7.2.2 单位圆与三角函数线课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

第七章 三角函数 7.2.2 单位圆与三角函数线 人教B版(2019)必修第三册 作者编号:、32200 1.理解单位圆的概念. 2.理解三角函数线的定义并能运用三角函数线解决相关问题. 学习目标 作者编号:、32200 什么是圆?圆的两大要素是什么? 平面内到定点的距离等于定长的点的集合称为圆;圆心和半径是圆的两大要素. 复习回顾 作者编号:、32200 问题1:如图,若选取的 P 点的坐标满足 x2 + y2 = 1,说说其中 x2 + y2 = 1 的几何意义是什么? 因为 x2 + y2 = 1 可化为 = 1, 因此 P (x,y) 到原点 (0,0) 的距离为 1, 即 P (x,y) 的轨迹是以原点 (0,0) 为圆心,1 为半径的圆. x y O P x2 + y2 = 1 新知讲授 作者编号:、32200 一般地,在平面直角坐标系中,坐标满足 x2 + y2 = 1 的点组成的集合称为单位圆(即以原点 (0,0) 为圆心,1 为半径的圆). x y O P x2 + y2 = 1 (1,0) 知识梳理 作者编号:、32200 问题2:若角 的终边与单位圆的交点为 P,则 的正弦与余弦的表达式有什么变化? 因为 r = = 1,所以 sin = y,cos = x; 所以 点 P (x,y) 的坐标可写成 (cos ,sin ), 即角 的余弦和正弦分别等于角 终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标. 新知讲授 作者编号:、32200 问题3:你能给出任意角正弦和余弦的一个直观表示吗? 如图,过P作PM垂直x轴于点M, 可以直观地表示,称为角的余弦线; 可以直观地表示,称为角的正弦线. o P(x,y) x M y 新知讲授 作者编号:、32200 若 的终边不在 y 轴上,且 P (x,y) 是 终边上异于原点的任意一点,则 tan = ;取坐标满足 x = 1 的点 P,则 tan = y. 如图,设 的终边与直线 x = 1 交于点 T,则称 为角 的正切线. x y O T A 1 的终边 新知讲授 作者编号:、32200 思考:角 是第二象限的角时能否找到一个垂直于x轴的向量,使其数量为? y o 的终边 A1 T1(-1,y1 ) A x 取T1的坐标为(-1,y1),则 tan = 追问:能否找到一个以A点为起点在过A的切线上的向量,使这一向量的数量为 ? T′ 角终边的反向延长线与切线交点为T′ 新知讲授 作者编号:、32200 一般结论:角 的正切等于角 的终边或其反向延长线与直线的交点的纵坐标. 正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线. 知识梳理 作者编号:、32200 例1 作出- 的正弦线、余弦线和正切线. 解:在直角坐标系中作单位圆,如图, 以Ox轴为始边作-角,角的终边与单位圆交于点P, 作PM⊥Ox轴,垂足为M, 由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线,与OP的反向延长线交于T点, 则sin -=MP,cos -=OM,tan - =AT, 即-的正弦线为,余弦线为,正切线为. 新知讲授 作者编号:、32200 方法归纳 1.作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得到正弦线和余弦线. 2.作正切线时,应从A(1,0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T,即可得到正切线,要特别注意,当角的终边在第二或第三象限时,应将角的终边反向延长,再按上述作法来作正切线. 新知讲授 作者编号:、32200 例2 在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边. 解:(1)作直线y=交单位圆于点P,Q,则OP与OQ为角 的终边,如图①. (2)作直线x=-交单位圆于点M,N,则OM与 ON为角 的终边,如图②. (3)在直线x=1上截取AT=2,其中A的坐标为(1,0).设直线OT与单位圆交于点C,D,则OC与OD为角 的终边,如图③. 新知讲授 作者编号:、32200 例3 cos 1,sin 1,tan 1的大小关系是( ) A.sin 1<cos 1<tan 1 B.sin 1<tan 1<cos 1 C.cos 1<tan 1<sin 1 D.cos 1<sin 1<tan 1 解析:作出单位圆,用三角函数线进行求解. 如图所示,有OM<MP<AT,即cos 1<sin 1<tan 1,故选D. D 新知讲授 作者编号:、32200 变式:利用三角函数线比较下列各组数的大小: 解:如图,画出角 与 的正弦线、余弦线、正切线, sin =M1P1,sin =M2P2,tan =AT1,tan =AT2, cos =OM1,cos =OM2, 由图形观察可得:M1P1>M2P2,AT1<AT2,OM1>OM2, ∴(1)sin >sin ;(2)tan <tan ;(3)cos >cos . 新知讲授 作者编号:、32200 利用单位圆中的三角函数线比较三角函数值的大小时,分三步: (1)作出角的终边与单位圆的交点. (2)作出三角函数线. (3)比较三角函数线的长度,同时要注意方向. 方法归纳 新知讲授 作者编号:、32200 1.下列四个命题中(1) 一定时,单位圆中的正弦线一定;(2)单位圆中有相同正弦线的角相等;(3) 与 + 有相同的正切线;(4)具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上.不正确的命题个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知 是第一象限角,则下列等式中可能成立的是( ) A.sin +cos =1.2 B. sin +cos =-0.9 C.sin cos =1.3 D.sin +cos =-1.2 C A 随堂检测 作者编号:、32200 3.角和角有相同的( ) A.正弦线 B.余弦线 C.正切线 D.不能确定 4.(多选)下列不等式成立的是( ) A.sin 1<sin 2 B.cos 1<cos 2 C.tan 1<tan 2 D.sin >sin C AD 随堂检测 作者编号:、32200 回顾:本课关键词“单位圆、三角函数线” ,说说今天学了哪些知识? 课堂总结 作者编号:、32200 (1)sin =;(2)cos =-;(3)tan =2. (1)sin eq \f(2 ,3)与sin eq \f(4 ,5);(2)tan eq \f(2 ,3)与tan eq \f(4 ,5);(3)cos eq \f(2 ,3)与cos eq \f(4 ,5). $$