辽宁省五校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试题

2024-2025学年度上学期期末考试高三年级数学科试卷 命题学校：大连市第八中学 命题人：陈浩 校对人：王洪志 第I卷 1、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若,且,则复数的虚部为（ ） A. -2或2 B.2 C.-2 D.或 2.已知,则（ ） A. B. C. D. 3.已知不共线，且,那么三点共线的充要条件为（ ） A. B. C. D. 4.若,则（ ） A.-280 B.280 C.560 D.-560 5.如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且,在上且平面//平面,则（ ） A. B. C. D. 6.已知公差不为零的等差数列满足,且成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 7.在数学上，常用表示不大于的最大整数.已知函数,则下列正确的是（ ）. A.函数在定义域上是增函数 B.函数的零点有无数个 C.函数在定义域上的值域是 D.不等式解集是 8.设双曲线的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若存在，使得与同时成立，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C.的最小值为 D.的最大值为 10.设函数，则（ ） A.不是函数的极值点 B.当时， C.当时， D.当时， 11.已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，，若抛物线在点处的切线的斜率分别为，且两切点交于点为抛物线的准线与轴的交点，则以下结论正确的是（ ） A.若，则 B.直线的倾斜角 C.若，则直线的方程为 D.的最小值为 第II卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知圆柱与圆锥的高均为2，且二者底面半径相等，若圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等，则圆锥的体积为________. 13.已知函数在区间上单调递增，其图像过点且在区间上有且仅有两条对称轴，则满足题意的 ________ （写出一个值即可） 14.已知是的导函数，若 恒成立，求正实数的最小值________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分） 在中，已知. (I)求; (II)若在边上存在点，使为锐角三角形，求的取值范围. 16.（本小题满分15分） 已知椭圆的离心率为，过坐标原点和点的直线与椭圆交于两点，且. (I)求椭圆的方程. (II)直线与交于两点（在轴的同侧），分别是椭圆C的左、右焦点，当时，求四边形面积的最大值. 17.（本小题满分15分） 高中数学标准化考试选择题分为单项选择和多项选择两种题型，按照现行评分标准，多项选择题一般从四个选项中选出所有正确的选项（四个选项中有两个或三个选项是正确的)，其评分标准为全部选对的得分，部分选对的得部分分（两个正确选项的每个正确选项分，三个正确选项的每个正确选项分)，有选错的得分. (I)考生甲有一道正确选项为两个选项的多项选择题不会做，他随机挑选两个选项，求他猜对本题得分的概率; (II)考生乙有一道答案为的多项选择题不会做，他随机选择两个或三个选项，求他得到分数的分布列和期望; (III)现有道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生丙得分的概率为，得分的概率为；考生丁得分的概率为，得分的概率为.丙、丁二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这道多项选择题丙丁两位考生总分刚好得分的概率. 18.（本小题满分17分） 如图，在四棱柱中，已知底面，，，，，点是线段上的动点. (I)求证：平面平面； (II)求直线与所成角的余弦值的最大值； (III)在线段上是否存在与不重合的点，使得二面角的正弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 19. （本小题满分17分） 若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①存在，使得；②为单调数列，则称数列具有性质. 注：若数列的各项满足（或）（），则称数列为递增（递减数列）.递增或递减的数列统称为单调数列. (I)若，判断数列是否具有性质，并说明理由； (II)已知离散型随机变量服从二项分布,，记为奇数的概率为. 证明：数列具有性质. (III)已知函数 试判断数列是否具有性质. 高三年级数学科试卷 第2页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度上学期期末考试高三年级数学科答案 一、单项选择题： 1.A 2.C 3.D 4. C 5.B 6. A 7.B 8. C 二、多项选择题 9.AD 10.BC 11.BCD 三、填空题 12.； 13.答案不唯一，4，5，6任写一个即可. 14. 四、解答题 15.解： （I）……5分A B D C E 所以…………………………………………………………6分 （II）由=， 所以………………………7分 设，由点在边上，且为锐角三角形，所以， 所以.……………………………………………………………9分 在中，由， 所以，所以， 所以…………11分 由是定义域上的减函数，所以， 所以的范围为.…………13分（其它方法酌情给分） 16．解：（I）由椭圆离心率，所以.………………………1分 所以椭圆方程化为. 由直线的斜率，所以直线的方程为，……………2分 由椭圆对称性，不妨设点 联立，解得.…………………………………………4分 所以，解得，……6分 所以椭圆的方程为……………………7分 （II）如图，延长交于点， 由（1）可知， 设，设的方程为， 由，得，故………9分 设与的距离为，四边形的面积为， 由及椭圆的对称性可知，点与点关于原点对称. 所以…11分 又因为…13分 当且仅当，即时，等号成立，…………………14分 故四边形面积的最大值为2.……………………………15分 17.解：（I）甲同学所有可能的选择答案有种， 其中正确选项只有一个，设M=“猜对本题得6分”，故.……………3分 （II）乙同学所有可能的选择答案有种，即共有10个样本点， 设乙同学本题可能得分为，则的可能取值为0，4，6. ，，…………………………7分 所以乙同学可能得分的分布列为 0 4 6 所以期望…………………………………9分 （III）由题意得丙得0分的概率为，丁得0分的概率为，…10分 丙丁总分刚好得18分的情况包含： 事件A：丙得12分有6+6一种情况，丁得6分有6+0，0+6，3+3三种情况， 则； 事件B：丙得9分有6+3，3+6两种情况，丁得9分有6+3，3+6两种情况， 则； 事件C：丙得6分有6+0，0+6，3+3三种情况，丁得12分有6+6一种情况， 则；…………………………………14分 所以丙丁总分刚好得18分的概率.…………15分 18.解：（I）由，，所以. 由平面，所以. 由，，，所以平面平面.…4分 （II）取中点，连接， 在梯形中，因为，，所以，， 则在中，，由，则，………………6分 易知两两垂直，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 如下图所示： 在四棱柱中，，则， 因为平面，平面，所以， 在中，， 则，，，， 取，，， 设平面的法向量为，可得，则， 取，则，所以平面的一个法向量，……………8分 设点到平面的距离， 设直线与平面所成角为，则，即， 在四棱柱中，因为，且平面， 所以当直线与所成角为时，其余弦值取得最大值，即为.……10分 （III）由题意作图如下：由题可知 ，，， 因为，所以，则，， ， 设平面的法向量，可得， 则，令，则， 所以平面的一个法向量， 设平面的法向量，可得， 则，令，则， 所以平面的一个法向量，…………………………14分 设二面角的大小为， 则， 由二面角的正弦值为，则， 可得，化简可得，解得或，…………16分 由，则，故存在，.………………17分 19.解： （I）因为单调递增，不存在正数，使得恒成立， 所以数列不具有性质.………………………………………………………2分 因为，又数列为单调递减数列，所以数列具有性质.……4分 （II）因为， 若为奇数的概率为为偶数的概率为， ①………………………………6分 ②，……………………………………7分 ，即.………………………………………8分 所以当时，，故随着的增大而增大，且. 故数列具有性质.……………………………10分 （III）令，则，，， 所以当时，在上递减，而， 故在有唯一的零点，即，即………………12分 且当时，，即， 当时，，即 由，可知， 在上单调递增；……………………………………………………………13分 由， 所以， 所以，……………………14分 假设时，成立， 则，即成立， 结合可得：对于任意恒成立， 故为递增数列，为递减数列.…………………………………………16分 对数列，存在，使，所以数列具有性质 对数列，存在，使，所以数列也具有性质……17分 高三年级数学科答案 第1页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$