(小升初思维拓展)式与方程 尖子生培优(讲义)-2024-2025学年六年级下册数学人教版

式与方程 【知识精讲+典型例题+分层练习+答案解析】 编者的话：同学们，恭喜你已经开启了新内容的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 第一部分 典型例题 例题1：学校买来的篮球和排球一共有117个，其中篮球的个数比排球的2倍还多9个。学校买来篮球和排球各多少个？ 【答案】篮球81个；排球36个 【分析】把排球的个数设为未知数，篮球的个数＝排球的个数×2＋9个，等量关系式：排球的个数＋篮球的个数＝篮球和排球的总个数，据此解答。 【详解】解：设学校买来排球x个，则买来篮球（2x＋9）个。 x＋2x＋9＝117 3x＋9＝117 3x＋9－9＝117－9 3x＝108 3x÷3＝108÷3 x＝36 篮球：2×36＋9 ＝72＋9 ＝81（个） 答：学校买来篮球81个，排球36个。 【点睛】本题主要考查列方程解含两个未知数的问题，准确设出未知数并找出等量关系式是解答题目的关键。 例题2：某小学科技小组和美术小组一共有204人，美术小组的人数是科技小组的。科技小组和美术小组分别有多少人？ 【答案】科技小组132人，美术小组72人 【分析】将科技小组的人数设为x人，那么美术小组有x人，据此再根据“科技小组人数＋美术小组人数＝204人”这一数量关系列方程解方程即可。 【详解】解：设科技小组有x人。 x＋x＝204 x＝204 x＝204÷ x＝132 132×＝72（人） 答：科技小组有132人，美术小组有72人。 【点睛】本题考查了简易方程的应用，解题关键是找出数量关系并列方程。 例题3：某玩具厂5月份生产一款玩具905个，下半月比上半月生产个数的2倍少127个，上半月生产了多少个？（列方程求解） 【答案】344个 【分析】由题意得，假设上半月生产的玩具个数为x，下半月比上半月生产个数的2倍少127个，那么下半月生产的玩具个数为：2x－127。玩具厂5月份一共生产了玩具905个，据此列出等量关系为：上半月生产的玩具个数＋下半月生产的玩具个数＝905。然后根据等量关系式列出方程并解方程即可。 【详解】解：设上半月生产了x个玩具 x＋2x－127＝905 3x－127＝905 3x－127＋127＝905＋127 3x＝1032 3x÷3＝1032÷3 x＝344 答：上半月生产了344个玩具。 例题4：林场种植了桉树和杨树共132棵，已知桉树的数量是杨树的3倍还多4棵，两种树各种了多少棵？（列方程解答） 【答案】桉树种植了100棵；杨树种植了32棵 【分析】根据“林场种植了桉树和杨树共132棵”，可以提炼出这道题的等量关系是：桉树的棵数＋杨树的棵数＝132棵，根据这个等量关系，列方程解答。 【详解】解：设杨树种植了x棵。 x＋3x＋4＝132 4x＋4＝132 4x＋4－4＝132－4 4x＝128 x＝32 132－32＝100（棵） 答：桉树种植了100棵，杨树种植了32棵。 【点睛】本题考查列方程解应用题，解题关键是找出题目中的等量关系：桉树的棵数＋杨树的棵数＝132棵，列方程解答。 例题5：王老师到体育用品店买球，买了8个足球和4个篮球，一共花去431.2元，已知每个足球28元，每个篮球多少元？ 【答案】51.8元 【分析】根据“总价＝单价×数量”表示出足球和篮球的总价，等量关系式：8个足球的钱数＋4个篮球的钱数＝一共花去的钱数，据此解答。 【详解】解：设每个篮球x元。 8×28＋4x＝431.2 224＋4x＝431.2 4x＝431.2－224 4x＝207.2 x＝207.2÷4 x＝51.8 答：每个篮球51.8元。 【点睛】掌握单价、总价、数量之间的关系是解答题目的关键。 第二部分 知识精讲-知己知彼，方能熟能生巧 知识清单+方法技巧 一、等式的意义 含有等号的式子叫做等式．等式两边同时加上（或减去）同一个整式，或者等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式的值不变． 等式的基本性质： 性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立．若a＝b，那么a+c＝b+c 性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．若a＝b，那么有a•c＝b•c，或a÷c＝b÷c （c≠0） 性质3：等式具有传递性．若a1＝a2，a2＝a3，a3＝a4，…am＝an，那么a1＝a2＝a3＝a4＝…＝an 等式的意义： 等式的性质是解方程的基础，很多解方程的方法都要运用到等式的性质．如移项，去分母等． 运用等式的性质，涉及除法时，要注意转换后，除数不能为0，否则无意义． 二、用字母表示数 字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来．比如：t可以表示时间． 用字母表示数的意义：有助于概念的本质特征，能使数量的关系变得更加简明，更具有普遍意义．使思维过程简化，易于形成概念系统． 注意： 1．用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；或用“•”（点）表示． 2．字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前；“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写． 3．出现除式时，用分数表示． 4．结果含加减运算的，单位前加“（　　）”． 5．系数是带分数时，带分数要化成假分数． 例如：乘法分配律：（a+b）×c＝a×c+b×c 乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c） 乘法交换律：a×b＝b×a． 三、含字母式子的求值 在数学中，我们常常用字母来表示一个数，然后通过四则运算求解出那个字母所表示的数．通常我们所谓的求解x的方程也是含字母式子的求值．如x的4倍与5的和，用式子表示是4x+5．若加个条件说和为9，即可求出x＝1． 四、分数方程求解 解方程的步骤 （1）去分母。 当方程中存在分数，对方程中的两侧都乘以分数的分母，使分式化为整式，便于计算。 （2）去括号。 在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。 （3）移项。 通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。 （4）合并同类项。 对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。 （5）系数化为1. 合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。当方程为一元一次方程时，系数化为1后即可得到方程的解。 五、百分数方程求解 把百分数转化成小数即可，其他步骤与小数方程求解相同 一般利用等式性质把小数转化为整数之后，其他步骤与整数方程求解相同。 解方程的步骤 （1）去分母。 当方程中存在分数，对方程中的两侧都乘以分数的分母，使分式化为整式，便于计算。 （2）去括号。 在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。 （3）移项。 通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。 （4）合并同类项。 对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。 （5）系数化为1. 合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。当方程为一元一次方程时，系数化为1后即可得到方程的解。 第三部分 分层练习-逐级提升，顺利通关 1．婷婷的爸爸比妈妈大4岁，她的爸爸妈妈今年的岁数和是68岁。婷婷的爸爸和妈妈今年各多少岁？ 2．王老师的手机套餐每月包含500兆，王老师每月的流量比李老师的2倍少50兆。李老师的手机套餐每月包含多少流量？（用方程解） 3．一本书共300页，分两周读完，第一周读的页数比第二周的多。第一周读了多少页？ 4．将一批纸装订成同样大小的练习本，如果每本18张，可以装订200本。如果每本少装2张，可以装订多少本？ 5．截至2021年5月，郑州铁路沿线新增游园102个，打造出了一个安全宜居的铁路沿线生态环境，同时给附近居民提供了更好的活动场所。同同和蓝蓝早上在游园晨练，她们沿着一条长2500米的跑道从两端同时出发，相向而行。蓝蓝每分钟跑260米，同同每分钟跑240米，几分钟后她俩相遇？ （1）画线段图分析题中的数量关系。 （2）列方程解答。 6．深圳到北京的铁路线长约2400千米，一列复兴号动车从北京开出，平均每时行驶320千米，另一列和谐号动车从深圳开出，平均每时行驶280千米。两列动车同时开出，经过几时相遇？（列方程解答） 7．培英小学五、六年级共有学生900人，其中五年级的学生人数是六年级学生人数的1.5倍，六年级有学生多少人？（列方程解答） 8．甲乙两辆车从A、B两地同时相向开出，4小时后相遇。乙车是甲车速度的，相遇时甲车比乙车多行80千米，两地相距多少千米？ 9．一辆客车和一辆货车从相距558千米的甲乙两地同时相向开出，客车每小时行驶64千米，经4.5小时两车相遇，货车每小时行驶多少千米？（列方程解） 10．妈妈给大胖小胖哥俩买回一些巧克力，小胖拿走了其中的还多3块，大胖拿走了剩余的还多3块，正好全部拿光。妈妈一共买回了多少块巧克力？ 11．浓度为20%、18%、16%的三种盐水，混合后得到100克18.8%的盐水，如果18%的盐水比16%的盐水多30克，问每种盐水多少克？ 12．水果店运来了60箱桔子，每箱a千克，又运来b箱苹果，每箱15千克。 （1）用式子表示水果店运来桔子和苹果共多少千克？ （2）当，时，桔子和苹果一共有多少千克？ 13．2022年冬奥会和冬残奥会将在我国举行。冬奥组委会面向全球发布志愿者招募公告，计划招募2.7万名冬奥会志愿者，比冬残奥会志愿者的2倍还多0.3万名。计划招募冬残奥会志愿者多少万名？（用方程解答） 14．一根铁丝，第一次截去全长的40%，第二次比第一次多截去2米，还剩10米。这根铁丝原来长多少米？ 15．（6分）一条铁路，修完1000千米后，剩余部分比全长的少250千米，这条铁路长多少千米？ 16．某旅游团一共64个人，有一次买门票共花了520元。成人票每张10元，儿童票每张5元，这个旅游团中成人和儿童各有多少人？ 17．为共迎建党100周年，道县举行“清明祭树湘”活动，主题为“断肠明志绝对忠诚”参加这次活动的男队员1380名，男队员是女队员的5倍少155人，参加这次活动的女队员有多少人？（用方程解） 18．张大伯家今年收的栗子和核桃一共有吨，栗子的吨数是核桃的75%。核桃和栗子各收了多少吨？（用方程解） 19．李叔叔家果园今年大丰收，梨、苹果和水蜜桃共收了20吨。苹果比梨多3吨，水蜜桃比梨多5吨。三种水果各收了多少吨？ 20．六年级图书角共有科普读物和故事书280本，其中故事书的本数是科普读物本数的，六年级的科普读物和故事书各有多少本？（用方程解） 21．小明买了5支钢笔和6本笔记本，一共花了232.2元。已知2支钢笔的价钱和3本笔记本的价钱相等。每支钢笔和每本笔记本各是多少元？ 22．篮球社团的人数比足球社团的多19人，篮球社团的人数是足球社团的1.5倍，篮球社团有多少人？（用方程解答） 23．学校图书馆买来15包故事书和12包科技书，共660本，每包故事书20本，每包科技书多少本？（列方程解） 24．配制一种药水，药粉和水的质量比是1∶80，现在要配制一种药水，需要4.5千克的药粉藉要多少千克的水？共配制成多少千克的药水？（用比例解） 25．儿子今年的年龄是父亲的，4年后儿子的年龄是父亲的。父亲今年多少岁？ 26．为了提高身体素质，组织自行车越野赛号召全民健身，全程220km，全程被分为20个路段，其中一部分路段长14km，其余的路段长8km，长8km的路段和长14km的路段各有多少个？ 27．水果商店进了苹果和梨共90箱，第一天卖出14箱苹果和梨的后，剩下的苹果和梨箱数相等。这批苹果和梨各有多少箱？ 28．甲乙两队同时开凿一条810米长的隧道，各从一端相向施工，甲队每天的开凿速度是乙队的1.7倍，25天打通。甲、乙两队每天分别开凿多少米？（用方程解） 29．李师傅与王师傅同时加工一批零件，工效比是5∶4，完成任务时，李师傅生产的比总个数的80%少440个。这批零件共多少个？ 30．有两袋大米，第二袋大米比第一袋大米多40千克，如果从第二袋中取出大米5千克倒入第一袋，这时第二袋大米的重量正好是第一袋的3倍，原来两袋大米各重多少千克？ 31．四人做传数游戏，甲任报一个数a给乙，乙把这个数加1传给丙，丙再把所得的数平方后传给丁，丁把所听到的数减1报出答案． （1）请把游戏过程用代数式的程序描述出来． （2）若甲报的数为19，则丁的答案是多少？ （3）若丁报出的答案是35，则甲传给乙的数是多少？ 32．甲、乙两地间的公路长416千米，A、B两辆汽车分别从两地同时出发，相向而行，4小时后两车相遇。A车的速度比B车快12千米/时，两车的速度各是多少？ （列方程解答） 33．甲乙两城相距460千米，货车以每小时60千米的速度从甲城开往乙城，2小时后，客车才从乙城开往甲城，又经过3.4小时两车相遇，客车每小时行多少千米？ 34．四年级学生参加数学“智趣社团”的共有120人，男生是女生的2倍。请你算一算，男、女生各有多少人？ 35．中国结是中国文化的象征之一，它代表着团结美好、幸福平安，表达对祖国的美好祝福。手工课上，六（2）要编60个中国结，其中男生编的中国结个数是女生的。男生和女生分别编了多少个中国结？ 36．水果店运来12箱梨，每箱重35kg，比运来的苹果的1.5倍少21kg。运来的苹果有多少千克？（列方程解答） 37．小明有a张邮票，小红的邮票数比小明的3 倍多m张，你能提出什么问题，用式子表示出来。当a=20，m=3时，求式子的值。 38．学校共有520名学生参加“我爱我家·清洁县城”活动，其中参加活动的男生人数是女生人数的1.5倍。参加活动的男、女生各有多少人？（列方程解答） 39．商店运来20筐梨和16筐苹果，共重820千克，已知每筐苹果重22.5千克，每筐梨重多少千克？（用方程解） 40．甲、乙两城相距540千米。甲乙两车同时从两城相对开出，5.4小时后两车在途中相遇。甲车平均每小时行驶52千米，乙车平均每小时行驶多少千米？（方程解） 41．四、五年级同学植树，五年级植了276棵，比四年级的3倍少45棵，四年级植树多少棵？（用方程解） 42．妈妈去水果店买了3千克梨和4千克苹果共花了30.5元，已知每千克梨3.5元，每千克苹果多少元？（列方程解答） 43．化肥厂十月要生产a吨化肥，每天生产10.8吨，生产了b天。 （1）用含有字母的式子表示还要生产多少吨化肥才完成任务。 （2）当时，用上面的式子求出还要生产的化肥吨数。 44．有两筐桔子，如果从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的桔子就同样多；如果从乙筐拿出13个放到甲筐，甲筐的桔子是乙筐的2倍。甲、乙两筐原来各有多少个桔子？ 45．用240分米长的铁丝焊成一个长方体框架，这个长方体的长、宽、高的比是3∶2∶1，这个长方体的体积是多少？ 46．学校合唱队有女生65人，比男生人数的3倍多5人，合唱队有男生多少人？（列方程解答） 47．妈妈去超市购物，买了2条毛巾，需16.8元，照这样计算，妈妈带50元钱去买5条这样的毛巾，还可以找回多少元？ 参考答案： 1．妈妈32岁；爸爸36岁 【分析】婷婷的爸爸比妈妈大4岁，婷婷爸爸的年龄＝婷婷妈妈的年龄＋4，根据等量关系式：爸爸今年的年龄＋妈妈今年的年龄＝68岁，列方程解答即可。 【详解】解：设婷婷的妈妈今年x岁，则婷婷的爸爸今年（x＋4）岁。 x＋（x＋4）＝68 2x＋4＝68 2x＝68－4 2x＝64 x＝64÷2 x＝32 爸爸的年龄：32＋4＝36（岁） 答：婷婷的爸爸今年36岁，妈妈今年32岁。 【点睛】根据等量关系式列出方程是解答本题的关键。 2．275兆 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，比一个数少几就减几，设李老师的手机套餐每月包含x兆流量，根据李老师的手机套餐流量×2－50兆＝王老师的手机套餐流量，列出方程解答即可。 【详解】解：设李老师的手机套餐每月包含x兆流量。 2x－50＝500 2x－50＋50＝500＋50 2x＝550 2x÷2＝550÷2 x＝275 答：李老师的手机套餐每月包含275兆流量。 【点睛】用方程解决问题的关键是找到等量关系。 3．180页 【分析】由题意可知，设第二周读的页数为x页，则第一周读的页数为（1＋）x页，根据第一周读的页数＋第二周读的页数＝300，据此列方程，解方程即可。 【详解】解：设第二周读的页数为x页，则第一周读的页数为（1＋）x页。 （1＋）x＋x＝300 x＋x＝300 x＝300 x＝120 300－120＝180（页） 答：第一周读了180页。 【点睛】本题考查用方程解决实际问题，明确数量关系是解题的关键。 4．225本 【分析】根据题意知道一批纸的总数量一定，即每本的页数和装订的本数的乘积一定，所以每本的页数和装订的本数成反比例，可以设如果每本少装2张，可以装订x本，由此列出比例解答即可。 【详解】解：设如果每本少装2张，可以装订x本。 （18－2）x＝200×18 16x＝3600 x＝3600÷16 x＝225 答：可以装订225本。 【点睛】解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例然后找准对应量，列式解答即可。 5．（1）见详解；（2）5分钟 【分析】（1）已知蓝蓝每分钟跑260米，同同每分钟跑240米，她们沿着一条长2500米的跑道从两端同时出发，相向而行，从他们出发到相遇，所用时间相同，且两人的路程和等于跑道的长度，据此可列数量关系式：蓝蓝的速度×相遇时间＋同同的速度×相遇时间＝两人的路程和，据此画图。 （2）假设两人x分钟后相遇，根据（1）可列方程：260x＋240x＝2500，然后解出方程即可。 【详解】（1） 数量关系式：蓝蓝的速度×相遇时间＋同同的速度×相遇时间＝两人的路程和 （2）解：设两人x分钟后相遇。 260x＋240x＝2500 500x＝2500 500x÷500＝2500÷500 x＝5 答：两人5分钟后相遇。 【点睛】本题考查了列方程解决问题，找到对应的数量关系式是解题的关键。 6．4时 【分析】设两列动车同时开出，经过x时相遇，复兴号平均每时行驶320千米，x时行驶320x千米；和谐号平均每时行驶280千米，x时行驶280千米；两车相遇时所行的路程和等于深圳到北京的距离，即复兴号行驶的路程＋和谐号行驶的路程＝深圳到北京的距离2400千米，列方程：320x＋280x＝2400，解方程，即可解答。 【详解】解：设两列列车同时开车，经过x时相遇。 320x＋280x＝2400 600x＝2400 x＝2400÷600 x＝4 答：两列动车同时开出，经过4时相遇。 【点睛】本题考查相遇问题，根据路程、速度和时间三者的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 7．360人 【分析】根据题意，将六年级学生人数设为x人，则五年级的学生人数可以表示为1.5x人，两个年级一共有学生900人，可以列出等量关系：六年级学生人数＋五年级的学生人数＝900人，据此列方程解答即可。 【详解】解：设六年级学生有人，则五年级的学生有人。 答：六年级有学生360人。 【点睛】本题考查了简单的列方程解应用题，关键是找准等量关系，根据题中已知条件写出等量关系式即可。 8．320千米 【分析】设甲车的速度是x千米/小时，则乙车的速度是x千米/小时，根据相遇时甲车比乙车多行80千米，据此列方程，解方程即可。 【详解】解：设甲车的速度是x千米/小时，则乙车的速度是x千米/小时。 4x－x×4＝80 1.6x＝80 x＝50 （50＋50×）×4 ＝80×4 ＝320（千米） 答：两地相距320千米。 【点睛】本题考查用方程解决实际问题，明确数量关系是解题的关键。 9．60千米 【分析】根据题干，设货车每小时行驶x千米，则根据等量关系：货车行驶的速度×4.5小时＋客车行驶的速度×4.5小时＝甲乙两地的距离558千米，据此列出方程解决问题。 【详解】解：设货车每小时行驶x千米。 64×4.5＋4.5x＝558 288＋4.5x＝558 4.5x＝270 x＝60 答：货车每小时行驶60千米。 【点睛】熟练掌握相遇问题是解决本题的关键。 10．18块 【分析】把一些巧克力看作单位“1”，设有x块巧克力，小胖拿走了其中的还多3块，小胖拿走了（x＋3）块，这时剩下x－（x＋3）块，大胖拿走了剩余的也多3块，大胖拿了[x－（x＋3）]×＋3块，正好全部拿完，两个人拿的相加就是x．据此解答。 【详解】解：设有x块巧克力。 [x－（x＋3）]×＋3＋x＋3＝x [x－3]×＋x＋6＝x x－3＋x＋12＝2x x－6＋2x＋24＝4x 3x＋18＝4x x＝18 答：妈妈一共买回了18块巧克力。 【点睛】本题比较难，是复杂的含有两个未知的问题，要认真分析题意，找出数量之间的关系，正确列式计算。 11．50克；40克；10克 【分析】为方便分析：我们假设20%的盐水为A，18%盐水为B，16%的盐水为C， “18%的盐水比16%的盐水多30克”，设C盐水有x克，则B盐水有（x＋30）克，又因为混合后共100克，则A盐水有：100－x－（x＋30）＝（70－2x）克； 用每种盐水：各自的质量×各自的浓度＝各自盐的重量；把所有盐的质量相加等于“混合后得到100克18.8%的盐水”中盐的重量。根据盐的质量相等这个等量关系列方程解答。 【详解】假设20%的盐水为A，18%的盐水为B，16%的盐水为C， 设C盐水有x克，则B盐水有（x＋30）克， A盐水有：100－x－（x＋30）＝（70－2x）克 根据“盐质量的总量不变”，列方程得： 20%×（70－2x）＋18%（x＋30）＋16%×x＝100×18.8% 0.2×（70－2x）＋0.18（x＋30）＋0.16×x＝100×0.188 14－0.4x＋0.18x＋5.4＋0.16x＝18.8 19.4－0.06x＝18.8 19.4－0.06x＋0.06x＝18.8＋0.06x 18.8＋0.06x＝19.4 18.8＋0.06x－18.8＝19.4－18.8 0.06x＝0.6 x＝10 则B盐水：10＋30＝40（克） A盐水：100－10－40＝50（克） 答：20%盐水用了50克，18%盐水用了40克，16%盐水用了10克。 【点睛】盐水浓度＝盐的质量÷水的质量； 盐的质量＝水的质量×盐水浓度； 水的质量＝盐的质量÷盐水浓度 关键等量关系：混合前后的盐质量的总量不变 12．（1）千克 （2）1650千克 【分析】（1）根据题意可知：桔子的箱数×每箱桔子的重量＋苹果的箱数×每箱苹果的重量＝水果店运来水果的总重量，依此列式即可。 （2）直接将，代入第（1）小题的算式中计算出结果即可。 【详解】（1）水果店运来桔子和苹果的总重量为： 千克 （2）） ＝60×10＋15×70 ＝600＋1050 ＝1650（千克） 答：当，时，桔子和苹果一共有1650千克。 【点睛】此题考查的是用字母表示数，以及含字母算式的求值，要熟练掌握。 13．1.2万名 【分析】设计划招募冬残奥会志愿者万名，根据题意得数量关系式计划招募冬奥会志愿者人数－冬残奥会志愿者的2倍＝0.3，据此列方程解答。 【详解】解：设计划招募冬残奥会志愿者万名。 2.7－2＝0.3 2＝2.7－0.3 答：计划招募冬残奥会志愿者1.2万名。 【点睛】此题考查的是列方程解决问题，理解题意明确等量关系是解题关键。 14．60米 【分析】假设这根铁丝原来长x米，求一个数的百分之几是多少，用乘法，所以用未知数表示出第一次截去的长度是（x×40%）米，第二次截去（x×40%＋2）米，根据数量关系：剩余的长度＝总长－第一次截去的长度－第二次截去的长度，据此列方程，求解即可。 【详解】解：设这根铁丝原来长x米， x－x×40%－（x×40%＋2）＝10 x－0.4x－0.4x－2＝10 0.2x＝10＋2 0.2x＝12 x＝12÷0.2 x＝60 答：这根铁丝原来长60米。 【点睛】此题的解题关键是利用求一个数的百分之几是多少的计算方法，把这根铁丝原来的长度设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。 15．1875千米 【详解】设这条铁路全长千米。 x－1000＝x－250 x－1000＋1000＝x－250＋1000 x＝x＋750 x－x＝x＋750－x x＝750 x÷＝750÷ x＝1875 答：这条铁路长1875千米。 16．成人40人；儿童24人 【分析】根据题意，设成人有x人，则儿童有64－x人，成人一张门票10 ，x人是10x元，儿童是5元，（64－x）人门票是5×（64－x）元，成人买门票+儿童买门票=买门票花了520元，列方程：10x＋5×（64－x）＝520，解方程，即可解答。 【详解】解：设成人有x人，则儿童有64－x人 10x＋5×（64－x）＝520 10x＋5×64－5x＝520 5x＋320＝520 5x＝520－320 5x＝200 x＝200÷5 x＝40 64－40＝24（人） 答：成人有40人，儿童有24人。 【点睛】本题考查方程的实际应用，根据题意，找出相关的量，列方程，解方程。 17．307人 【分析】根据题意可知：女队员的人数×5－155人＝男队员的人数，设女队员有x人，据此列方程解答。 【详解】解：设女队员有x人。 5x－155＝1380 5x＝1380＋155 5x＝1535 x＝1535÷5 x＝307 答：参加这次活动的女队员有307人。 【点睛】解答此题，首先弄清题意，分清已知与所求，再找出基本数量关系，设出未知数，由此列方程解答。 18．核桃收了0.5吨；栗子收了吨 【分析】把核桃的吨数看作单位“1”，根据百分数乘法的意义，可知核桃的吨数×75%＝栗子的吨数，核桃的吨数＋栗子的吨数＝总吨数，据此设核桃收了x吨，列方程为x＋75%x＝，然后解出方程，进而求出栗子的吨数。 【详解】解：设核桃收了x吨。 x＋75%x＝ 1.75x＝ 1.75x＝0.875 x＝0.875÷1.75 x＝0.5 栗子：－0.5＝（吨） 答：核桃收了0.5吨，栗子收了吨。 19．梨：4吨；苹果：7吨；水蜜桃：9吨 【分析】设梨收了x吨，苹果比梨多3吨，则苹果收了（x＋3）吨，水蜜桃比梨多5吨，则水蜜桃收了（x＋5）吨，梨、苹果和水蜜桃共收了20吨，列方程：x＋（x＋3）＋（x＋5）＝20，解方程，即可解答。 【详解】解：设梨收了x吨，则苹果收了（x＋3）吨，水蜜桃收了（x＋5）吨。 x＋（x＋3）＋（x＋5）＝20 x＋x＋3＋x＋5＝20 3x＋8＝20 3x＝20－8 3x＝12 x＝12÷3 x＝4 苹果：4＋3＝7（吨） 水蜜桃：5＋4＝9（吨） 答：梨收了4吨，苹果收了7吨，水蜜桃收了9吨。 20．科普读物有120本；故事书有160本。 【分析】根据题意，设科普读物有x本，那么故事书就是x本。再根据它们和的关系式解答即可。 【详解】解：设科普读物有x本。 x＋x＝280 x＝280 x＝120 120×＝160（本） 答：科普读物有120本，故事书有160本。 【点睛】此题主要要分清其中的数量关系式，然后选择好未知数的假设。 21．钢笔25.8元，笔记本17.2元 【分析】根据2支钢笔的价钱和3本笔记本的价钱相等，将6本笔记本代换成钢笔数量，用花的总钱数÷可以买的钢笔总数，求出钢笔单价，钢笔单价×2÷3＝笔记本单价。 【详解】232.2÷（5＋6÷3×2） ＝232.2÷（5＋4） ＝232.2÷9 ＝25.8（元） 25.8×2÷3＝17.2（元） 答：每支钢笔25.8元，每本笔记本17.2元。 【点睛】关键是将笔记本代换成钢笔，即笔记本数量÷3×2＝钢笔数量。 22．57人 【分析】由题意可知，可设足球社团的人数有x人，则篮球社团的人数是1.5x人，根据篮球社团的人数－足球社团的人数＝19，据此列方程，解方程即可。 【详解】解：设足球设团有x人，则篮球社团的人数是1.5x人。 1.5x－x＝19 0.5x＝19 x＝38 38×1.5＝57（人） 答：篮球社团有57人。 【点睛】本题考查用方程解决实际问题，明确等量关系是解题的关键。 23．30本 【分析】设每包科技书x本，根据“故事书的总数＋科技书的总数＝两类书的总本书（660）”列出方程，解答即可。 【详解】解：设每包科技书x本， 20×15＋12x＝660 300＋12x＝660 x＝30 答：每包科技书30本。 【点睛】解答此题的关键找出数量间的相等关系式：故事书的总数＋科技书的总数＝两类书的总本书，列出方程，解答即可。 24．360千克；364.5千克 【分析】根据题意可知药粉和水的比1∶80，它们的比值一定，成正比例关系，据此可列方程进行解答，可得需要水的千克数，再加药粉的千克数，即可得共配制成多少千克的药水。 【详解】解：设需要x千克的水， 1∶80＝4.5∶x x＝80×4.5 x＝360 360＋4.5＝364.5（千克） 答：需要360千克的水，共配制成364.5千克的药水。 【点睛】本题的重点是根据药粉和水的比值一定，确定它们成正比例关系，再列方程进行解答。 25．36岁 【分析】设父亲今年岁，那么儿子今年的年龄是岁，4年后儿子的年龄为＋4（岁），父亲的年龄为＋4（岁），等量关系为：4年后儿子的年龄＝4年后父亲的年龄×，据此列方程解答求出父亲今年多少岁。 【详解】解：设父亲今年岁。 ＋4＝（＋4） ＝3     ＝36 答：父亲今年36岁。 【点睛】列方程是解答应用题的一种有效的方法，解题的关键是弄清题意，找出应用题中的等量关系。 26．10个；10个 【分析】此题用一元一次方程解，设长14千米的路段有x个，由题意“被分为20个路段”，可表示出长8千米的路段为（20－x）个，根据题意找等量关系式列方程，因越野赛全程220千米，可得14千米的总路段长＋8千米的总路段长＝全程220千米，列出方程，从而解方程即可。 【详解】解：设14千米的路段有x个，由题意可列方程得： 14x＋8×（20－x）＝220 14x－8x＝220－160 6x＝60 x＝10 将x代入20－x可得： 20－x ＝20－10 ＝10（个） 答：长为8千米的路段有10个，长14km的路段有10个。 【点睛】此题重点是会用含未知数的式子表示数及根据题意找准等量关系式，列出方程。 27．苹果有50箱，梨有40箱。 【分析】设这批梨有箱，由“水果商店进了苹果和梨共90箱”知，这批苹果的箱数为：箱。苹果卖出了14箱，则剩下的苹果箱数为：箱；梨卖出它的，即卖出了箱，还剩下的箱数为：箱。根据题中“剩下的苹果箱数＝剩下梨的箱数”等量关系，列方程解答即可。 【详解】设梨有箱，则苹果有箱， 苹果有：90－40＝50（箱） 答：这批苹果有50箱，梨有40箱。 28．甲队：20.4米；乙队：12米 【分析】根据题意，设乙队的速度为每天开凿x米，甲队的速度为每天开凿1.7x米。他们的速度和×时间＝总长，以此列方程解答即可。 【详解】解：设乙队的速度为每天开凿x米，甲队的速度为每天开凿1.7x米。 25（x＋1.7x）＝810 25x＋42.5x＝810 67.5x＝810 x＝12 甲队：1.7×12＝20.4（米） 答：甲队每天开凿20.4米，乙队每天开凿12米。 【点睛】此题主要是通过设一个未知数，表示出两个未知量。 29．1800个 【分析】假设这批零件共x个，李师傅与王师傅的工效比是5∶4，说明李师傅完成了这批零件的，即完成×x个，再根据数量关系：李师傅生产的零件数量＝这批零件的总数量×80%－440，据此列出方程，解方程即可求出这批零件共多少个。 【详解】解：设这批零件共x个。 ×x＝x×80%－440 x＝x－440 x－x＝440 x－x＝440 x＝440 x＝440÷ x＝440× x＝1800 答：这批零件共1800个。 【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把这批零件的总数量设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。 30．第一袋10千克，第二袋50千克 【分析】根据题意，可设原来第一袋有大米x千克，第二袋大米比第一袋大米多40千克，即第二袋有（x＋40）千克，等量关系式是：第二袋大米的重量－5＝（第一袋大米的重量＋5）×3，据此列方程求解即可。 【详解】解：设原来第一袋有大米x千克，则第二袋有（x＋40）千克，根据题意列方程： x＋40－5＝（x＋5）×3 x＋35＝3x＋15 2x＝20 x＝10 x＋40＝10＋40＝50 答：原来第一袋有大米10千克，第二袋有50千克。 【点睛】找清两袋大米重量之间的等量关系，是解答本题的关键。 31．（1）（a+1）2-1； 答：代数式为（a+1）2-1； （2）当a=19时， （a+1）2-1， =（19+1）2-1， =400-1， =399； 答：则丁的答案是399； （3）（a+1）2-1=35， （a+1）2=36， a+1=6或-6， 所以a=5或a=-7； 答：则甲传给乙的数是5或-7． 【详解】（1）要明确游戏过程中的代数式是：a→a+1→（a+1）2→（a+1）2-1； （2）把a=19代入（a+1）2-1，解答即可； （3）让代数式等于35，即（a+1）2-1=35，解答即可． 32．58千米/时；46千米/时 【分析】根据题意可知，A车的速度×行驶的时间＋B车的速度×行驶的时间＝416千米；设B车的速度是x千米/时，则A车的速度是（x＋12）千米/时，据此列方程并解方程，即可求出B车行驶的速度，进而求出A车的速度。 【详解】解：设B车的速度是x千米/时，则A车的速度是（x＋12）千米/时，可得： 4×（x＋12）＋4×x＝416 4x＋48＋4x＝416 48＋8x＝416 48＋8x－48＝416－48 8x＝368 8x÷8＝368÷8 x＝46 46＋12＝58（千米/时） 答：A车的速度是58千米/时，B车的速度是46千米/时。 【点睛】理清题意，找出数量关系，正确列式，是解答此题的关键。 33．40千米 【分析】根据题意从问题出发，要求客车每小时行多少千米？因为客车行驶的时间知道3.4小时必须先求客车行驶的路程；要求客车的路程，必须再求货车2＋3.4＝5.4小时内行驶了多少千米60×5.4；然后解答即可。 【详解】解：设客车每小时行x千米， 3.4x＋60×（2＋3.4）＝460 3.4x＋60×5.4＝460 3.4x＝460﹣324 3.4x＝136 x＝136÷3.4 x＝40 答：客车每小时行40千米。 34．男生80人，女生40人 【分析】求一个数的几倍是多少，用乘法计算，用女生人数乘2可以计算出男生人数，将男、女生人数相加为120人；那么将女生的人数设为x人，则男生有2x人，列出方程为：x＋2x＝120，再运用等式的性质解方程，等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式；再将x的结果代入2x计算出男生人数即可，据此解答。 【详解】解：设女生有x人，则男生有2x人。 x＋2x＝120 （1＋2）x＝120 3x＝120 3x÷3＝120÷3 x＝40 男生：2x＝2×40＝80（人） 答：男生有80人，女生有40人。 35．男生：24个；女生：36个 【分析】设女生编x个中国结；男生编的中国结个数是女生的，则男生编x个中国结；一共要编60个中国结，即女生编的中国结的个数＋男生编的中国结的个数＝60个，列方程：x＋x＝60，解方程，即可解答。 【详解】解：设女生编x个中国结，则男生编x个中国结。 x＋x＝60 x＝60 x＝60÷ x＝60× x＝36 男生：36×＝24（个） 答：男生编了24个，女生编了36个。 36．294千克 【分析】根据运来的梨比运来的苹果的1.5倍少21kg，可知本题的数量关系：苹果的重量×1.5－21＝梨的重量，据此等量关系式，可列方程解答。 【详解】解：设运来的苹果有x千克，根据题意得： 1.5x－21＝12×35 1.5x－21＋21＝420＋21 1.5x＝441 1.5x÷1.5＝441÷1.5 x＝294 答：运来的苹果有294千克。 【点睛】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。 37．小红邮票多少张？3a+m， 3×20+3=63    答：小红63张。 【详解】小红邮票多少张？3a+m， 3×20+3=63    答：小红63张。 38．312人；208人 【分析】已知参加活动的520名学生中，男生人数是女生人数的1.5倍，要求男生女生各有多少人，可假设女生有x人，则男生就有1.5x人，最后列出方程：。 【详解】解：设女生人，则男生人。 （人） 答：参加活动的男生有312人，女生有208人。 【点睛】在列方程时，通常假设1倍量为未知数x，这样另一个量就是几倍的x；这样列方程解答比较简便。 39．22.5×16＋20x＝820 【详解】等量关系式：每筐苹果的重量×筐数＋每筐梨的重量×筐数＝总重量，设每筐梨重x千克，列方程即可。 解：设每筐梨重x千克 22.5×16＋20x＝820 40．48千米 【分析】设乙车平均每小时行驶x千米，根据路程＝速度×时间，分别求出相遇时甲车和乙车行驶的路程，再根据两车行驶路程之和＝540千米列方程即可解答。 【详解】解：设乙车平均每小时行驶x千米， 5.4x＋5.4×52＝540 5.4x＋280.8＝540 5.4x＋280.8－280.8＝540－280.8 5.4x＝259.2 x＝48 答：乙车平均每小时行驶48千米。 41．107棵 【分析】设四年级植树棵数是x棵，根据五年级植树棵数比四年级的3倍少45棵，等量关系式为：四年级植树的棵数×3－45＝276，据此列方程，再根据等式性质1，方程两边同时加45，计算出结果，再根据等式性质2，方程两边同时除以3，计算出结果，即可解答此题。 【详解】解：设四年级植树棵数是x棵。 3x－45＝276 3x－45＋45＝276＋45 3x＝321 3x÷3＝321÷3 x＝107 答：四年级植树107棵。 42．5元 【分析】根据题意，梨的总价加上苹果的总价等于30.5元；根据单价×数量＝总价，用3.5乘3，求出梨的总价，设每千克苹果x元，用x乘4，求出苹果的总价，据此列方程并解答。 【详解】解：设每千克苹果x元。 3.5×3＋4x＝30.5 10.5＋4x＝30.5 10.5－10.5＋4x＝30.5－10.5 4x＝20 4x÷4＝20÷4 x＝5 答：每千克苹果5元。 【点睛】解答此题，首先弄清题意，分清已知与所求，再找出等量关系式，设出未知数，由此列方程解答。 43．（1）（a－10.8b）吨 （2）13.6吨 【分析】（1）每天生产吨数×生产天数＝已经生产吨数，要生产的吨数－已经生产吨数＝还要生产吨数，据此用字母表示出还要生产的吨数即可。 （2）将代入字母表示的算式，求值即可。求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【详解】（1）a－10.8×b＝（a－10.8b）吨 答：还要生产（a－10.8b）吨化肥才完成任务。 （2）a－10.8b ＝100－10.8×8 ＝100－86.4 ＝13.6（吨） 答：还要生产13.6吨化肥才完成任务。 44．甲筐71个；乙筐55个 【分析】分析题意可知，甲筐比乙筐多16个桔子，设乙筐原来有x个桔子，则甲筐原来有（x＋8×2）个桔子 等量关系式：（原来乙筐桔子数量－13）×2＝原来甲筐桔子数量＋13，据此列方程解答。 【详解】解：设原来乙筐有x个桔子，则甲筐原来有（x＋8×2）个桔子。 （x－13）×2＝x＋8×2＋13 2x－13×2＝x＋16＋13 2x－26＝x＋29 2x－x＝29＋26 x＝55 甲筐：55＋8×2 ＝55＋16 ＝71（个） 答：原来甲筐有71个桔子，乙筐有55个桔子。 【点睛】分析题意找出等量关系式是解答题目的关键。 45．6000立方分米 【分析】根据长方体的特征，长方体的棱分成4组，每组有长、宽、高，每组长度相等，把240分米除以4就是一条长、一条宽、一条高的长度的和。长方体的长、宽、高的比是3∶2∶1，设每份为x分米，根据按比例分配即可求这个长方体的长、宽、高，进而求出它的体积。 【详解】解：设每份为x分米。 3x＋2x＋x＝240÷4 6x＝60 6x÷6＝60÷6 x＝10 2x＝20，3x＝30 10×20×30＝6000（立方分米） 答：这个长方体的体积是6000立方分米。 【点睛】解答此题的关键是根据长方体的特征求出长方体的一条长、一条宽，一条高的和是多少，再根据按比例分配求出这个长方体的长、宽、高。 46．20人 【分析】根据题意可得等量关系：男生人数×3＋5＝女生人数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设合唱队有男生人。 3＋5＝65 3＋5－5＝65－5 3＝60 3÷3＝60÷3 ＝20 答：合唱队有男生20人。 【点睛】本题考查列方程解决问题，从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程。 47．8元 【分析】设找回x元，再根据5条毛巾的价格＋找回的钱＝50元，列出方程解答即可。 【详解】解：设找回x元。 16.8÷2×5＋x＝50 42＋x＝50 x＝8 答：还可以找回8元。 【点睛】本题考查列方程解决问题，解答本题的关键是找到等量关系式。 第三部分 错题笔记-自我整理，有助于阶段复习 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$