7.2.3 同角三角函数的基本关系式 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

7.2.3 同角三角函数的基本关系式 人教B版(2019)必修第三册 作者编号：、32200 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系式. 2.会利用同角三角函数的基本关系式解决相关问题. 学习目标 作者编号：、32200 当角α取0°，30°，45°，60°时，分别计算式子sin2α+cos2α，，tan α的值. 从中你发现了什么规律? 新课导入 作者编号：、32200 新课导入 作者编号：、32200 问题：sin2α+cos2α=1是否对任意角都成立? =tan α当α≠kπ+，k∈Z时是否都成立? 是 如何证明呢? 新知讲授 作者编号：、32200 如图，设点 P(x，y)是角 α 的终边与单位圆的交点. 过 P 作 x 轴的垂线，交 x 轴于点M，则 △OMP 是直角三角形，且 OP = 1. 已知：sin α = ，cos α = ，△OMP 是直角三角形； 根据勾股定理：OM 2 + MP 2 = 1，即 x12 + y12 = 1； ∴ sin2α + cos2α = 1； 又 tan α = ，∴ tan α = ； x y O A (1，0) α P 1 M 新知讲授 作者编号：、32200 同角三角函数的基本关系 平方关系: sin2α + cos2α = 1 （当 α 的终边与坐标轴重合时，同样成立） 商数关系: tan α = （根据定义，当 ≠ kπ + ( k∈Z ) 才成立） 总结：同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1，商等于角 α 的正切. 知识梳理 作者编号：、32200 例1 已知 ，求角α的余弦和正切． 解：因为，所以是第三、四象限角. 当α是第三象限角时， ，; 当α是第四象限角时， ，. 新知讲授 作者编号：、32200 变式：已知 ，求角α的正弦和余弦． 新知讲授 作者编号：、32200 例2 (1)已知sin α＋cos α＝－，0<α<π，求sin αcos α的值； (2)已知tan α＝2，求下列各式的值． ①；②2sin2α－sin αcos α＋cos2α. 解：(1)由sin α＋cos α＝－得(sin α＋cos α)2＝， sin2α＋2sinαcos α＋cos2α＝，则sinαcos α＝－. (2)因为tan α＝2，所以①＝＝－. ②＝＝＝. 新知讲授 作者编号：、32200 1.已知三角函数值之间的关系式求其他三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，是分析解决问题的突破口． 方法归纳 作者编号：、32200 2.已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法 (1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值． (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值． 作者编号：、32200 例3 若sin α·tan α<0，化简. 解:∵sin α·tan α<0，∴cos α<0. 原式＝ ＋ ＝＝ ＝＝－. 新知讲授 作者编号：、32200 新知讲授 作者编号：、32200 新知讲授 作者编号：、32200 1.证明恒等式的常用思路: (1)从一边证到另一边，一般由繁到简; (2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者; (3)比较法(作差法，作比法). 2.常用的技巧: (1)巧用“1”的代换; (2)化切为弦; (3)多项式运算技巧的应用(分解因式). 方法归纳 新知讲授 作者编号：、32200 2.若α是三角形的一个内角，且sin α+cos α=，则这个三角形是(　　)　　　　　　　　　　　　 A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 C D 随堂检测 作者编号：、32200 3.(多选)如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是(　　) A.tanα＝－ B.cos α＝－ C.sinα＝ D.tanα＝ 4.若sin α＋3cos α＝0，则的值为________. BC － 随堂检测 作者编号：、32200 根据今天所学，回答下列问题： （1）说一说同角三角函数的基本关系? （2）上述同角三角函数的基本关系有哪些基本变形？ 课堂总结 作者编号：、32200 当α=0°时，sin20°+cos20°=1，=0，tan 0°=0； 当α=30°时，sin230°+cos230°=1，，tan 30°=； 当α=45°时，sin245°+cos245°=1，=1，tan 45°=1； 当α=60°时，sin260°+cos260°=1，，tan 60°=. 当α=0°时，sin20°+cos20°=1，=0，tan 0°=0； 当α=30°时，sin230°+cos230°=1，，tan 30°=； 当α=45°时，sin245°+cos245°=1，=1，tan 45°=1； 当α=60°时，sin260°+cos260°=1，，tan 60°=. 通过以上计算，可以发现: 当α取0°，30°，45°，60°时，都有sin2α+cos2α=1，=tan α. 解:∵tan α=>0，∴α为第一或第三象限的角. 当α是第一象限角时， 解得 同理，当α为第三象限角时，sin α=-，cos α=-. 所以原式成立. 例4 求证:. 证法1:因为左边= = ==右边. 证法2:由证法1知,左边=, 右边=, 所以左边=右边,原式成立. 例4 求证:. 1.化简的结果是(　　) A.cos B.sin C.-cos D.-sin $$