精品解析：2025年天津市九年级中考数学模拟试卷

2025年天津市九年级中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 温度由上升后是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据用上升的温度减去原来的温度列出式子，求出最后的结果即可． 【详解】解：（）， 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的加法，掌握加法法则是关键． 2. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 7和8之间 【答案】B 【解析】 【分析】显然，即． 【详解】解：∵， ∴， 故的值在4和5之间． 故选：B． 【点睛】本题考查了算术平方根估值范围，正确估计出是解题的关键． 3. 下列图形中，不是如图的视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形． 【详解】根据物体的三视图可知，从物体正面看所得到的图形是B； 左面看所得到的图形是D； 上面看所得到的图形是A． 故选：C． 【点睛】本题主要考查三视图，难度一般． 4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称的定义判断即可； 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意； 故选： C． 【点睛】本题考查了轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴；掌握定义是解题关键． 5. 为实现我国年前碳达峰、年前碳中和的目标，清洁能源将发挥重要作用．风能是一种清洁能源，我国陆地上风能储量就有兆瓦，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法是把一个数表示成与的次幂相乘的形式（）的记数法即可解答． 【详解】解：， 故选． 【点睛】本题考查了科学记数法是把一个数表示成与的次幂相乘的形式（）的记数法，掌握科学记数法的定义是解题的关键． 6. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，则矩形对角线的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意直接根据等边三角形的性质首先证明△AOB是等边三角形进而分析即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC，OD=OB， ∴OA=OB， ∵∠AOB=60°， ∴△ABO是等边三角形， ∴OA=AB=4， ∴AC=2OA=8. 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质以及等边三角形的判定等知识，解题的关键是发现△AOB是等边三角形. 7. 计算的结果为（ ） A. B. C. m+1 D. m﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】运用分式的加法法则解题即可． 【详解】解： 故选B． 【点睛】本题考查分式的加法，掌握分式加法法则是解题的关键． 8. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将A、B、C三点的坐标代入反比例函数的解析式y＝，分别求得x1，x2，x3的值，然后再来比较它们的大小． 【详解】解：∵点A（x1，−6），B（x2，−2），C（x3，2）在反比例函数y＝的图象上， ∴x1＝−2，x2＝−6，x3＝6； 又∵−6＜−2＜6， ∴x2＜x1＜x3； 故选：D 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．经过反比例函数y＝的某点一定在该函数的图象上． 9. 已知、是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由进行求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 10. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，连接，分别与，交于点D和E；②以点A为圆心，任意长为半径作弧，交于点G，交于点H；③分别以点G和点H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；④作射线，分别交，于点F，Q．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据步骤得，是的垂直平分线， 是的角平分线，再根据内角和求得 ，再根据角平分线的性质得，根据内角和求得，即可求得，再根据是的垂直平分线，即可求得结果． 【详解】解：由步骤①可知是的垂直平分线，由步骤②可知是的角平分线 ，， 是的角平分线 ， 是的垂直平分线 故选A． 【点睛】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，正确的理解题意是解题的关键． 11. 如图，将矩形绕点逆时针旋转至矩形的位置，点的对应点是点，点的对应点是点，点在的延长线上，交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转可知，，由题意得，又根据矩形的性质，得出，进而求出一个角的度数，根据勾股定理求出的长，列出与的关系，再将的长代入即可得出结论． 【详解】 如图，由旋转性质得：， 又， ， ， ， ， 又， ， ， ， 又， 在中， ， ， ， 在中， ， ， 即， 故选：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，利用勾股定理求长度等．正确的识别图形是解题的关键． 12. 二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 1 … … 0 0 … 其中，．有下列结论：①；②；③；④当时，有最大值为，最小值为，此时的取值范围是．其中，正确结论的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用表格所给信息得出对称轴，由，，可判断对称轴右侧，随增大而增大，进而可知，，，进而可判断①②③；由对称轴可知最小值为，即时，当时，最大值在或时产生，根据当时，，当时，，即可判断的取值范围，进而可对④进行判断． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴函数的对称轴为：， 即：，亦即， ∵，且当时，，当时，， 又∵， ∴函数在对称轴右侧，随增大而增大， ∴，则， ∴，故②正确； 则，故③正确； 当时，，则， ∴，故①正确； 又∵函数的最小值为当时，， ∴当时，有最小值为，即能取， ∴， 又∵当时，，当时，， 由在对称轴左侧，随增大而减小，知：当时， ∴当时，最大值为， ∴；故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 计算的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法，底数不变，指数相减是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒子中棋子的总个数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用概率公式，得出黑色棋子的数量除以对应概率，即可算出棋子的总数． 【详解】解：， ∴盒子中棋子的总个数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了简单随机事件概率的相关计算，事件出现的概率等于出现的情况数与总情况数之比． 15. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式，再结合二次根式性质计算即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的运算，熟记平方差公式是解决问题的关键． 16. 在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移4个单位长度，则平移后的图象与轴的交点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移特点求出新函数解析式，然后再求解新函数与x轴的交点坐标． 【详解】解：由“上加下减”的平移规律可知：将函数的图象向上平移4个单位长度所得到的新函数的解析式为：， 令，得：， 解得：， ∴与轴的交点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知平移的规律——上加下减，左加右减是解答此题的关键． 17. 如图，在四边形中，，，连接对角线AC、BD，，，若为的中点，为的中点，连接． （Ⅰ）四边形的面积为______． （Ⅱ）的长为______． 【答案】 ①. 40 ②. 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定和三角形中位线的应用、勾股定理，根据，，由垂直平分线判定定理可得，由此根据四边形的面积为，在取的中点M，连接、，可得、是中位线，是直角三角形，由勾股定理即可求出． 【详解】解：（Ⅰ）∵，， ∴， ∴四边形的面积为 （Ⅱ）在取的中点M，连接、， ∵E为的中点， ∴，， 同理：，， ∵， ∴，∴， 故答案为：（Ⅰ）40，（Ⅱ）． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 内接于圆，且顶点A，C均在格点上，顶点B在网格线上． ①线段 的长等于______； ②请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个以为边的矩形，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的(不要求证明)______． 【答案】 ①. ②. 如图， 取格点 D， 连接与圆相交于点 P，连接； 取圆与网格线的交点E，F，连接，与相交于点O；连接并延长，与圆相交于点Q； 连接， ， ， 则四边形 即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图，勾股定理、矩形的判定，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键． ①利用勾股定理解题即可； ②先根据直角所对的弦是直径确定圆心，利用对角线相等且平分的四边形是矩形作图即可． 【详解】①， ②略 三、解答题（本大题共7小题，共 66 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为______． 【答案】（1）x≥-1 （2）x≤3 （3） 解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）-1≤x≤3 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：解不等式①，得x≥-1； 故答案为：x≥-1； 【小问2详解】 解：解不等式②，得x≤3； 故答案为：x≤3； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：原不等式组的解集为-1≤x≤3． 故答案为：-1≤x≤3． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 20. 某校为了解学生参加“学雷锋社会实践”活动的情况，随机调查了该校的a名学生，对参加活动的次数进行了统计．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． （1）填空：a的值为_______，图①中的m的值为_______，统计的这组参加活动的次数数据的众数和中位数分别为_______和_______； （2）求统计的这组参加活动的次数数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有1200名学生，估计其中参加活动的次数大于3的学生人数． 【答案】（1）50；34；4；3 （2） （3）参加活动的次数大于3的学生人数约为552 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图和条形统计图的数据可知，总人数人， ，根据中位线和众数定义即可得到答案； （2）根据平均数计算公式进行求解即可； （3）先求出参加活动的次数大于3的学生的占比，再乘以总人数即可． 【小问1详解】 解：根据扇形统计图和条形统计图的数据可知，总人数人， ； 参加活动的次数为4次的人数最多，因此众数是4； 因为总人数为50人，所以中位数为第25、26个的平均数， 将参加次数从少到多进行排序，排在第25、26个的两个数都是3次，因此中位数是3； 故答案为：50；34；4；3． 【小问2详解】 解：观察条形统计图，， 这组数据的平均数是． 【小问3详解】 解：在所抽取的样本中，参加活动的次数大于3的学生人数占， 估计全校参加活动的次数大于3的学生人数约占，有． 全校1200名学生中，参加活动的次数大于3的学生人数约为552． 【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图数据的分析，用样本估计总体，平均数、中位数和众数的概念，利用数形结合的思想解答是解决本题的关键． 21. 已知AB为的直径，EF切于点D，过点B作于点H交于点C，连接BD． （Ⅰ）如图①，若，求的大小； （Ⅱ）如图②，若C为弧BD的中点，求的大小． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）连接OD．由切线的性质即可证明，，从而证明．由圆的基本性质可知，即，即可求出． （2）连接OD、OC、CD． 由圆的基本性质结合三角形内角和定理可求出，再由圆周角定理得出，即，从而证明．由等弧对等角可得，再结合（1）即证明．由于，即可最后求出的大小． 【详解】（1）如图，连接OD． 由切线的性质结合题意可知， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． （2）如图，连接OD、OC、CD． ∵OC=OD， ∴． ∵，即， ∴， ∵， ∴． ∵C为中点， ∴， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题为圆的综合题．考查圆的基本性质，切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及圆周角定理．正确的作出辅助线是解答本题的关键． 22. 如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，) （1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)； （2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)． 【答案】（1）点C到直线的距离约为13.8cm （2）点A到直线的距离约为21.5cm 【解析】 【分析】（1）如图2，过点C作，垂足为N，然后根据三角函数可得，即，最后将已知条件代入即可解答； （2）如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，再说明中，，，然后根据三角函数和线段的和差即可解答． 【小问1详解】 解：如图2，过点C作，垂足为N 由题意可知，， 在中， ， ∴． 答：点C到直线的距离约为． 【小问2详解】 解：如图3，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F， ∴ 在中，，， ∴， ∴． 答：点A到直线的距离约为21.5cm． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正确的理解正弦、余弦的定义是解答本题的关键． 23. 甲、乙两车同时从A地出发，沿相同的路线匀速驶向B地．乙车在途中由于车辆发生故障，修车停留了1.5h，两车同时到达B地．如图是甲、乙两车行驶的路程y（km）与离开A地的时间x（h）的函数图象． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 离开A地的时间/h 1 2.5 4 甲车行驶的路程/km 60 240 乙车行驶的路程/km 150 （2）设甲车行驶的路程为，乙车行驶的路程为，请直接写出，关于x的函数解析式； （3）当甲、乙两车相距30km的路程时，求离开A地的时间（直接写出结果即可）． 【答案】（1）150；100，240 （2）； （3）或2或3 【解析】 【分析】（1）根据图象及一次函数的性质即可求解． （2）设，，根据图象分段求出即可． （3）分三种情况：当时；当时；当时，利用行驶相距30km为等量关系可列得方程，解出方程即可求解． 【小问1详解】 解：由图象可得， 当（h）时，甲车行驶的路程为（km）， 当（h）时，乙车行驶的路程为（km）， 当（h）时，乙车行驶的路程为240（km）， 故答案为：150；100；240． 【小问2详解】 由题意可设， 当时，， 则，解得k=60， ， 设， 当时，，则，解得， ， 当时，，当时，， 则，解得， ， 、关于x的函数解析式为：，． 【小问3详解】 由题意得， 当时，则，解得， 当时，①，解得， ②，解得， 当时，，解得（舍去）， 综上所述，当甲、乙两车相距30km的路程时，求离开A地的时间为或2或3． 【点睛】本题考查了一次函数与分段函数的实际应用问题—行程问题、一元一次方程的实际问题—行程问题，熟练掌握一次函数的性质及图象和分段函数的概念及图象是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，点，点B在第一象限，点P在边（点P不与点O，A重合），过点P作，交的直角边于点Q，将线段绕点Q逆时针旋转得到线段，点P的对应点为M，连接． （1）如图①，若点M落在上，点B的坐标是 　　，点M的坐标是 　　； （2）设与重合部分面积为S，． ①如图②，若重合部分为四边形，与边交于点E，F，试用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围．（请直接写出结果即可） 【答案】（1）； （2）①，t的取值范围为；② 【解析】 【分析】（1）过点B作于点G，过点M作于点N，利用等腰直角三角形的性质得到，则点B坐标可求；设，则，利用等腰直角三角形的性质，正方形的性质求得线段，的长度即可得出结论； （2）①当时，由（1）知：四边形为平行四边形，为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求得，的长度，再利用解答即可； ②利用分类讨论的思想方法求得当时，S与t的函数解析式，并求出对应的极值，综合解答过程即可得出结论． 【小问1详解】 解：过点B作于点G，过点M作于点N，如图， 是等腰直角三角形， ． 点， ， ， ， 设，则， ，， 为等腰直角三角形， ． ，， 四边形为平行四边形， ， 为等腰直角三角形， ， ， ． ，，， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， ． ． 故答案为：； 【小问2详解】 ①当时，如图， ， ． 由（1）知：四边形为平行四边形，为等腰直角三角形， ，． 为等腰直角三角形， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ． 用含t的式子表示，t的取值范围为． ②当时， 与重合部分面积为的面积， ， 当时，，当时，； 当时，， 当时，S的最大值为； 当时，如图， 与重合部分面积为的面积， 由题意：，为等腰直角三角形，， ， ， ， 当时，，当时，． 综上，当时，S的取值范围． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，点的坐标的意义，旋转的性质，平行四边形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度，和用线段的长度表示点的坐标是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将点沿轴向右平移4个单位长度得到点，抛物线经过点，，． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，在直线上方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请求出的坐标． 【答案】（1）抛物线表达式为 （2）存在， （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用．利用数形结合，分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）根据平移，求出点坐标，设出两点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴于，交直线于点，设，则，将三角形的面积转化为二次函数求最值即可； （3）设，以为边时，利用平移思想，分两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∵将点沿轴向右平移4个单位长度得到点， ∴， ∴设抛物线表达式为， 将代入得， ∴抛物线表达式为； 【小问2详解】 存在点，使的面积最大． 过点作轴于，交直线于点， 设，则，由题意得：， 故， ∴当时，最大．此时，， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴对称轴为直线， 设，当以点为顶点，为边的四边形为平行四边形时， ∵ ∴点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点， ∴点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点，或点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点， ∴且， ∴或， ∴或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年天津市九年级中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 温度由上升后是（ ） A. B. C. D. 2. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 7和8之间 3. 下列图形中，不是如图的视图的是（ ） A. B. C. D. 4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 为实现我国年前碳达峰、年前碳中和的目标，清洁能源将发挥重要作用．风能是一种清洁能源，我国陆地上风能储量就有兆瓦，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，则矩形对角线的长等于（ ） A. B. C. D. 7. 计算的结果为（ ） A. B. C. m+1 D. m﹣1 8. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 已知、是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，连接，分别与，交于点D和E；②以点A为圆心，任意长为半径作弧，交于点G，交于点H；③分别以点G和点H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；④作射线，分别交，于点F，Q．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，将矩形绕点逆时针旋转至矩形的位置，点的对应点是点，点的对应点是点，点在的延长线上，交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 1 … … 0 0 … 其中，．有下列结论：①；②；③；④当时，有最大值为，最小值为，此时的取值范围是．其中，正确结论的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 计算的结果为______． 14. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒子中棋子的总个数是_________． 15. 计算______． 16. 在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移4个单位长度，则平移后的图象与轴的交点的坐标为___________． 17. 如图，在四边形中，，，连接对角线AC、BD，，，若为的中点，为的中点，连接． （Ⅰ）四边形的面积为______． （Ⅱ）的长为______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 内接于圆，且顶点A，C均在格点上，顶点B在网格线上． ①线段 的长等于______； ②请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个以为边的矩形，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的(不要求证明)______． 三、解答题（本大题共7小题，共 66 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为______． 20. 某校为了解学生参加“学雷锋社会实践”活动的情况，随机调查了该校的a名学生，对参加活动的次数进行了统计．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． （1）填空：a的值为_______，图①中的m的值为_______，统计的这组参加活动的次数数据的众数和中位数分别为_______和_______； （2）求统计的这组参加活动的次数数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有1200名学生，估计其中参加活动的次数大于3的学生人数． 21. 已知AB为的直径，EF切于点D，过点B作于点H交于点C，连接BD． （Ⅰ）如图①，若，求的大小； （Ⅱ）如图②，若C为弧BD的中点，求的大小． 22. 如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，) （1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)； （2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)． 23. 甲、乙两车同时从A地出发，沿相同的路线匀速驶向B地．乙车在途中由于车辆发生故障，修车停留了1.5h，两车同时到达B地．如图是甲、乙两车行驶的路程y（km）与离开A地的时间x（h）的函数图象． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 离开A地的时间/h 1 2.5 4 甲车行驶的路程/km 60 240 乙车行驶的路程/km 150 （2）设甲车行驶的路程为，乙车行驶的路程为，请直接写出，关于x的函数解析式； （3）当甲、乙两车相距30km的路程时，求离开A地的时间（直接写出结果即可）． 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，点，点B在第一象限，点P在边（点P不与点O，A重合），过点P作，交的直角边于点Q，将线段绕点Q逆时针旋转得到线段，点P的对应点为M，连接． （1）如图①，若点M落在上，点B的坐标是 　　，点M的坐标是 　　； （2）设与重合部分面积为S，． ①如图②，若重合部分为四边形，与边交于点E，F，试用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围．（请直接写出结果即可） 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将点沿轴向右平移4个单位长度得到点，抛物线经过点，，． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，在直线上方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请求出的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $