7.2.3　同角三角函数的基本关系式课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

7．2　任意角的三角函数 7．2.3　同角三角函数的基本关系式 数学 目标导向 数学 数学 自主预习 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 合作探究 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 课堂小结 数学 数学 学习目标 核心素养 理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用 数学抽象 会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明 逻辑推理 新知初探 1．平方关系 (1)公式：sin2α＋cos2α＝________． (2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于________． 2．商数关系 (1)公式： eq \f(sinα,cos α)＝______(α≠kπ＋ eq \f(π,2)，k∈Z). (2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于__________． 答案 1．(1)1　(2)1 2．(1)tan α　(2)角α的正切 初试身手 1．判断正误 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin2 eq \f(π,3)＋cos2 eq \f(π,4)＝1.(　　) (2)sinα2＋cos α2＝1.(　　) (3)对于任意角α都有sin2α＋cos2α＝1，tanα＝ eq \f(sin α,cos α).(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2. eq \r(1－sin2\f(3π,5))化简的结果是(　　) A.cos eq \f(3π,5) B．sin eq \f(3π,5) C.－cos eq \f(3π,5) D．－sin eq \f(3π,5) 解析：因为 eq \f(3π,5)是第二象限角，所以cos eq \f(3π,5)＜0， 所以 eq \r(1－sin2\f(3π,5))＝ eq \r(cos2\f(3π,5))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(3π,5))) ＝－cos eq \f(3π,5).故选C. 答案：C 3．已知sin φ＝－ eq \f(3,5)，且|φ|< eq \f(π,2)，则tan φ等于(　　) A.－ eq \f(4,3) B． eq \f(4,3) C.－ eq \f(3,4) D． eq \f(3,4) 解析：∵sin φ＝－ eq \f(3,5)， ∴cos2φ＝1－sin2φ＝1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(16,25)，又|φ|< eq \f(π,2)，即－ eq \f(π,2)<φ< eq \f(π,2)， ∴cosφ>0，∴cos φ＝ eq \f(4,5)， 从而tan φ＝ eq \f(sin φ,cos φ)＝ eq \f(－\f(3,5),\f(4,5))＝－ eq \f(3,4).故选C. 答案：C 4．已知sin α－cos α＝－ eq \f(5,4)，则sin αcos α等于(　　) A. eq \f(\r(7),4) B．－ eq \f(9,16) C.－ eq \f(9,32) D． eq \f(9,32) 解析：由题意得，(sin α－cos α)2＝ eq \f(25,16)， 即sin2α＋cos2α－2sinαcos α＝ eq \f(25,16)， 又sin2α＋cos2α＝1， ∴1－2sinαcos α＝ eq \f(25,16)， ∴sin αcos α＝－ eq \f(9,32).故选C. 答案：C 类型1　直接应用同角三角函数关系求值 【例1】　(1)已知α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，tan α＝2，则cos α＝________． (2)已知cos α＝－ eq \f(8,17)，求sin α，tan α的值． 【解析】　(1)由已知得， eq \f(sin α,cos α)＝2，① sin2α＋cos2α＝1，② 由①得，sin α＝2cos α， 代入②得，4cos2α＋cos2α＝1， 所以cos2α＝ eq \f(1,5)，又α∈(π， eq \f(3π,2))，所以cosα＜0， 所以cos α＝－ eq \f(\r(5),5). (2)∵cos α＝－ eq \f(8,17)＜0，∴α是第二或第三象限的角． 如果α是第二象限角，那么 sin α＝ eq \r(1－cos2α)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,17)))\s\up12(2))＝ eq \f(15,17)，tanα＝ eq \f(sin α,cos α)＝ eq \f(\f(15,17),－\f(8,17))＝－ eq \f(15,8). 如果α是第三象限角，同理可得sin α＝－ eq \r(1－cos2α)＝－ eq \f(15,17)，tanα＝ eq \f(15,8). 【答案】　(1)－ eq \f(\r(5),5)　(2)见解析 【规律方法】 利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法 (1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系． (2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果． 注意：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号． 跟踪训练1 已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值． 解：∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α.又sin2α＋cos2α＝1， ∴(－3cosα)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，∴cosα＝± eq \f(\r(10),10). 又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号， ∴角α的终边在第二或第四象限． 当角α的终边在第二象限时，cos α＝－ eq \f(\r(10),10)，sin α＝ eq \f(3\r(10),10)； 当角α的终边在第四象限时，cos α＝ eq \f(\r(10),10)，sin α＝－ eq \f(3\r(10),10). 类型2　已知正切值求值 【例2】　已知tan α＝2，则 (1) eq \f(2sin α－3cos α,4sin α－9cos α)＝________； (2) eq \f(2sin2α－3cos2α,4sin2α－9cos2α)＝________； (3)4sin2α－3sinαcos α－5cos2α＝________． 【解析】　(1)原式＝ eq \f(2tanα－3,4tan α－9)＝ eq \f(2×2－3,4×2－9)＝－1. (2) eq \f(2sin2α－3cos2α,4sin2α－9cos2α)＝ eq \f(2tan2α－3,4tan2α－9)＝ eq \f(2×4－3,4×4－9)＝ eq \f(5,7). (3)原式＝ eq \f(4sin2α－3sinαcos α－5cos2α,sin2α＋cos2α)＝ eq \f(4tan2α－3tanα－5,tan2α＋1)＝ eq \f(4×4－3×2－5,4＋1)＝1. 【答案】　(1)－1　(2) eq \f(5,7)　(3)1 【规律方法】 已知tanα＝m，求关于sin α，cos α的齐次式的值 (1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值； (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值． 跟踪训练2 已知tan α＝3，求 eq \f(3sin2α－cos2α,2sin2α－6cos2α). 解： eq \f(3sin2α－cos2α,2sin2α－6cos2α)＝ eq \f(3tan2α－1,2tan2α－6). 又tanα＝3， 所以 eq \f(3sin2α－cos2α,2sin2α－6cos2α)＝ eq \f(3×32－1,2×32－6)＝ eq \f(13,6). 类型3　sinα＋cos α，sin α－cos α与sin α·cos α的关系 【例3】　已知sin α＋cos α＝ eq \f(7,13)，α∈(0，π)，则tan α＝________． 【解析】　因为sin α＋cos α＝ eq \f(7,13)，① 所以sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝ eq \f(49,169)，即2sin αcos α＝－ eq \f(120,169). 因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0. 所以sin α－cos α＝ eq \r((sin α－cos α)2)＝ eq \r(1－2sin αcos α)＝ eq \f(17,13).② 由①②解得，sin α＝ eq \f(12,13)，cos α＝－ eq \f(5,13)，所以tan α＝ eq \f(sin α,cos α)＝－ eq \f(12,5). 【答案】　－ eq \f(12,5) 【母题探究】 (变条件，变设问)将本例的条件“sin α＋cos α＝ eq \f(7,13)”改为“sin αcos α＝－ eq \f(1,8)”其他条件不变，求cos α－sin α. 解：因为sin αcos α＝－ eq \f(1,8)＜0，所以α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))， 所以cos α－sin α＜0， cos α－sin α＝－ eq \r(1－2sin αcos α) ＝－ eq \r(1－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8))))＝－ eq \f(\r(5),2). 类型4　三角函数的化简 【例4】　(1)sin2αtanα＋ eq \f(cos2α,tanα)＋2sin αcos α； (2) eq \r(\f(1＋cos α,1－cos α))＋ eq \r(\f(1－cos α,1＋cos α))(180°<α<270°). 【解】　(1)原式＝sin2α· eq \f(sinα,cos α)＋cos2α· eq \f(cosα,sin α)＋2sin αcos α ＝ eq \f(sin4α＋cos4α＋2sin2αcos2α,cosαsin α) ＝ eq \f((sin2α＋cos2α)2,sinαcos α) ＝ eq \f(1,sin αcos α). (2)因为180°<α<270°，所以sin α<0. 解法1　原式＝ eq \r(\f((1＋cos α)2,1－cos2α))＋ eq \r(\f((1－cosα)2,1－cos2α)) ＝ eq \f(1＋cosα,|sin α|)＋ eq \f(1－cos α,|sin α|)＝ eq \f(2,|sin α|)＝－ eq \f(2,sin α). 解法2　原式＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1－cos α,1＋cos α))＋ \r(\f(1＋cos α,1－cos α))))\s\up12(2)) ＝ eq \r(\f(1－cos α,1＋cos α)＋\f(1＋cos α,1－cos α)＋2)＝ eq \r(\f((1－cos α)2,sin2α)＋\f((1＋cosα)2,sin2α)＋2) ＝ eq \r(\f(2(1＋cos2α),sin2α)＋2)＝ eq \r(\f(2(1＋1－sin2α),sin2α)＋2) ＝ eq \r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,sin2α)－1))＋2)＝ eq \r(\f(4,sin2α))＝ eq \f(2,|sinα|)＝－ eq \f(2,sin α). 【规律方法】 三角函数式化简的常用方法 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 注意：在应用平方关系式求sinα或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象． 跟踪训练3 化简下列各式． (1) eq \f(\r(1＋2sin 10°cos 10°),cos 10°＋\r(1－cos210°))； (2) eq \f(sinα,1－cos α)· eq \r(\f(tan α－sin α,tan α＋sin α)). 解：(1)原式＝ eq \f(\r((cos 10°＋sin 10°)2),cos 10°＋sin 10°)＝ eq \f(|cos 10°＋sin 10°|,cos 10°＋sin 10°)＝1. (2)原式＝ eq \f(sin α,1－cos α)· eq \r(\f(\f(sin α,cos α)－sin α,\f(sin α,cos α)＋sin α))＝ eq \f(sin α,1－cos α)· eq \r(\f(1－cos α,1＋cos α)) ＝ eq \f(sin α,1－cos α)· eq \r(\f((1－cos α)2,1－cos2α))＝ eq \f(sinα,1－cos α)· eq \f(1－cos α,|sin α|) ＝±1. 类型5　三角函数的证明 【例5】　求证： eq \f(tan αsin α,tan α－sin α)＝ eq \f(tan α＋sin α,tan αsin α). 【证明】　证法1：(切化弦) 左边＝ eq \f(sin2α,sinα－sin αcos α)＝ eq \f(sin α,1－cos α)， 右边＝ eq \f(sin α＋sin αcos α,sin2α)＝ eq \f(1＋cosα,sin α). 因为sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cos α)， 所以 eq \f(sin α,1－cos α)＝ eq \f(1＋cos α,sin α)，所以左边＝右边． 所以原等式成立． 证法2：(由右至左) 因为右边＝ eq \f(tan2α－sin2α,(tanα－sin α)tan αsin α)＝ eq \f(tan2α－tan2αcos2α,(tanα－sin α)tan αsin α) ＝ eq \f(tan2α(1－cos2α),(tanα－sin α)tan αsin α) ＝ eq \f(tan2αsin2α,(tanα－sin α)tan αsin α)＝ eq \f(tan αsin α,tan α－sin α) ＝左边，所以原等式成立． 【规律方法】 1．证明恒等式常用的思路 (1)从一边证到另一边，一般由繁到简； (2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者； (3)比较法(作差，作比法). 2．常用的技巧 (1)巧用“1”的代换； (2)化切为弦； (3)多项式运算技巧的应用(分解因式). 跟踪训练4 求证：(1) eq \f(cos α,1－sin α)＝ eq \f(1＋sin α,cos α)； (2)已知tan2α＝2tan2β＋1， 求证：sin2β＝2sin2α－1. 证明：(1)证法1 左边＝ eq \f(cos2α,(1－sinα)cos α)＝ eq \f(1－sin2α,cosα(1－sin α)) ＝ eq \f((1－sin α)(1＋sin α),cos α(1－sin α))＝ eq \f(1＋sin α,cos α)＝右边． 证法2　右边＝ eq \f((1＋sin α)(1－sin α),cos α(1－sin α))＝ eq \f(1－sin2α,cosα(1－sin α)) ＝ eq \f(cos2α,cosα(1－sin α))＝ eq \f(cos α,1－sin α)＝左边． 证法3　因为左边＝ eq \f(cos2α,cosα(1－sin α))， 右边＝ eq \f((1＋sin α)(1－sin α),cos α(1－sin α)) ＝ eq \f(1－sin2α,cosα(1－sin α))＝ eq \f(cos2α,cosα(1－sin α))， 所以左边＝右边，原等式成立． (2)由tan2α＝2tan2β＋1， 可得tan2β＝ eq \f(1,2)(tan2α－1)， 即 eq \f(sin2β,cos2β)＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin2α,cos2α)－1))， 故有 eq \f(sin2β,1－sin2β)＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin2α,1－sin2α)－1)) ＝ eq \f(1,2)× eq \f(2sin2α－1,1－sin2α)， 整理得 eq \f(sin2β,1－sin2β)＝ eq \f(sin2α－\f(1,2),1－sin2α)， 即sin2β(1－sin2α)＝(1－sin2β) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2α－\f(1,2)))， 展开得 eq \f(1,2)sin2β＝sin2α－ eq \f(1,2)， 即sin2β＝2sin2α－1. $$