精品解析：江苏省扬州市高邮市2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

2024-2025学年第一学期高三年级12月学情调研测试 数学试题 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数的对应点坐标为，则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 4. 设数列的通项公式为，数列的前项和为，那么等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知一批产品中有是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为，一个次品被误判为合格品的概率为．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 设为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若和在区间上均单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知奇函数的定义域为，若，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. D. 的一个周期为 10. 如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，设事件为奇数，事件，事件，则（ ） A. B. C. D. 11. 某3×4×5的长方体由1×1×1的单位立方体（称单位正方体的顶点为格点）拼成，下列选项中正确的有（ ） A. 存在不共线的三个向量两两夹角相等，且顶点均为该长方体的格点 B. 不存在不共线的四个向量两两夹角相等，且顶点均为该长方体的格点 C. 空间内的一条直线最多穿过该长方体的五个格点 D. 该长方体的一条体对角线穿过10个单位正方体 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，常数项为___________. 13. 在平行四边形中，已知，，，点在边上，，与相交于点，则的余弦值为______． 14. 已知函数，则__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设三角形的内角、、的对边分别为、、且． （1）求角的大小； （2）若，边上的高为，求三角形的周长． 16. 已知圆C：和定点，直线l：（）. （1）当时，求直线l被圆C所截得的弦长； （2）若直线l上存在点M，过点M作圆C的切线，切点为B，满足，求m的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，. （1）求证：平面平面； （2）点为棱的中点，求与平面所成角的正弦值. 18. 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)； (①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. ) （2）（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望； （ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大. 19. 已知函数，取；过点作曲线的切线，该切线与轴的交点记作．若，则过点作曲线的切线，该切线与轴的交点记作．以此类推得，直至停止，由这些数构成数列． （1）若正整数，证明：； （2）若正整数，证明：； （3）若正整数，是否存在使得依次成等差数列？若存在，求出的所有取值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期高三年级12月学情调研测试 数学试题 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数的对应点坐标为，则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可知，再根据复数的乘法以及共轭复数的定义分析判断. 【详解】因为复数的对应点坐标为，则， 可得， 所以的共轭复数为. 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合、，再利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为， ， 所以，. 故选：D. 3. 已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，结合焦点三角形的周长即可求解. 【详解】由，即，可得， 根据椭圆的定义， 所以. 故选：B. 4. 设数列的通项公式为，数列的前项和为，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意化简得到，结合消项法，即可求解. 【详解】由数列的通项公式为，可得， 所以. 故选：D. 5. 已知一批产品中有是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为，一个次品被误判为合格品的概率为．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记事件抽取的一个产品为合格品，事件抽查一个产品被判为合格品，利用全概率公式可求得的值. 【详解】记事件抽取的一个产品为合格品，事件抽查一个产品被判为合格品， 则，，， 由全概率公式可得. 所以，任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为. 故选：B. 6. 设为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】因为在方向上的投影向量为， 所以， 所以有， 故选：D 7. 已知函数，将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若和在区间上均单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简的解析式为一般式，并求得其单调增区间；根据三角函数图象变换求得的解析式，再求其单调增区间；结合题意，即可求得的最大值. 【详解】，令，解得， 故的单调增区间为，则在上单调递增； 将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则， 令，解得， 故的单调增区间为，则在上单调递增； 若和在区间上均单调递增，则的最大值为. 故选：A. 8. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象分辨和的图象，然后对各选项中函数求导，利用图象判断函数单调性即可得解. 【详解】由图可知，两个函数图象都在轴上方，所以，单调递增， 所以实线为的图象，虚线为的图象，， 对A，，单调递增，无最大值，A错误； 对B，，， 由图可知，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，B正确； 对C，，由图可知， 所以在上单调递增，无最大值，C错误； 对D，， 由图可知，当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得最大值，D错误. 故选：B 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知奇函数的定义域为，若，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. D. 的一个周期为 【答案】AD 【解析】 【分析】由奇函数可得，再根据函数的周期性与对称性分别判断. 【详解】由函数为奇函数，则，A选项正确； 又，即，则函数关于直线对称，B选项错误； 由可知， 即，函数的一个周期为，C选项错误，D选项正确； 故选：AD. 10. 如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，设事件为奇数，事件，事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于AD：根据概率的性质结合古典概型分析求解；对于BC：根据概率性质结合条件概率分析求解. 【详解】由题意可知：， 可得. 对于选项A：因为，则， 所以，故A正确； 对于选项B：因为，则， 可得， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，所以，故C正确； 对于选项D：因为，所以，故D错误； 故选：ABC. 11. 某3×4×5的长方体由1×1×1的单位立方体（称单位正方体的顶点为格点）拼成，下列选项中正确的有（ ） A. 存在不共线的三个向量两两夹角相等，且顶点均为该长方体的格点 B. 不存在不共线的四个向量两两夹角相等，且顶点均为该长方体的格点 C. 空间内的一条直线最多穿过该长方体的五个格点 D. 该长方体的一条体对角线穿过10个单位正方体 【答案】AD 【解析】 【分析】A通过举特例可完成判断；B通过举反例可完成判断；C通过举反例可完成判断；D画出长方体如图所示的截面图，由截面图可确定穿过正方体个数. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，其中两两垂直， 且. 对于A，如图可得这三个向量的顶点均为该长方体的格点， 且，两两不共线， 则存在不共线的三个向量两两夹角相等，且顶点均为该长方体的格点A正确； 对于B，由题设长方体格点为， 其中. 取点. 则， 注意到 ， 则， 又均为长方体格点， 两两不共线， 则存在不共线的四个向量两两夹角相等，且顶点均为该长方体的格点，故B错误； 对于C，对于过OC两点的直线，由图可得过共6个格点，故C错误； 对于D，由题可得长方体中含有个单位立方体，则将长方体分割为60个长方体，留下分割痕迹，再如图做出一条对角线所在的截面，因对角线穿过了10个矩形，则长方体的一条体对角线穿过10个单位正方体，故D正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：对于含有存在，不存在，最多等名词的命题常利用举例或举反例来判断正误，B选项思路来源于空间中不共线4个向量夹角两两相等，则夹角余弦为，对于D选项，因立体几何问题直观想象较为困难，故将立体几何问题转化为平面几何问题来思考. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，常数项为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出通项，然后令的指数为零即可． 【详解】解：由题意得：， 令得， 故常数项为． 故答案为：． 13. 在平行四边形中，已知，，，点在边上，，与相交于点，则的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可得出，即可得解. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 在平行四边形中，已知，，，点在边上，， 则、、、，则，， 所以，. 故答案为：. 14. 已知函数，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】由题设知有根，从而设出函数的解析式，代入特殊值求出待定系数，进而求得结果. 【详解】∵ 所以方程，即有根， 设， 当时，， ∴， ∴，∴ 故答案为：. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设三角形的内角、、的对边分别为、、且． （1）求角的大小； （2）若，边上的高为，求三角形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用内角和为化简，利用二倍角公式化简，再利用辅助角公式化简即可求得； （2）由面积公式和余弦定理，联立方程组求解三角形即可. 【小问1详解】 因为，，为的内角，所以， 因为，所以可化为：， 即，即， 因为，解得：，即． 【小问2详解】 由三角形面积公式得，代入得：， 所以，由余弦定理得：， 解得：或舍去，即， 所以的周长为. 16. 已知圆C：和定点，直线l：（）. （1）当时，求直线l被圆C所截得的弦长； （2）若直线l上存在点M，过点M作圆C的切线，切点为B，满足，求m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式、勾股定理以及圆的几何性质求得弦长. （2）先求得点的轨迹方程，根据直线与圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 圆C：，圆心，半径， 当时，直线l的方程为， 所以圆心C到直线l的距离， 故弦长为. 【小问2详解】 设，则， 由，，得. 化简得， 所以点M的轨迹是以为圆心，8为半径的圆. 又因为点M在直线l：上，所以与圆D有公共点， 所以， 解得， 所以m的取值范围是. 17. 如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，. （1）求证：平面平面； （2）点为棱的中点，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：如图，取的中点，连接， ∵为正三角形，，∴且. ∵，为的中点，∴， 又∵底面为直角梯形，即，故四边形为平行四边形， 而，所以四边形为矩形，∴. 平面，∴平面. ∵平面，平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，可证平面，根据判定定理可证平面平面； （2）以为坐标原点所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式可求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，由（1）又可得， 如图，以为坐标原点所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，， . 设平面的法向量为， 由，得，令，则，， 设与平面所成的角为，则 ， ∴与平面所成角的正弦值为 18. 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)； (①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. ) （2）（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望； （ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大. 【答案】（1） （2）（i） 0 1 2 3 . （ii） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率. （2）（i）先求出的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可； （ii）先根据二项分布的期望求出，然后构造函数，利用导数求出最大值时的即可. 【小问1详解】 由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为： ． 即，，所以， 因为质量指标值近似服从正态分布， 所以， 所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为. 【小问2详解】 （i），所以所取样本的个数为20件， 质量指标值在的芯片件数为10件，故可能取的值为0，1，2，3， 相应的概率为： ，， ，， 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望. （ii）设每箱产品中A等品有件，则每箱产品中等品有件， 设每箱产品的利润为元， 由题意知：， 由（1）知：每箱零件中A等品的概率为， 所以，所以， 所以 . 令，由得，， 又，，单调递增，，，单调递减， 所以当时，取得最大值. 所以当时，每箱产品利润最大. 19. 已知函数，取；过点作曲线的切线，该切线与轴的交点记作．若，则过点作曲线的切线，该切线与轴的交点记作．以此类推得，直至停止，由这些数构成数列． （1）若正整数，证明：； （2）若正整数，证明：； （3）若正整数，是否存在使得依次成等差数列？若存在，求出的所有取值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 因为，则， 若，曲线在点处的切线斜率为， 则切线方程为， 令，可得，解得， 所以. （2） 构建，则， 当时，；当时，； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则，可得，当且仅当时，等号成立， 当时，则， 可得， 累加可得，所以. （3）存在， 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程，进而可得结果； （2）构建，利用导数可证，即可得，结合累加法分析证明； （3）由题意讨论当时，结合等差数列性质以及构造函数，利用导数得出单调性以及零点存在定理即可说明，当时，利用零点存在定理得出唯一性，得出矛盾即可推翻，由此即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若存在使得依次成等差数列， 当时，则依次成等差数列，可得， 又因为，则， 可得，即， 构建，则， 由（2）可知：，即， 可得，当且仅当时，等号成立， 则， 且，当且仅当时，等号成立， 可得， 可知在内单调递增，且， 可知在内有且仅有一个零点， 当时，则依次成等差数列，可得， 又因为，则， 可得，即， 根据零点的唯一性可知：， 由（2）可知：，可知为递减数列， 所以不成立，即时，不存在使得依次成等差数列； 综上所述：存在使得依次成等差数列，此时. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式； 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $