精品解析：广东省深圳市高级中学2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题

高级中学2024-2025学年第一学期期末测试 初一数学 注意事项： 1、答题前，考生务必在答题卡写上姓名、班级，准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上． 3、考试结束，监考人员将答题卡收回． 第一部分选择题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下图片展示了生活中的常见物品，这些物品的形状最接近圆柱体的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了生活中常见的几何体，掌握圆柱体的定义即可． 【详解】解：Ａ：形状接近圆柱体，符合题意； Ｂ：形状为球体，不符合题意； Ｃ：形状为正方体，不符合题意； Ｄ：形状接近圆锥，不符合题意； 故选：A ． 2. 据统计，2024年广东省有万名考生参加高考，我们有时会用科学记数法来表示较大的数，下列（ ）选项正确地用科学记数法表示了考生人数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可． 【详解】解：万， 故选：C 3. 由4个完全相同的小正方体搭建了一个积木，从积木正面、左面、上面三个方向看到的形状图如图所示，则这个积木可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从不同方向看几何体， 能够根据不同方向看到的图形还原几何体是解题的关键． 根据从正面看到的图形可以判断上下层数，根据从上面看到的图形可以判断底层有多少小正方体，根据从左面看到的图形可以判断前后层数，综合以上信息即可得到答案． 【详解】解：根据从三个方向看到的形状图可得， 从前面看可以看出左面有两层，右面有一层，则选项D不合题意； 从左面看分前后两层，后面一层上下两层，前面只有一层， 从上面看，底面有3个小正方体，后面有两个，前面靠左侧位置一个，故只有选项B符合题意； 故选：B． 4. 下列4个现象中，可用事实“两点之间，线段最短”来解释的有（ ） ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上 ②工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上 ③小狗看到远处的食物，总是径直奔向食物 ④把弯曲的河道改直，可以缩短航程 A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了两点之间，线段最短，以及两点确定一条直线，熟记相关结论即可； 【详解】解：①②可用事实“两点确定一条直线”来解释； ③④可用事实“两点之间，线段最短”来解释； 故选：D ． 5. 某学校的数学兴趣小组希望了解他们所在地区65岁以上老年人的健康状况，其中4名同学用不同的方式收集了数据，则相对最合理的方式是（ ） A. 李同学在附近的公园里调查了100名65岁以上老年人，统计他们一年内生病次数 B. 刘同学在该地区最大的医院中调查了100名65岁以上老年人，统计他们一年内生病次数 C. 欧阳同学在所居住小区内调查了50名65岁以上老年人，统计他们一年内生病次数 D. 杨同学借助派出所的户籍网随机调查了该地区的的65岁以上老年人，统计他们一年内生病次数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查的可靠性，选择抽样调查即可 ． 【详解】解：∵附近的公园、该地区最大的医院、欧阳同学在所居住小区等地方不具有随机性， 故ABC不符合题意； 借助派出所的户籍网随机调查具有随机性，更加合理，可靠； 故D符合题意； 故选：D ． 6. 根据等式的基本性质，下列变形错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式．根据等式的性质逐项分析即可． 详解】解：A．若，∴，则，正确； B．若，则，正确； C．若，则，正确； D．若，，则，故不正确； 故选D． 7. 如图，将长方形纸片的沿着折叠（点在线段上，且不与，重合），使点落在长方形内部点处，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角的计算、折叠的性质、角的倍数关系，熟练根据角的关系进行推理和计算是解题的关键． 根据折叠的性质可得，求出，然后根据即可求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 8. 如图，是直线上一点，射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，设旋转时间为秒．当时，的值可能为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，：当“追上”前：；当“追上”后：；据此即可求解； 【详解】解：当“追上”前：； 则， 解得：； 当“追上”后：； 则， 解得：； 故选：C 第二部分非选择题 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 的相反数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数． 【详解】解：的相反数是， 故答案为： 10. 若代数式的值与的取值无关，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了多项式系数、指数中字母求值，根据，令含的项的系数为零即可求解； 【详解】解：∵，代数式的值与的取值无关， ∴，解得：， 故答案为： 11. 明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？”其大意为：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两，若每人分9两，则差8两．则有多少个人？有多少两银子？根据以上内容，下列陈述正确的有_____． ①设有个人，则可列方程：；②设有个人，则可列方程：； ③设有两银子，则可列方程：；④设有两银子，则可列方程： 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设有个人，根据“若每人分7两，则剩余4两”可得，共有银子两；根据“若每人分9两，则差8两” 可得，共有银子两；设有两银子，根据“若每人分7两，则剩余4两”可得，共有人 ；根据“若每人分9两，则差8两” 可得，共有人 ；据此即可求解； 【详解】解：设有个人， 根据“若每人分7两，则剩余4两”可得，共有银子两； 根据“若每人分9两，则差8两” 可得，共有银子两； ∴可列方程：；故①错误；②正确； 设有两银子， 根据“若每人分7两，则剩余4两”可得，共有人 ； 根据“若每人分9两，则差8两” 可得，共有人 ； ∴可列方程：；故③错误；④正确； 故答案为：②④ 12. 已知一个多边形的内角和为，则这个多边形共有_____条对角线． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和问题和多边形对角线的条数问题，设这个多边形的边数为，则，求出边数即可求解； 【详解】解：设这个多边形的边数为， 则，解得； ∴这个多边形共有条对角线． 故答案为： 13. 莱布尼兹是德国著名数学家，他曾提出“莱布尼兹三角形”，如下图所示．在“莱布尼兹三角形”中，每一个数字都是其左下方和右下方数字之和．例如第4行第2个数是，而，由此，我们可以推断，第10行第3个数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的找规律的知识，主要考查的是学生的归纳推理能力，正确理解题意是解题的关键． 根据每一个数字都是其左下方和右下方数字之和，求出第9、10行的第二个数，即可得出答案． 【详解】解：设第n行第m个数为， 由题意可知，， ， ∴，， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 如图，已知平面上的，，，四点，请按照要求进行尺规作图，或通过尺规作图解决问题（保留作图痕迹，不写作法）． （1）画出直线、射线、线段； （2）在线段上找到一点，使得 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是直线，射线与线段的画法，能够读懂题意是解题的关键． （1）根据要求画出射线与线段即可； （2）根据要求作出符合要求的线段即可． 【小问1详解】 解：如图所示，直线、射线、线段即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，点即为所求． 15. （1）计算； （2）先化简，再求值：，其中 【答案】（1）14；（2），22 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算，整式的化简求值，非负数的性质． （1）先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减； （2）先把所给代数式去括号合并同类项，然后根据非负数的性质求出a，b的值，再把a，b的值代入计算． 详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ， ， ，即，， ∴原式． 16. 如何解关于一元一次方程呢？小明和小暗在课后使用了不同的解题思路． 小明的思路 去括号，得： 移项，合并同类项，得： 方程的两边都除以2，得： 小暗的思路 移项，合并同类项，得：……第1步 方程的两边都除以2，得：……第2步 移项，合并同类项， 得：……第3步 经过验算，两人的结果都正确．同时，小暗发现，对于方程，只需进行思路中的第1步与第2步，可解得，这刚好对应了．小暗认为，方程中的“”就相当于方程中的“”． 请阅读以上内容，并解决下面的问题，方法不限，合理即可： （1）解方程 （2）若是关于的方程的解，请你求出关于的方程的解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的求解，熟记相关步骤是解题关键． （1）去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为即可求解． （2）将代入方程，可求得；按照法一和法二均可求解； 【小问1详解】 解：方法一：去分母，得：， 移项，合并同类项得：， 再次移项，合并同类项得：， 方程的两边都除以4，得： 方法二：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项得：， 方程的两边都除以4，得： 【小问2详解】 解：方法一：根据观察可以发现，因为满足方程， 因此满足方程， 由解得： 方法二：由题意，将代入方程， 得，解得：， 代入方程，得： 解得：． 17. 每年春节都是相聚的重要时刻，2025年春节即将到来，在深圳工作学习的人们开始进行春节的规划．七（1）班的位同学接受了“春节团聚调查”，他们需要从“高铁回家”、“飞机回家”、“自驾回家”及“留深”这四种情况中选择一种，最终的调查结果被绘制成如下所示的两幅不完整的统计图． （1）根据图中信息求出_____；_____． （2）请把条形统计图补充完整； （3）“高铁回家”对应的扇形统计图圆心角大小为_____°； （4）该校学生人数共2700人，请根据七（1）班调查结果估计有多少名学生选择“回家”（包含高铁回家”、“飞机回家”及“自驾回家”）？ 【答案】（1）50；16 （2）见解析 （3） （4）根据七（1）班调查结果估计有2430名学生选择“回家” 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图，根据图得出相关信息是解题的关键． （1）用飞机回家的人数除以飞机回家人数的百分比即可求出m，再用自驾回家的人数除以m即可求出n； （2）求出“自驾回家”的人数，然后补图即可； （3）用乘以“高铁回家”所占的百分比即可； （4）用2700乘以回家所占百分比即可得出答案． 【小问1详解】 解：； ∵， ∴． 故答案为：50；16； 【小问2详解】 解：（人）， 补充后的条形统计图如图所求： 【小问3详解】 解：． 故答案为：； 【小问4详解】 解：（人）； 答：根据七（1）班调查结果估计有2430名学生选择“回家”． 18. 如图，O是直线上一点，以O为顶点作，且位于直线两侧，平分． （1）当时，求的度数； （2）请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由题意知，，由平分，可得，根据，计算求解即可； （2）同理（1）． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 19. 类比用字母表示数，我们用“”来表示某种运算．对于任意元素a，b，若，那么这种运算满足交换律；若存在元素，满足，则称为“运算”下单位元；若两个元素经过“运算”后得到单位元，则这两个元素互为“运算”下的逆元． 例如，在有理数范围内，加法满足交换律，减法则不满足交换律，加法运算下的单位元是0，互为相反数的两个有理数也互为加法运算下的逆元． （1）在有理数范围内，乘法运算下的单位元是_____，在乘法运算下的逆元是_____； （2）若，表示两个有理数，定义运算“*”，其运算法则为：，例如，若，，则， ①“*运算”是否满足交换律_____．（填“是”或“否”）； ②求出“*运算”下的单位元； ③是否存在有理数在“*运算”下不存在逆元？