1.3《乘法公式(1)》 平方差公式1 课件2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第一章 整式的乘除 1.3 乘法公式(1) ---平方差公式1 1.掌握平方差公式，能正确利用公式进行计算； 2.经历从多项式的乘法运算到归纳乘法公式，再运用乘法公式 计算的过程，培养从一般到特殊，再到一般的数学思维能力。 学习目标 温故知新 1.多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式 的每一项，再把所得的积相加.即(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn。 2.计算下列多项式的积： (1)(x＋2)(x－2)； (2)(1＋3a)(1－3a)； (3)(x＋5y)(x－5y)； (4)(2y＋z)(2y－z)． 解:(1)(x＋2)(x－2)= x2－x×2＋2×x＋2×（－2）= x2－4 ； (2)(1＋3a)(1－3a) = 12－1×3a＋3a×1＋3a×（－3a）= 1－9a2 ； (3)(x＋5y)(x－5y) = x×x－x·5y＋5y·x－(5y)2 = x2－25y2 ； (4)(2y＋z)(2y－z) = (2y)2－2y·z＋z·2y＋z·（－z）= 4y2－z2 。 1．知识复习——多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn． 3 探一探 1.不计算，猜一猜下面的式子的结果． (4)(a＋b)(a－b)= . a2－b2 (1)等式左边是两个二项式的乘积 ； (1)(a＋6)(a－6)= ； a2－36 (2)(2＋b)(2－b)= ； 4－b2 (3)(2x＋y)(2x－y)= ； 4x2－y2 2.上述问题中，相乘的两个多项式有什么特点？它们相乘的结果有什么规律？ (2)两个二项式的第一项是完全相同的，第二项互为相反数； ． (3)等式右边是这两项的平方差，而且是第一项的平方减第二项的平方。 这就是我们今天要学习的一个重要公式：平方差公式. 不计算，你来猜一下下面的式子的结果． 设计意图：让学生经历观察（每个算式和结果的特点）、比较（不同算式之间的异同）、归纳（可能具有的规律）、提出猜想的过程，学生在发现规律后，还应通过符号运算对规律进行证明． 4 学一学 平方差公式 (a ＋ b)(a － b) = a2 －b2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 你能用字母表示这个规律吗？ 设计意图：复习上节课知识的基础上，为本节课的学习做好知识准备． 使学生在计算过程中发现规律，体会规律的一般性，提出自己的猜想，并尝试用数学语言进行描述． 5 (a＋b)(a－b) = a2－b2。 特征1: 两个数的和 这两个数的差 这两数的平方差 学一学 公式的构成与特征： (a＋b)(a－b) = a2－b2 。 两个二项式相乘 结果仍是二项式 特征2: (a＋b)(a－b) = a2－b2。 特征3: 学一学 两个二项式的第一项完全相同，两个第二项互为相反数。 结果中，第一项的平方写在前面，第二项的平方写在后面。 公式的构成与特征： 相同 相反数 (a＋b)(a－b) = a2－b2 平方差公式的特征，在学习时应注意： (1)等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式的第一项 完全相同，第二项互为相反数； (2)等号右边是乘式中两项的平方差(相同数的平方减去相反 数的平方)，且仍是两项； (3)公式中的a,b可以表示一个单项式也可以表示一个多项式， 多项式要加上括号再平方。 学一学 公式的构成与特征： 下列各式中,能用平方差公式运算的是( )。 A.(－a＋b)(－a－b) B.(a－b)(b－a) C.(2a－3b)(3a＋2b) D.(a－b＋c)(b－a－c) 2.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是( )。 A.(x－2y)(2y＋x) B.(－x＋2y)(－x－2y) C.(－2y－x)(x＋2y) D.(－2b－5)(2b－5) A C 试一试 利用平方差公式计算： (1)(5＋6x)(5－6x) ； (2)(x－2y)(x＋2y)； (3)(－m＋n)(－m－n)。 例题学习 例1 解：(1)(5＋6x)(5－6x) (2)(x－2y)(x＋2y) (3)(－m＋n)(－m－n) = 52－(6x)2 = 25－36x2 ； = x2－4y2 ； = x2－(2y)2 = (－m)2－n2 = m2－n2 。 例1.利用平方差公式计算： 设计意图：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 10 随堂练习 1.计算： (1)(a＋2)(a－2)； (2)(3a＋2b)(3a－2b)； (3)(－x－1)(1－x)； (4)(－4k＋3)(－4k－3)。 解：(1)(a＋2)(a－2) = a2－22 = a2－4 ； (2)(3a＋2b)(3a-2b) =(3a)2－(2b)2 = 9a2－4b2 ； (3)(－x－1)(1－x) = (－x－1)(－x＋1) = (－x)2－12 = x2－1； (4)(－4k＋3)(－4k＋3) = (－4k)2－32 = 16k2－9。 利用平方差公式计算: 例2 例题学习 (2)(ab＋8)(ab－8) = (ab)2－82 = a2b2－64 。 1.判------找出（公式中的a）和（公式中的b）； 2.套------利用公式计算。 课堂小结 (a＋b)(a－b)=a2－b2 一、了解平方差公式的特点： 1.左边两个二项式的第一项完全相同，第二项互为相反数； 2.右边是相同数的平方减去相反数的平方。 二、运用平方差公式的关键与步骤：找 (1)(an＋b)( an－b)； (2)(a＋1)(a－1)( a2＋1)； (3)(a－b)(－a－b). 拓展提升 解：(1)(an＋b)( an－b) =(an)2－b2 =a2n－b2； (2)(a＋1)(a－1)( a2＋1) =(a2－1)( a2＋1) =(a2)2－12 =a4－1. 计算： (3)(a－b)(－a－b) =(－b＋a)(－b－a) =(－b)2－a2 =b2－a2. 1．下列运算中，正确的是( )。 A．（a＋3）（a－3）＝a2－3； 　 B．（3b＋2）（3b－2）＝3b2－4； C．（3m－2n）（－2n－3m）＝4n2－9m2； D．（x＋2）（x－3）＝x2－6. 2.等式(－a－b)( 　)(a2＋b2)＝a4－b4中，括号内应填( )。 A．－a＋b B．a－b C．－a－b D．a＋b C A 随堂检测 3.计算：(1)（2a－3b）（2a＋3b）； (2)（－p2＋q）（－p2－q）。 随堂检测 解：(1)原式 = (2a)2－(3b)2 = 4a2－9b2； (2)原式 =（－p2）2－q2 = p4－q2 。 4．若x2－y2 = 20，且x＋y = －5，则x－y的值是 。 随堂检测 【解析】根据平方差公式，由x2－y2 = 20得， (x＋y)(x－y) = 20， 因为 x＋y = －5， 所以 x－y = －4 。 －4 作 业 教材24页习题1.3第1题. 再 见 $$