第3章 专题强化10 水平面内圆周运动的临界问题-（配套word）2023-2024学年高一新教材物理必修第二册 【步步高】学习笔记（鲁科版）

专题强化10　水平面内圆周运动的临界问题 [学习目标]　1.知道水平面内的圆周运动的几种常见模型，并会找它们的临界条件(重点)。2.掌握水平面内圆周运动临界问题的分析方法(重难点)。 一、与摩擦力相关的临界问题 物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。 1．水平面内的圆周运动常见的临界问题： (1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值。 (2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0。 (3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。 (4)绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0。 2．解题关键： (1)在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。 (2)分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。 例1　(2022·福建师大附中高二期中)如图所示，小木块a、b和c(可视为质点)放在水平圆盘上，a、b质量均为m，c的质量为。a与转轴OO′的距离为l，b、c与转轴OO′的距离为2l且均处于水平圆盘的边缘，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，下列说法正确的是(　　) A．b、c所受的摩擦力始终相等，故同时从水平圆盘上滑落 B．当a、b和c均未滑落时，a、c所受摩擦力的大小相等 C．b和c均未滑落时线速度一定相同 D．b开始滑动时的转速是 答案　B 解析　木块随圆盘一起转动，水平方向只受静摩擦力，由静摩擦力提供向心力，木块没有滑动时对b有fb＝mω2·2l，对c有fc＝ω2·2l＝mω2l，则木块没有滑落圆盘前，两木块的摩擦力不同，当摩擦力达到最大静摩擦力时，木块开始滑动，对b有kmg＝mωb2·2l，得ωb＝，对c有＝ωc2·2l，得ωc＝，则b、c同时从水平圆盘上滑落，故A错误；当a、b和c均未滑落时，木块所受的静摩擦力提供向心力，则f＝mω2r，ω相等，f∝mr，所以a、c所受的静摩擦力大小相等，都小于b的静摩擦力，故B正确；b和c均未滑落时线速度v＝Rω，半径相等，则大小一定相等，方向不同，C错误；由上述可知当b刚要滑动时，ω＝，转速n＝＝，D错误。 例2　(多选)(2022·济南市高一期末)如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块(可视为质点)，当物块到转轴OO′的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳上张力为0)。物块和转盘间的最大静摩擦力是物块对转盘压力的μ倍。已知重力加速度为g，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。下列说法正确的是(　　) A．当转盘以角速度匀速转动时，物块所受的摩擦力大小为μmg B．当转盘以角速度匀速转动时，细绳的拉力大小为μmg C．当转盘以角速度匀速转动时，物块所受的摩擦力大小为μmg D．当转盘以角速度匀速转动时，细绳的拉力大小为μmg 答案　ACD 解析　物块和转盘间的最大静摩擦力是fm＝μmg，当转盘以角速度匀速转动时，所需向心力为F1＝mrω2＝μmg<fm，则细绳对物块的拉力为零，物块所受的摩擦力大小为μmg，故A正确，B错误；当转盘以角速度ω＝匀速转动时，所需向心力F2＝mrω2＝μmg>fm，摩擦力不足以提供向心力，绳子也要提供部分向心力，则F2＝T＋fm，解得T＝μmg，则物块所受的摩擦力大小为μmg，细绳的拉力大小为μmg，故C、D正确。 二、与弹力相关的临界问题 例3　(多选)(2022·南充一中高一期中)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，若两绳均伸直，绳b水平且长为l，绳a与水平方向成θ角。当轻杆绕竖直轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　) A．a绳的张力不可能为零 B．a绳的张力随角速度ω的增大而增大 C．当角速度ω>时，b绳中有弹力 D．若b绳突然被剪断，则a绳的张力一定发生变化 答案　AC 解析　小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所以a绳在竖直方向上的分力与重力相等，可知a绳的张力不可能为零，故A正确；根据竖直方向上受力平衡得Fasin θ＝mg，解得Fa＝，可知a绳的拉力不变，故B错误；当b绳拉力为零时，有＝mlω2，解得ω＝，可知当角速度ω>时，b绳中有弹力，故C正确；由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的张力可能不变，故D错误。 例4　(2022·云南罗平县第二中学高一期中)如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ＝60°，一条长度为L的绳(质量不计)，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小球(可看成质点)，小球以角速度ω绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g。求： (1)小球静止时所受拉力和支持力大小； (2)小球刚要离开锥面时的角速度； (3)小球以ω1＝的角速度转动时所受拉力和支持力的大小。 答案　(1)mg　mg　(2)　(3)3mg　0 解析　(1)对小球受力分析可知 F＝mgcos θ＝mg N＝mgsin θ＝mg (2)小球刚要离开锥面时FN＝0，由重力和拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有 mgtan θ＝mrω02 r＝Lsin θ 解得ω0＝＝ (3)因为ω1＝>ω0＝ 说明小球已离开锥面，N＝0 设绳与竖直方向的夹角为α，如图所示 则有T1sin α＝mω12L sin α， 解得T1＝3mg。 专题强化练 1．(2023·南通市高一期末)一个杯子放在水平餐桌转盘上随转盘做匀速圆周运动，角速度恒定，则(　　) A．杯子受重力、支持力、摩擦力和向心力作用 B．杯子受到的摩擦力方向始终指向转盘中心 C．杯子离转盘中心越近越容易做离心运动 D．若给杯子中加水，杯子更容易做离心运动 答案　B 解析　杯子受到重力、支持力和摩擦力三个力，向心力不是物体的实际受力，故A错误；杯子做匀速圆周运动，向心力由摩擦力提供，始终指向转盘中心，故B正确；杯子做匀速圆周运动F＝f＝mω2r，离转盘中心越近，所需摩擦力越小，越不容易达到最大静摩擦力，越不容易做离心运动，故C错误；根据f＝mω2r≤μmg可知，给杯子中加水，杯子不会更容易做离心运动，故D错误。 2.如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　) A．A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势 B．B运动所需的向心力大于A运动所需的向心力 C．盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍 D．若B相对圆盘先滑动，则A、B间的动摩擦因数μA小于盘与B间的动摩擦因数μB 答案　C 解析　把A、B当成一个整体，在水平方向上只受摩擦力作用，所以，摩擦力即物块所受合外力，提供向心力，摩擦力方向指向圆心，物块有沿径向向外滑动的趋势，故A错误；物块做匀速圆周运动，向心力F＝m，A、B质量相同，一起做匀速圆周运动的角速度、半径也相等，所以，两者运动所需的向心力相等，故B错误；由受力分析可知B对A的摩擦力等于F，盘对B的摩擦力等于2F，故C正确；若B相对圆盘先滑动，则2μBmg－μAmg＜μAmg，即μB＜μA，故D错误。 3.(2022·重庆市璧山来凤中学月考)某同学用硬塑料管和铁质螺丝帽研究匀速圆周运动。如图所示，该同学将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并在水平面内做半径为r的匀速圆周运动。假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列分析正确的是(　　) A．若塑料管转动速度增大，螺丝帽受到的摩擦力越大 B．当螺丝帽恰好不下滑时，手转动塑料管的角速度ω＝ C．若塑料管的转动速度持续增大，螺丝帽最终会沿塑料管上滑 D．若塑料管的转动速度持续增大，地面对人的支持力始终不变 答案　D 解析　若塑料管转动速度增大，螺丝帽受到的摩擦力不变，等于重力，螺丝帽不会沿塑料管上滑，A、C错误；对螺丝帽根据牛顿第二定律得FN＝mω2r，根据平衡条件得μFN＝mg，解得ω＝，B错误；因系统无竖直方向加速度，无论转速多大，地面对人的支持力等于系统总重力，D正确。 4.如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦传动的轮A和B水平放置，两轮半径RA＝2RB。当主动轮A匀速转动时，在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上。若将小木块放在B轮上，欲使木块相对B轮也静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两轮不打滑，则木块距B轮转动轴的最大距离为(　　) A. B. C. D．RB 答案　C 解析　由题图可知，当主动轮A匀速转动时，A、B两轮边缘的线速度相等，由ω＝，得＝＝＝。由于小木块恰能在A轮边缘静止，则提供向心力的静摩擦力达到最大值μ1mg，故μ1mg＝mωA2RA…①，设放在B轮上能使木块相对静止的距B轮转动轴的最大距离为r，则向心力由最大静摩擦力提供，故μ2mg＝mωB2r…②，因A、B材料相同，故木块与A、B间的动摩擦因数相同，①、②式左边相等，故mωA2RA＝mωB2r，得r＝()2RA＝＝，C 正确。 5.如图所示，底面半径为R的平底漏斗水平放置，质量为m的小球置于底面边缘紧靠侧壁，漏斗内表面光滑，侧壁的倾角为θ，重力加速度为g。现给小球一垂直于半径向里的某一初速度v0，使之在漏斗底面内做圆周运动，则(　　) A．小球一定受到两个力的作用 B．小球可能受到三个力的作用 C．当v0<时，小球对底面的压力为零 D．当v0＝时，小球对侧壁的压力为零 答案　B 解析　对小球，由牛顿第二定律，有 N2sin θ＝m N1＋N2cos θ＝mg 可知侧壁对小球的支持力N2不可能为零，底面对小球的支持力N1可能为零。所以小球可能受到三个力的作用，也可能受到两个力的作用。由牛顿第三定律可知，小球对侧壁的压力不可能为零，所以A、D错误，B正确；当v0<时，N1＝mg－>0，由牛顿第三定律可知，当v0<时，小球对底面的压力不为零，故C错误。 6.(2023·西安市铁一中学高一期末)如图为某游乐设施，水平转盘中央有一根可供游客抓握的绳子，质量为m的游客，到转轴的距离为r，游客和转盘间的动摩擦因数为μ，设游客受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。 (1)当游客不抓握绳子时，为保证游客不滑动，转盘的角速度最大不能超过多少？ (2)当转盘的角速度ω＝时，游客抓住绳子可使自己不滑动，则人拉绳的力至少是多大？ 答案　(1)　(2)μmg 解析　(1)当游客受到的摩擦力达到最大静摩擦力时恰好不滑动μmg＝mω02r 得ω0＝ (2)由题意有T＋μmg＝mω2r 得T＝μmg 由牛顿第三定律得：T′＝T＝μmg。 7．(多选)(2022·莆田市第四中学高一期中)如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿半径方向放置用细线相连的质量均为5 kg的A、B两个小物块，A离轴心r1＝20 cm，B离轴心r2＝30 cm，A、B与盘面间的动摩擦因数均为0.4，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g＝10 m/s2，则下列说法正确的是(　　) A．若细线上没有张力，圆盘转动的最大角速度为2 rad/s B．欲使A、B与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为4.0 rad/s C．随着角速度的增大，A、B与盘面间发生相对滑动前，细线的最大拉力为5 N D．当圆盘转速达到A、B刚好不滑动时，烧断细线，则A做近心运动，B做离心运动 答案　AB 解析　当物块B所需的向心力小于等于所受最大静摩擦力时，细线上张力为零。设B的向心力等于最大静摩擦力时圆盘转动的角速度为ω1，则有μmg＝mω12r2，代入数据解得ω1＝＝ rad/s＝2 rad/s，故A正确； 当A、B所受静摩擦力均达到最大静摩擦力时刚好与盘面间不发生相对滑动，设此时圆盘的角速度为ω2，细线的张力为T，则分别对A和B有μmg－T＝mω22r1，μmg＋T＝mω22r2，代入数据解得ω2＝＝4.0 rad/s，T＝4.0 N，故B正确，C错误；烧断细线时，A、B做圆周运动所需向心力大小分别为FA＝mω22r1＝16 N，FB＝mω22r2＝24 N，物块A、B的最大静摩擦力为fA＝fB＝μmg＝20 N，由fA>FA可知物块A随盘一起转动，由fB<FB可知物块B将做离心运动，故D错误。 8．如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用水平细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，质量均为m，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是(　　) A．此时细线张力为T＝4μmg B．此时圆盘的角速度为ω＝ C．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内 D．若此时烧断细线，A仍相对盘静止，B将做离心运动 答案　B 解析　A和B随着圆盘转动时，合外力提供向心力，则F＝mω2R，B的运动半径比A的半径大，所以B所需向心力大，细线拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B的静摩擦力方向沿半径指向圆心，A的最大静摩擦力方向沿半径指向圆外，对物体A、B，根据牛顿第二定律分别得：T－μmg＝mω2r，T＋μmg＝mω2·2r，解得：T＝3μmg，ω＝，此时A所需的向心力大小为FA＝mω2r＝2μmg，B所需的向心力大小为FB＝mω2·2r＝4μmg，若此时烧断细线，A、B的最大静摩擦力均不足以提供物体所需向心力，则A、B均做离心运动，故B正确，A、C、D错误。 9．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为0，且它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度为g。求转台转动的角速度。 答案　 解析　对小物块受力分析，如图所示： 设此时的角速度为ω0，由支持力和重力的合力提供向心力，有：mgtan θ＝mRω02sin θ， 解得：ω0＝＝＝。 10.(2022·南通市高一期末)如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r。一段绳的一端与物块相连，另一端系在圆盘中心上方r处，绳恰好伸直，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。 (1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，求ω1的值； (2)当水平转盘以角速度ω2匀速转动时，物块恰好离开转盘，求ω2的值。 答案　(1)　(2) 解析　(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，静摩擦力达到最大值，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供，则μmg＝mrω12，解得：ω1＝。 (2)物块恰好离开转盘，则N＝0，物块只受重力和绳的拉力，如图所示， mgtan θ＝mω22r tan θ＝ 联立解得：ω2＝。 11.(2022·黑龙江哈尔滨市第十一中学高一期中)如图所示为游乐场中的水平大转盘简化图，两个质量不同的同学，穿着同样的校服，坐在转盘中，到转盘中心的距离r不同，转盘绕竖直轴转动，当转盘从静止开始逐渐增大转速的过程中(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，下列判断正确的是(　　) A．质量小的先被甩出去，与所坐的位置无关 B．距转盘中心远的先被甩出去，与质量无关 C．如果两人拉起手来，则两人都更容易被甩出去 D．如果两人拉起手来，则两人都更不容易被甩出去 答案　B 解析　由于两人穿着同样的校服，表明人与转盘间的动摩擦因数相同，当人随转盘转动过程中，由静摩擦力提供向心力，则f＝mω2r，又最大静摩擦力fmax＝μN＝μmg，联立得，人能够与转盘保持相对静止的最大角速度ω＝，可知人被甩出去的先后情况与质量无关，距离转盘中心越近的人与转盘保持相对静止的最大角速度越大，即距转盘中心远的先被甩出去，与质量无关，A错误，B正确；两人拉起手来后，随角速度的增大，距离转盘中心远的先达到最大静摩擦力，随后人手拉紧，施加拉力，当距离转盘中心近的人的摩擦力达到最大静摩擦力时，角速度达到人能够与转盘保持相对静止的最大角速度，则在手施加拉力后，对距离远的人有T＋μm1g＝m1ω′2r1 对距离近的人有μm2g－T＝m2ω′2r2 解得ω′＝>，ω′＝<，如果两人拉起手来，距离转盘中心远的人更不容易被甩出去，距离转盘中心近的人更容易被甩出去，C、D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $$