广东省深圳市福田区红岭中学(红岭教育集团)2024-2025学年高三上学期第四次统一考试数学试题

试卷第 1页，共 4页 红岭中学（红岭教育集团）2025 届高三第四次统一考试 数 学 (本试卷考试时间为 120 分钟,满分为 150 分) 命题人：李友军 审题人：张卓颖 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1．设集合 A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且 A∩B={x|–2≤x≤1}，则 a= A．–2 B．–4 C．2 D．4 2．设 ,a b R ， i是虚数单位，则“ 0ab  ”是“复数 ba i  为纯虚数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知菱形 ABCD 的边长为a， 60ABC  ，则 BD CD   ＝ A． 2 3 2 a B． 23 4 a C． 23 4 a D． 23 2 a 4．已知 π 1sin 3 cos 3 3         ，则 πsin 2 6       A． 2 3 B． 2 9 C． 1 9  D． 7 9  5．如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个 圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为 2，圆柱的高为 6，圆锥的高为 4.若将其内部注入液体，已知液面高度为 7，则该容器中液体的体积为 A．325π 12 B．76π 3 C．215π 9 D．325π 16 6．已知函数 ( ) sin(2 )f x x   （ 0 π  ）的图象的一条对称轴方程是 π 3 x  ，则 A． π 0 3       ， 是函数 ( )f x 图象的对称中心 B． ( )f x 在区间 π 11π, 12 12      上有两个极值点 C． ( )f x 在区间 5π0 , 12       上单调递减 D．函数 ( )f x 的图象可由 cos2y x 向左平移 5π 12 个单位长度得到 试卷第 2页，共 4页 7．对于数列{ }na ，若存在正整数 k（ 2k  ），使得 1k ka a  ， 1k ka a  ，则称 ka 是数列{ }na 的“谷值”，k是数列{ }na 的“谷值点”．在数列{ }na 中，若 9| 8 |na n n    ，则数列{ }na 的 “谷值点”为 A．2 B．7 C．2，7 D．2，3，7 8．已知 1 2,F F 是椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     的左，右焦点，A，B是椭圆 C上的两点．若 1 22F A F B   ，且 1 2 π 4 AFF  ，则椭圆 C的离心率为 A． 1 3 B． 2 3 C． 2 3 D． 3 3 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9．某品牌新能源汽车 2024年上半年的销量如下表： 则 A．销量的极差为 3.6 B．销量的第 60百分位数为 13.2 C．销量的平均数与中位数相等 D．若销量关于月份的回归方程为 0.7 ,y x a  则 11a  10．对于函数 ( )f x ，如果存在实数 0x ，使得 0 0( )f x x ，那么就称函数 ( )f x 有不动点，也 称 0x 是函数 ( )f x 的一个不动点．则（ ） A． ( ) 1 lnf x x  有 1个不动点 B． 1( ) | 2 |f x x   有 2个不动点 C． 1( ) tan 3 f x x 有 3个不动点 D． 2 ( ) e 1 2 x xf x    没有不动点 11．已知曲线C： | | | | 1 4 x x y y  ， 0 0( , )P x y 为C上一点，则（ ） A． 20 x B． 1 2 0 2 0  yx C． 0 0 y x 的取值范围为 1 1, , 2 2              D． 0 0| 2 |x y 的取值范围为 (0 , 2 2 ] 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．若 3 n x x      的展开式中各项系数之和 32，则展开式中 x的系数为___________． 13．已知正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 3，点M 是侧面 1 1ADD A 上的一个动点（含边 界），点 P 在棱 1CC 上，且 1 1PC  ，当 PM 与 1BD 垂直时，点M 的运动轨迹长度为 __________． 月份 1 2 3 4 5 6 销量（万辆） 11.7 12.4 13.8 13.2 14.6 15.3 试卷第 3页，共 4页 14．已知 ABC 的外接圆的半径为 1，  的平分线交圆于点D， 3AD ．当 Acos 为__________时， ABC 的面积取最大值． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分 13分) 设正项数列 na 的前 n项和为 nS ，满足 n nn a aS 12  （ *nN ）． （1）求证：数列 2 2 1 n n a a       为等差数列； （2）求数列{ }na 的通项公式． 16.(本小题满分 15分) 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ,ABCD AB AD ，平面 PAC 平面 PBD， 2AB AD AP   ，四棱锥 P ABCD 的体积为 4. （1）求证：BD PC ； （2）求平面 PAD与平面 PCD的夹角的余弦值． 17．(本小题满分 15分) 人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率， 使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策． 我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小 完全相同的小球，其中甲袋中有 9个红球和 1个白球，乙袋中有 2个红球和 8个白球． 我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为 1 2 （先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验．经过多次试验，直到摸出 红球，则试验结束． （1）求首次试验结束的概率； （2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行 调整． （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案． 方案①：从原来袋子中摸球； 方案②：从另外一个袋子中摸球． 请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大． 试卷第 4页，共 4页 18.(本小题满分 17分) 已知双曲线 C的中心为坐标原点，上焦点为  52,0 ，离心率为 5 . 记 C的上、下顶点分 别为 A1，A2，过点（0，4）的直线与 C的上支交于M，N两点， （1）求 C的方程； （2）直线 1 和  2 的斜率分别记为 1k 和 2k ，求 2 2 1 3 2 kk  的最小值； （3）直线 1 与  2 交于点 P,证明：点 P在定直线上． 19．(本小题满分 17分) 已知曲线 2:E y x （ 0 1x  ）上一点 2( , )P t t （ 0 1t  ）处的切线 l分别交直线 0y  ，直 线 1x  于点 A， B，记点 (0 , 0)O ， (1 , 0)C ， (1 ,1)D ． （1）设 PAC△ ， PBC△ 的面积分别为 ( )f t ， ( )g t ，解不等式 ( ) ( )f t g t ； （2）在曲线 E与线段OC，线段CD围成的区域 内，以 P为一顶点作 PQR△ ，设所有 这些三角形的面积最大值为 ( )h t ，求 ( )h t 的极值． 红岭中学（红岭教育集团）2025届高三第四次统一考试 数 学 (本试卷考试时间为120分钟,满分为150分) 命题人：李友军 审题人：张卓颖 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ） A．–2 B．–4 C．2 D．4 【答案】A【解析】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：．由于，故：，解得：． 2．设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】“”则或，“复数为纯虚数”则且，则“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件，故选B． 3．已知菱形ABCD 的边长为，，则＝ A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由菱形的边长为，可知， ． 4．已知，则 A． B． C． D． D．sin＋cos α＝sin α－cos α＋cos α＝sin α＋cos α＝sin＝， sin＝－cos＝－cos＝2sin2－1＝2×－1＝－． 5．如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为（    ） A． B． C． D． 【解答过程】由题意可知：容器中液体分为：下半部分为圆柱，上半部分为圆台， 取轴截面，如图所示，分别为的中点， 可知：∥∥，且， 可得，即， 所以该容器中液体的体积为. 故选：A. 6．已知函数（）的图象的一条对称轴方程是，则 A．是函数图象的对称中心 B．在区间上有两个极值点 C．在区间上单调递减 D．函数的图象可由向左平移个单位长度得到 【答案】B．因为函数的图象的一条对称轴为，所以,,，所以． 对于A，，所以不是函数图象的对称中心，故A不正确； 对于B，当时，，所以函数在区间上有两个极值点，故B正确； 对于C，当时，，所以函数在区间上先单调递减，然后单调递增。故C不正确； 对于D，左移个单位长度后得到，故D不正确． 7．对于数列，若存在正整数（），使得，，则称是数列的“谷值”，是数列的“谷值点”．在数列中，若，则数列的“谷值点”为 A．2 B．7 C．2，7 D．2，3，7 【答案】C．因为， 所以，，，，，，，． 当，，． ∴，此时数列单调递增，，，，， 所以数列的“谷值点”为2，7．故选：C． 8．已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：， 设，    因为，则，可得， 由椭圆定义可知：，即， 整理可得； 又因为，则∥，且， 则，可得， 由椭圆定义可知：，即， 整理可得； 即，可得， 所以椭圆C的离心率. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．某品牌新能源汽车2024年上半年的销量如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 销量（万辆） 11.7 12.4 13.8 13.2 14.6 15.3 则 A．销量的极差为3.6　　　　 B．销量的第60百分位数为13.2 C．销量的平均数与中位数相等 D．若销量关于月份的回归方程为则 答案:AC 10．对于一般函数，如果存在实数，使得，那么就称函数有不动点，也称是函数的一个不动点．则（ ） A．有1个不动点 B．有2个不动点 C．有3个不动点 D．没有不动点 【答案】AB． 【解析】对于A， 令，，则． 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 所以的最大值为，所以函数有1个不动点，故A正确； 对于B，结合图象，得到在与直线相切，数形结合可得有2个不动点，故B正确； 对于C，由周期性结合图象不只3个不动点； 对于D，若有不动点，则有解． 令，则恒成立，故单调递增． 由极限思想存在一个零点，即有一个不动点．故D不正确． 11．已知曲线：，为上一点，则（ ） A． B． C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】BCD． 【解析】由题设得：曲线为，可得曲线图形如下： A：由曲线方程及图形可知，故A错误； B：因为，由图可知， 当在时，才能最小， ，时等号成立，故B正确； C：由图可知，的取值范围为，故C正确； D：设，则． 当时等号成立，又直线是双曲线的渐近线， 所以的取值范围为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 13．若的展开式中各项系数之和32，则展开式中的系数为____________．15 13．已知正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且，当与垂直时，点的运动轨迹长度为__________． 14．已知的外接圆的半径为1，的平分线交圆于点，.当为__________时，的面积取最大值． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．本小题满分分 设正项数列的前项和为，满足（）． （1）求证：数列为等差数列； （2）求数列的通项公式． 解：（1）当时，．， ，． ，数列为等差数列，首项为2，公差为4． （2）法一：由（1）得：，，，． 由求根公式可知． 法二：消得，从而求得． 16.本小题满分分 如图，在四棱锥中，底面，平面平面，，四棱锥的体积为4. （1）求证：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 解：（1）设，在平面内过点作，垂足为, 因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为平面平面，所以, 因为平面平面， 所以平面， 又因为平面，所以. （2）在中，由，可得，， 由（1）知，则， 解得， 因为平面，平面，所以两两垂直， 以为轴建立如图所示空间直角坐标系， 所以， 设平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 又， 则解得， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 17．本小题满分分 人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策． 我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球． 我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为 （先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验．经过多次试验，直到摸出 红球，则试验结束． （1）求首次试验结束的概率； （2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案． 方案①：从原来袋子中摸球； 方案②：从另外一个袋子中摸球． 请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大． 解：（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件． （1）， 所以试验一次结果为红球的概率为． （2）（i）因为，是对立事件，， 所以， 所以选到的袋子为甲袋的概率为． （ii）由（i）得， 所以方案①中取到红球的概率为： ． 方案②中取到红球的概率为： ． 因为，所以方案②中取到红球的概率更大． 18.本小题满分分 已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为.记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的上支交于两点. （1） 求的方程； 答案： （2） 直线和的斜率分别记为和，求的最小值； 答案：-1 （3） 直线与交于点P,证明：点P在定直线上． 答案：y=1 19．本小题分 已知曲线（）上一点（）处的切线分别交直线，直线于点，，记点，，． （1）设，的面积分别为，，解不等式； （2）在曲线与线段，线段围成的区域内，以为一顶点作，设所有这些三角形的面积最大值为，求的极值． 解：（1）因为，， 所以：，即，其中 得： 所以， 故或， 由知不等式的解集为． （2）知在内，要使得面积最大，必须在线段或线段上，有三种情况． ①均在线段上，此时的最大面积为的面积（如图1）； ②均在线段上，此时的最大面积为的面积（如图1）； ③分别在线段上（如图2）, 设, 其中此时的面积 当时，， ， 设是上的一次函数或常数函数， ，． 所以，，． 当时，，， 设是上的一次函数或常数函数， ，其中 所以，，，． 所以 当时，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以的极大值为， 当时，，，单调递增； 所以的极小值为． 综上，的极大值为，极小值为． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$