第十章 专题强化3 电场线、等势面-（配套word）2023-2024学年高一新教材物理必修第二册 【步步高】学习笔记（人教版）津鲁琼云晋皖黑吉桂贵粤辽渝鄂冀湘甘赣豫新青藏宁蒙陕

专题强化3　电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题 等分法的应用 [学习目标]　1.学会根据电场线、等势面与带电粒子的运动轨迹判断粒子的受力情况及能量的变化情况(重难点)。2.会利用等分法确定等势面和电场线(重难点)。 一、电场线、等势面与带电粒子运动轨迹的综合问题 带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法： 1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为粒子在该点处的速度方向。 2．判断静电力(或电场强度)的方向：仅受静电力作用时，带电粒子所受静电力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断该点处电场强度的方向。 3．判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加。 4．判断粒子动能的增减：可以根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况。 例1　如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在静电力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是(　　) A．vM＜vN，aM>aN B．vM＜vN，φM＜φN C．φM＜φN，EpM＜EpN D．aM＜aN，EpM＜EpN 答案　D 解析　由粒子的运动轨迹知粒子所受静电力的方向向右偏，因粒子带负电，故电场线方向向左，由沿电场线方向电势降低，可知φN<φM，EpM<EpN；N点附近电场线比M点密，故电场强度EM<EN，知aM<aN，粒子若从N点运动到M点，静电力做正功，电势能减少，动能增加，故vM>vN。综上所述，选项D正确。 变式　若实线为等差等势面，上面选项正确的是(　　) 答案　B 解析　若实线为等差等势面，带电粒子在a点受力如图， 电场强度与F的方向相反，则φM<φN，若粒子从M点运动至N点，静电力做正功，故EpM>EpN，vM<vN，若粒子从N点运动至M点，静电力做负功，仍有EpM>EpN，vM<vN，根据等势面疏密知，EM<EN，故aM<aN，因此选B。 例2　(2023·南京市宁海中学高二期中)如图所示，虚线a、b、c代表电场中三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，即Uab＝Ubc，实线为一正电粒子仅在静电力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，据此可知(　　) A．三个等势面中，a的电势最低 B．正电粒子在P点具有的电势能比在Q点具有的电势能大 C．正电粒子通过P点时的动能较通过Q点时大 D．正电粒子通过P点时的加速度较通过Q点时小 答案　B 解析　根据电场线与等势面垂直作出电场线，结合粒子的运动轨迹，判断出粒子在Q点所受静电力的方向，故电场线方向偏向右下方，沿电场线方向电势逐渐降低，可知a的电势最高，A错误；正电荷在电势高的地方，电势能大，可知带电粒子在P点具有的电势能比在Q点具有的电势能大，根据能量守恒可知，粒子通过P点时的动能较小，B正确，C错误；等差等势面越密集的地方，电场强度越大，则粒子在P点所受的静电力比在Q点所受的静电力大，由牛顿第二定律可知，带电粒子通过P点时的加速度较通过Q点时大，D错误。 分析电场线(等势面)与粒子运动轨迹综合问题的一般思路： (1)根据运动轨迹偏转方向，结合电场线或等势面(电场线总是与等势面垂直，已知等势面时要画出电场线)判断粒子的受力方向，然后进一步判断粒子所带电荷正负、电场强度方向； (2)根据静电力方向与速度方向的关系判断动能、电势能的变化情况。 二、等分法确定等势面和电场线 “等分法”及其应用原理 在匀强电场中，沿任意一个方向电势降落都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间的电势差相等，如果把某两点间的距离等分为n段，则每段线段两端点的电势差等于原电势差的，像这样采用等分间距求电势的方法叫作“等分法”。由此可知，在匀强电场中，长度相等且相互平行的线段两端点间的电势差相等。 结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图甲所示。 结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且＝，则UAB＝UCD，如图乙所示。 例3　(2022·宜昌部分示范高中高二期中)如图所示，在匀强电场中有a、b、c、d四点，它们处于同一圆周上，且ac、bd分别是圆的直径。已知a、b、c三点的电势分别为φa＝9 V，φb＝15 V，φc＝18 V，则d点的电势为(　　) A．4 V B．8 V C．12 V D．16 V 答案　C 解析　方法一　根据几何知识知，ab长度等于dc长度，且线段ab平行于线段cd，根据在匀强电场中平行相等两线段端点之间的电势差相等，则φb－φa＝15 V－9 V＝φc－φd＝18 V－φd，可得φd＝12 V，故C正确。 方法二　ac、bd的中点都是圆心O，故φa＋φc＝φb＋φd，解得φd＝12 V，故C正确。 例4　如图所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为(　　) A．200 V/m B．200 V/m C．100 V/m D．100 V/m 答案　A 解析　在匀强电场中，沿某一方向电势均匀降低或升高，故OA的中点C的电势φC＝3 V(如图所示)， 因此B、C在同一等势面上。O点到BC的距离d＝OCsin α，而sin α＝＝，所以d＝OC＝1.5×10－2 m，匀强电场的电场强度大小E＝＝ V/m＝200 V/m，故选项A正确。 1．确定电场方向的方法 先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势线垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势线指向电势低的等势线。 2．等分法确定电势或电场强度方向只适用于匀强电场。 例5　(多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是(　　) A．电场强度的大小为2.5 V/cm B．坐标原点处的电势为1 V C．电子在a点的电势能比在b点的电势能低7 eV D．电子从b点运动到c点，静电力做功为9 eV 答案　ABD 解析　如图所示， 设a、c之间d点的电势与b点相同，则＝＝，解得d点的坐标为(3.5 cm,6 cm)，则直线bd为等势线，过c点作bd的垂线，交点为f，由几何关系可得cf的长度为3.6 cm，则电场强度的大小E＝ V/cm＝2.5 V/cm，A对；因为四边形Oacb是矩形，所以有Uac＝UOb，解得坐标原点O处的电势为1 V，B对；a点电势比b点电势低，电子在a点处的电势能比在b点处的电势能大，C错；电子从b点运动到c点，静电力做功为(26－17) eV＝9 eV，D对。 专题强化练 考点一　电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题 1．若带正电荷的微粒在电场中运动，只受静电力作用，它在任意一段时间内(　　) A．一定沿电场线由高电势处向低电势处运动 B．一定沿电场线由低电势处向高电势处运动 C．不一定沿电场线运动，但一定由高电势处向低电势处运动 D．不一定沿电场线运动，也不一定由高电势处向低电势处运动 答案　D 解析　微粒的运动情况取决于合力和初速度的关系，微粒只受到静电力的作用，是否沿电场线运动，还要看电场线是直线还是曲线，微粒有没有初速度及初速度方向与电场线的关系；只有当电场线是直线且微粒的运动方向沿着电场线时，微粒才沿电场线运动，微粒不一定由高电势处向低电势处运动，故A、B、C错误，D正确。 2.(多选)(2022·宣威市第三中学高二期末)负点电荷Q固定在正方形的一个顶点上，带电粒子P仅在该电荷的静电力作用下运动时，恰好能经过正方形的另外三个顶点a、b、c，如图所示，则(　　) A．粒子P带负电 B．a、b、c三点的电势高低关系是φa＝φc<φb C．粒子P由a到b电势能增加，由b到c电势能减小 D．粒子P在a、b、c三点时的加速度大小之比是2∶1∶2 答案　BCD 解析　由运动轨迹可知，粒子P受静电力作用，粒子带正电，故A错误；a、c与负点电荷Q的距离相等，b点距离负点电荷Q较远。距离负电荷越远，电势越高，故B正确；正电荷在电势越高(低)的位置，电势能越大(小)，粒子P由a到b电势能增加，由b到c电势能减小，故C正确；由几何关系，a、b、c三点到负点电荷Q的距离关系为ra＝rc＝rb，又根据F＝k＝ma，得aa∶ab∶ac＝2∶1∶2，故D正确。 3．(2023·石河子第二中学高二期末)如图所示，实线表示电场线，虚线表示只受静电力作用的带电粒子的运动轨迹。粒子先经过M点，再经过N点。可以判定(　　) A．粒子在M点受到的静电力大小大于在N点受到的静电力大小 B．M点的电势高于N点的电势 C．粒子带负电 D．粒子在N点的电势能大于在M点的电势能 答案　B 解析　电场线的疏密反映电场的强弱，M点的电场强度大小小于N点的电场强度大小，所以粒子在M点受到的静电力大小小于在N点受到的静电力大小，故A错误；沿电场线方向电势降低，由题图可知，M点电势比N点高，故B正确；由题图可知，粒子的轨迹向下弯曲，粒子所受静电力方向和电场线切线方向一致，说明粒子带正电，故C错误；粒子从M运动到N的过程中，静电力做正功，粒子的电势能减小，故D错误。 4.(多选)(2023·吕梁市高二期末)如图所示，在研究电子在电场中的运动时，得到了电子由a点运动到b点的轨迹，图中一组等间距虚线可能是电场线，也可能是等势线，则下列判断正确的有(　　) A．如果虚线是电场线，则a点的电场强度大于b点的电场强度 B．如果虚线是电场线，则a点的电势高于b点的电势 C．如果虚线是等势线，则a点的电势低于b点的电势 D．如果虚线是等势线，则电子由a点运动到b点，电势能减小 答案　BCD 解析　若虚线是电场线，由题图可知该电场是匀强电场，故A错误；如果虚线是电场线，结合电子的运动轨迹知，电子受到向左的静电力，电场线方向向右，则a点的电势高于b点的电势，故B正确；如果虚线是等势线，结合电子的运动轨迹知，电子受到向下的静电力，电场线方向向上，则a点的电势低于b点的电势，故C正确；如果虚线是等势线，电子受到向下的静电力，电子由a点运动到b点，静电力做正功，电势能减小，故D正确。 考点二　等分法的应用 5．(多选)(2022·重庆市沙坪坝区月考)A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，H、F三等分AB，G为AC的中点，图形中能正确表示电场强度方向的是(　　) 答案　BC 解析　AC连线不是等势线，其垂线就不是电场线，A项错误；A、C中点G的电势为φG＝＝ V＝4 V，将AB两点连线的线段三等分，题图B中H点的电势为4 V，因此H点与G点的连线为等势线，根据电场线与等势线垂直，且指向低电势处，可知与GH线垂直的直线即为电场线，B项正确；由题意，A、B、C三点的电势φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，将AB两点连线的线段三等分，题图C中F的电势为3 V，因此F点和C点的连线为等势线，根据电场线与等势线垂直，且指向低电势处，可知与CF线垂直的直线即为电场线，C项正确；BC连线不是等势线，其垂线就不是电场线，D项错误。 6.(2023·宿州市高二期中)匀强电场中的三点A、B、C是一个直角三角形的三个顶点，AB的长度为2 m，D点为AB的中点，如图所示。已知电场线的方向平行于△ABC所在的平面，A、B、C三点的电势分别为10 V、6 V、2 V。设电场强度的大小为E，一电荷量为1×10－6 C的正电荷从D点移到C点，静电力做功为W，则(　　) A．W＝6×10－6 J　E>2 V/m B．W＝－6×10－6 J　E>6 V/m C．W＝6×10－6 J　E≤2 V/m D．W＝－6×10－6 J　E≤6 V/m 答案　A 解析　由于D为AB的中点，则D点的电势φD＝＝8 V，电荷从D点移到C点静电力所做的功为W＝qUDC＝q(φD－φC)＝1×10－6×(8－2) J＝6×10－6 J，AB的长度为2 m，由于电场强度的方向并不是沿着AB方向，所以AB两点沿电场方向的距离d<2 m，匀强电场中两点电势差与两点沿电场方向的距离成正比，即U＝Ed，所以E＝>2 V/m，故选A。 7．(2023·武汉三中高二期中)现为了测量出平行于纸面但具体方向未知的匀强电场的电场强度E，用仪器在纸面内沿互成60°角的OA、OB两个方向探测各点电势，得到各点电势φ与到O点距离的函数关系如图所示(O点为零电势点)，则该电场强度E的大小和方向为(　　) A．E＝200 V/m，沿AO方向 B．E＝200 V/m，沿∠AOB角平分线向下 C．E＝200 V/m，与∠AOB的角平分线垂直向右 D．E＝200 V/m，沿BO方向 答案　C 解析　设OA上距离O点2 cm处的点为C，OB上距离O点2 cm处的点为D，由图像可得，C点的电势为2 V，D点的电势为－2 V，将CD相连，中点的电势φ中＝＝＝0，可见CD的中点与O点电势相等，将两点相连，所在直线即为等势线，即∠AOB的角平分线为等势线，则电场强度方向垂直于∠AOB的角平分线，又因为沿电场线电势降低，所以电场强度方向垂直于∠AOB的角平分线向右，大小为E＝＝＝200 V/m，故选C。 8.(2023·银川二中高二期中)匀强电场中有A、B、C、D四点恰好位于一边长为1 cm的正方形的四个顶点上，如图所示。已知该匀强电场的方向与A、B、C、D四点构成的平面平行，A、B、D三点的电势分别为φA＝1 V、φB＝4 V、φD＝－1 V，则在CD连线上电势为1 V的点距离D点的距离为(　　) A. cm B. cm C. cm D. cm 答案　B 解析　在匀强电场中，平行线(相同方向)上相同距离的电势差相等，则φA－φD＝φB－φC，解得φC＝2 V，因为匀强电场中E＝，设在CD连线上电势为1 V的点为点E，有＝，又UED＝UCD，所以dED＝dCD＝ cm，故选B。 9.(多选)(2023·武冈市教育科学研究所高二期中)如图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线分别为等势线1、2、3，已知MN＝NQ，a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出。仅在静电力作用下，两粒子的运动轨迹如图所示，则(　　) A．a一定带正电，b一定带负电 B．a加速度减小，b加速度增大 C．MN两点电势差|UMN|大于NQ两点电势差|UNQ| D．a粒子到达等势线3的动能变化量比b粒子到达等势线1的动能变化量小 答案　BC 解析　粒子受到的合外力应指向轨迹的凹侧，但电场线的方向未知，无法判断带电粒子的电性，故A错误；由题图可知，a往电场线稀疏的区域运动，故静电力变小，加速度变小；b相反，加速度增大，故B正确；由电场线疏密与电场强弱关系可知，MN之间电场强度比NQ之间的电场强度大，且MN＝NQ，由U＝Ed可知，MN两点间的电势差更大，故C正确；因为不知道两个粒子带电荷量的关系，故无法判断电势能的变化量，也就没有办法比较动能变化量的关系，故D错误。 10.(2023·乌鲁木齐市第八十中学高二期中)a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点。电场线与矩形所在平面平行。ab边长1 cm，ad边长4 cm，a、b、d三点的电势分布如图所示，下列说法正确的是(　　) A．c点处的电势为12 V B．电场强度的大小为400 V/m C．电子在a点的电势能比在d点的电势能高16 eV D．电子从d点运动到c点，静电力做功为－4 eV 答案　B 解析　在匀强电场中，在相同的方向上每次前进相同的距离电势的上升或降落相等，则cd间的电势差等于ba间的电势差，即φb－φa＝φc－φd，解得φc＝8 V，故A错误；将bc四等分找到点e，其中be＝bc，则φe＝20 V，故ae连线为等势线，由几何关系知b点到ae连线的距离为 cm，所以电场强度大小为E＝＝400 V/m，故B正确；由题意知，电子在a点的电势能比在d点的低，故C错误；根据静电力做功和电势能的关系可知W＝(－e)(φd－φc)＝4 eV，故D错误。 11.(多选)如图，在匀强电场中，A、B、C、D、E、F位于边长为L＝2 cm 的正六边形的顶点上，匀强电场的方向平行于正六边形所在的平面。已知A、B、C、D的电势分别为－4 V、0、8 V、12 V，则下列说法正确的是(　　) A．E点的电势φE＝8 V B．A、F间的电势差UAF＝4 V C．C、F间的电势差UCF＝－8 V D．该匀强电场的电场强度大小E＝400 V/m 答案　AD 解析　连接AD、BF、CE，AD与BF、CE的交点分别为M、N。设六边形的中心点为O，如图所示： 由图可知，AD与BF、CE都垂直，由正六边形的特点可知，AM＝MO＝ON＝ND，所以可知M、O、N的电势分别是0、4 V、8 V，所以BF和CE为等势面，则φF＝φB＝0，φE＝φC＝8 V，故A正确；A、F间电势差为UAF＝φA－φF＝－4 V－0＝－4 V，故B错误；C、F间电势差为UCF＝φC－φF＝8 V－0＝8 V，故C错误；因为电场线和等势面垂直，BF为等势面，故电场线和BF垂直，故AD为电场线，因为沿着电场线方向电势降低，所以电场线方向由D指向A，即电场线垂直于BF连线，且指向A，该匀强电场的电场强度大小E＝＝ V/m＝400 V/m，故D正确。 12.(2022·泸州高级中学校高二月考)如图所示，真空中有一个固定的点电荷，电荷量为＋Q，图中的虚线表示该点电荷形成的电场中的四个等差等势面。有两个一价离子M、N(不计重力，也不计它们之间的相互作用力)先后从a点以相同的速率v0射入该电场，运动轨迹分别为曲线apb和aqc，其中p、q分别是它们离固定点电荷最近的位置。以下说法中正确的是(　　) A．M一定是正离子，N一定是负离子 B．M在p点的速率一定小于N在q点的速率 C．M在b点的速率一定大于N在c点的速率 D．M从p→b过程电势能的增量一定小于N从a→q过程电势能的增量 答案　D 解析　由题图可知离子N受到固定点电荷的斥力，而离子M受到固定点电荷的引力，故两离子的电性一定不同。由于固定点电荷带正电，则M一定是负离子，N一定是正离子，A错误；由题图可判定M在从a到p运动过程中，静电力做正功，动能增加，而N在从a到q运动过程中，静电力做负功，动能减小，所以M在p点的速率一定大于N在q点的速率，B错误；由于a、b、c三点在同一等势面上，所以M在从a向b运动过程中静电力所做的总功为0，N在从a向c运动过程中静电力所做的总功为0。由于两离子以相同的速率从a点射入电场，故两离子分别经过b、c两点时的速率一定相等，C错误；由题图可知q点离固定点电荷更近一些，N离子在从a向q运动过程中静电力做负功的值大于离子M在从p向b运动过程中静电力做负功的值，故M从p到b过程电势能的增量一定小于N从a到q过程电势能的增量，D正确。 13.(2022·广州六中高二期末)存在匀强电场的空间中有一边长为2 cm的正四面体ABCD，如图所示。已知UAC＝UBC＝3 V，电场方向平行于底面ABC，则(　　) A．A、B两点处的电势不相等 B．电场强度大小为1 V/m C．电场强度大小为100 V/m D．C、D两点的电势差UCD＝2 V 答案　C 解析　因为UAC＝UBC＝3 V，所以AB连线为等势线，过C点作底边AB的垂线，垂足为F，则FC即为匀强电场的电场线，如图所示，由几何知识知FC＝3 cm，则匀强电场电场强度大小E＝ V/m＝100 V/m，过D点作FC的垂线，垂足为G，则CG＝FC，所以UDC＝UGC＝UAC＝2 V，则C、D两点的电势差UCD＝－UDC＝－2 V，故选C。 学科网（北京）股份有限公司 $$