四川省南充市嘉陵区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年四川省南充市嘉陵区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置.填涂正确记4分，不涂、涂错或多涂记0分。 1．（4分）如图所示图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）下列计算正确的是（　　） A．a4+a4＝a8 B．a4•a4＝a16 C．（a4）4＝a16 D．a8÷a4＝a2 3．（4分）随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是0.0000034m，用科学记数法表示0.0000034是（　　） A．0.34×10﹣5 B．3.4×106 C．3.4×10﹣5 D．3.4×10﹣6 4．（4分）如图，已知D是BC的中点，AE、AF分别是△ABC的角平分线、高线，则下列结论正确的是（　　） A．AD＝CD B． C．∠AEB＝90° D．DF＝CF 5．（4分）如图，已知∠1＝∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△DCB成立的是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠A＝∠D D．∠ABC＝∠DCB 6．（4分）如图，两把相同的直尺的一边分别与射线OB、OA重合，另一边相交于点P，则OP平分∠BOA的依据是（　　） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C．角平分线的性质 D．角平分线是轴对称图形 7．（4分）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程（　　） A． B． C． D． 8．（4分）若x﹣m与3x﹣2的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A． B． C． D．3 9．（4分）关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣3 B．a＜3 C．a＜﹣3且a≠﹣7 D．a＜3且a≠1 10．（4分）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应题号的横线上。 11．（4分）当x满足 　 　时，分式在实数范围内有意义． 12．（4分）计算＝ 　 　． 13．（4分）若x2+kx+4是一个完全平方式，则k＝ 　 　． 14．（4分）如图，小明从A地出发，沿直线前进15米后向左转18°，再沿直线前进15米，又向左转18°⋯⋯，照这样走下去，他第一次回到出发地A地时，一共走的路程是 　 　米． 15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝7，点D是BC边上的中点，则AD的长m的取值范围为 　 　． 16．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F．则下列说法正确的是 　 　． ①∠AFC＝120°；②S△ABD＝S△ADC，③CD+AE＝AC；④S△AEF：S△FDC＝AF：FC． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答题应写出必要的文字说明或推演步骤。 17．（8分）计算：（1）xy2（3x+4y）÷2xy； （2）（x﹣1）2﹣（x+1）（x﹣5）． 18．（8分）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点D，连接BD．若CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长． 19．（8分）先化简，再求值：，其中a＝1． 20．（10分）（1）解分式方程：． （2）因式分解：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）． 21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（2，﹣3），C（4，﹣2）． （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）画出将△A1B1C1向左平移4个单位长度后得到的△A2B2C2； （3）AC上的一点P（m，n）经过上述两次变换后的对应点P2的坐标为 　 　． 22．（10分）如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上． （1）求证：AC＝AE； （2）若∠B＝23°，∠APC＝63°，求∠E的度数． 23．（10分）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知B型充电桩比A型充电桩的单价多0.2万元，且用20万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的个数相等． （1）A，B两种型号的充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买A，B两种型号的充电桩共26个，购买总费用不超过28万元，且B型充电桩的个数不少于A型充电桩个数的．该停车场有哪几种购买方案？ 24．（10分）如图，∠ABN＝60°，点C为射线BN上一定点，E为线段AB延长线上一定点，且BE＝AB＝12，点A关于射线BN对称点为D，连接BD，CD，DE． （1）证明：∠BAC＝∠BDC； （2）若P为直线BC上一个动点，求△PDE周长最小时，P所在的位置，并求出△PDE周长的最小值． 25．（12分）等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E． （1）如图（1），已知C点的横坐标为﹣1，直接写出点A的坐标； （2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB＝∠CDE； （3）如图（3），若点A在x轴上，且A（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连接CD交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度． 2024-2025学年四川省南充市嘉陵区八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B A A A A C C 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置.填涂正确记4分，不涂、涂错或多涂记0分。 1．（4分）如图所示图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可． 【解答】解：由各选项图形可知，是轴对称图形的是B，C，D选项，不是轴对称图形的是A选项． 故选：A． 【点评】本题考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 2．（4分）下列计算正确的是（　　） A．a4+a4＝a8 B．a4•a4＝a16 C．（a4）4＝a16 D．a8÷a4＝a2 【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别化简，进而判断即可． 【解答】解：A．a4+a4＝2a4，故此选项不合题意； B．a4•a4＝a8，故此选项不合题意； C．（a4）4＝a16，故此选项符合题意； D．a8÷a4＝a4，故此选项不合题意． 故选：C． 【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3．（4分）随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是0.0000034m，用科学记数法表示0.0000034是（　　） A．0.34×10﹣5 B．3.4×106 C．3.4×10﹣5 D．3.4×10﹣6 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：用科学记数法表示0.0000034是3.4×10﹣6． 故选：D． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4．（4分）如图，已知D是BC的中点，AE、AF分别是△ABC的角平分线、高线，则下列结论正确的是（　　） A．AD＝CD B． C．∠AEB＝90° D．DF＝CF 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可． 【解答】解：A、∵D是BC的中点， ∴BD＝DC，但AD与CD不一定相等，故本选项结论错误，不符合题意； B、∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠CAE＝∠BAC，本选项结论正确，符合题意； C、∵AE是△ABC的角平分线，不一定是高线， ∴∠AEB不一定等于90°，故本选项结论错误，不符合题意； D、DF与CF的关系不确定，故本选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解题的关键． 5．（4分）如图，已知∠1＝∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△DCB成立的是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠A＝∠D D．∠ABC＝∠DCB 【分析】由两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，可判定A正确；由两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，可判定C正确；由两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，即可判定D正确． 【解答】解：A、不能判断△ABC和△DCB是否全等，故本选项正确； B、可以判断△ABC≌△DCB，故本选项错误； C、在ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（AAS）；故本选项能使△ABC≌△DCB，故本选项错误； D、在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（AAS）；故本选项能使△ABC≌△DCB．故本选项错误； 故选：A． 【点评】此题考查了全等三角形的判定．注意利用SSS，SAS，ASA，AAS即可判定三角形全等． 6．（4分）如图，两把相同的直尺的一边分别与射线OB、OA重合，另一边相交于点P，则OP平分∠BOA的依据是（　　） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C．角平分线的性质 D．角平分线是轴对称图形 【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB． 【解答】解：如图所示：PE⊥AO，过两把直尺的交点P作PF⊥BO， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴PE＝PF， ∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：A． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，轴对称图形，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 7．（4分）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【分析】设第一次分钱的人数为x人，则第二次分钱的人数为（x+6）人，利用人均分得钱数＝总钱数÷参与分钱的人数，结合两次每人分得的钱数相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：设第一次分钱的人数为x人，则第二次分钱的人数为（x+6）人， 依题意得：＝， 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 8．（4分）若x﹣m与3x﹣2的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A． B． C． D．3 【分析】运用多项式乘多项式的知识进行求解． 【解答】解：（x﹣m）（3x﹣2） ＝3x2﹣2x﹣3mx+2m ＝3x2﹣（2+3m）x+2m， 由题意得，﹣（2+3m）＝0， 解得m＝﹣， 故选：A． 【点评】此题考查了多项式乘多项式的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算． 9．（4分）关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣3 B．a＜3 C．a＜﹣3且a≠﹣7 D．a＜3且a≠1 【分析】去分母，方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2），得a﹣1﹣2（x﹣2）＝0，则，再根据该方程的解是负数得a＜﹣3，然后根据x＝±2是该方程的增根得出a＝1，a＝﹣7，据此可得a的取值范围． 【解答】解：， 去分母，方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2），得：a﹣1﹣2（x﹣2）＝0， 解得：， ∵该方程的解是负数， ∴， 解得：a＜﹣3， ∵x＝±2是该方程的增根， ∴x＝2时，，解得：a＝1， 当x＝﹣2时，，解得：a＝﹣7， 综上所述：a的取值范围是：a＜﹣3且a≠﹣7． 故选：C． 【点评】此题主要分式方程的解，解一元一次方程，理解分式方程的解，熟练掌握解一元一次方程是解决问题的关键． 10．（4分）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 【分析】观察图形，阴影部分除了在正方形中，还以正方形边长为直角边构造三角形，因此阴影部分可看作由不同三角形组成，每个阴影部分都与其所在三角形有关系，由此可逐个分析：首先令直线BF与直线CD的交点为O（如图），则可看出△BDO与△EFO、△BGF有关，用△BCD与▱ECGF的面积和减去△BGF的面积可得阴影部分△BDO与△EFO的面积，阴影部分△DEF和△CGF的面积可依据正方形的边长a与b各自求出．至此，阴影部分面积可计和求出，然后利用已知条件进行完全平方公式再代入计算数值． 【解答】解：首先令直线BF与直线CD的交点为O； 则S△BDO+S△EFO＝S△BDC+S▱ECGF﹣S△BGF＝a•a÷2+b•b﹣（a+b）•b÷2；① S△DEF＝底EF•高DE÷2＝b•（a﹣b）÷2； ② S△CGF＝底CG•高GF÷2＝b•b÷2； ③ ∴阴影部分面积＝①+②+③ ＝a2÷2+b2﹣（ab+b2）÷2+（ab﹣b2）÷2+b2÷2 ＝{a2+2b2﹣（ab+b2 ）+（ab﹣b2）+b2}÷2 ＝（a2+b2）÷2，④ 由已知 a+b＝10，ab＝20，构造完全平方公式： （ a+b）2＝102， 解得a2+b2+2ab＝100， a2+b2＝100﹣2•20， 化简＝60代入④式， 得60÷2＝30， ∴S阴影部分＝30． 故选：C． 【点评】本题考查了几何图形关系，即阴影部分面积与三角形面积和正方形面积的关系，同时考查了完全平方公式的运用和符号计算变化． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应题号的横线上。 11．（4分）当x满足 　x≠1　时，分式在实数范围内有意义． 【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， x﹣1≠0， 解得x≠1． 故答案为：x≠1． 【点评】本题考查分式的值为零的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键． 12．（4分）计算＝ 　250　． 【分析】先根据平方差公式进行计算，再求出答案即可， 【解答】解：原式＝ ＝ ＝ ＝250， 故答案为：250． 【点评】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 13．（4分）若x2+kx+4是一个完全平方式，则k＝ 　±4　． 【分析】运用完全平方公式进行运算、求解． 【解答】解：∵（x±4）2＝x2±4x+4， ∴若x2+kx+4是一个完全平方式，则k＝±4， 故答案为：±4． 【点评】此题考查了完全平方公式的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行求解． 14．（4分）如图，小明从A地出发，沿直线前进15米后向左转18°，再沿直线前进15米，又向左转18°⋯⋯，照这样走下去，他第一次回到出发地A地时，一共走的路程是 　300　米． 【分析】根据题意判断小明每前进15米后向左转18°，当他回到出发地A地时，走过的路程形成正多边形，然后根据正多边形的外角和是360°，求出多边形的边数，从而求出答案即可． 【解答】解：由题意得：小明从A地出发，他第一次回到出发地A地时，走的路程形成正多边形，外角和为360°，每个外角的度数是18°， ∴多边形的边数为：360÷18＝20， ∴一共走的路程为：15×20＝300（米）， 故答案为：300． 【点评】本题主要考查了多边形内角与外角，解题关键是理解小明每前进15米后向左转18°，当他第一次回到出发地A地时，走的路程形成正多边形． 15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝7，点D是BC边上的中点，则AD的长m的取值范围为 　1＜m＜8　． 【分析】延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，证明△ADC≌△EDB，根据全等三角形的性质得到BE＝AC，再根据三角形的三边关系计算即可． 【解答】解：如图，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE， ∵点D是BC边上的中点， ∴CD＝BD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC＝7， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即9﹣7＜2AD＜9+7， ∴1＜m＜8， 故答案为：1＜m＜8． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 16．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F．则下列说法正确的是 　①③④　． ①∠AFC＝120°；②S△ABD＝S△ADC，③CD+AE＝AC；④S△AEF：S△FDC＝AF：FC． 【分析】①先求出∠BAC+∠ACB＝120°，根据角平分线定义的∠FAC+∠FCA＝（∠BAC+∠ACB）＝60°，进而可求出∠AFC的度数，由此可对①进行判断； ②根据当AB＝AC时，AD平分∠BAC，且AD是BC边上的中线，则有S△ABD＝S△ADC，由此可对②进行判断； ③在AC上截取AM＝AE，连接FM，过点M作MP⊥AF于点P，MH⊥CF于点H，先证明△MAF和△EAF全等，再证明△MCF和△DCF全等得CD＝CM，进而得CD+AE＝CM+AM＝AC，由此可对③进行判断； ④根据∠MFC＝∠MFA＝60°得MP＝MH，则S△AMF：S△MCF＝AF：FC，再根据△MAF和△EAF全等，△MCF和△DCF全等得S△MAF＝S△AEF，S△MCF＝S△FDC，据此可对④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①在△ABC中，∠ABC＝60°， ∴∠BAC+∠ACB＝180°﹣∠ABC＝120°， ∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB， ∴∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠ACB， ∴∠FAC+∠FCA＝（∠BAC+∠ACB）＝60°， 在△AFC中，∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝120°， 故①正确； ②当AB＝AC时，AD平分∠BAC，且AD是BC边上的中线， 则有S△ABD＝S△ADC， 根据已知条件无法判定AB＝AC， 故②不正确； ③在AC上截取AM＝AE，连接FM，过点M作MP⊥AF于点P，MH⊥CF于点H，如图1所示： ∵AD平分∠BAC， ∴∠MAF＝∠EAF， 在△MAF和△EAF中， ， ∴△MAF≌△EAF（SAS） ∴∠MFA＝∠EFA， ∵∠AFC＝120°， ∴∠EFA＝∠DFC＝60°， ∴∠MFA＝∠EFA＝60°， ∴∠MFC＝∠AFC﹣∠MFA＝60°， ∴∠MFC＝∠DFC＝60°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠MCF＝∠DCF， 在△MCF和△DCF中， ， ∴△MCF≌△DCF（ASA）， ∴CD＝CM， ∴CD+AE＝CM+AM＝AC， 故③正确； ④∵∠MFC＝∠MFA＝60°，MP⊥AF，MH⊥CF， ∴MP＝MH， ∵S△MAF＝AF•MP，S△MCF＝FC•MH， ∴S△AMF：S△MCF＝AF：FC， ∵△MAF≌△EAF，△MCF≌△DCF， ∴S△MAF＝S△AEF，S△MCF＝S△FDC， ∴S△AEF：S△FDC＝AF：FC． 故④正确， 综上所述：正确有①③④． 故答案为：①③④． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的性质是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答题应写出必要的文字说明或推演步骤。 17．（8分）计算：（1）xy2（3x+4y）÷2xy； （2）（x﹣1）2﹣（x+1）（x﹣5）． 【分析】（1）原式利用单项式乘多项式，以多项式除以单项式法则计算即可； （2）原式利用完全平方公式，以及多项式乘多项计算法则计算即可． 【解答】解：（1）xy2（3x+4y）÷2xy ＝（3x2y2+4xy3）÷2xy ＝； （2）（x﹣1）2﹣（x+1）（x﹣5） ＝x2﹣2x+1﹣x2+5x﹣x+5 ＝2x+6． 【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18．（8分）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点D，连接BD．若CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，BC＝2CE＝8，再根据三角形周长公式计算即可． 【解答】解：∵DE是BC边的垂直平分线，CE＝4， ∴DB＝DC，BC＝2CE＝8， ∵△BDC的周长为18， ∴DB+DC+BC＝18， ∴DB+DC＝18﹣8＝10， ∴DB＝DC＝5． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 19．（8分）先化简，再求值：，其中a＝1． 【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把a的值代入计算，得到答案． 【解答】解：原式＝（﹣）• ＝• ＝， 当a＝1时，原式＝＝﹣1． 【点评】本题的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 20．（10分）（1）解分式方程：． （2）因式分解：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）． 【分析】（1）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可； （2）提公因式后利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：（1）原方程去分母得：x（x+1）+3（x﹣1）＝（x+1）（x﹣1）， 整理得：4x﹣3＝﹣1， 解得：x＝0.5， 检验：当x＝0.5时，（x+1）（x﹣1）≠0， 古原方程的解为：x＝0.5； （2）原式＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y） ＝（x﹣y）（9a2﹣4b2） ＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）． 【点评】本题考查解一元一次方程，因式分解，熟练掌握解方程及因式分解的方法是解题的关键． 21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（2，﹣3），C（4，﹣2）． （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）画出将△A1B1C1向左平移4个单位长度后得到的△A2B2C2； （3）AC上的一点P（m，n）经过上述两次变换后的对应点P2的坐标为 　（m﹣4，﹣n）　． 【分析】（1）利用轴对称的性质即可画图； （2）利用平移的性质即可画图； （3）根据平面直角坐标系中点的变化规律可得出答案． 【解答】解：（1）△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，如图即为所求； （2）如图2，△A2B2C2即为所求； （3）点P（m，n）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点P2的坐标为（m﹣4，﹣n）， 故答案为：（m﹣4，﹣n）． 【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，作图﹣平移变换，平面直角坐标系中点的变换规律等知识，准确画出图形是解题的关键． 22．（10分）如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上． （1）求证：AC＝AE； （2）若∠B＝23°，∠APC＝63°，求∠E的度数． 【分析】（1）由∠BAD＝∠CAE，推导出∠BAC＝∠DAE，而AD＝AD，∠B＝∠D，即可根据“ASA”证明△ABC≌△ADE，则AC＝AE； （2）由∠B＝23°，∠APC＝63°，求得∠BAD＝∠APC﹣∠B＝40°，则∠CAE＝40°，由AC＝AE，得∠ACE＝∠E，则40°+2∠E＝180°，所以∠E＝70°． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）， ∴AC＝AE． （2）解：∵∠APC＝∠B+∠BAD，∠B＝23°，∠APC＝63°， ∴∠BAD＝∠APC﹣∠B＝63°﹣23°＝40°， ∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠CAE＝40°， ∵AC＝AE， ∴∠ACE＝∠E， ∵∠CAE+∠ACE+∠E＝40°+2∠E＝180°， ∴∠E＝70°， ∴∠E的度数是70°． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，证明△ABC≌△ADE是解题的关键． 23．（10分）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知B型充电桩比A型充电桩的单价多0.2万元，且用20万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的个数相等． （1）A，B两种型号的充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买A，B两种型号的充电桩共26个，购买总费用不超过28万元，且B型充电桩的个数不少于A型充电桩个数的．该停车场有哪几种购买方案？ 【分析】（1）设A型号充电桩的单价为是万元，则B型充号电桩的单价是（x+0.2）万元，根据用20万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等．列出分式方程，解方程即可； （2）设购买A型号充电桩m个，则购买B型号充电桩（26﹣m）个，根据购买总费用不超过28万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【解答】解：（1）设A型号充电桩的单价是x万元，则B型号充电桩的单价是 （x+0.2）万元， 根据题意得：， 解得：x＝1， 经检验，x＝1 是原方程的解，且符合题意， ∴x+0.2＝1+0.2＝1.2． 答：A型号充电桩的单价是1万元，B型号充电桩的单价是1.2万元； （2）设购买A型号充电桩m个，则购买B型号充电桩（26﹣m） 个， 根据题意得：， 解得：， ∵m为整数， ∴m＝16，17，18， ∴该停车场有3种购买方案： ①购买16个A型号充电桩，10个B型号充电桩； ②购买17个A型号充电桩，9个B型号充电桩； ③购买18个A型号充电桩，8个B型号充电桩． 【点评】本题考查了分式的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式组． 24．（10分）如图，∠ABN＝60°，点C为射线BN上一定点，E为线段AB延长线上一定点，且BE＝AB＝12，点A关于射线BN对称点为D，连接BD，CD，DE． （1）证明：∠BAC＝∠BDC； （2）若P为直线BC上一个动点，求△PDE周长最小时，P所在的位置，并求出△PDE周长的最小值． 【分析】（1）连接AD，如图，利用对称的性质得到BN垂直平分AD，则BA＝BD，CA＝CD，然后证明△BAC≌△BDC，从而得到∠BAC＝∠BDC； （2）先证明∠E＝∠BDE＝60°，则△BDE为等边三角形，所以DE＝BE＝12，再利用BN垂直平分AD，则PA＝PD，所以PE+PD＝PE+PA≥AE（当且仅当P、A、E共线时取等号），于是可判断P点运动到B点时，PE+PA的最小值为24，从而得到△PDE周长的最小值． 【解答】（1）证明：连接AD，如图， ∵点A关于射线BN对称点为D， ∴BN垂直平分AD， ∴BA＝BD，CA＝CD， 在△BAC和△BDC中， ， ∴△BAC≌△BDC（SSS）， ∴∠BAC＝∠BDC； （2）解：∵△BAC≌△BDC， ∴∠DBN＝∠ABN＝60°， ∵BE＝BA，BA＝BD， ∴BE＝BD， ∴∠E＝∠BDE， ∵∠ABD＝∠E+∠BDE， ∴∠E＝∠BDE＝60°， ∴△BDE为等边三角形， ∴DE＝BE＝12， ∵BN垂直平分AD， ∴PA＝PD， ∴PE+PD＝PE+PA， ∵PE+PA≥AE（当且仅当P、A、E共线时取等号）， 即点P点运动到B点时，PE+PA的最小值为24，此时△PDE周长的最小值为36． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题：利用对称把几条线段的和转化为一条线段，然后利用两点之间线段最短解决问题． 25．（12分）等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E． （1）如图（1），已知C点的横坐标为﹣1，直接写出点A的坐标； （2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB＝∠CDE； （3）如图（3），若点A在x轴上，且A（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连接CD交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度． 【分析】（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F，构建全等三角形：△ACF≌△ABO（AAS），结合该全等三角形的对应边相等易得OA的长度，由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标； （2）过点C作CG⊥AC交y轴于点G，则△ACG≌△BAD（ASA），即得CG＝AD＝CD，∠ADB＝∠G，由∠DCE＝∠GCE＝45°，可证△DCE≌△GCE（SAS）得∠CDE＝∠G，从而得到结论； （3）BP的长度不变，理由如下：如图（3），过点C作CE⊥y轴于点E，构建全等三角形：△CBE≌△BAO（AAS），结合全等三角形的对应边相等推知：CE＝BO，BE＝AO＝4．再结合已知条件和全等三角形的判定定理AAS得到：△CPE≌△DPB，故BP＝EP＝2． 【解答】解：（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F， ∵CF⊥y轴于点F， ∴∠CFA＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°， ∵∠CAB＝90°， ∴∠CAF+∠BAO＝90°， ∴∠ACF＝∠BAO， 在△ACF和△ABO中， ， ∴△ACF≌△ABO（AAS）， ∴CF＝OA＝1， ∴A（0，1）； （2）如图2，过点C作CG⊥AC交y轴于点G， ∵CG⊥AC， ∴∠ACG＝90°，∠CAG+∠AGC＝90°， ∵∠AOD＝90°， ∴∠ADO+∠DAO＝90°， ∴∠AGC＝∠ADO， 在△ACG和△ABD中，， ∴△ACG≌△BAD（AAS）， ∴CG＝AD＝CD，∠ADB＝∠G， ∵∠ACB＝45°，∠ACG＝90°， ∴∠DCE＝∠GCE＝45°， 在△DCE和△GCE中， ， ∴△DCE≌△GCE（SAS）， ∴∠CDE＝∠G， ∴∠ADB＝∠CDE； （3）BP的长度不变，理由如下： 如图（3），过点C作CE⊥y轴于点E． ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBE+∠ABO＝90°． ∵∠BAO+∠ABO＝90°， ∴∠CBE＝∠BAO． ∵∠CEB＝∠AOB＝90°，AB＝AC， ∴△CBE≌△BAO（AAS）， ∴CE＝BO，BE＝AO＝4． ∵BD＝BO， ∴CE＝BD． ∵∠CEP＝∠DBP＝90°，∠CPE＝∠DPB， ∴△CPE≌△DPB（AAS）， ∴BP＝EP＝2． 【点评】本题考查了三角形综合题．主要利用了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$