精品解析：广东省揭阳市揭东区第二中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试卷

揭东区第二中学 2024-2025 学年第一学期 高一级第二次月考 数学试卷 命题人：任聪 审核人：袁旭君 一、单选题， 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分， 在每小题给出的四个选项 中， 只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解出集合，再根据并集含义即可. 【详解】由题意得，集合， 集合 所以， 故选：D. 2. 已知角是的内角，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】一方面，；另一方面，时，或，从而可得答案. 【详解】在中，，， 又当时，或，推不出， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 3. 设命题：，，则为 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】解：全称命题的否定为特称命题，则：命题：，的否定为：，. 选择C选项. 4. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性即可得出答案． 【详解】依题意，，，， 所以． 故选：D 5. 若函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值等于（ ） A. 2 B. C. －2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换可得定点的坐标，再根据三角形函数的定义可得结果. 【详解】因为函数的图象经过定点，所以函数的图象经过定点， 因为点在角的终边上，所以. 故选：A. 【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查了函数图象的平移变换，考查了三角函数的定义，属于基础题. 6. 函数在定义域内的零点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，判断函数单调性，再利用零点存在性定理求解即得. 【详解】函数分别是R上的减函数和增函数，则函数是减函数， 而，， 所以函数在R上的零点个数是1. 故选：B 7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可. 【详解】设g（x）＝x2﹣ax+1， 则要使f（x）＝ln（x2﹣ax+1）在区间（2，+∞）上单调递增， 由复合函数单调性可得： 满足，即， 得a， 即实数a的取值范围是， 故选C． 【点睛】本题主要考查复合函数单调性的应用，结合二次函数的单调性是解决本题的关键，注意真数大于0的条件的应用，属于易错题型.． 8. 对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值等于（ ）． A. B. 10 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由勾股定理得，再利用基本不等式易得，由此得到，问题得解. 【详解】不妨设该直角三角形的斜边为，直角边为，则， 因为，所以，即， 当且仅当且，即时，等号成立， 因为，所以， 所以该直角三角形周长，即这个直角三角形周长的最大值为. 故选：C. 二、多选题． 本题共 3 个小题， 每小题 6 分， 共 18 分， 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求， 全对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分． 9. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对A、B、C：利用作差法分析判断；对D：根据不等式性质分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 又因为，则，可得， 所以，故A错误； 对于选项B：因为， 又因为，则，可得， 所以，故B正确； 对于选项C：因为， 又因为，则，可得， 所以，故C错误； 对于选项D：因为，所以，故D正确； 故选：BD. 10. 若，则角θ的终边可能落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】AB 【解析】 【分析】当，则与同号，从而可判断． 【详解】当，则与同号， 角θ的终边可能落在第一或第二象限． 故选：AB． 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数为同一个函数 B. 函数的定义域为 C. 若函数的值域为，则实数的取值范围为 D. 函数的定义域为则的定义域为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用特例可判断A，求函数的定义域可判断B，根据对数函数及二次函数的性质可判断C，根据抽象函数的定义域可判断D. 【详解】对于A，如与定义域与值域相同，但不是同一个函数，故A不正确； 对于B，函数定义域为，故B正确； 对于C，要使函数的值域为R，令，则，故C错误； 对于D，因为函数定义域为，则要使有意义，必须， 所以定义域为，故D正确. 故选：BD. 第 II 卷 （非选择题） 三、填空题， 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分． 12. 函数的定义域是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数的定义可得，求解即得. 【详解】由函数有意义，得，则， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 13. 已知函数，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值. 【详解】因为，则，故. 故答案为：. 14. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】将式子化为其次式，然后化为正切求值即可. 【详解】， 故原式， 故答案为： 四、解答题． 本题共 5 题， 共 77， 分解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤． 15. 已知角． （1）将角改写成的形式，并指出角是第几象限的角； （2）在区间上找出与角终边相同的角． 【答案】（1），角是第二象限角． （2），，. 【解析】 【分析】（1）根据角度制与弧度制的互化公式进行求解即可； （2）利用代入法进行求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以角与的终边相同， 又，所以角α是第二象限角． 【小问2详解】 因为与角终边相同的角（含角在内）为， 所以由，得． 因为， 所以． 当时，； 当时，； 当时，； 故在区间上与角终边相同的角是，，. 16. 已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}． （1）若A是空集，求a的取值范围； （2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围． 【答案】（1）（2）或 【解析】 【分析】（1）当时，得到方程无实数根，结合一元二次方程的性质，即可求解； （2）由集合A中至多只有一个元素，则或A中只有一个元素，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，集合，则方程无实数根， 则，解得， 所以当A是空集，的取值范围为． （2）由题意，集合A中至多只有一个元素，则或A中只有一个元素， ①当时，由（1）得； ②当A中只有一个元素时，则或， 解得或． 综上，若A中至多只有一个元素，a的取值范围为{a|或． 【点睛】本题主要考查了利用集合中元素的个数求解参数问题，其中解答中熟记元素与集合的关系，合理应用一元二次方程的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 17. 已知函数，其中． （1）求的定义域； （2）当时，求的最小值． 【答案】（1）（2）． 【解析】 【分析】（1）由对数的真数大于0可得定义域； （2）把函数变形为只有一个对数符号，从而只要求得的最大值即得函数的最小值． 【详解】（1）欲使函数有意义，则有，解得，则函数的定义域为． （2）因为，所以，配方得到．因为，故，所以（当时取等号），即的最小值为． 【点睛】求与对数有关的函数的定义域，应该考虑不变形时自变量满足的条件． 18. 已知函数，且． （1）求的值； （2）判定的奇偶性； （3）判断在上的单调性，并给予证明． 【答案】（1） （2）奇函数 （3） 任取，则， ，，， 在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）由可构造方程求得； （2）利用奇偶性定义直接判断即可； （3）任取，可证得，由单调性定义可得结论. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 由（1）得：，则定义域为， ，为定义在上的奇函数. 【小问3详解】 略 19. 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出万元，则超出部分按进行奖励.记奖金为（单位：万元），销售利润为（单位：万元）. （1）写出该公司激励销售人员的奖励方案； （2）如果业务员小王获得了3.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 【答案】（1）；（2）14万元. 【解析】 【分析】 （1）根据题意，分别写出，对应的解析式，即可得出结果； （2）根据（1）的结果，直接计算，即可得出结果. 【详解】（1）由题意，当时，奖金； 当时，； 即该公司激励销售人员的奖励方案为： ； （2）由（1）知，当时，， 因为业务员小王获得35万元的奖金，即，所以. 因此，解得. 所以业务员小王的销售利润是14万元. 【点睛】本题主要考查分段函数模型的应用，属于基础题型. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 揭东区第二中学 2024-2025 学年第一学期 高一级第二次月考 数学试卷 命题人：任聪 审核人：袁旭君 一、单选题， 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分， 在每小题给出的四个选项 中， 只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知角是的内角，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 设命题：，，则为 A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值等于（ ） A. 2 B. C. －2 D. 6. 函数在定义域内的零点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值等于（ ）． A. B. 10 C. D. 二、多选题． 本题共 3 个小题， 每小题 6 分， 共 18 分， 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求， 全对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分． 9. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 若，则角θ的终边可能落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数为同一个函数 B. 函数的定义域为 C. 若函数的值域为，则实数的取值范围为 D. 函数的定义域为则的定义域为 第 II 卷 （非选择题） 三、填空题， 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分． 12. 函数的定义域是_____． 13. 已知函数，则___________. 14. 已知，则______. 四、解答题． 本题共 5 题， 共 77， 分解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤． 15. 已知角． （1）将角改写成的形式，并指出角是第几象限的角； （2）在区间上找出与角终边相同的角． 16. 已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}． （1）若A是空集，求a的取值范围； （2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围． 17. 已知函数，其中． （1）求的定义域； （2）当时，求的最小值． 18. 已知函数，且． （1）求的值； （2）判定的奇偶性； （3）判断在上的单调性，并给予证明． 19. 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出万元，则超出部分按进行奖励.记奖金为（单位：万元），销售利润为（单位：万元）. （1）写出该公司激励销售人员的奖励方案； （2）如果业务员小王获得了3.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $