精品解析：2024年福建省福州外国语学校中考数学三模试卷

2024年福建省福州外国语学校中考数学三模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. 1.2 B. 3 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小比较，根据正数大于零，零大于负数，可得答案． 【详解】解：在有理数1.2，3，0，中，， 故最小的数是． 故选D． 2. 如图是由长方体和圆柱体组成的几何体，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据左视图是从左面看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看，看到的图形分为上下两部分，下面一部分是一个长方形，上面一部分左上角有一个小长方形，即看到的图形如下： ， 故选：B． 3. 若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，先根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得出第三条边的长度的范围，再与选项作比较分析，即可作答． 【详解】解：∵三角形的两条边的长度分别是和 ∴第三条边的长度 即第三条边的长度 只有B选项在此范围内， 故选B 4. 福建省第十四届人民代表大会第二次会议于2024年1月23日在福州开幕，政府工作报告指出，初步统计，2023年全省地区生产总值54355亿元，同比增长．数值54355用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数值54355用科学记数法表示为， 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 6. 某厂家2024年1月份生产口罩产量为100万只，3月份生产口罩的产量为144万只，设从1月份到3月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设从1月份到3月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据等量关系列出方程即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设从1月份到3月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x， 依题意得：， 故选B． 7. 如图，正八边形内接于，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质．根据题意，由正八边形内接于知，． 【详解】解：正八边形内接于 ． 故选：C． 8. 近年来，福建走特色路、打特色牌，振兴乡村，发展特色小镇旅游经济，实现乡村居民创收．亮亮调查了家乡小镇10家餐饮企业的年收入情况，并绘制成下表（数据已取整）．根据图表信息，下列描述正确的是（ ） A. 年收入的中位数为4.5 B. 年收入的众数为5 C. 年收入的平均数为4.4 D. 年收入的方差为6.4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查方差、平均数、众数和中位数，根据众数、中位数、平均数及方差的定义逐一计算即可． 【详解】解：这组数据排列为3、4、4、4、4、4、5、5、5、6， 所以这组数据的众数为4，中位数为， 平均数为， 方差为， 故选：C． 9. 正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，轴于点B，轴于点D（如图），则四边形的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正比例函数解析式与反比例函数解析式组成的方程组可得到A点和C点的坐标，然后根据题意即可求解． 【详解】解：解方程组，得：或， 即：正比例函数与反比例函数的图象相交于两点的坐标分别为，， ∵，， ∴，， ∴， 即：四边形的面积是2． 故选：C 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是理解反比例函数与一次函数的图形的交点坐标是其解析式联立而成的方程组的解． 10. 某地为落实乡村振兴战略，在每个乡镇自然村都建设老年活动中心，某村老年活动中心如图中三角形区域，现计划在活动区域外围建宽的绿化带，为了美观，绿化带三个拐弯处设计为弧形，已知图中三角形周长为，则绿化带的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形内角和定理， 过中间三角形的三个顶点分别向绿化带作垂线，首先根据题意得到，求出扇形，，正好拼成一个半径为1m的圆，然后利用绿化带的面积求解即可． 【详解】如图所示，过中间三角形的三个顶点分别向绿化带作垂线， 根据题意得，，四边形，，是矩形 ∴ ∴，， ∵ ∴ ∴扇形，，正好拼成一个半径为1m的圆， ∴绿化带的面积 ． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 如果收入元记作元，那么支出元记作_______元． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：“正”和“负”相对，所以，如果收入元记作元，那么支出元记作元． 故答案为：． 12. 如图，是的切线，M是切点，连结．若，则的大小为_______度． 【答案】54 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，根据切线的性质可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．熟练掌握切线的性质是解题的关键． 【详解】解∶∵是的切线，是切点， ∴， ∴ 故答案为∶54． 13. 如图，在中，，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，平行四边形的性质．根据题意先用勾股定理求，再用平行四边形对边相等的性质即可． 【详解】解： , 四边形是平行四边形 ． 故答案为：． 14. 为了培养同学们的创新精神和实践能力，某校组织学生开展了为期一周的社会实践活动．学校开设了A．“皮影戏”，B．“香包绣制”，C．“甘肃勇纸”，D．“洮砚制作技艺”四门实践课程供学生选择，且每人只能参加一门实践课程．甲、乙两位同学各自从这四门实践课程中随机选一门，他们选择的实践课程相同的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求解概率：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率即可． 【详解】解：列表如下： 由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中他们选择的实践课程相同的结果数有4种， ∴他们选择的实践课程相同的概率为， 故答案为：． 15. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先降次，，再利用因式分解，根据已知，可得代数式的值． 本题考查了整体代入求多项式的值，关键是把多项式降次，因式分解． 【详解】解：， ，． ． 故答案为：． 16. 抛物线y=ax2-4ax+4(a≠0)与y轴交于点A.过点B(0,3)作y轴的垂线l，若抛物线y=ax2-4ax+4(a≠0)与直线l有两个交点，设其中靠近y轴的交点的横坐标为m，且│m│<1，则a的取值范围是______． 【答案】a>或a<. 【解析】 【分析】先确定抛物线的对称轴，根据开口的大小与a的关系，即开口向上时，a>0,且a越大开口越小，开口向下时，a<0,且a越大，开口越大，从而确定a的范围. 【详解】解：如图，观察图形 抛物线y=ax2-4ax+4的对称轴为直线 , 设抛物线与直线l交点（靠近y轴）为(m,3)， ∵│m│<1， ∴-1<m<1. 当a>0时，若抛物线经过点（1，3）时，开口最大，此时a值最小， 将点（1，3）代入y=ax2-4ax+4， 得，3=a-4a+4 解得a= , ∴a>; 当a<0时，若抛物线经过点（-1，3）时，开口最大，此时a值最大， 将点（-1，3）代入y=ax2-4ax+4， 得，3=a+4a+4 解得a= , ∴a<. a的取值范围是a>或a<. 故答案为：a>或a<. 【点睛】本题考查抛物线的性质，首先明确a值与开口的大小关系，观察图形，即数形结合的思想是解答此题的关键. 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是利用零指数幂，负指数幂和开方法则计算，再算加减法． 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别求出不等式组中各不等式的解集，再取公共部分即可． 【详解】由①解得，， 由②解得，， 所以原不等组的解集为 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是：准确解出各个不等式的解集，再取公共部分即可． 19. 如图，在中，，点D、E都在边BC上，且，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质可得，再由证明，从而得． 【详解】略 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，先把括号内的式子通分，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】．解：原式 当时， 原式 21. 如图，矩形中，，，是边上的一点，点在边上，且满足． （1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若，试确定的长． 【答案】（1）如图所示，点P即为所求： （2）1或4 【解析】 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，以为直径画圆，交于点和，根据，， 即可得，则点和即为所求； （2）根据矩形性质和，可以证明∽，对应边成比例进而可得的长． 【小问1详解】 解：连接，作的垂直平分线，以为直径画圆，交于点和， ∵，， ∴， 则点和即为所求； 【小问2详解】 解：∵矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，， ∴， ∴ 解得，， ∴的长为1或4． 22. 计划在某水库建一座至多安装4台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量x（年入流量：一年内．上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上．过去50年的年入流量的统计情况如下表（假设各年的年入流量不相互影响）． 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 年数 10 30 8 2 以过去50年的年入流量的统计情况为参考依据． （1）求年入流量不低于120的概率； （2）若水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量x的限制，并有如表关系： 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 发电机量多可运行台数 1 2 3 4 若某台发电机运行，则该台发电机年利润为6000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损2000万元，水电站计划在该水库安装2台或3台发电机，你认为应安装2台还是3台发电机？请说明理由． 【答案】（1）； （2）根据题意，能安装2台发电机对应的年入流量为不低于80， 年入流量低于的概率为：，只能运行1台发电机； 年入流量不低于80的概率为：，能2台发电机都运行； 安装2台发电机时的利润为：万元． 能安装3台发电机对应的年入流量为不低于120，由（1）可知：，只能运行1台发电机， 当年入流量时，，只能运行2台发电机； 当年入流量时，，能运行3台发电机， 安装3台发电机时的利润为： 万元， 因为，故安装2台发电机． 【解析】 【分析】（1）根据概率的计算公式计算即可； （2）先分别计算各段年入流量的概率，再根据概率计算安装2台发电机和3台发电机对应的年利润的加权平均数，比较之，则可得出答案． 【详解】（1）年入流量不低于120的年数为:， 总的年数为50年． 年入流量不低于120的概率为：． （2）略 【点睛】本题考查了概率的计算，将概率当做权数计算平均数，计算出各段的概率是解题的关键． 23. 阅读下列材料，回答问题． 任务：利用浮球测量一个玻璃栈道的高，玻璃栈道桥面为透明玻璃，可观测到玻璃栈道下方的物体．如图1，栈道建设在两山体之间，栈道下方为河面，玻璃栈道与河面平行，浮球A在玻璃栈道正下方的河面上． 工具：如图2，工具有一把皮尺（测量长度小于）、一台测角仪及一架无人机．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离，测角仪的功能是测量俯角的大小． 例如：如图3，测角仪可测得的度数，测角仪的高度忽略不计． 小明利用无人机测量玻璃栈道的高，其测量和求解过程如下． 测量过程：如图4，任选玻璃栈道上的一点M，从桥边（与桥高度相同）释放无人机，无人机竖直匀速下降至水面N处停止下降，无人机的下降速度为，下降时间为． 求解过程：由题意，知， ∴四边形为① ， ∴② m． （1）补全小明求解过程中①②所缺的内容． （2）小明求得用到的几何知识是 ． （3）请你同时利用皮尺和测角仪，通过在栈道上行走并测量长度、角度等几何量的方式，结合解直角三角形的知识，求玻璃栈道的高．写出你的测量及求解过程．（注：无法确定点B的具体位置，点B不能直接使用） 要求：请在图5中画出相应图形，测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示，测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）． 【答案】（1）①矩形 ②vt （2）矩形的对边相等 （3）a 【解析】 【分析】本题主要考查了应用与设计作图，结合物理知识，熟练运用矩形的判定与性质以及锐角三角函数的定义是本题解题的关键． （1）根据矩形的判定和性质以及物理知识解答即可； （2）根据矩形的性质解答即可； （3）根据正切锐角的三角函数值的定义来解答即可． 【小问1详解】 解：由题意，知， 四边形为矩形， ． 故答案为：矩形，； 【小问2详解】 小明根据矩形的对边相等来设计方案； 故答案为：矩形的对边相等； 【小问3详解】 在的一侧取一点，用测角仪测量，再取一点，测量的长，以及，如图： ， ，， ，， 又， ． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于O，A两点，B为抛物线的顶点，且是等腰直角三角形，过顶点B的直线与抛物线另一个交点C位于第二象限． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若的面积与的面积相等，求直线解析式； （3）在第（2）问的条件下，若直线与y轴交于点P，与直线轴交于点Q，与抛物线交于点E，F（E点在F点的左侧），对于下列三个式子①，②，③中，有且只有一个为定值．请直接写出这个式子及其定值，不必说明理由． 【答案】（1）或 （2） （3）①，为定值 【解析】 【分析】（1）将代入，得：，设点横坐标为，由根与系数关系得到，作轴，由是等腰直角三角形，得到，分，，两种情况，得到点坐标，代入抛物线解析式，即可求解； （2）作轴，，由，，，得到，由是等腰直角三角形，得到，当解析式为：时，将抛物线解析式化成顶点式，得到点坐标，解析式，设设，则，根据，点所在象限，即可求出的值，得到点坐标，即可求出解析式，当解析式为：时，同理可求解； （3）过点作轴的垂线，过点、作轴的垂线，将代入，得到点P坐标，由点是直线：与直线的交点，设，代入，得到，，联立直线与抛物线解析式得：，应用根与系数关系得到：，，，，由，得到，，依次代入①②③式，即可求解， 本题考查了求二次函数解析式，二次函数综合特殊三角形，面积问题，线段问题，解题的关键是：用代数式表示出点的坐标和线段长． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，二次函数综合特殊三角形，面积问题，线段问题，解题的关键是：用代数式表示出点的坐标和线段长． 【小问1详解】 解：∵抛物线交x轴于O，A两点， 将代入，得：，抛物线解析式为：， 设点横坐标为，则，解得：， ∴， 过点，作轴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 当时，，代入，得：，解得：，抛物线解析式为：， 当时，，代入，得：，解得：，抛物线解析式为：， 故答案为：或， 【小问2详解】 解：过点作轴，交直线于点，过点作，交直线于点， ∵，， ∴当时，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴当时，，， ①当解析式为：时，， ∴，直线解析式为：， 设，则， ∴，解得：或， ∵在第二象限，， ∴， ∴，即：， 设直线解析式为：，则：，解得：， ∴直线解析式为：， ②当解析式为：时，， ∴，直线解析式为：， 设，则， ∴，解得：或， ∵在第二象限，， ∴， ∴，即：，（不在第二象限，不符合题意）， 故答案为：， 【小问3详解】 解：过点作轴的垂线，与轴交于点，过点、作轴的垂线，分别与直线交于点，， ∵当时，直线， ∴点， ∵点是直线：与直线的交点， ∴设，代入，得：，整理得：， ∴， 联立直线与抛物线解析式得：，整理得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：①，为定值． 25. 如图1，在 中，，（），是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．过点作交的延长线于点． （1）若 ，求 的大小(用含的代数式表示)； （2）求证∶ ； （3）如图2，，，三点共线时，若，，求的长． 【答案】（1） （2） 证明：延长至点，使，连接，，延长至点，使，连接， ∵，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， 以为直径作， ∵，， ∴， ∴点，在上， 由（1）知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（）根据直角三角形两锐角互余得，根据旋转的性质得，，根据等边对等角得到，，即可得解； （）延长至点，使，连接、，延长至点，使，连接，根据垂直平分线的性质及等边对等角得，，，，以为直径作，根据圆周角定理得，证明，得，继而得到，最后根据平行线分线段成比例定理得到，即可得证； （）设，得到，，证明，再证明，得，即，根据勾股定理得到，即，求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设， ∵，，三点共线，，， 由（2）知，， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或不合题意舍去， ∴的长为． 【点睛】本题是旋转变换综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点．通过作辅助线构造全等三角形、构造圆以利用圆周角定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年福建省福州外国语学校中考数学三模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. 1.2 B. 3 C. 0 D. 2. 如图是由长方体和圆柱体组成的几何体，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度可能是（ ） A. B. C. D. 4. 福建省第十四届人民代表大会第二次会议于2024年1月23日在福州开幕，政府工作报告指出，初步统计，2023年全省地区生产总值54355亿元，同比增长．数值54355用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某厂家2024年1月份生产口罩产量为100万只，3月份生产口罩的产量为144万只，设从1月份到3月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正八边形内接于，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 近年来，福建走特色路、打特色牌，振兴乡村，发展特色小镇旅游经济，实现乡村居民创收．亮亮调查了家乡小镇10家餐饮企业的年收入情况，并绘制成下表（数据已取整）．根据图表信息，下列描述正确的是（ ） A. 年收入的中位数为4.5 B. 年收入的众数为5 C. 年收入的平均数为4.4 D. 年收入的方差为6.4 9. 正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，轴于点B，轴于点D（如图），则四边形的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 10. 某地为落实乡村振兴战略，在每个乡镇自然村都建设老年活动中心，某村老年活动中心如图中三角形区域，现计划在活动区域外围建宽的绿化带，为了美观，绿化带三个拐弯处设计为弧形，已知图中三角形周长为，则绿化带的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 如果收入元记作元，那么支出元记作_______元． 12. 如图，是的切线，M是切点，连结．若，则的大小为_______度． 13. 如图，在中，，，，则的长为________． 14. 为了培养同学们的创新精神和实践能力，某校组织学生开展了为期一周的社会实践活动．学校开设了A．“皮影戏”，B．“香包绣制”，C．“甘肃勇纸”，D．“洮砚制作技艺”四门实践课程供学生选择，且每人只能参加一门实践课程．甲、乙两位同学各自从这四门实践课程中随机选一门，他们选择的实践课程相同的概率为________． 15. 若，则______． 16. 抛物线y=ax2-4ax+4(a≠0)与y轴交于点A.过点B(0,3)作y轴的垂线l，若抛物线y=ax2-4ax+4(a≠0)与直线l有两个交点，设其中靠近y轴的交点的横坐标为m，且│m│<1，则a的取值范围是______． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 解不等式组： 19. 如图，在中，，点D、E都在边BC上，且，求证：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，矩形中，，，是边上的一点，点在边上，且满足． （1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若，试确定的长． 22. 计划在某水库建一座至多安装4台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量x（年入流量：一年内．上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上．过去50年的年入流量的统计情况如下表（假设各年的年入流量不相互影响）． 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 年数 10 30 8 2 以过去50年的年入流量的统计情况为参考依据． （1）求年入流量不低于120的概率； （2）若水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量x的限制，并有如表关系： 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 发电机量多可运行台数 1 2 3 4 若某台发电机运行，则该台发电机年利润为6000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损2000万元，水电站计划在该水库安装2台或3台发电机，你认为应安装2台还是3台发电机？请说明理由． 23. 阅读下列材料，回答问题． 任务：利用浮球测量一个玻璃栈道的高，玻璃栈道桥面为透明玻璃，可观测到玻璃栈道下方的物体．如图1，栈道建设在两山体之间，栈道下方为河面，玻璃栈道与河面平行，浮球A在玻璃栈道正下方的河面上． 工具：如图2，工具有一把皮尺（测量长度小于）、一台测角仪及一架无人机．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离，测角仪的功能是测量俯角的大小． 例如：如图3，测角仪可测得的度数，测角仪的高度忽略不计． 小明利用无人机测量玻璃栈道的高，其测量和求解过程如下． 测量过程：如图4，任选玻璃栈道上的一点M，从桥边（与桥高度相同）释放无人机，无人机竖直匀速下降至水面N处停止下降，无人机的下降速度为，下降时间为． 求解过程：由题意，知， ∴四边形为① ， ∴② m． （1）补全小明求解过程中①②所缺的内容． （2）小明求得用到的几何知识是 ． （3）请你同时利用皮尺和测角仪，通过在栈道上行走并测量长度、角度等几何量的方式，结合解直角三角形的知识，求玻璃栈道的高．写出你的测量及求解过程．（注：无法确定点B的具体位置，点B不能直接使用） 要求：请在图5中画出相应图形，测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示，测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于O，A两点，B为抛物线的顶点，且是等腰直角三角形，过顶点B的直线与抛物线另一个交点C位于第二象限． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若的面积与的面积相等，求直线解析式； （3）在第（2）问的条件下，若直线与y轴交于点P，与直线轴交于点Q，与抛物线交于点E，F（E点在F点的左侧），对于下列三个式子①，②，③中，有且只有一个为定值．请直接写出这个式子及其定值，不必说明理由． 25. 如图1，在 中，，（），是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．过点作交的延长线于点． （1）若 ，求 的大小(用含的代数式表示)； （2）求证∶ ； （3）如图2，，，三点共线时，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $