精品解析：四川省绵阳中学2024-2025学年高一上学期1月选拔测试（期末）数学试题

绵阳中学2024级高一上期选拔测试（数学） 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则对任意实数，“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 已知函数，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 设集合，且，函数（且），则（ ） A. 为增函数 B. 为减函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数 5. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 存在函数满足对于任意都有（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为2 B. 最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 10. ，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在上的函数的图像关于中心对称，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若周期为2，则为奇函数 B. 为奇函数 C. 若周期为4，则为偶函数 D. 为奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卷中的横线上. 12. 已知角的终边过点，且，则角的弧度数是______. 13. 已知函数，若的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数的取值范围为_____________. 14. 若存在（互不相等），满足，则的取值范围为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的定义域为A，函数，则的值域是B，不等式的解集为C. （1）求； （2）若，则实数a的取值范围. 16. 已知 （1）化简； （2）若，求的值： （3）若为第三象限角，且，求的值. 17. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）若，不等式对恒成立，求实数得取值范围. 18. 已知函数，为常数. （1）证明：的图象关于直线对称. （2）设在上有两个零点，. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：. 19. 已知函数，函数 （1）证明函数的奇偶性，并求的值； （2）判断函数在上的单调性，并利用定义法证明； （3），使在区间上的值域为，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳中学2024级高一上期选拔测试（数学） 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的取值情况，分析判断集合中元素的特征得不等式，求解即得. 【详解】因， 则， 故. 故选：D. 2. 设，则对任意实数，“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数为奇函数且单调递增，再分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】定义域为， ，函数为奇函数 易知：在上单调递增， 且 故在上单调递增 当时，，充分性； 当时，即，必要性； 故选： 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，充分必要条件，意在考查学生的综合应用能力. 3. 已知函数，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过函数的奇偶性可排除CD，利用可排除B，由此得到结果. 【详解】函数的定义域为，且， 是奇函数，图象关于坐标原点对称，可排除C，D； 当时，，排除B. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 4. 设集合，且，函数（且），则（ ） A. 为增函数 B. 为减函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数 【答案】D 【解析】 【分析】结合指数函数的单调性与奇偶性检验各选项即可. 【详解】当时，，时，在上不是增函数，故A不正确； 当时，，时，在上为增函数，B不正确； 当时，，，为偶函数，故C不正确； 当时，，，为偶函数，故D正确； 故选：D. 5. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将函数的零点转化为方程在区间有且仅有3个根，由三角函数性质可解. 【详解】函数的零点， 即方程的根， 当时，，方程在区间有且仅有3个根， 则，解得. 故选：D. 6. 若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义域为实数集，转化为且恒成立， 结合二次不等式恒成立求解即可. 【详解】由题意，，且对任意， ，① 且，② 对于①，，结合，得. 若，由②知对任意，矛盾； 若，由②知对任意，即， 则，得， 综上，当时，对任意，①②同时成立. 故选：C 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算性质，结合基本不等式能证明，由此能证明，再构造函数，，由，可得 ，则，由此能求出结果． 【详解】解：  ，，  ， ，等号取不到， ，  ，  ， ， 令， ∵，∴单调递减，且， ，可得  于是 ， ， 故选：A. 8. 存在函数满足对于任意都有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 该题的意思是由四个选项中的等式哪一个能够确定出一个函数，举例说明A、B、C不正确；求出满足的函数解析式说明D正确. 【详解】解：A.，一个对应两个，错误； 　B.， ，一个对应两个，错误； C. ， ，一个对应两个，错误； D. ，则，正确. 故选：D. 【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，关键是对题意的理解，是中档题. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为2 B. 最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式的应用，结合选项依次求解即可. 【详解】A：当时，， 当且仅当即时等号成立，故A错误； B：， 当且仅当即时等号成立，故B正确； C：， 当且仅当时等号成立，故C正确； D： 当且仅当时等号成立，故D错误． 故选：BC 10. ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用的单调性证明，然后直接得到，并通过证明，得出，即可验证C，D正确；然后利用该范围直接估计出的下界，即可得到A正确，B错误. 【详解】对于D，构造，易得在上递增， 而，， 所以有唯一的正根，且该根位于区间， 因为，所以， 则，故，. 所以，故D正确； 对于C，而，，故，而， 所以有，故C正确； 对于AB，由，知. 从而，故A正确，B错误. 故选：ACD. 11. 已知定义在上的函数的图像关于中心对称，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若周期为2，则为奇函数 B. 为奇函数 C. 若周期为4，则为偶函数 D. 为奇函数 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的周期性以及对称性即可判断A，结合对数的运算性质即可求解D，举反例即可求解BD. 【详解】由于的图像关于中心对称，所以， 对于A, 若周期为2，则， 所以，故为奇函数，A正确， 对于B，若，显然的图像关于中心对称， 但是， 故不是奇函数，B错误， 对于C, 若，显然的图像关于中心对称，且周期为4， 当时，则故不为偶函数，C错误 对于D，， 所以， 故为奇函数，D正确， 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卷中的横线上. 12. 已知角的终边过点，且，则角的弧度数是______. 【答案】 【解析】 【分析】首先判断角为第二象限角，再根据三角函数的定义及诱导公式得到，即可得解. 【详解】因为角的终边过点， 又，所以，，所以角为第二象限角， 因为，所以， 所以， 又，所以. 故答案为： 13. 已知函数，若的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可得方程在上有解，代入化简整理，令，换元得，在时有解，结合二次函数的图像性质，对的取值进行分类讨论，即可求解. 【详解】已知函数，由于的图象上存在不同的两个点关于原点对称，所以在上有非零解， 即在上有解， 即在上有解， 令，当且仅当，即时，等号成立， 则，在时有解， 令，其对称轴为， ①当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得； ②当时，在上单调递增， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 经检验时,不合题意， 故答案为： 14. 若存在（互不相等），满足，则的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，不妨设，再分和两种情况讨论，分别求出，进而可得出答案. 【详解】存在（互不相等），满足， 则， 不妨设，且是相邻最值点. 当时， 则，解得， 由，解得， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 当时， 则，解得， 由，解得， 当时，， 当时，， 所以， 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：由题意可得，不妨设，再分和求出是解决本题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的定义域为A，函数，则的值域是B，不等式的解集为C. （1）求； （2）若，则实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据根式的意义求集合A，根据求集合B，进而求并集； （2）分、和三种情况解不等式求集合C，再结合即可得结果. 【小问1详解】 因为，解得或，即； 又因为，当且仅当时，等号成立，则， 可得，即； 所以. 【小问2详解】 对于不等式，令，可得或， 当时，则，可知不成立，不合题意； 当时，则，可知不成立，不合题意； 当时，则，若，则； 综上所述：实数a的取值范围为. 16. 已知 （1）化简； （2）若，求的值： （3）若为第三象限角，且，求的值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的诱导公式化简，从而得解； （2）利用（1）中结论，直接代入，结合三角函数的诱导公式即可得解； （3）根据题意，利用三角函数的诱导公式与基本关系式依次求得，从而得解. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 因为， 所以. 【小问3详解】 因为，所以， 又为第三象限角，所以， 所以. 17. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）若，不等式对恒成立，求实数得取值范围. 【答案】（1）1； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数性质求参数值； （2）根据已知可得，应用单调性定义判断单调性，再由单调性、不等式恒成立、一元二次不等式解法求参数范围. 【小问1详解】 因为为奇函数， 所以， 解得. 【小问2详解】 由（1）知，又，所以. 任取且， 则， 所以，，故， 则为上的减函数. 所以恒成立等价于恒成立， 令，则，因为，所以， 所以，解得或， 所以的取值范围为或. 18. 已知函数，为常数. （1）证明：的图象关于直线对称. （2）设在上有两个零点，. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用平方关系将函数变形为，再计算即可证明； （2）（ⅰ）令则，问题转化为关于的方程在上有两个不相等实数根，即可得到，从而求出参数的取值范围；（ⅱ）令，，根据韦达定理得到，将两边平方可得，再结合函数的单调性即可证明. 【小问1详解】 因为 ， 因为， 所以的图象关于直线对称. 【小问2详解】 （ⅰ）令，因为，所以，则， 则，， 因为在上单调递减， 所以关于的方程在上有两个不相等实数根， 所以，解得， 即的取值范围为. （ⅱ）令，，则，为关于的方程的两根， 所以，， 所以， 所以，即， 因为， 所以，所以， 由于，，所以， 则，即， 又在上单调递减，所以，即. 【点睛】关键点点睛：第一问关键是推导出，第二问关键换元，将问题转化为一元二次不等式在给定区间上有两解问题. 19. 已知函数，函数 （1）证明函数的奇偶性，并求的值； （2）判断函数在上的单调性，并利用定义法证明； （3），使在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1） 由于函数的定义域为且，关于原点对称； 又，故为奇函数； 则； （2） 函数在上单调递减，证明如下： 当时，， 设 由于且， 故，则， 因此， 故函数在上单调递减. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质即可求解； （2）根据函数的单调性即可求解； （3）根据函数的单调性，将问题转化为，进而转化为在内有两不等实根，利用换元法和分离参数，结合对勾函数的性质求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，且在上单调递减，为单调递增函数， 所以在上单调递减， 所以在上的值域为， ，即 整理得： 即在内有两不等实根， 令，当时，则关于的方程在内有两个不等实根， 整理得：，令，则， 故题设等价于函数与在有两个不同的交点， 由对勾函数性质知函数在上递减，在上递增，且时，，如图， 所以函数在上值域为. ，即. 【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有： （1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元. （2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $