江苏省无锡市梁溪区无锡外国语学校2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷

无锡外国语学校2024—2025学年度第一学期期末考试 初三数学试卷 2025.1 一、选择题（共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（　　） A. 三点确定一个圆 B. 三角形的外心是三角形三条角平分线的交点 C. 等弧就是长度相等的两条弧 D. 圆中最长的弦是直径 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 如图，是放置在正方形网格中的一个角，、、都是格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 已知在中，，，若点为的内心，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，则点沿半圆由点运动至点的过程中，线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，、、，点是边上一动点，连接，以为斜边在的右上方作等腰直角，当点在边且运动一周时，点的轨迹长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分） 11. 已知，则的值为_________． 12. 已知，是一元二次方程的两根，则_______． 13. 小红沿坡比为的斜坡上走了120米，则她实际上升了______米 14. 如图，乐器上的一根弦的长度为，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是弦靠近点B的黄金分割点，则线段的长度为__________． 15. 如图，是的内接三角形，是的直径，，的平分线交于点D，则的度数是________度． 16. 把二次函数向上平移个单位长度（），如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么应满足条件________． 17. 在中，，，是边上一点，，线段的最大值为________． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），则点坐标为________；与轴交于点，抛物线顶点为，若是锐角三角形，则的取值范围为________． 三、解答题（共96分） 19. 计算： （1） （2） 20. 解方程： （1）； （2） 21. 如图，在等边三角形中，点是边上一动点（点不与端点重合），作，交边于点，交边于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 22. 某洗车公司安装了、两款自动洗车设备，工作人员从消费者对、两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意；非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对A款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：，，，，，； 抽取的对B款设备的评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 抽取的对A，B款设备的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A B 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）有名消费者对A款自动洗车设备进行评分，估计对A款自动洗车设备“满意”的人数； （3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）． 23. 某景区检票口有A、B、C、D共4个检票通道．甲、乙两人到该景区游玩，两人分别从4个检票通道中随机选择一个检票． （1）甲选择A检票通道的概率是 ； （2）求甲乙两人选择的检票通道恰好相同的概率． 24. 在矩形ABCD中，． （1）请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图．先在边上确定点，使．再在边上确定点，作出以为圆心的圆，且使经过点和点． （2）在（1）的条件下，若点在直线上，点在直线上，，且，则的半径为 ．（使用备用图分析） 25. 如图，，点在上，过点，分别与、交于、，过作于． （1）求证：是的切线； （2）若与相切于点，，，求阴影部分面积． 26. 农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为元/千克，日销售量为千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设日销售量为千克，售价为元/千克（且为正整数）， （1）求与之间的函数关系式； （2）若政府将销售价格定为不超过元/千克．设每日销售额元，求关于的函数表达式，并求的最大值和最小值； （3）市政府每日给农户补贴元后（为正整数），发现最大日收入（日收入=销售额+政府补贴）还是不超过元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于元，请直接写出所有符合题意的值： ． 27. 如图，在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形． （1）如图①，连接，则 ， ； （2）如图②，当点在射线上时，求线段的长； （3）如图③，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，则的最小值为 ． 28. 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 无锡外国语学校2024—2025学年度第一学期期末考试 初三数学试卷 2025.1 一、选择题（共30分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】B 二、填空题（共24分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】60 【14题答案】 【答案】## 【15题答案】 【答案】80 【16题答案】 【答案】且 【17题答案】 【答案】## 【18题答案】 【答案】 ①. ②. 或 三、解答题（共96分） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1），； （2），． 【21题答案】 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）的长是 【22题答案】 【答案】（1）；；； （2）估计对A款自动洗车设备“满意”的人数为人； （3） 解：A款自动洗车设备更受消费者欢迎， 理由：因为两款自动洗车评分的平均数相同，但A款自动洗车设备的中位数更高，且“非常满意”所占百分比也高于Ｂ款，所以A款自动洗车设备更受消费者欢迎． 【23题答案】 【答案】（1）；（2）. 【24题答案】 【答案】（1） 所作图形如图， （2）或15 【25题答案】 【答案】（1） 证明：如下图所示，连接， 则有， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又点在上， 是的切线； （2）． 【26题答案】 【答案】（1）； （2），最大338元，最小240元 （3）a的值为或或． 【27题答案】 【答案】（1），； （2）； （3） 【28题答案】 【答案】（1） （2）存在， （3）点坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $