7.2.3 同角三角函数的基本关系式课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

7.2.3 同角三角函数的基本关系式 第七章 三角函数 作者编号：、32200 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系式. 2.掌握运用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简、证明的方法. 学习目标 作者编号：、32200 若P为单位圆，与角α终边的交点坐标为(x，y)，则sin α，cos α各为何值?x与y有什么关系? sin α=y，cos α=x，x2+y2=1 新课导入 作者编号：、32200 问题1：同一个角的正弦、余弦、正切之间有什么关系？ 提示：（1）平方关系；（2）商数关系. 同角三角函数的基本关系式 课题探究 作者编号：、32200 如图，设点是角的终边与单位圆的交点，过作轴的垂线，交轴于点A，则△OAP是直角三角形，且. 利用勾股定理可知： ， 结合三角函数的定义可知： . 问题2：你可以从三角函数线得到第一个基本关系式吗？ 课题探究 作者编号：、32200 注意： 1.公式中的角一定是同角，否则公式可能不成立. 如sin230º+cos260º≠1. 2.同角不要拘泥于形式，α， ，6α等都可以. 3.商数关系中注意限制条件. 即cosα≠0. α≠kπ+ ，k∈Z. 课题探究 作者编号：、32200 1.平方关系的基本变形： 2.商数关系的基本变形： 课题探究 作者编号：、32200 例1 (1)若sin α＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值； (2)若cos α＝，求tan α的值； (3)若tan α＝－，求sin α的值． 解：(1)∵sin α＝－，α是第三象限角， ∴cos α＝－＝－，tanα＝＝－×(－)＝. (2)∵cos α＝>0，∴α是第一、四象限角． 当α是第一象限角时，sin α＝＝＝， ∴tan α＝＝； 利用同角三角函数基本关系式求值 课题探究 作者编号：、32200 (2)若cos α＝，求tan α的值； (3)若tan α＝－，求sin α的值． 当α是第四象限角时，sin α＝－＝－＝－， ∴tan α＝－. (3)∵tan α＝－<0，∴α是第二、四象限角． 由可得sin2α＝()2. 当α是第二象限角时，sinα＝； 当α是第四象限角时，sin α＝－. 作者编号：、32200 方法归纳 利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法： (1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系； (2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果 课题探究 作者编号：、32200 例2 已知 ，求下列各式的值． 课题探究 作者编号：、32200 例2 已知 ，求下列各式的值． 作者编号：、32200 已知角α的正切值，求由sin α和cos α构成的代数式的值 (1)对分式齐次式，因为cos α≠0，一般可在分子和分母中同时除以cosnα，使所求代数式化成关于tan α的代数式，从而得解; (2)对整式(一般是指关于sin2α，cos2α)齐次式，把分母看为“1”，用sin2α+cos2α替换“1”，从而把问题转化成分式齐次式，在分子和分母中同时除以cos2α，即可得关于tan α的代数式，从而得解. 方法归纳 课题探究 作者编号：、32200 利用同角三角函数关系式化简 例3 化简下列各式. 课题探究 作者编号：、32200 利用同角三角函数关系式证明 例4 求证2(sin6θ+cos6θ)-3(sin4θ+cos4θ)+1=0 解：左边=2[(sin2θ)3+(cos2θ)3]-3(sin4θ+cos4θ)+1 =2(sin2θ+cos2θ)(sin4θ-sin2θcos2θ+cos4θ)-3(sin4θ+cos4θ)+1 =(2sin4θ-2sin2θcos2θ+2cos4θ)-(3sin4θ+3cos4θ)+1 =-(sin4θ+2sin2θcos2θ+cos4θ)+1 =-(sin2θ+cos2θ)2+1=-1+1 =0 =右边. 课题探究 作者编号：、32200 课后小结 作者编号：、32200 1.已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　) A.－　　 B.－ C.　　 D. 2.已知α是第四象限角， ，则sin α等于(　　) B B 当堂检测 作者编号：、32200 B 当堂检测 作者编号：、32200 (1)；(2)2sin2α-sin αcos α+5cos2α；(3). 分析:由于已知条件为切，所求式为弦，故应想办法将切化弦，或将弦化切(这是一种分析综合的思想)； 若切化弦，应把条件tan α==-代入所求式，消去其中一种函数名，再进一步求值； 若弦化切，应把所求式化成用tan α表示的式子，代入化简即可. (2)原式=·cos2α=. 将tan α=-代入得原式=. (3)原式==. (1)；(2)2sin2α-sin αcos α+5cos2α；(3). 解:(1)由tan α==-，得cos α=-3sin α， 代入所求式得=-. (1)；(2). 解:(1)原式==cos θ. (2)原式== ==-1. 3.若β∈[0，2π)，且=sin β-cos β，则β的取值范围是(　　) A. B. C. D. $$