江西省景德镇市2024-2025学年高三上学期第二次质检数学试题

景德镇市2025届高三第二次质检试题 数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1 2 3 4 5 6 7 8 C B B C D B A C 1．C 【解析】，，∴，故选C． 2．B 【解析】由题意，∴，则复数的虚部为，故选B． 3．B 【解析】由命题否定的定义可知，故选B． 4．C 【解析】由，可得， ∴，故选C． 5．D 【解析】圆，则，又，∴，∴，故选D． 6．B 【解析】由可知，解得或，由于为正项等比数列，故，∵，∴，故选B． 7．A 【解析】∵，∴的最小周期为4．令，解得． ∵为偶函数，∴关于直线成轴对称．∴，∴，∴．又，∴，， ∴，故选A． 8．C 【解析】设，根据椭圆的光学性质，点处切线与直线均为， 故点到的距离分别为，，∴坐标原点到点处切线的距离为，∴，由余弦定理，可得 ，∴，即，∴ 的离心率为，故选C． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分． 9 10 11 AB ACD AD 9．AB 【解析】对于A，，当时，常数项为，A正确；对于B，，，两边相等，B正确；对于C，，∴分位数即第5位数为8，故C错误；对于D，由已知可得，则，故D错误．故选AB． 10．ACD【解析】，∴，的渐近线方程为，A正确；到其渐近线的距离为，∴，，，若为的重心，则直线垂直与轴，不妨设，，则由重心坐标可知，，∴，代入可得，∴，B错误；依题意，又，∴，，∴，C正确；设的外接圆圆心，则外接圆方程为，直线与圆联立可得，①，直线与联立可得 ②，依题意可得，①和②为同一个方程，∴，解得，经检验，∴外接圆半径为，D正确．故选ACD． 11．AD 【解析】对于A，当平面平面时，直线与平面所成角取得最大值，A正确；对于B，设为在底面的投影，若存在点，使得，则，此时三点共线，∴不存在满足题意的点，B错误；对于C，作垂直于，垂直于，则，，∴，设二面角的大小为则 ，解得，C错误； 对于D，当平面平面时，，由余弦定理，，∴， 设为的中点，易知为三棱锥的外接球球心，半径为1，由等体积法可知， 到平面的距离为，∴截面面积为 ，D正确．故选AD． 第Ⅱ卷(非选择题共92分) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分． 12． 13． 14． 12． 【解析】． 13． 【解析】若仅小崔选了黑色，则有种选法；若仅小汪选了黑色，同理也有种选法；若两人都没有选择黑色，则有种选法．故共有种选法． 14． 【解析】依题意在上总存在实数解，∴．∵，∴在上单调递增， ∴，由于，当 时，达到最小，即， ∴，解得． 四、解答题：本大题共5小题，满分77分． 15．（本小题13分） 解：（1）∵， ∴，，∴．………6分 （2）∵，∴．由正弦定理可知．而，故，解得，………………………………………………………………9分 ，∴，……11分 设，，∵，由余弦定理可知， ∵，解得，∴．……………………………………………………………13分 16．（本小题15分） 解：（1）连接交于，连接，∵，∴．又∵，∴，∵平面,平面，∴平面．………………6分 （2）取中点，连接，，∵，∴，， 又∵，，∴四边形为矩形，． ∵，∴．…………………………………………………8分 ∵，∴平面，以为原点建系如图，，，，，，………………………………………………………10分 ∴，，， 设为平面的法向量， 令，则，，∴，……………12分∴， ∴与平面所成角的正弦值为．………………………………………………15分 17．（本小题15分） 解：（1）设的准线方程为，∴，又， 即，解得，∴的方程为.……………………………6分 （2）∵，∴点处的切线斜率为，∴直线斜率为，∴直线，……………………………………………………………………8分 与联立可得，，解得，即的横坐标为，∴的纵坐标为，………………………11分 ∴，时取等号．……………15分 18．（本小题17分） 解：（1）列联表如下： 关注 不关注 合计 男生 女生 合计 ……………………………………………………………………………………………………2分 ∴，…………………………………………………4分 故能有的把握认为学生对AI的关注与性别有关．………………………………………5分 （2）（ⅰ）设甲、乙得分分别为，∵为奇数，故，，，，，，，，故或．……………7分 ， ， ， ， 根据贝叶斯公式，， ． ∴的分布列为 ……………………………………………………………………………………………………12分 ∴．……………………………………………………………………………………13分 （ⅱ）假设除去第一题外的剩余题的答题过程中，甲比乙得分高的概率为，乙比甲得分高的概率为，甲乙得分相同的概率为，由于甲乙水平相当，根据对称性可知，且．∴，．……………………………………15分 如若乙比甲得分高，则第1题无论结果如何都是乙获胜；如若甲比乙得分高，则乙不可能获胜；如果甲乙得分相同，则第一题乙必须答对才能获胜，故乙获胜得概率， ∵，∴，解得．………………………………………………………17分 19．（本小题17分） 解：（1），，令解得，解 得，∴在递减，递增， ∴在时取最小值（如图1），…………………………………2分 ( 图1 图2 )当处时，均有，故此时的值为．………4分 （2）令，即，两边同时取对数并化简整理得：， 记，构造函数，发现，，令，即，∵，∴此方程存在两不等根，由韦达定理可知，∴，不难得出函数在上递减，上递增，上递减（如图2），…………………………………………………………………………………6分 且，∴．∵， ，∴关于单调递增，∴， 故在上存在零点．又，于是，． ……………………………………………………………………………………………………8分 令，由对勾函数可知时单调递增，且，故，即．而， ∴． ……………………………………………………………………………………………………10分 （3）先证明在区间的最佳逼近直线为，此时． 如图3，显然在点与之间，若斜向上，则，此时中至少有一个的值大于，同理，若斜向下，则中至少有一个的值大于，∴在区间的最佳逼近直线为．……………………………………12分 ( 图3 )，当时，的最小值在处取到．而，∴ ，由的任意性可知也具有任意性，即的最小值在处取到，故函数在区间的最佳逼近直线的方程为．同理可得的方程为．………………………………………………………………………15分 又 ．（或∵，∴） 故．…………………17分 高三数学 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$