精品解析：河南省实验中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

河南省实验中学 2024-2025 学年高一年级上期月考（二） 数学 考试时间: 120 分钟 分值: 150 分 出题人:张亚男 审题人:高尚 一、单选题 (本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合要求的). 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出全集U，再求出，最后求出其与B的并集． 【详解】因为，，则， 又因为，则. 故选：C. 2. 如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别写出阴影部分终边在第二象限和第四象限角的集合，然后并起来即可. 【详解】由图，阴影部分终边在第二象限角的集合为， 阴影部分终边在第四象限角的集合为， 故终边在阴影部分的角的集合为， 故选：B. 3. 新课程互助学习小组在学习二分法后，利用二分法研究方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，先求出的符号，根据二分法结合零点存在定理，即可得出答案. 【详解】令，可知，. 又，则， 所以，根据二分法结合零点存在定理可知，近似解所在的区间为. 又， 所以，根据二分法结合零点存在定理可知，近似解所在的区间为. 故选：B. 4. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】令， 则， 所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C. 故选：A. 5. 扇子是引风用品，夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分.如图1是一把折扇，完全打开后的折扇为扇形(如图2)，若图2中分别在上，的长为，则该折扇的扇面的面积为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得，再根据扇环的面积公式求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以， 所以该折扇的扇面的面积为. 故选：C 6. 是的偶函数，且在上单调递增，设 则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性，结合指数函数和对数函数的性质，判断出三者的大小关系. 【详解】由于为偶函数，则， 又，， 所以，因为是的偶函数，且在上单调递增， 所以在上单调递减，则. 故选：A 7. 使满足：对任意的，都有，则取值范围为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得的图象与直线最多只有一个交点，按照，和分类讨论研究函数的单调性，根据题意列不等式求解即可. 【详解】若函数满足：对任意的，都有， 可知的图象与直线最多只有一个交点， 当时，单调递减函数，且， 当时， 若，，显然不合题意； 若，是单调递增函数，且，满足题意； 若，是单调递减函数，由题意只需要，解得 综上，取值范围为或. 故选：D 8. 已知函数 ，则函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】设，的零点个数为两函数图像交点的个数，作出两函数图像，即可求得结果. 【详解】设， 作出两函数在区间的图像，如下图，有6个交点. 故选:C 【点睛】考查函数的零点个数通常有两种方法：1.研究函数与轴交点的个数；2.转化为两个函数图像交点的个数. 二、多选题 (本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分， 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目 的要求， 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分). 9. 下列命题为真命题的是（ ）. A. 若，则 B. 若，则 C. 如果，那么 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，举反例证明其错误；对于B，证明即可；对于C，首先有，若要成立，只需即可，只需，这显然成立；对于D，首先有，若要，只需即可，只需，这显然成立. 【详解】对于A，令，，则，故A错误. 对于B，因为，所以，故B正确. 对于C，由于 ，同乘以， 得，又，所以，故C正确. 对于D，若，则，所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 B. 若关于x的不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是 C. 若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，原问题等价于，解一元二次不等式即可验证；对于B，原问题等价于在上恒成立，由此即可验证；对于C，首先得，然后解分式不等式即可验证；对于D，首先由基本不等式得，然后由即可验证，注意取等条件是否成立. 【详解】对于A，二次函数，开口向上， 若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小， 则，解得，故A正确； 对于B，若关于x的不等式在上恒成立， 则只需，即在上恒成立即可， 则实数k的取值范围是，故B错误； 对于C，若关于x的不等式的解集是，则， 所以关于x的不等式或，故C正确；‘ 对于D，若，则，解得，等号成立当且仅当， 所以，等号成立当且仅当，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：A选项的关键是得，B选项的关键是得在上恒成立，C选项的关键是得，D选项的关键是利用基本不等式得，然后适当变形即可求解. 11. 已知定义在R上的函数 满足 ， ，且对任意的 ，当 时，都有 ，则以下判断正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数在上单调递增 C. x=2是函数的对称轴 D. 函数的最小正周期是12 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性的定义判断A;由结合函数的奇偶性可推得以及，从而判断函数的对称轴和周期，判断C,D；根据函数的对称性和单调性以及周期性可判断B; 【详解】因为定义在R上的函数 满足，即， 故函数是奇函数，故A错误； 因为，故，而， 所以，即的图象关于对称， 则x=2是函数的对称轴，故C正确； 因为，所以， 故12是函数的周期； 对任意的 ，当 时，都有 ， 即， 故时，单调递减，又因为为奇函数，所以时，单调递减， 又因为的图象关于对称，故时，单调递增， 因为12是函数的周期，故函数在 单调性与时的单调性相同， 故函数在上单调递增，故B正确， 作出函数的大致图象如图示： 结合图象可得知12是函数的最小正周期，D正确； 故选：BCD 【点睛】本题考查了函数的奇偶性单调性以及对称性和周期性的判断，综合性强，推理复杂，要能熟练地应用相应概念进行相应的推理，解答的关键是函数单调性对称性以及奇偶性周期性的综合应用. 三、填空题 (本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分). 12. 已知，则等于____________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式确定目标式函数值与已知函数值的关系，即可得答案. 【详解】. 故答案为： 13. 设，，，若，，则的最大值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】由已知可解得，.根据换底公式可得，.根据基本不等式得出，然后根据对数运算性质即可得出答案. 【详解】因为，所以，. 又，， 所以，. 因为，，根据基本不等式有， 当且仅当，即，时等号成立， 所以. 则， 所以的最大值为. 故答案为：. 14. 已知函数（其中为自然对数的底数），若方程有三个根，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】画出函数图象，数形结合，利用图象确定的范围，再结合对数的运算得到正确结果即可. 【详解】作出函数的图象，如下： 由图像可知，， 由，且，所以， 因为，所以，则， 又，所以， 所以取值范围为， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于分段函数求方程根的个数问题，可采用数形结合，画出图象后，从图象上确定所求根的大致范围，再结合对数的运算求解. 四、解答题 (本题共 5 小题， 共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤) 15. 按要求求值. （1）已知角的终边与单位圆交于点，求的值. （2）设，且，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义及诱导公式化简计算可得； （2）先进行对数运算,将化为，然后利用同角三角函数商的性质得到，即可求出的值. 【小问1详解】 角的终边与单位圆交于点知：， 根据诱导公式化简得. 【小问2详解】 ， ， 即：，化简得：， ，所以， 化简得，解得或. 所以为或 16. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，． （1）求函数解析式，若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围； （2）求不等式的解集； （3）写出关于x的方程可能的解的个数，并求方程有最多解时m的取值范围． 【答案】（1），a的取值范围为； （2）； （3） 方程可能的解的个数为0、2、3、4、6个， 且当或时，方程有最多解． 【解析】 【分析】（1）利用奇函数性质求解析式，数形结合判断单调性，结合区间单调性求参数范围； （2）由题意有或，即可求解集； （3）问题化为函数与直线的交点的个数，应用分类讨论求不同参数取值情况下对应交点个数，即可得结果. 【小问1详解】 根据题意，函数是定义在R上的奇函数，则， 当时，，则，则， 故，其图象大致如图： 若在区间上单调递增，必有，得， 即a的取值范围为； 【小问2详解】 根据题意，函数是定义在R上的奇函数，则， 有或，则或，即不等式的解集为； 【小问3详解】 根据题意，的图象大致如图： 方程的解的个数就是函数与直线的交点的个数， 当，即时，与直线没有交点，方程无解， 当，即时，与直线有3个交点，方程有3个解， 当，即或时，与直线有6个交点，方程有6个解， 当，即时，与直线有4个交点，方程有4个解， 当，即或时，与直线有2个交点，方程有2个解， 综上，方程可能的解的个数为0、2、3、4、6个，且当或时，方程有最多解． 17. 某科研团队在培养基中放入一定量的某种细菌进行研究．经过2分钟菌落的覆盖面积为48 mm2，经过3分钟覆盖面积为64 mm2，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积y（单位：mm2）与经过时间x（单位：min）的关系现有三个函数模型：①y＝kax（k＞0，a＞1）；②y＝logbx（b＞1）；③y＝p＋q（p＞0）可供选择．（参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477） （1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式． （2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过300 mm2？（结果保留到整数） 【答案】（1）应选函数模型y＝kax（k＞0，a＞1），y＝27×（）x（x≥0） （2）9 min 【解析】 【详解】解：（1）因为y＝kax（k＞0，a＞1）的增长速度越来越快， y＝logbx（b＞1）和y＝p＋q（p＞0）的增长速度越来越慢， 所以应选函数模型y＝kax（k＞0，a＞1）. 由题意得解得 所以该函数模型为y＝27×（）x（x≥0）. （2）由题意得27×（）x＞300，即（）x＞，所以x＞log. 又log＝＝≈≈8.368， 所以至少经过9 min培养基中菌落的覆盖面积能超过300 mm2. 18. 已知函数 . （1）当时，求的值域； （2）当时， ①求的解集； ②若不等式有实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由题设，结合二次函数及指数函数性质求值域； （2）①将不等式整理为，解得，再利用指数函数单调性及指对互化解不等式即可； ②问题化为有解，利用基本不等式求右侧最小值，即可得参数范围. 【小问1详解】 当时，由题设，而， 所以，即的值域为； 【小问2详解】 ①当时，， 解得，即，所以， 原不等式的解集为； ②由题意有解，即有解， 所以， 对于，当且仅当即时取等号， 故只需，即. 19. 已知函数． （1）若时，求函数的定义域； （2）若函数有唯一零点，求实数a的取值范围； （3）若对任意实数，对任意的、时，恒有成立，求正实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题知，解不等式即可得解； （2）将已知转化为有唯一零点，分类讨论和时两种情况研究方程的零点，即可得解； （3）函数为减函数，求得函数的最值，将问题转化为 ，即，构造函数，讨论二次函数的对称轴在区间的左，中，右三种情况即可得解. 【小问1详解】 当时， 要使函数有意义，则，即，即，解得 所以函数的定义域为 【小问2详解】 函数有唯一零点， 即①有唯一零点， 即有唯一零点， 当时，，解得，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，其 当时，，方程有两个相等的实数根，符合题意； 当时，，方程有两个不等的实数根，； 若为方程①的解，则，解得； 若为方程①的解，则，解得； 要使方程①有唯一实数解，则 综上，实数a的取值范围为 【小问3详解】 函数，其中内部函数为减函数，外部函数为增函数， 由复合函数性质知为减函数， ， 不等式转化为， 即转化为 即 令，，即 二次函数对称轴为，由，开口向上 （1）当时，，函数在上单调递减， ，解得，不符合题意，舍去； （2）当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， ，即，解得，取交集得； （3）当时，，函数在上单调递增， ，解得，取交集； 综上，正实数a的取值范围 【点睛】方法点睛：研究二次函数在区间上的最值，通常分为四种情况：（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；（4）轴动区间动；这四种情况都需要按三个方向来研究函数的最值：对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而知道函数的单调性，即可求出函数的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省实验中学 2024-2025 学年高一年级上期月考（二） 数学 考试时间: 120 分钟 分值: 150 分 出题人:张亚男 审题人:高尚 一、单选题 (本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合要求的). 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（    ） A. B. C. D. 3. 新课程互助学习小组在学习二分法后，利用二分法研究方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在的区间为（ ） A. B. C. D. 4. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 扇子是引风用品，夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分.如图1是一把折扇，完全打开后的折扇为扇形(如图2)，若图2中分别在上，的长为，则该折扇的扇面的面积为 （ ） A. B. C. D. 6. 是的偶函数，且在上单调递增，设 则（ ） A. B. C. D. 7. 使满足：对任意的，都有，则取值范围为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 8. 已知函数 ，则函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 二、多选题 (本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分， 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目 的要求， 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分). 9. 下列命题为真命题的是（ ）. A. 若，则 B. 若，则 C. 如果，那么 D. 若，则 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 B. 若关于x的不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是 C. 若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或 D. 若，则的最小值为 11. 已知定义在R上的函数 满足 ， ，且对任意的 ，当 时，都有 ，则以下判断正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数在上单调递增 C. x=2是函数的对称轴 D. 函数的最小正周期是12 三、填空题 (本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分). 12. 已知，则等于____________． 13. 设，，，若，，则的最大值为__________． 14. 已知函数（其中为自然对数的底数），若方程有三个根，则的取值范围是__________. 四、解答题 (本题共 5 小题， 共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤) 15. 按要求求值. （1）已知角的终边与单位圆交于点，求的值. （2）设，且，求的值. 16. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，． （1）求函数解析式，若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围； （2）求不等式的解集； （3）写出关于x的方程可能的解的个数，并求方程有最多解时m的取值范围． 17. 某科研团队在培养基中放入一定量的某种细菌进行研究．经过2分钟菌落的覆盖面积为48 mm2，经过3分钟覆盖面积为64 mm2，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积y（单位：mm2）与经过时间x（单位：min）的关系现有三个函数模型：①y＝kax（k＞0，a＞1）；②y＝logbx（b＞1）；③y＝p＋q（p＞0）可供选择．（参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477） （1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式． （2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过300 mm2？（结果保留到整数） 18. 已知函数 . （1）当时，求的值域； （2）当时， ①求的解集； ②若不等式有实数解，求实数的取值范围. 19. 已知函数． （1）若时，求函数的定义域； （2）若函数有唯一零点，求实数a的取值范围； （3）若对任意实数，对任意的、时，恒有成立，求正实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $