精品解析：黑龙江省大庆市大庆石油高级中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

大庆石油高级中学2024-2025学年度第一学期 期末考试试题 高二数学 注意事项 1．考试时间120分钟，满分150分 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并准确填涂． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案的标号．非选择题答案使用0.5毫米中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．按照题号在各答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 已知直线经过点和，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 等差数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 3. 等轴双曲线：的焦距为4，则的一个顶点到一条渐近线的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ） A. B. C. 4 D. 5. 已知椭圆 分别为椭圆的左、右焦点， 为椭圆上一点，且 ，若 ，则椭圆离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为( ) A. B. C. D. 7. 已知圆柱的底面半径为，高为，如图，矩形是圆柱的轴截面，点是圆柱下底面圆上一点，且满足，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．某校以此为契机开展航天科普知识竞答，比赛共分为两轮，已知学生甲在第一轮比赛中获胜的概率是，在第二轮比赛中获胜的概率是，两轮均获胜的概率为，则甲参加两轮比赛，恰好有一轮获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线必过定点 B. 点关于直线对称的点是 C. 直线的斜率为 D. 点到的距离是 10. 已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. C. 若，则 D. 若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 11. 数列前项和为，且满足则（ ） A B. C. 数列前项和为 D 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在棱长为的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为________. 13. 已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一动点，点，则的最小值为_____. 14. 已知等差数列的前项和是，则数列中最小的项为第__________项. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15 已知等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 已知圆心为圆经过点和，且圆心在直线上，求： （1）求圆心为的圆的标准方程； （2）若过点的直线被圆所截得弦长为8，求该直线的方程． 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，平面，是的中点，是的中点． (1)求证：∥平面； (2)求证：平面平面； (3)求平面与平面所成的锐二面角的大小． 18. 已知数列的前n项和为，，． （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 19. 已知椭圆过点，离心率．、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为左、右焦点，直线交椭圆于、两点不过点 （1）求圆的方程； （2）若为椭圆上（除外）任意一点，求证：直线和的斜率之积为定值 （3）若直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大庆石油高级中学2024-2025学年度第一学期 期末考试试题 高二数学 注意事项 1．考试时间120分钟，满分150分 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并准确填涂． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案的标号．非选择题答案使用0.5毫米中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．按照题号在各答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 已知直线经过点和，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解出斜率，然后根据求解出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 因为， 所以且， 所以， 故选：C. 2. 等差数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式可得与，进而可得解. 【详解】设等差数列的公差为，则， 则， 解得， 则， 所以， 故选：A 3. 等轴双曲线：的焦距为4，则的一个顶点到一条渐近线的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等轴双曲线，实轴和虚轴长度相等，即，即可求解渐近线方程、顶点坐标等. 【详解】由题可知，双曲线为等轴双曲线， 故双曲线的半实轴长与半虚轴长相等，即， ∴渐近线方程为. 又，且，∴， ∴双曲线的顶点坐标为， ∴一个顶点到一条渐近线的距离为. 故选：A. 4. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知得出，，即可根据等比中项结合已知列出式子，求解得出答案. 【详解】数列是公差为2的等差数列， ，， 成等比数列， ，即，解得， 故选：C. 5. 已知椭圆 分别为椭圆的左、右焦点， 为椭圆上一点，且 ，若 ，则椭圆离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，后由题及余弦定理可得，即可得答案. 【详解】设,则，因，由余弦定理： ， 则，，则. 故选：D 6. 由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理可知当直线的点到圆的圆心距离最小时，此时切线长最小，然后计算即可. 【详解】由题可知圆的圆心，半径 ， 设直线的动点为，切点为 则切线长 所以要使切线长最小，则最小； 显然的最小值为到直线的距离为 所以此时切线长. 故选：A 7. 已知圆柱的底面半径为，高为，如图，矩形是圆柱的轴截面，点是圆柱下底面圆上一点，且满足，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明点为中点，建立空间直角坐标系，写出点坐标和线的方向向量坐标，由空间向量求出线线角的余弦值. 【详解】连接，∵为底面圆的直径，∴，∵，∴， ∴点为中点，即 如图： 在圆柱中可得，， ∴以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ∴，，，， ∴，， 设直线与的夹角为，则. 故选：A. 8. 2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．某校以此为契机开展航天科普知识竞答，比赛共分为两轮，已知学生甲在第一轮比赛中获胜的概率是，在第二轮比赛中获胜的概率是，两轮均获胜的概率为，则甲参加两轮比赛，恰好有一轮获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记事件“甲在第一轮中获胜”，“甲在第二轮中获胜”，由独立事件的概率公式计算即可； 【详解】记事件“甲在第一轮中获胜”，“甲在第二轮中获胜”， 则，，， 故， 故恰好有一轮获胜的概率． 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线必过定点 B. 点关于直线对称的点是 C. 直线的斜率为 D. 点到的距离是 【答案】ACD 【解析】 【分析】将直线方程变形，可求出直线所过定点的坐标，可判断A选项；利用点与点关于直线对称，求出点关于直线对称的点的坐标，可判断B选项；求出直线的斜率，可判断C选项；利用点到直线的距离公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线方程可化为， 由可得，所以，直线必过定点，A对； 对于B选项，设点关于直线对称的点的坐标为， 则，解得， 所以，点关于直线对称点的坐标为，B错； 对于C选项，直线的斜率为，C对； 对于D选项，点到的距离是，D对. 故选：ACD. 10. 已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. C. 若，则 D. 若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 【答案】ABD 【解析】 【分析】对选项A，根据题意得到，即可判断A正确，对选项B，分别对直线斜率存在和不存在进行讨论，即可判断B正确，对选项C，根据焦点弦的公式即可判断C错误，对选项D，首先过分别向准线作垂线，垂足为，再结合抛物线的概念即可判断D正确. 【详解】对选项A，抛物线：的焦点到准线的距离是4， 所以，，故A正确. 对选项B，当直线斜率不存在时，，所以， 当直线的斜率存在时，设， 得：，所以. 故B正确. 对选项C，，故C错误. 对选项D，如图所示： 过分别向准线作垂线，垂足为， 因为， 所以， 即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确. 故选：ABD 11. 数列前项和为，且满足则（ ） A. B. C. 数列的前项和为 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据递推公式列出前几项，即可判断A；分为奇数、偶数求出，即可判断B，利用分组求和法计算C、D. 【详解】对于A，因为， 所以，，，故A正确； 对于B，由，有，， 两式相加，得，又，所以，为偶数； 由，得，也即，为奇数， 所以故B正确； 对于C，数列的前项和记为， 则 ，故C正确； 对于D，由B可知： ， 则，故D错误， 故选：ABC． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在棱长为的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面的法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案. 【详解】如图，以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，故， ，，设平面的法向量为， 则，令，则 ， 故点到平面的距离为：. 故答案为：. 13. 已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一动点，点，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】过点作抛物线的准线的垂线段，垂足点为，由抛物线的定义可得，分析可知，当且仅当、、三点共线时，取最小值，即可得解. 【详解】过点作抛物线的准线的垂线段，垂足点为，如下图所示： 易知，抛物线的焦点为，准线为， 由抛物线的定义可得，所以，， 当且仅当、、三点共线时，即当时，取最小值，且最小值为. 故答案为：. 14. 已知等差数列的前项和是，则数列中最小的项为第__________项. 【答案】 【解析】 【分析】依题意根据等差数列求和公式得到、，，即可得到等差数列为递减数列，即可求出数列中最小的项. 【详解】，， 且，，故等差数列为递减数列，即公差为负数， ，且，，，所以数列中最小的项是第项. 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出等差数列的公差，利用等差数列的通项公式可求得的通项公式； （2）求得，利用裂项相消法可求得. 【小问1详解】 由题意可知，等差数列的公差为， 所以，. 【小问2详解】 因为， 因此，. 16. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求： （1）求圆心为圆的标准方程； （2）若过点的直线被圆所截得弦长为8，求该直线的方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程为，并将与坐标代入并结合圆心在直线上，即可求解. （2）分情况讨论直线斜率是否存在，再结合直线与圆相交弦长公式建立相关等式，即可求解. 【小问1详解】 设圆的标准方程为，得到圆心坐标为，半径为， 将与坐标代入圆方程得：， ， 消去，整理得：， 将圆心坐标代入得：， 联立①②解得：，， ， 则圆的标准方程为． 【小问2详解】 当直线的斜率存在时，设过点的直线， 圆半径为5，弦长为8， 圆心到直线的距离， 由，解得， 直线方程为，即． 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 直线与圆的交点坐标为，， 直线被圆所截得的弦长为8； 故直线的方程为或． 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，平面，是的中点，是的中点． (1)求证：∥平面； (2)求证：平面平面； (3)求平面与平面所成的锐二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)． 【解析】 【分析】(1)取PD的中点M，证明MEBF是平行四边形得BE∥MF即可； (2)连接BD，证明DF⊥平面PAB即可； (3)以AD为x轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PAB和平面PCD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角． 【详解】(1)取中点为，连、． 是的中点，是的中位线，∥CD，且ME=． 是中点且是菱形，∥，且AB=CD，∥FB，且ME==FB， 四边形是平行四边形，∴． 平面，平面，平面； (2)平面，平面，． 连接， 底面是菱形，，为正三角形，∴DA=DB， 是的中点，，，平面． 平面，平面平面； (3)建立如图所示的坐标系，x轴在平面ABCD内， 则， 则，， 设平面的法向量为， 则，且， 令，则，，则， 由(2)知平面，是平面的一个法向量， 设平面与平面所成锐二面角大小为，则， 故平面与平面所成的锐二面角的大小为． 18. 已知数列的前n项和为，，． （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知与的关系求解通项公式即可； （2）由（1）得，从而得到，利用错位相减法求其前n项和即可. 【小问1详解】 由，得（，）， ，（，）． 又，，，整理得． 数列是首项为1，公比为2的等比数列， 数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）得，．， 即，， 两式相减，得，． 19. 已知椭圆过点，离心率．、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为左、右焦点，直线交椭圆于、两点不过点 （1）求圆的方程； （2）若为椭圆上（除外）任意一点，求证：直线和的斜率之积为定值 （3）若直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，运用离心率公式，结合方程求出c即可； （2）运用斜率公式计算即可； （3）直曲联立，运用韦达定理，计算化简即可. 【小问1详解】 由题意知，，， 椭圆的方程可写为，又椭圆过点 故，得， 则椭圆C的方程为. 【小问2详解】 在椭圆中，左、右顶点分别为，， 设点，则，故 ，为定值． 【小问3详解】 设，，易知直线的斜率不为， 设其方程为， 联立，可得， 由，得． 由韦达定理，得，， ，， 可化为， 整理即得， ，由， 进一步得，化简可得，解得， 直线的方程为，恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$