若有，求出这个（些）数；若没有，请说明理由． 【答案】（1）1； （2）①是；②；③在“运算”下不存在逆元，见解析 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的有理数的运算，正确理解题意是解题关键． （1）由可得乘法运算下的单位元是；根据可得在乘法运算下的逆元是； （2）①验证与是否相等即可；②假设x 为有理数，“运算”下的单位元为e，根据定义可知，对任意有理数x都成立，根据题意可得出结果；③假设有理数y在“运算”下的逆元为，则根据逆元的定义可知，，代入求出，结合题意即可证明； 【小问1详解】 解：∵， ∴乘法运算下的单位元是； ∵， ∴在乘法运算下的逆元是； 故答案为：1； 【小问2详解】 解：①根据定义，，因此满足交换律； ②假设x 为有理数，“运算”下的单位元为e，根据定义可知，对任意有理数x都成立， 由①知“运算”满足交换律，因此只需要研究，即， 整理可得， 以上等式对于任意x都成立，因此， 解得：， ③假设有理数y在“运算”下的逆元为，则根据逆元的定义可知，， 因此， 整理得， 根据等式的基本性质，若，则等式两边可以同时除以，得到 因此只要，y必有逆元， 当即时，原等式变为0，，此时不存在使等式成立，因此时不存在逆元，即在“运算”下不存在逆元． 20. 将自然界的事物或现象进行“抽象”与“理想化”是科学研究的重要手段． 【阅读材料】 “碰撞”在生活中无处不在，其中“弹性碰撞”是一种没有任何能量损失的碰撞，属于碰撞中的一种“理想情况”．科学家们经过研究发现，两个完全一样的物体相向运动时，如果发生弹性碰撞，会立即反向运动，且速度大小互换．例如：甲木块以的速度自西向东运动，乙木块以的速度自东向西运动，二者发生弹性碰撞后，甲木块立即变为以的速度自东向西运动，乙木块立即变为的速度自西向东运动．如果完全一样且同向运动的物体发生弹性碰撞，则运动方向不变，仅速度大小互换． 【情境呈现】 如图1，在一个长的轨道上，两个小铁球分别以、的初始速度从轨道两端沿直线相向运动，发生碰撞后，两个小铁球均反向运动，最终分别从左右两端离开轨道．如图2，若在轨道右侧添加一挡板后，小球与挡板碰撞后会反弹，最后两个小球都会从左侧离开轨道． 【情境转化】 为便于研究，我们可以将上述过程进行“抽象”与“理想化”：两小球完全一样且体积忽略不计，可以看作两个点，小球运动速度只会因为碰撞而发生改变，小球与小球的碰撞为“弹性碰撞”，小球与挡板碰撞后立即以原速度反向运动．由此，我们可以使用数轴来表示轨道，数轴上点的运动来表示小球的运动．如图3建立数轴，点从原点点出发，沿正方向以4个单位长度的速度匀速运动，点从点出发，沿负方向以1个单位长度的速度匀速运动．若点运动到线段之外，则认为小球离开轨道．已知． 【问题解决】 若两小球（、两点）同时出发，、两点在轨道上的运动时间分别为、秒，请回答以下问题： （1）如图3，两小球第一次相遇时，_____．根据计算，我们可以得知点代表的小球会先从右侧离开轨道，则它离开轨道的瞬间，_____． （2）如图4，在点所在位置放置挡板，则点代表的小球在到达点后会立即反向运动，速度不变．请求出两小球第二次相遇时的值． （3）在（2）的条件下，将轨道沿射线的方向进行延长，设延长至点，如图5，则需要延长多少个单位长度（即的长度为何值时），才能使得？ 【答案】（1）4；5 （2） （3）需要延长个单位长度，才能使得 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了一元一次方程，正确理解题意是解题关键． （1）两小球第一次相遇时，；此时，点代表的小球的路程为；此后，点代表的小球沿正方向以4个单位长度每秒的速度运动，据此即可求解； （2）由（1）得：秒后，点代表的小球到达点，此时，、两点相距：个单位长度；此后，点代表的小球沿负方向以4个单位长度每秒的速度运动；经过秒后，两小球第二次相遇；据此即可求解； （3）由（2）得：两小球第二次相遇时，，且此时两小球距离点个单位长度；推出两小球距离点个单位长度；此后，点代表的小球沿负方向以个单位长度每秒的速度运动，点代表的小球沿负方向以个单位长度每秒的速度匀速运动；设，则，据此即可求解； 【小问1详解】 解：两小球第一次相遇时，； 此时，点代表的小球的路程为个单位长度； 此后，点代表的小球沿正方向以4个单位长度每秒的速度运动，点代表的小球沿负方向以1个单位长度每秒的速度匀速运动； ∴秒后，点代表的小球会先从右侧离开轨道； 故点代表的小球会先从右侧离开轨道，则它离开轨道的瞬间，； 故答案为：4；5 【小问2详解】 解：由（1）得：秒后，点代表的小球到达点，此时，、两点相距：个单位长度； 此后，点代表的小球沿负方向以4个单位长度每秒的速度运动； 经过秒后，两小球第二次相遇； ∴； 【小问3详解】 解：由（2）得：两小球第二次相遇时，，且此时两小球距离点个单位长度； ∴两小球距离点个单位长度； 此后，点代表的小球沿负方向以个单位长度每秒的速度运动，点代表的小球沿负方向以个单位长度每秒的速度匀速运动； 设，则， 若，则， 解得； ∴需要延长个单位长度，才能使得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高级中学2024-2025学年第一学期期末测试 初一数学 注意事项： 1、答题前，考生务必在答题卡写上姓名、班级，准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上． 3、考试结束，监考人员将答题卡收回． 第一部分选择题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下图片展示了生活中的常见物品，这些物品的形状最接近圆柱体的是（ ） A. B. C. D. 2. 据统计，2024年广东省有万名考生参加高考，我们有时会用科学记数法来表示较大的数，下列（ ）选项正确地用科学记数法表示了考生人数（ ） A. B. C. D. 3. 由4个完全相同的小正方体搭建了一个积木，从积木正面、左面、上面三个方向看到的形状图如图所示，则这个积木可能是（ ） A. B. C. D. 4. 下列4个现象中，可用事实“两点之间，线段最短”来解释的有（ ） ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上 ②工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上 ③小狗看到远处食物，总是径直奔向食物 ④把弯曲的河道改直，可以缩短航程 A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 5. 某学校的数学兴趣小组希望了解他们所在地区65岁以上老年人的健康状况，其中4名同学用不同的方式收集了数据，则相对最合理的方式是（ ） A. 李同学在附近的公园里调查了100名65岁以上老年人，统计他们一年内生病次数 B. 刘同学在该地区最大的医院中调查了100名65岁以上老年人，统计他们一年内生病次数 C. 欧阳同学在所居住小区内调查了50名65岁以上老年人，统计他们一年内生病次数 D. 杨同学借助派出所的户籍网随机调查了该地区的的65岁以上老年人，统计他们一年内生病次数 6. 根据等式的基本性质，下列变形错误的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 如图，将长方形纸片的沿着折叠（点在线段上，且不与，重合），使点落在长方形内部点处，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是直线上一点，射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，设旋转时间为秒．当时，的值可能为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 第二部分非选择题 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 的相反数是_____． 10. 若代数式的值与的取值无关，则_____． 11. 明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？”其大意为：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两，若每人分9两，则差8两．则有多少个人？有多少两银子？根据以上内容，下列陈述正确的有_____． ①设有个人，则可列方程：；②设有个人，则可列方程：； ③设有两银子，则可列方程：；④设有两银子，则可列方程： 12. 已知一个多边形内角和为，则这个多边形共有_____条对角线． 13. 莱布尼兹是德国著名数学家，他曾提出“莱布尼兹三角形”，如下图所示．在“莱布尼兹三角形”中，每一个数字都是其左下方和右下方数字之和．例如第4行第2个数是，而，由此，我们可以推断，第10行第3个数是_____． 三、解答题：本题共7小题，共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 如图，已知平面上的，，，四点，请按照要求进行尺规作图，或通过尺规作图解决问题（保留作图痕迹，不写作法）． （1）画出直线、射线、线段； （2）在线段上找到一点，使得 15. （1）计算； （2）先化简，再求值：，其中 16. 如何解关于的一元一次方程呢？小明和小暗在课后使用了不同的解题思路． 小明的思路 去括号，得： 移项，合并同类项，得： 方程的两边都除以2，得： 小暗思路 移项，合并同类项，得：……第1步 方程的两边都除以2，得：……第2步 移项，合并同类项， 得：……第3步 经过验算，两人结果都正确．同时，小暗发现，对于方程，只需进行思路中的第1步与第2步，可解得，这刚好对应了．小暗认为，方程中的“”就相当于方程中的“”． 请阅读以上内容，并解决下面的问题，方法不限，合理即可： （1）解方程 （2）若是关于的方程的解，请你求出关于的方程的解． 17. 每年春节都是相聚的重要时刻，2025年春节即将到来，在深圳工作学习的人们开始进行春节的规划．七（1）班的位同学接受了“春节团聚调查”，他们需要从“高铁回家”、“飞机回家”、“自驾回家”及“留深”这四种情况中选择一种，最终的调查结果被绘制成如下所示的两幅不完整的统计图． （1）根据图中信息求出_____；_____． （2）请把条形统计图补充完整； （3）“高铁回家”对应的扇形统计图圆心角大小为_____°； （4）该校学生人数共2700人，请根据七（1）班调查结果估计有多少名学生选择“回家”（包含高铁回家”、“飞机回家”及“自驾回家”）？ 18. 如图，O是直线上一点，以O为顶点作，且位于直线两侧，平分． （1）当时，求的度数； （2）请你猜想和的数量关系，并说明理由． 19. 类比用字母表示数，我们用“”来表示某种运算．对于任意元素a，b，若，那么这种运算满足交换律；若存在元素，满足，则称为“运算”下的单位元；若两个元素经过“运算”后得到单位元，则这两个元素互为“运算”下的逆元． 例如，在有理数范围内，加法满足交换律，减法则不满足交换律，加法运算下的单位元是0，互为相反数的两个有理数也互为加法运算下的逆元． （1）在有理数范围内，乘法运算下的单位元是_____，在乘法运算下的逆元是_____； （2）若，表示两个有理数，定义运算“*”，其运算法则为：，例如，若，，则， ①“*运算”是否满足交换律_____．（填“是”或“否”）； ②求出“*运算”下的单位元； ③是否存在有理数在“*运算”下不存在逆元？若有，求出这个（些）数；若没有，请说明理由． 20. 将自然界的事物或现象进行“抽象”与“理想化”是科学研究的重要手段． 【阅读材料】 “碰撞”在生活中无处不在，其中“弹性碰撞”是一种没有任何能量损失的碰撞，属于碰撞中的一种“理想情况”．科学家们经过研究发现，两个完全一样的物体相向运动时，如果发生弹性碰撞，会立即反向运动，且速度大小互换．例如：甲木块以的速度自西向东运动，乙木块以的速度自东向西运动，二者发生弹性碰撞后，甲木块立即变为以的速度自东向西运动，乙木块立即变为的速度自西向东运动．如果完全一样且同向运动的物体发生弹性碰撞，则运动方向不变，仅速度大小互换． 【情境呈现】 如图1，在一个长的轨道上，两个小铁球分别以、的初始速度从轨道两端沿直线相向运动，发生碰撞后，两个小铁球均反向运动，最终分别从左右两端离开轨道．如图2，若在轨道右侧添加一挡板后，小球与挡板碰撞后会反弹，最后两个小球都会从左侧离开轨道． 【情境转化】 为便于研究，我们可以将上述过程进行“抽象”与“理想化”：两小球完全一样且体积忽略不计，可以看作两个点，小球运动速度只会因为碰撞而发生改变，小球与小球的碰撞为“弹性碰撞”，小球与挡板碰撞后立即以原速度反向运动．由此，我们可以使用数轴来表示轨道，数轴上点的运动来表示小球的运动．如图3建立数轴，点从原点点出发，沿正方向以4个单位长度的速度匀速运动，点从点出发，沿负方向以1个单位长度的速度匀速运动．若点运动到线段之外，则认为小球离开轨道．已知． 【问题解决】 若两小球（、两点）同时出发，、两点在轨道上的运动时间分别为、秒，请回答以下问题： （1）如图3，两小球第一次相遇时，_____．根据计算，我们可以得知点代表的小球会先从右侧离开轨道，则它离开轨道的瞬间，_____． （2）如图4，在点所在位置放置挡板，则点代表的小球在到达点后会立即反向运动，速度不变．请求出两小球第二次相遇时的值． （3）在（2）的条件下，将轨道沿射线的方向进行延长，设延长至点，如图5，则需要延长多少个单位长度（即的长度为何值时），才能使得？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$