精品解析：天津市实验中学滨海学校2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试卷

天津市实验中学滨海学校2024-2025 年度第一学期高一年级第二次月考试卷 命题人：张向东 审核人：马娇 学科组长：郭军霞 满分：150 分 检测时长：120 分钟 注意事项： 检测分第 I 卷和第 II 卷两部分．答卷前学生务必将自己的班级、姓名、座位号填写在答题纸相应的横线上．作答时， 将选择题答案填涂在涂卡区的对应题号上， 其余题做答在答题纸的作答区域内． 检测结束后上交答题纸． 第 I 卷 （共50分） 一、单选题 （每小题 5 分， 共 50 分） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式转化为锐角三角函数，即可求值. 【详解】， 故选：A 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数值即可求得对应的角的取值，可得出结论. 【详解】根据题意由可得，则， 即充分性成立， 若可得，此时或，显然必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件, 故选：A 3. 若且，则函数的图像恒过定点（ ） A. （2，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （2，2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数运算的性质，，可得答案. 【详解】根据对数函数的性质，当时，则，则函数过定点. 故选：D. 4. 已知函数在下列区间中，包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在定理判断． 【详解】由于在上是增函数，在上是减函数， 因此在上是增函数， 又，，因此函数有唯一零点且在区间上， 故选：B． 5. 若角满足，，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据可知是第二或第四象限角；根据第二或第四象限角正余弦的符号可确定结果. 【详解】，是第二或第四象限角； 当是第二象限角时，，，满足； 当是第四象限角时，，，则，不合题意； 综上所述：是第二象限角. 故选：B. 6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可. 【详解】由得或 所以的定义域为 因为在上单调递增 所以在上单调递增 所以 故选：D 【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域. 7. 有三个数：，大小顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、三角函数、对数函数的单调性，结合“媒介数”比较大小作答. 【详解】， ， 所以. 故选：A 8. 函数的图象大致形如（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和函数值等知识确定正确答案. 【详解】依题意， 为偶函数，则为偶函数， 又，则. 故选A． 9. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性、单调性、对数函数的图象与性质分析运算即可得解. 【详解】解：由题可知函数的定义域为， ∵， ∴是偶函数， ∴由可得，即. 当时，，∵和在上都是单调递增的， ∴在上单调递增，又因是偶函数， ∴在上单调递减. 又∵，由函数的定义域知有， ∴由可得，解得：； 由可得，解得：. 综上，不等式的解集为. 故选：D. 10. 科赫曲线是几何中最简单的分形．科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线……在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成．若，则称D为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形维数是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出曲线是由把全体缩小的4个相似图形构成的，再根据题设条件即可得出结果. 【详解】由题意曲线是由把全体缩小的4个相似图形构成的， 因为，即，则， 所以分形维数是. 故选：D. 第II卷 （共 100 分） 二、填空题 （每小题 5 分， 共 40 分） 11. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】由对数函数的定义可得. 【详解】由，得，即， 所以函数的定义域为. 故答案为： 12. 已知角的终边上有一点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】求出已知点到原点的距离，根据三角函数的定义，即可求得答案. 【详解】由题意知角的终边上有一点， 则,故. 故答案为：. 13. 已知，，则用表示_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用换底公式以及对数运算求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 14. 已知集合，，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】首先解指数不等式求出集合，解对数不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，所以，解得， 即， 由，即，所以，解得， 所以， 所以. 故答案为： 15. 如图，扇形的面积等于，它的弧长等于，则弦 的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由扇形面积公式可得，从而求得，再根据即可求解. 【详解】设圆心角为，半径为， 由扇形面积公式，可得，解得， 所以， 所以. 故答案为： 16. 已知正数、满足 ，则 的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】运用指数运算可得出，利用乘“1”法，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正数、满足，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 17. 对于函数 ，下列说法正确的是_____．(写出所有正确命题的序号) ①函数为奇函数； ②函数的值域为 ； ③函数在定义域上为增函数． 【答案】①③ 【解析】 【分析】①定义域为R，且，①正确；②，求出的取值范围，得到值域；③定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论. 【详解】①的定义域为R， ，故为奇函数，①正确； ②，解得， 的值域为，②错误； ③任取，且， 则， 因为，所以，又， 故，， 故函数在定义域上为增函数，③正确； 故答案为：①③ 18. 已知函数 ，则方程 有_____个不同的实数根． 【答案】6 【解析】 【分析】设求，再解方程即可. 【详解】设， 若，则； 若或. 由； 由或或； 由或. 所以方程共有6个不同实根. 故答案为：6 三、解答题 （共 60 分， 其中第 19 题 14 分， 第 20 题 15 分， 第 21 题 15 分， 第 22 题 16 分） 19. 已知角是第三象限角， ． （1）求，的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系计算可得； （2）利用诱导公式化简，再将弦化切，代入计算可得. 【小问1详解】 因为，即， 解得或， 又角是第三象限角，所以. 【小问2详解】 因为， 所以 . 20. 已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且． （1）求与的解析式： （2）求函数在上的最值． （3）若不等式对上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，结合幂函数与一次函数的定义即可得解； （2）利用（1）中结论得到的解析式，再利用二次函数的性质即可得解； （3）参变分离可得在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【小问1详解】 依题意，设，， 因为经过点，所以，解得，则，所以， 又经过点，且， 所以，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以，. 【小问3详解】 不等式对上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，即a的取值范围为. 21. 已知函数且是奇函数，且满足. （1）求的值 （2）利用单调性定义证明函数在上单调递减； （3）若方程在上有且只有一个实根，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2） 证明：任取，且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】(1)利用奇函数的定义可求出，再利用可列出关于的方程求出； (2)利用定义判断函数单调性的步骤：取值，作差，变形，定号，结论； (3)分离参数得到，，换元后转化为在上有唯一解，结合(2)中函数的单调性，求出的值域，从而求得的取值范围. 【小问1详解】 由题意可知函数的定义域为， 因为函数是奇函数，所以，即， 所以，所以； 又因为，所以，所以； 综上：，； 【小问2详解】 任取，且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上单调递减. 【小问3详解】 由(1)可得， 所以方程为，即， 令，由于，所以， 则问题转化为在上有且仅有一个实根. 由(2)可知，函数在上单调递减， 所以，， 所以实数的取值范围是. 22. 已知函数，记. （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由； （3）是否存在实数，使得当时，的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，则说明理由. 【答案】（1） （2） 由(1)知函数F(x)的定义域为：，关于原点对称， 函数为上的奇函数. （3） ， 假设存在这样的实数，则由 可知 令，则在上递减，在上递减， 是方程，即有两个在上的实数解 问题转化为：关于的方程在上有两个不同的实数解 令，则有 ， 解得，又，∴ 故这样的实数不存在. 【解析】 【分析】(1)根据真数大于0，分别求f(x)和g(x)定义域，F(x)为这两个定义域的交集； (2)根据函数奇偶性的定义，即可判断； (3)先根据定义域和值域求出m，n，a的范围，再利用单调性将问题转化为方程有解问题. 【小问1详解】 由题意知 要使有意义，则有 ，得 所以函数的定义域为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市实验中学滨海学校2024-2025 年度第一学期高一年级第二次月考试卷 命题人：张向东 审核人：马娇 学科组长：郭军霞 满分：150 分 检测时长：120 分钟 注意事项： 检测分第 I 卷和第 II 卷两部分．答卷前学生务必将自己的班级、姓名、座位号填写在答题纸相应的横线上．作答时， 将选择题答案填涂在涂卡区的对应题号上， 其余题做答在答题纸的作答区域内． 检测结束后上交答题纸． 第 I 卷 （共50分） 一、单选题 （每小题 5 分， 共 50 分） 1. （ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若且，则函数的图像恒过定点（ ） A. （2，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （2，2） 4. 已知函数在下列区间中，包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 5. 若角满足，，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 有三个数：，大小顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图象大致形如（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 科赫曲线是几何中最简单的分形．科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线……在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成．若，则称D为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形维数是（ ） A. B. C. 1 D. 第II卷 （共 100 分） 二、填空题 （每小题 5 分， 共 40 分） 11. 函数的定义域为______. 12. 已知角的终边上有一点，则________. 13. 已知，，则用表示_____. 14. 已知集合，，则 _____． 15. 如图，扇形的面积等于，它的弧长等于，则弦 的长为_____． 16. 已知正数、满足 ，则 的最小值为_____． 17. 对于函数 ，下列说法正确的是_____．(写出所有正确命题的序号) ①函数为奇函数； ②函数的值域为 ； ③函数在定义域上为增函数． 18. 已知函数 ，则方程 有_____个不同的实数根． 三、解答题 （共 60 分， 其中第 19 题 14 分， 第 20 题 15 分， 第 21 题 15 分， 第 22 题 16 分） 19. 已知角是第三象限角， ． （1）求，的值； （2）求的值． 20. 已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且． （1）求与的解析式： （2）求函数在上的最值． （3）若不等式对上恒成立，求的取值范围． 21. 已知函数且是奇函数，且满足. （1）求的值 （2）利用单调性定义证明函数在上单调递减； （3）若方程在上有且只有一个实根，求实数的取值范围． 22. 已知函数，记. （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由； （3）是否存在实数，使得当时，的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，则说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $