、F的运动速度与运动时间均相同得出AE＝CF，再由正方形的性质及已知EH⊥AC，FG⊥AC得出△CGF与△AHE都是等腰直角三角形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出结论； （2）首先由勾股定理求出正方形ABCD的对角线长为16．再连接BD交AC于O，则BO＝8．然后用含x的代数式分别表示S1，S2，当S1＝S2时得出关于x的方程，解方程即可； （3）因为当x＝8时，点E与点F重合，此时S1＝0，y＝S2．故应分0≤x＜8与8≤x≤16两种情况讨论． 【解答】解：（1）四边形EFGH是矩形．理由如下： ∵点E从点A，点F从点C同时出发，沿对角线以1厘米/秒的相同速度运动， ∴AE＝CF． ∵EH⊥AC，FG⊥AC， ∴EH∥FG． ∵ABCD为正方形， ∴AD＝DC，∠D＝90°，∠GCF＝∠HAE＝45°， 又∵EH⊥AC，FG⊥AC， ∴∠CGF＝∠AHE＝45°， ∴∠GCF＝∠CGF，∠HAE＝∠AHE， ∴AE＝EH，CF＝FG，∴EH＝FG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 又∵EH⊥AC ∴平行四边形EFGH是矩形； （2）∵正方形边长为，∴AC＝16． ∵AE＝x，连接BD交AC于O，则BO⊥AC且BO＝8， ∴S2＝•AE•BO＝4x． ∵CF＝GF＝AE＝x，∴EF＝16﹣2x， ∴S1＝EF•GF＝x（16﹣2x）． 当S1＝S2时，x（16﹣2x）＝4x， 解得x1＝0（舍去），x2＝6． ∴当x＝6时，S1＝S2； （3）①当0≤x＜8时，y＝x（16﹣2x）+4x＝﹣2x2+20x． ②当8≤x≤16时，AE＝x，CE＝HE＝16﹣x，EF＝16﹣2（16﹣x）＝2x﹣16． ∴S1＝（16﹣x）（2x﹣16）． ∴y＝（16﹣x）（2x﹣16）+4x＝﹣2x2+52x﹣256． 综上，可知y＝． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性较强，难度中等． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 基础过关练 一．选择题 1．如图，在四边形ABCD中，AC于BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么下列条件中不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．∠ABC＝90 B．AO＝OC C．AB||CD D．AB＝CD 【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可． 【解答】解：A、∵∠BAD＝90°，BO＝DO， ∴OA＝OB＝OD， ∵∠ABC＝90°， ∴AO＝OB＝OD＝OC， 即对角线平分且相等， ∴四边形ABCD为矩形，正确； B、∵∠BAD＝90°，BO＝DO， ∴OA＝OB＝OD， ∵AO＝OC， ∴AO＝OB＝OD＝OC， 即对角线平分且相等， ∴四边形ABCD为矩形，正确； C、∵AB||CD，∠BAD＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∵BO＝DO， ∴OA＝OB＝OD， ∴∠DAO＝∠ADO， ∴∠BAO＝∠ODC， ∵∠AOB＝∠DOC， ∴△AOB≌△DOC， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠BAD＝90°， ∴▱ABCD是矩形，正确； D、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，AB＝CD， 无法得出△ABO≌△DCO， 故无法得出四边形ABCD是平行四边形， 进而无法得出四边形ABCD是矩形，错误； 故选：D． 【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理． 2．四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，下列条件能使这个四边形是正方形的是（　　） A．∠D＝90° B．AB＝CD C．BC＝CD D．AC＝BD 【分析】根据题意得到四边形ABCD为矩形，再由邻边相等的矩形为正方形即可得证． 【解答】解：四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，能使这个四边形是正方形的是BC＝CD， 故选：C． 【点评】此题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键． 二．填空题 3．如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　（5，）　． 【分析】由A，B的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0）可得菱形边长，Rt△AOD中求出OD从而可得D坐标，即可得出C坐标． 【解答】解：∵A，B的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0）， ∴OA＝2，OB＝3，AB＝5， ∵菱形ABCD， ∴AD＝AB＝CD＝5， Rt△AOD中，OD＝＝， ∴D（0，）， ∴C（5，）， 故答案为：（5，）． 【点评】本题考查菱形性质的应用，解题的关键是求出D的坐标． 4．矩形ABCD的周长为56，对角线交于点O，△OAB比△OBC周长小4，则AB＝　12　． 【分析】根据矩形性质求出AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD，根据已知矩形周长得出AB+BC＝28，根据△OAB比△OBC周长小4求出BC﹣AB＝4，组成方程组，求出方程组的解即可． 【解答】解： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD， ∵矩形ABCD的周长为56， ∴2AB+2BC＝56， ∴AB+BC＝28①， ∵△OAB比△OBC周长小4， ∴（OC+0B+BC）﹣（OA+OB+AB）＝4， 即BC﹣AB＝4②， 由①②组成方程组， 解得：BC＝16，AB＝12， 故答案为：12． 【点评】本题考查了矩形的性质的应用，关键是能根据题意得出方程组，题目比较典型，难度适中． 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点，∠ADB＝30°，联结EF，作点D关于直线EF的对称点P．若PE⊥BD，则DF的长为 　2或6　． 【分析】由对称可得△DEF是等腰三角形，分两种情况画出图形，根据含30°直角三角形的性质即可求解． 【解答】解：∵AB＝4，∠ADB＝30°，∠A＝90°， ∴AD＝4， 分两种情况：如图1， ∵PE⊥BD，∠ADB＝30°． ∴∠PED＝60°， 由对称可得，EF平分∠PED， ∴∠DEF＝∠PEF＝30°， ∴△DEF是等腰三角形， ∴DF＝EF， ∵PE⊥BD，∠ADB＝30°．DE＝2， ∴QE＝， ∵∠PEF＝30°， ∴EF＝2， ∴DF＝EF＝2； ②如图2， ∵PE⊥BD，∠ADB＝30°． ∴∠PED＝120°， 由对称可得，PF＝DF，EP＝ED，EF平分∠PED， ∴∠DEF＝∠PEF＝120°， ∴∠EFD＝30°， ∴△DEF是等腰三角形， ∵PE⊥BD， ∴QD＝QF＝DF， ∵PE⊥BD，∠ADB＝30°．DE＝2， ∴QE＝，QD＝3 ∴DF＝2QD＝6； ∴DF的长为2或6； 故答案为：2或6． 【点评】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 6．如图，平面直角坐标系中，O为原点，已知菱形OABC，若点A的坐标为（3，4），则点B的坐标为　（6，0）　． 【分析】直接利用菱形的性质结合等腰三角形的性质得出答案． 【解答】解：如图所示：过点A作AD⊥x轴于点D， ∵AO＝AB， ∴OD＝BD， ∵点A的坐标为（3，4）， ∴OD＝BD＝3， ∴OB＝6， ∴B（6，0）． 故答案为：（6，0）． 【点评】此题主要考查了菱形的性质，正确得出OB的长是解题关键． 7．如图，点E是正方形ABCD的边AD延长线上一点，正方形ABCD的边长为6cm，点F是线段BE的中点，△BFC的面积是　9　cm2． 【分析】过F、E分别做BC的垂线，交BC和BC的延长线于G和H，由三角形中位线得FH＝EG，从而得出△BFC的面积是△BEC面积的一半即可． 【解答】解：过F、E分别做BC的垂线，交BC和BC的延长线于G和H， ∵ABCD是正方形， ∴EG＝CD＝CB＝6， ∵F是EB的中点， ∴FH＝EG， ∴S△BFC＝S△BEC＝BC×EG＝××6×6＝9（cm2）． 故答案为：9． 【点评】本题考查正方形性质，三角形中位线定理以及面积公式，关键是对知识的认识和运用． 8．如图，将边长为1个单位长度的正方形ABCD置于平面直角坐标系中，如果BC与x轴平行，且点A的坐标是（3，3），那么点C的坐标是 　（4，2）　． 【分析】根据点A的坐标是（3，3），AB∥y轴、AB＝1可得点B的坐标是（3，2），再由BC∥x轴、BC＝1即可得到点C的坐标是（4，2）． 【解答】解：∵点A的坐标是（3，3），AB∥y轴，且AB＝1， ∴点B坐标为（3，2）， 又∵BC∥x轴、BC＝1， ∴点C的坐标为（4，2）． 故答案为：（4，2）． 【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，可以将问题转化为在平面直角坐标系中点的平移问题来解决，属于基础题，比较简单． 9．如图，正方形OABC的边长等于4，且AO边与x轴正半轴夹角为60°，点O为坐标原点，则点B的坐标为 　（2，2+2）　． 【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥CE于点D，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出CE的长和OE的长，再证明△BCD≌△COE，进而求出DE的长，再求出点B的坐标． 【解答】解：如图，过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥CE于点D， 设OA与x轴正半轴的夹角为α，则α＝60°， ∵四边形OABC是正方形，且边长为4， ∴CB＝OC＝4，∠AOC＝∠OCB＝90°， ∴∠COE＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∵∠D＝∠OEC＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠OCE＝∠COE＝30°， ∴△BCD≌△COE（AAS）， ∴CD＝OE， ∵BD＝CE＝OC＝2， ∴CD＝OE＝＝＝2， ∴DE＝CE+CD＝2+2， ∴D（，2+2）， ∴xB＝+2＝2， ∴B（2，2+2）， 故答案为：（2，2+2）． 【点评】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、图形与坐标，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 三．解答题 10．菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝60°．求证：AE＝AF． 【分析】连接AC，如图，根据菱形的性质得AB＝BC，而∠B＝60°，则可判定△ABC为等边三角形，得到∠2＝60°，∠1+∠4＝60°，AC＝AB，易得∠ACF＝60°，∠1＝∠3，然后利用“ASA”可证明△AEB≌△AFC，于是得到AE＝AF． 【解答】证明：连接AC，如图， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC， ∵∠B＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠2＝60°，∠1+∠4＝60°，AC＝AB， ∴∠ACF＝60°， ∵∠EAF＝60°，即∠3+∠4＝60°， ∴∠1＝∠3， 在△AEB和△AFC中， ， ∴△AEB≌△AFC， ∴AE＝AF． 【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了全等三角形的判定与性质 题组B 能力提升练 一．选择题 1．在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，下列条件能判定这个四边形是菱形的是（　　） A．AD∥BC，∠A＝∠C B．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD C．AB∥CD，AC＝BD，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC 【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【解答】解：A、∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠BCD+∠ABC＝180°， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形；选项A不符合题意； B、∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形；选项B不符合题意； C、∵AB∥CD，AC＝BD，AC⊥BD， ∴四边形ABCD不一定是平行四边形， ∴四边形ABCD不一定是菱形；选项C不符合题意； D、∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形；选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质以及菱形的判定是解题的关键． 2．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD，那么下列条件中不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AD＝BC B．AB＝CD C．∠DAB＝∠ABC D．∠DAB＝∠DCB 【分析】有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，依据矩形的判定进行判断即可． 【解答】解：A．当AD＝BC，AD∥BC时，四边形ABCD是平行四边形，再依据AC＝BD，可得四边形ABCD是矩形； B．当AB＝CD，AD∥BC时，四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形； C．当∠DAB＝∠ABC，AD∥BC时，∠DAB＝∠CBA＝90°，再根据AC＝BD，可得△ABD≌△BAC，进而得到AD＝BC，即可得到四边形ABCD是矩形； D．当∠DAB＝∠DCB，AD∥BC时，∠ABC+∠BCD＝180°，即可得出四边形ABCD是平行四边形，再依据AC＝BD，可得四边形ABCD是矩形； 故选：B． 【点评】本题主要考查了矩形的判定，证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 二．填空题 3．如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC的延长线上，且CE＝BD，联结AE交BD于点F，如果∠E＝15°，那么∠AFB的度数为　45°　． 【分析】连接AC交BD于点O，由矩形的性质得出AC＝BD，OB＝OC，则∠OBC＝∠OCB，证出AC＝CE，则∠CAE＝∠E＝15°，由三角形的外角性质求出∠OBC＝∠OCB＝30°，再由三角形的外角性质即可得出答案． 【解答】解：连接AC交BD于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD， ∴OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵CE＝BD， ∴AC＝CE， ∴∠CAE＝∠E＝15°， ∴∠OBC＝∠OCB＝∠CAE+∠E＝30°， ∴∠AFB＝∠OBC+∠E＝30°+15°＝45°； 故答案为：45°． 【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 4．我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2的矩形叫做“和谐矩形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10cm，则矩形的面积为　25　cm2． 【分析】根据“和谐矩形”的性质求出∠ADB＝30°，由含30°角的直角三角形的性质求出AB、AD的长，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是“和谐矩形”， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝10，∠BAD＝90°，∠CAD：∠BAC＝1：2， ∴OA＝OD，∠CAD＝30°，∠BAC＝60°， ∴∠ADB＝∠CAD＝30°， ∴AB＝BD＝5，AD＝AB＝5， ∴矩形ABCD的面积＝AB×AD＝5×5＝25（cm2）； 故答案为：25． 【点评】本题考查了矩形的性质、新定义、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键． 5．如图，等边三角形AEF的顶点E，F分别落在矩形ABCD的两邻边BC、CD上，若BE＝1，CE＝2，则△AEF边长为　　． 【分析】根据矩形和等边三角形的性质，由勾股定理列方程组，解方程组即可． 【解答】解：设DF＝x，CF＝y， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠C＝∠B＝90°，DC＝AB＝x+y，AD＝BC＝BE+CE＝1+2＝3， ∵△AEF是等边三角形， ∴AE＝EF＝AF， ∴12+（x+y）2＝22+y2＝x2+32， 由12+（x+y）2＝22+y2得：y＝， 代入22+y2＝x2+32， 整理得：3x4+26x2﹣9＝0， 解得：x2＝， ∴AF2＝x2+32＝， ∴AF＝； 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及方程组的解法；解题的关键是根据矩形和等边三角形的性质列出方程组． 6．如图，将长方形ABCD绕点A顺时针旋转，点D落在边BC上的点D′处，点B、C分别落在点B′、点C′处，如果∠D′BC′＝∠D′C′B，那么DC：D′C的比值等于 　+1　． 【分析】根据题意可作出图形，由旋转可知，DC＝D′C′，AD＝AD′，因为∠D′BC′＝∠D′C′B，所以BD′＝C′D′＝AB＝CD，所以△ABD′是等腰直角三角形，则AD′＝BC＝AB＝DC，所以DC：D′C＝DC：（BC﹣BD′）＝DA：（DC﹣DC）＝+1． 【解答】解：根据题意可作出图形， 由旋转可知，DC＝D′C′，AD＝AD′， ∵∠D′BC′＝∠D′C′B， ∴BD′＝C′D′， 又∵AB＝CD， ∴AB＝BD′＝DC， ∴△ABD′是等腰直角三角形， ∴AD′＝AB＝DC， ∴BC＝DC， ∴DC：D′C＝DC：（BC﹣BD′）＝DA：（DC﹣DC）＝+1． 故答案为：+1． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质等知识，画出草图，得出△ABD′是等腰直角三角形是解题的关键． 7．已知，大正方形的边长为4厘米，小正方形的边长为2厘米，起始状态如图所示，大正方形固定不动，把小正方形向右平移，当两个正方形重叠部分的面积为2平方厘米时，小正方形平移的距离为　1或5　厘米． 【分析】小正方形的高不变，根据面积即可求出小正方形平移的距离． 【解答】解：当两个正方形重叠部分的面积为2平方厘米时，重叠部分宽为2÷2＝1， ①如图，小正方形平移距离为1厘米； ②如图，小正方形平移距离为4+1＝5厘米． 故答案为1或5， 【点评】此题考查了平移的性质，要明确：平移前后图形的形状和面积不变．画出图形即可直观解答． 8．已知边长为4的正方形ABCD，点E、F分别在CA、AC的延长线上，且∠BED＝∠BFD＝45°，那么四边形EBFD的面积是　16+16　． 【分析】连接BD交AC于O，首先证明四边形EBFD是菱形，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可解决问题． 【解答】解：如图连接BD交AC于O． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠CAD＝∠CAB＝45°， ∴∠EAD＝∠EAB＝135°， 在△EAB和△EAD中， ， ∴△EAB≌△EAD， ∴∠AEB＝∠AED＝22.5°，EB＝ED， ∴∠ADE＝180°﹣∠EAD﹣∠AED＝22.5°， ∴∠AED＝∠ADE＝22.5°， ∴AE＝AD＝4， 同理证明∠DFC＝22.5°，FD＝FB， ∴∠DEF＝∠DFE， ∴DE＝DF， ∴ED＝EB＝FB＝FD， ∴四边形EBFD的面积＝•BD•EF＝×4（4+8）＝16+16． 故答案为16+16． 【点评】本题考查菱形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是发现四边形EBFD是菱形，记住菱形的面积等于对角线乘积的一半．属于中考常考题型． 9．如图，在一块长方形的展板上，整齐地贴着许多大小相同的长方形卡片，卡片之间有三块正方形空隙（图中阴影部分），已知卡片的短边长12cm，那么图中三块阴影部分的总面积是　108　cm2． 【分析】根据图中可知：3个短边+3个长边＝5个长边；小正方形的边长＝长边﹣短边．两个等量关系可求解． 【解答】解：如图所示： 设长方形卡片的长为xcm，依题意得： 5x＝3×12+3x 解得：x＝18． 设图中小正形的边长为ycm，依题意得： y＝18﹣12＝6cm， ∴图中阴影部分的面积为：6×6×3＝108cm2． 故答案为108． 【点评】本题考查了矩形和正方形的性质，以及一元一次方程思想求解几何应用题，关键找到等量关系． 10．如图在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交CB、DC延长线于E、F点且∠EAF＝45°，如果BE＝1，DF＝7，则EF＝　6　． 【分析】把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，证明△AEF≌△AGF即可求得EF＝DF﹣BE＝7﹣1＝6． 【解答】解：如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到DA，交CD于点G， 由旋转的性质可知，AG＝AE，DG＝BE，∠DAG＝∠BAE， ∵∠EAF＝45°， ∴∠DAG+∠BAF＝45°， 又∵∠BAD＝90°， ∴∠GAF＝45°， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS） ∴EF＝GF， ∵BE＝1，DF＝7， ∴EF＝GF＝DF﹣DG＝DF﹣BE＝7﹣1＝6， 故答案为6． 【点评】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，构造全等三角形是解题的关键，注意旋转性质的应用． 三．解答题 11．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、BC的中点，点F、G是边AC的三等分点，DF、EG的延长线相交于点H． （1）求证：四边形FBGH是平行四边形； （2）如果AC平分∠BAH，求证：四边形ABCH是菱形． 【分析】（1）由三角形中位线知识可得DF∥BG，GH∥BF，根据平行四边形的判定的判定可得四边形FBGH是平行四边形． （2）连接BH，交AC于点O，利用平行四边形的对角线互相平分可得OB＝OH，OF＝OG，又AF＝CG，所以OA＝OC．再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得证四边形ABCH是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求解． 【解答】证明：（1）∵点F、G是边AC的三等分点， ∴AF＝FG＝GC． 又∵点D是边AB的中点， ∴DH∥BG． 同理：EH∥BF． ∴四边形FBGH是平行四边形． （2）连接BH，交AC于点O． ∵四边形FBGH是平行四边形， ∴BO＝HO，FO＝GO． 又∵AF＝FG＝GC， ∴AF+FO＝GC+GO．即：AO＝CO． ∴四边形ABCH是平行四边形． ∴AH∥BC． ∴∠HAC＝∠BCA． ∵AC平分∠BAH， ∴∠HAC＝∠BAC． ∴∠BAC＝∠BCA． ∴AB＝BC． 又∵四边形ABCH是平行四边形， ∴四边形ABCH是菱形． 【点评】本题考查菱形的判定，平行四边形的判定和性质．注意运用三角形的中位线的知识． 12．已知：如图，在□ABCD中，E为边CD的中点，联结AE并延长，交边BC的延长线于点F． （1）求证：四边形ACFD是平行四边形； （2）如果∠B+∠AFB＝90°，求证：四边形ACFD是菱形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质证出∠ADC＝∠FCD，然后再证明△ADE≌△FCE可得AD＝FC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论； （2）根据∠B+∠AFB＝90°可得∠BAF＝90°，根据平行四边形对边平行可得AB∥CD，利用平行线的性质可得∠CEF＝∠BAF＝90°，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得结论． 【解答】证明：（1）在□ABCD中，AD∥BF． ∴∠ADC＝∠FCD． ∵E为CD的中点， ∴DE＝CE． 在△ADE和△FCE中，， ∴△ADE≌△FCE（ASA） ∴AD＝FC． 又∵AD∥FC， ∴四边形ACFD是平行四边形． （2）在△ABF中， ∵∠B+∠AFB＝90°， ∴∠BAF＝90°． 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠CEF＝∠BAF＝90°， ∵四边形ACDF是平行四边形， ∴四边形ACDF是菱形． 【点评】此题主要考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别平行，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 13．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形． （I）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长； （Ⅱ）判断CF与AC有怎样的位置关系并说明理由． 【分析】（I）先求出AC，再分三种情况讨论计算即可得出结论； （Ⅱ）连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，根据矩形的性质解答即可． 【解答】解：（I）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠ADC＝90°， ∴DC＝AB＝6， ∴AC＝＝10， 要使△PCD是等腰三角形， ①当CP＝CD时，AP＝AC﹣CP＝10﹣6＝4， ②当PD＝PC时，∠PDC＝∠PCD， ∵∠PCD+∠PAD＝∠PDC+∠PDA＝90°， ∴∠PAD＝∠PDA， ∴PD＝PA， ∴PA＝PC， ∴AP＝AC＝5， ③当DP＝DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ＝CQ， ∵S△ADC＝AD•DC＝AC•DQ， ∴DQ＝＝， ∴CQ＝＝， ∴PC＝2CQ＝， ∴AP＝AC﹣PC＝10﹣＝； 所以，若△PCD是等腰三角形时，AP的长为4或5或； （Ⅱ）CF⊥AC，理由如下： 如图2，连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC， ∵四边形ABCD和PEFD是矩形， ∴∠ADC＝∠PDF＝90°， ∴∠ADP+∠PDC＝∠PDC+∠CDF， ∴∠ADP＝∠CDF， ∵∠BCD＝90°，OE＝OD， ∴OC＝ED， 在矩形PEFD中，PF＝DE， ∴OC＝PF， ∵OP＝OF＝PF， ∴OC＝OP＝OF， ∴∠OCF＝∠OFC，∠OCP＝∠OPC， ∵∠OPC+∠OFC+∠PCF＝180°， ∴2∠OCP+2∠OCF＝180°， ∴∠PCF＝90°， ∴CF⊥AC． 【点评】此题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题关键是分三种情况讨论计算． 14．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，联结DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与边CD相交于点G． （1）求证：CG＝CE； （2）联结CF，求证：∠BFC＝45°； （3）如果正方形ABCD的边长为2，点G是边DC的中点，求EF的长． 【分析】（1）把CG和CE分别放在Rt△BCG和Rt△DCE中，说明它们全等即可得证； （2）连接CF，过点C作MC⊥CF交BG于M，说明△MCF为等腰三角形即可得证； （3）过点C作CN⊥BF于N，构造△CNG≌△DFG，即可求出DF＝NC，再利用线段和差即可求出EF的长． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE， ∵BF⊥DE， ∴∠E+∠CBG＝∠E+∠EDC， ∴∠CBG＝∠EDC， 在Rt△BCG与Rt△DCE中， ∴Rt△BCG≌Rt△DCE（ASA）， ∴CG＝CE． （2）作CM⊥CF交BF于点M， ∵△BCG≌△DCE， ∴∠E＝∠BGC， ∵∠MCG+∠FCG＝∠ECF+∠FCG＝90°， ∴∠MCG＝∠FCE， 在△MCG和△FCE中， ， ∴△MCG≌△FCE（ASA）， ∴MG＝FE，MC＝FC， ∴△MCF为等腰直角三角形， ∴∠BFC＝45°． （3）作CN⊥BF于点N， ∴△CNF为等腰直角三角形，CN＝NF， ∵G为CD中点，正方形ABCD的边长为2， ∴CG＝DG＝CE＝1， ∴BG＝DE＝＝， ∴BC•CG＝BG•CN， ∴CN＝＝＝， 在△CNG和△DFG中， ， ∴△CNG≌△DFG（AAS）， ∴DF＝CN＝， ∴EF＝DE﹣DF＝﹣＝． 【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，构造特殊三角形和三角形全等是解题的关键． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$