精品解析：海南省某校2025届高三上学期第4次月考数学试题

2025届高三年级第4次月考 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效. 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则其共轭复数为（    ） A. B. C. D. 3. 已知. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 设等比数列的前项和为，且，则（ ） A. 243 B. 244 C. 81 D. 82 5. 若函数是定义在R上的奇函数，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的前12项和为164，且满足，则的值为（    ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 10. 设等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论正确的是（    ） A. B. 当时，取得最大值 C. D. 使得成立的最大自然数是15 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象是轴对称图形 B. 的极大值为0 C. 的所有极值点之和为 D. 的极小值之积为 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在四边形ABCD中，，E为边BC的中点，若，则________． 13. 直线与圆C：相交所形成的弦中长度最短的弦长为______ 14. 若函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，若对满足的，，有的最小值为，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且． （1）求B； （2）若，且的面积为，求b. 16. 已知，函数. （1）求的单调区间. （2）讨论关于的方程的根的个数. 17. 已知数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，比较大小. 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为，点在上. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； （3）过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值. 19. 已知是曲线上的点，，是数列的前n项和，且满足， （1）求； （2）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列； （3）证明：当时，弦的斜率随n单调递减． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三年级第4次月考 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效. 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式不等式求解得出集合M,应用指数函数值域得出集合N,最后应用交集及补集定义计算即可. 【详解】设集合或，， 则， 则. 故选：C. 2. 若复数满足，则其共轭复数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算结合共轭复数概念即可求解. 【详解】由， 可得：， 所以， 故选：B 3. 已知. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直及数量积的运算律得，结合向量数量积的定义求夹角余弦值. 【详解】由题设，可得. 故选：A 4. 设等比数列的前项和为，且，则（ ） A. 243 B. 244 C. 81 D. 82 【答案】B 【解析】 【分析】由等比中项进行转化，得到公比，再由等比数列的前项和公式得到比值.： 【详解】由等比数列性质可得， 设的公比为，则， 故． 故选：B． 5. 若函数是定义在R上的奇函数，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质可得，进而可得，，即可求解. 【详解】设，则，即， 即，所以. 因为，所以，. 故选：A 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦函数公式及诱导公式即得. 【详解】． 故选：A． 7. 已知数列的前12项和为164，且满足，则的值为（    ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由，推出和，再利用前12项和为164求解. 【详解】解：由题知：， ， 又，， 所以， ， 故选：C 8. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算和向量数量积为0的条件，判定，结合已知条件得到，设出，表示出直角三角形的其余边，结合双曲线的定义表示出，利用建立方程求得，进而求得 ，然后利用勾股定理求得，从而得到，从而得到离心率的值. 【详解】如图，由，有， 可得，可得，有. 在Rt中，由， 不妨设，则，由勾股定理得， 又由双曲线的定义可得，， 根据可得， 解得，所以， 在Rt中，，可得， 故双曲线的离心率为. 故选：B. 【点睛】 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用图象的特征求出各参数即可求解. 【详解】由图象可知：，周期，故． 由，解得， 故函数，选项A正确； 选项B，，B错误； 选项C，，C正确； 选项D，，D错误． 故选：AC． 10. 设等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论正确的是（    ） A. B. 当时，取得最大值 C. D. 使得成立的最大自然数是15 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据已知可判断，，然后可判断AB；由可判断C；利用下标和性质表示出可判断D. 【详解】解：因为等差数列中，，， 所以，，，A正确； 当时，取得最大值，B正确； 由A知，数列前8项都大于0，所以，C正确； ，， 故成立的最大自然数，D错误． 故选：ABC． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象是轴对称图形 B. 的极大值为0 C. 的所有极值点之和为 D. 的极小值之积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】将代入中化简，若，使得，等式均成立，则是轴对称图形，化简等式，建立方程解出根，即可判断A；对求导，令导函数为0，求出极值点之间关系，进而判断单调性即可判断B、C，计算的极小值之积，即可判断D. 【详解】对A，若，使得,有成立， 即， 即， 即， 化简可得： ， 因为等式成立，所以有成立，解得， 故不存在这样的使得，有成立，即不是轴对称图形， 故选项A错误； 对B,因为， 所以，可得或， 因为，所以有两个不等实根记为， 由韦达定理得，所以， 当时，，，所以，单调递减， 当时，，，所以，单调递增， 当时，，，所以，单调递减， 当时，，，所以，单调递增， 所以的极大值点为，即选项B正确； 对C，的所有极值点之和为：，即选项C正确； 对D，由单调性可知的极小值点为，所以 将代入有： ， 故选项D正确. 故选：BCD 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在四边形ABCD中，，E为边BC的中点，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】首先连接，再利用向量加法的几何意义求解即可. 【详解】连接，如图所示： 所以，则. 故答案为： 13. 直线与圆C：相交所形成的弦中长度最短的弦长为______ 【答案】2 【解析】 【分析】求出直线所过定点，再利用圆的性质求出最短弦长. 【详解】直线恒过定点， 而圆的圆心，半径， ，即点在圆内，当且仅当时，直线被圆截得的弦长最短， 所以所求最短弦长为. 故答案为：2 14. 若函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，若对满足的，，有的最小值为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先求解的解析式，根据可知一个取得最大值一个取得最小值，结合三角函数的性质和的最小值为，即可求解的值； 【详解】由函数的图像向右平移，可得 由可知一个取得最大值一个取得最小值， 不妨设取得最大值，取得最小值， ，，． 可得， 所以， 的最小值为， ，得， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且． （1）求B； （2）若，且的面积为，求b. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求出，从而求出； （2）由三角形面积公式求出，结合，求出，由余弦定理求出答案. 【小问1详解】 ，由正弦定理得， 即， 由余弦定理，得. 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以的面积为，得， 由及正弦定理，得， 所以. 由余弦定理，得， 所以. 16. 已知，函数. （1）求的单调区间. （2）讨论关于的方程的根的个数. 【答案】（1）函数在和上单调递减，在上单调递增 （2）当时，方程的根的个数为；当时，方程的根的个数为；当时，方程的根的个数为； 【解析】 【分析】（1）求导，利用导函数的符号可确定函数的单调区间. （2）利用函数的单调性，通过，，讨论，可确定方程零点的个数. 【小问1详解】 因为（）. 所以：. 由 ，又函数定义域为， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ①当时：时，，方程无解； ，函数在上单调递减，在单调递增， 所以，所以方程无解. ②当时：时，，方程无解； ，函数在上单调递减，在单调递增， 所以，所以方程有一个解. ③当时：时，，方程无解； ，函数在上单调递减，在单调递增， 所以，所以方程有两个解. 综上可知：当时，方程的根的个数为； 当时，方程的根的个数为； 当时，方程的根的个数为； 17. 已知数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，比较大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由与的关系，作差即可求解； （2）由等比数列求和公式及错位相减法求和，再通过作差即可比较大小. 【小问1详解】 当时， 当时，，两式相减得， ， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 【小问2详解】 由（1）可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列， ，， ， ， 两式相减得 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为，点在上. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； （3）过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）； （3）3. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆的标准方程. （2）由椭圆的定义可求出的最大值，从而可得周长最大值. （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，借助根与系数的关系列出三角形面积的关系式，利用对勾函数性质求出最大值． 【小问1详解】 依题意，，且，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，而，则， 周长， 当且仅当点是线段的延长线与椭圆的交点时取等号， 所以周长的最大值为. 【小问3详解】 设直线的方程为，， 由消去得：，显然，， ， 因此面积， 令，，显然函数在上单调递增， 则当，即时，取得最小值， 所以当时，面积取得最大值3. 【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积； 过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积. 19. 已知是曲线上的点，，是数列的前n项和，且满足， （1）求； （2）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列； （3）证明：当时，弦的斜率随n单调递减． 【答案】（1）， （2） （3） 先证明一个结论：对，有. 证明：该不等式等价于，即，. 所以只需要说明当时，有成立即可. 设，则，故当时，当时. 所以在上递减，在上递增，故当时，有，即. 所以原来的结论也成立. 回到原题. 当时，数列是单调递增数列，结合的定义域知. 故有，. 所以，结论得证. 【解析】 【分析】（1）对原递推式进行变换即可； （2）求出的通项公式并将条件转化为，再解不等式； （3）先证明对，有，然后利用单调递增即可. 【小问1详解】 由已知有对任意正整数成立，故. 而根据的定义域，有，所以. 这就说明，，. 故，. 【小问2详解】 我们有. 故. 再由，，，就得到. 从而，，. 所以命题等价于，即. 故. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用导数工具证明不等式，从而求得相应数列的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $