第十章 专题强化3 电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题 等分法的应用-（配套word）2023-2024学年高一新教材物理必修第二册 【步步高】学习笔记（人教版）浙江

专题强化3　电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题　等分法的应用 [学习目标]　1.学会根据电场线、等势面与带电粒子的运动轨迹判断粒子的受力情况及能量的变化情况(重难点)。2.会利用等分法确定等势面和电场线(重难点)。 一、电场线、等势面与带电粒子运动轨迹的综合问题 带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法： 1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为粒子在该点处的速度方向。 2．判断静电力(或电场强度)的方向：仅受静电力作用时，带电粒子所受静电力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断该点处电场强度的方向。 3．判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加。 4．判断粒子动能的增减：可以根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况。 例1　如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在静电力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是(　　) A．vM＜vN，aM>aN B．vM＜vN，φM＜φN C．φM＜φN，EpM＜EpN D．aM＜aN，EpM＜EpN 答案　D 解析　由粒子的运动轨迹知粒子所受静电力的方向向右，因粒子带负电，故电场线方向向左，由沿电场线方向电势降低，可知φN<φM，故EpM<EpN；N点附近电场线比M点密，故电场强度EM<EN，知aM<aN，粒子若从N点运动到M点，静电力做正功，电势能减少，动能增加，故vM>vN。综上所述，选项D正确。 变式　若实线为等差等势面，上面选项正确的是(　　) 答案　B 解析　若实线为等差等势面，带电粒子在a点受力如图，电场强度与F的方向相反，则φM<φN，若粒子从M点运动至N点，静电力做正功，故EpM>EpN，vM<vN，若粒子从N点运动至M点，静电力做负功，仍有EpM>EpN，vM<vN，根据等势面疏密知，EM<EN，故aM<aN，因此选B。 例2　(2023·吴兴高级中学高二月考)如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，即Uab＝Ubc，实线为一带负电的质点仅在静电力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，据此可知(　　) A．三个等势面中，a的电势最低 B．带负电的质点在P点的电势能比在Q点小 C．带负电的质点通过P点时的动能比在Q点大 D．P点电场强度比Q点小 答案　A 解析　根据质点轨迹弯曲的方向以及电场线与等势面垂直可知，负电荷所受的静电力应向下，所以电场线方向向上，故a的电势最低，故A正确；负电荷在电势高处电势能小，故带负电的质点在P点的电势能比在Q点大，故B错误；质点的总能量守恒，即动能与电势能之和不变，则知质点通过P点时的动能比在Q点小，故C错误；等差等势面P处密集，P处电场强度大，故D错误。 分析电场线(等势面)与粒子运动轨迹综合问题的一般思路： (1)根据运动轨迹偏转方向，结合电场线或等势面(电场线总是与等势面垂直，已知等势面时要画出电场线)判断粒子的受力方向，然后进一步判断粒子所带电荷正负、电场强度方向； (2)根据静电力方向与速度方向的关系判断动能、电势能的变化情况。 二、等分法确定等势面和电场线 “等分法”及其应用原理 在匀强电场中，沿任意一个方向电势降落都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间的电势差相等，如果把某两点间的距离等分为n段，则每段线段两端点的电势差等于原电势差的，像这样采用等分间距求电势的方法叫作“等分法”。由此可知，在匀强电场中，长度相等且相互平行的线段两端点间的电势差相等。 结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图甲所示。 结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且＝，则UAB＝UCD，如图乙所示。 例3　如图所示，在匀强电场中有a、b、c、d四点，它们处于同一圆周上，且ac、bd分别是圆的直径。已知a、b、c三点的电势分别为φa＝9 V，φb＝15 V，φc＝18 V，则d点的电势为(　　) A．4 V B．8 V C．12 V D．16 V 答案　C 解析　方法一　根据几何知识知，ab长度等于dc长度，且线段ab平行于线段cd，根据在匀强电场中平行相等两线段端点之间的电势差相等，则φb－φa＝15 V－9 V＝φc－φd＝18 V－φd，可得φd＝12 V，故C正确。 方法二　ac、bd的中点都是圆心O，故φa＋φc＝φb＋φd，解得φd＝12 V，故C正确。 例4　如图所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为(　　) A．200 V/m B．200 V/m C．100 V/m D．100 V/m 答案　A 解析　在匀强电场中，沿某一方向电势均匀降低或升高，故OA的中点C的电势φC＝3 V(如图所示)，因此B、C在同一等势面上。O点到BC的距离d＝OCsin α，而sin α＝＝，所以d＝OC＝1.5×10－2 m，匀强电场的电场强度大小E＝＝ V/m＝200 V/m，故选项A正确。 1．确定电场方向的方法 先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势线垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势线指向电势低的等势线。 2．等分法确定电势或电场强度方向只适用于匀强电场。 例5　(多选)(2022·嘉兴市高二期中)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是(　　) A．匀强电场的电场强度大小为2 V/cm B．坐标原点处的电势为1 V C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV D．电子从b点运动到c点，静电力做功为9 eV 答案　BD 解析　由题意知a、c两点间电势差与O、b两点间的电势差相等，即10 V－26 V＝φO－17 V，可得φO＝1 V，故B正确；电场沿着x轴方向电场分量，Ex＝＝＝2 V/cm，电场沿着y轴方向电场分量Ey＝＝＝1.5 V/cm，因此匀强电场的电场强度E＝＝2.5 V/cm，故A错误；电子在a点具有的电势能Epa＝－eφa＝－10 eV，电子在b点具有的电势能Epb＝－eφb＝－17 eV，因此ΔEp＝Epa－Epb＝7 eV，电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，故C错误；电子从b点运动到c点，静电力做功为Wbc＝qUbc＝－e(17 V－26 V)＝9 eV，所以电子从b点运动到c点，静电力做功为9 eV，故D正确。 专题强化练 考点一　电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题 1．若带正电荷的微粒在电场中运动，只受静电力作用，它在任意一段时间内(　　) A．一定沿电场线由高电势处向低电势处运动 B．一定沿电场线由低电势处向高电势处运动 C．不一定沿电场线运动，但一定由高电势处向低电势处运动 D．不一定沿电场线运动，也不一定由高电势处向低电势处运动 答案　D 解析　微粒的运动情况取决于合力和初速度的关系，微粒只受到静电力的作用，是否沿电场线运动，还要看电场线是直线还是曲线，微粒有没有初速度及初速度方向与电场线的关系；只有当电场线是直线且微粒的运动方向沿着电场线时，微粒才沿电场线运动，微粒不一定由高电势处向低电势处运动，故A、B、C错误，D正确。 2.(2022·杭州市高二校联考期中)如图所示，带电粒子只在静电力作用下由a点运动到b点。图中实线为电场线，虚线为粒子运动轨迹，下列说法正确的是(　　) A．带电粒子一定带负电 B．带电粒子在a点的速度小于在b点的速度 C．带电粒子在a点的加速度大于在b点的加速度 D．带电粒子在a点的电势能小于在b点的电势能 答案　B 解析　根据物体做曲线运动时，物体所受合外力指向轨迹的凹侧可知，带电粒子在a点所受静电力方向沿该点的切线方向，与该点的电场强度方向相同，因此粒子带正电，故A错误；由于沿电场线方向电势逐渐降低，则有φa>φb，根据Wab＝qUab，由A选项分析可知，粒子带正电，则粒子从a点移动到b点，静电力做正功，粒子动能增加，速度增加，电势能减小，即带电粒子在a点的速度小于在b点的速度，带电粒子在a点的电势能大于在b点的电势能，故D错误，B正确；电场线的疏密程度反映电场强度大小，则有Ea<Eb，由牛顿第二定律可知，带电粒子在a点的加速度小于在b点的加速度，故C错误。 3.(多选)负点电荷Q固定在正方形的一个顶点上，带电粒子P仅在该电荷的静电力作用下运动时，恰好能经过正方形的另外三个顶点a、b、c，如图所示，则(　　) A．粒子P带负电 B．a、b、c三点的电势高低关系是φa＝φc<φb C．粒子P由a到b电势能增加，由b到c电势能减小 D．粒子P在a、b、c三点时的加速度大小之比是2∶1∶2 答案　BCD 解析　由运动轨迹可知，粒子P受静电力作用，粒子带正电，故A错误；a、c与负点电荷Q的距离相等，b点距离负点电荷Q较远。距离负电荷越远，电势越高，故B正确；正电荷在电势越高(低)的位置，电势能越大(小)，粒子P由a到b电势能增加，由b到c电势能减小，故C正确；由几何关系，a、b、c三点到负点电荷Q的距离关系为ra＝rc＝rb，又根据F＝k＝ma，得aa∶ab∶ac＝2∶1∶2，故D正确。 4.(多选)如图所示，在研究电子在电场中的运动时，得到了电子由a点运动到b点的轨迹，图中一组等间距虚线可能是电场线，也可能是等势线，则下列判断正确的有(　　) A．如果虚线是电场线，则a点的电场强度大于b点的电场强度 B．如果虚线是电场线，则a点的电势高于b点的电势 C．如果虚线是等势线，则a点的电势低于b点的电势 D．如果虚线是等势线，则电子由a点运动到b点，电势能减小 答案　BCD 解析　若虚线是电场线，由题图可知该电场是匀强电场，故A错误；如果虚线是电场线，结合电子的运动轨迹知，电子受到向左的静电力，电场线方向向右，则a点的电势高于b点的电势，故B正确；如果虚线是等势线，结合电子的运动轨迹知，电子受到向下的静电力，电场线方向向上，则a点的电势低于b点的电势，故C正确；如果虚线是等势线，电子受到向下的静电力，电子由a点运动到b点，静电力做正功，电势能减小，故D正确。 考点二　等分法的应用 5．(2022·杭州市高二期中)如图所示，在匀强电场中有一平行四边形ABCD，已知A、B、C三点的电势分别为φA＝12 V，φB＝8 V，φC＝2 V，则D点的电势为(　　) A．8 V B．6 V C．4 V D．1 V 答案　B 解析　由于是匀强电场，所以UAB＝UDC，即φA－φB＝φD－φC，得φD＝6 V，故选B。 6．(多选)A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，H、F三等分AB，G为AC的中点，图形中能正确表示电场强度方向的是(　　) 答案　BC 解析　AC连线不是等势线，其垂线就不是电场线，A项错误；A、C中点G的电势为φG＝＝ V＝4 V，将AB两点连线的线段三等分，题图B中H点的电势为4 V，因此H点与G点的连线为等势线，根据电场线与等势线垂直，且指向低电势处，可知与GH线垂直的直线即为电场线，B项正确；由题意，A、B、C三点的电势φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，将AB两点连线的线段三等分，题图C中F的电势为3 V，因此F点和C点的连线为等势线，根据电场线与等势线垂直，且指向低电势处，可知与CF线垂直的直线即为电场线，C项正确；BC连线不是等势线，其垂线就不是电场线，D项错误。 7.(2022·万全综合高级中学高二月考)如图所示A、B、C、D是匀强电场中的四个点，D是BC的中点，A、B、C构成一个直角三角形，AB长为1 m，电场线与三角形所在的平面平行，已知φA＝5 V，φB＝－5 V，φC＝15 V，由此可以判断(　　) A．电场强度的方向垂直AD连线斜向上 B．电场强度的方向由B点指向C点 C．电场强度的大小为8 V/m D．电场强度的大小为 V/m 答案　D 解析　在匀强电场中，φB＝－5 V，φC＝15 V，则B、C连线的中点D的电势φD＝＝ V＝5 V，故φD＝φA，AD为一条等势线，根据电场线与等势线垂直且沿着电场线方向电势降低可知，电场强度的方向垂直于AD连线斜向下，选项A、B错误；电场强度的大小E＝＝ V/m＝ V/m，选项C错误，D正确。 8．(2022·绍兴市高二统考期中)空间存在着平行纸面的匀强电场，但电场的具体方向未知，现在纸面内建立直角坐标系xOy，用仪器沿Ox、Oy两个方向探测该静电场中各点电势，得到各点电势φ与横、纵坐标的函数关系如图所示。关于该电场的电场强度E，下列说法正确的是(　　) A．E＝3 V/m，方向沿x轴正方向 B．E＝5 V/m，方向指向第一象限 C．E＝400 V/m，方向沿y轴负方向 D．E＝500 V/m，方向指向第三象限 答案　D 解析　从题中的图像可以得到，坐标为( cm,0)和(0,10 cm)的A、B两点电势均为40 V，AB为等势面，如图所示，则电场强度的方向垂直于AB且指向第三象限，由几何关系可知，CO＝＝8 cm，E＝＝＝500 V/m，故选D。 9.(多选)(2022·台州市山海协作体高二期中)如图所示为某一电荷形成的一簇电场线，a、b、c三条虚线为三个带电粒子以相同的速度从O点射入电场的运动轨迹，其中b虚线为一圆弧，AB的长度等于BC的长度，且三个粒子的电荷量大小相等，不计粒子重力。则下列说法正确的是(　　) A．a一定是正粒子的运动轨迹，b和c一定是负粒子的运动轨迹 B．AB的长度等于BC的长度，故UAB＝UBC C．a虚线对应的粒子的加速度越来越小，c虚线对应的粒子的加速度越来越大，b虚线对应的粒子的加速度大小不变 D．b虚线对应的粒子的质量大于c虚线对应的粒子的质量 答案　CD 解析　由题图只能确定三个粒子的受力方向，由于电场线的方向未知，则无法确定粒子的电性，A错误；根据U＝Ed，AB的长度等于BC的长度，而电场线的疏密程度反映电场强度的大小，AC方向上电场强度逐渐增大，则有UAB≠UBC，B错误；电场线的疏密程度反映电场强度的大小，根据牛顿第二定律可得a＝，a虚线对应的粒子的电场强度越来越弱，加速度越来越小，c虚线对应的粒子电场强度越来越强，粒子的加速度越来越大，b虚线对应的粒子做圆周运动，库仑力提供向心力，粒子与场源电荷的距离保持不变，对应的电场强度大小保持不变，粒子的加速度大小不变，C正确；设场源电荷的带电荷量大小为Q，粒子带电荷量大小为q，场源电荷与O点的距离为r，粒子在O点的速度大小为v，b虚线对应的粒子的质量为mb，c虚线对应的粒子的质量为mc，则根据库仑定律可得粒子受到的库仑力为F＝，b虚线对应的粒子做圆周运动，库仑力提供向心力，则有＝，c虚线对应的粒子做近心运动，库仑力大于粒子圆周运动所需的向心力，>，即mb>mc，由此可知，b虚线对应的粒子的质量大于c虚线对应的粒子的质量，D正确。 10.(2023·诸暨市海亮高级中学高二期中)矩形ABCD处于匀强电场中，电场方向平行于矩形所在平面，矩形边长AB＝1 cm，BC＝2 cm。将电子由A点移动到D点，静电力做功2 eV；将电子由A点移动到C点，静电力做功1 eV。已知A点电势为0，则(　　) A．电场强度大小为100 V/m B．电场强度方向平行AD向右 C．B点的电势为1 V D．电子在矩形ABCD上电势能最大为2 eV 答案　A 解析　由题意可得，W1＝－e(0－φD)＝2 eV，W2＝－e(0－φC)＝1 eV，解得φC＝1 V，φD＝2 V，根据匀强电场中电场强度与电势差的关系可推知UAB＝UDC，所以φB＝－1 V，故C错误；BC中点F的电势为φF＝＝0，如图所示，连接AF，则AF为一条等势线，取AF中点G并连接BG，根据几何关系可知BG⊥AF，又根据沿电场线方向电势降低可知，电场强度方向为由G指向B，所以电场强度大小为E＝＝100 V/m，故A正确，B错误；由前面分析可知，B点为矩形ABCD上电势最低点，电子在B点电势能最大，为1 eV，故D错误。 11.(多选)(2022·金华江南中学高二月考)如图所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为10 cm的正六边形的六个顶点，A、C、D三点电势分别为1.0 V、2.0 V、3.0 V，正六边形所在平面与电场线平行，则(　　) A．E点的电势与C点的电势相等 B．UEF与UCB相等 C．电场强度的大小为 V/m D．电场强度的大小为20 V/m 答案　BC 解析　已知正六边形所在平面与电场线平行，且A、C、D三点电势分别为1.0 V、2.0 V、 3.0 V，延长DC至G点且使DC＝CG，连接BG，如图所示，可知UDC＝UCG＝1 V，故A、B、G的电势相等为1 V，AB为等势线，同理可得C、F电势相等为2 V，D、E电势相等为3 V，所以E点的电势与C点的电势不等，A错误；由于UEF＝(3－2) V＝1 V，UCB＝(2－1) V＝1 V，故UEF与UCB相等，B正确；由以上分析可知，匀强电场电场线方向垂直于AB斜向下，BC两点沿电场强度方向的距离为d＝0.1cos 30°＝ m，则有E＝＝ V/m，C正确，D错误。 12.(2022·衢州市高二期末)如图，△abc是圆内接的直角三角形，其中bc＝4 cm，∠acb＝30°，ad与bc平行。匀强电场的电场线平行于圆所在平面，且a、b、c点的电势分别为3 V、－1 V、3 V，下列说法中正确的是(　　) A．电场强度的方向沿ac方向 B．电场强度的大小为2 V/m C．电子从a点移动到d点，静电力做功为－4 eV D．用外力将电子绕圆运动一周，电子的电势能最高为(－3) eV 答案　D 解析　由于a、c两点电势相等，故ac为一条等势线，电场方向与等势线垂直，且由高电势指向低电势可知，电场方向垂直ac且指向斜下方，故A错误；因△abc是圆内接的直角三角形，则ac边为直径，O为圆心，如图所示 由几何关系可知，半径R＝ab＝bc·tan 30°＝ cm，则匀强电场的电场强度为E＝＝ V/m＝200 V/m，故B错误；由题可知，ad∥bc，则ab∥dc，，有Uab＝Udc，可得φd＝φa－φb＋φc＝7 V，故电子从a点移动到d点，静电力做功为Wad＝qUad＝(－e)(3－7) V＝4 eV，故C错误；用外力将电子绕圆运动一周，电子的电势能最高的点，其电势最低，为图中的N点，有Ep＝qφN，而由匀强电场中的电场强度与电势差关系有φO－φN＝UON＝E·R＝ V，联立可得Ep＝qφN＝(－e)(3－) V＝(－3) eV，故D正确。 13.如图所示，真空中有一个固定的点电荷，电荷量为＋Q，图中的虚线表示该点电荷形成的电场中的四个等差等势面。有两个一价离子M、N(不计重力，也不计它们之间的相互作用力)先后从a点以相同的速率v0射入该电场，运动轨迹分别为曲线apb和aqc，其中p、q分别是它们离固定点电荷最近的位置。以下说法中正确的是(　　) A．M一定是正离子，N一定是负离子 B．M在p点的速率一定小于N在q点的速率 C．M在b点的速率一定大于N在c点的速率 D．M从p→b过程电势能的增量一定小于N从a→q过程电势能的增量 答案　D 解析　由题图可知离子N受到固定点电荷的斥力，而离子M受到固定点电荷的引力，故两离子的电性一定不同。由于固定点电荷带正电，则M一定是负离子，N一定是正离子，A错误；由题图可判定M在从a到p运动过程中，静电力做正功，动能增加，而N在从a到q运动过程中，静电力做负功，动能减小，所以M在p点的速率一定大于N在q点的速率，B错误；由于a、b、c三点在同一等势面上，所以M在从a向b运动过程中静电力所做的总功为0，N在从a向c运动过程中静电力所做的总功为0。由于两离子以相同的速率从a点射入电场，故两离子分别经过b、c两点时的速率一定相等，C错误；由题图可知q点离固定点电荷更近一些，N离子在从a向q运动过程中静电力做负功的值大于离子M在从p向b运动过程中静电力做负功的值，故M从p到b过程电势能的增量一定小于N从a到q过程电势能的增量，D正确。 14.存在匀强电场的空间中有一棱长为2 cm的正四面体ABCD，如图所示。已知UAC＝UBC＝3 V，电场方向平行于底面ABC，则(　　) A．A、B两点的电势不相等 B．电场强度大小为1 V/m C．电场强度大小为100 V/m D．C、D两点的电势差UCD＝2 V 答案　C 解析　因为UAC＝UBC＝3 V，所以AB连线为等势线，过C点作底边AB的垂线，垂足为F，则FC即为匀强电场的电场线，如图所示，由几何知识知FC＝3 cm，则匀强电场电场强度大小E＝ V/m＝100 V/m，过D点作FC的垂线，垂足为G，则CG＝FC，所以UDC＝UGC＝UAC＝2 V，则C、D两点的电势差UCD＝－UDC＝－2 V，故选C。 学科网（北京）股份有限公司 $$