精品解析：陕西省西安市陕西师范大学附属中学2024--2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

陕西师大附中2024-2025学年度第一学期 期末考试八年级数学试题 命题人：郅伟萍 审题人：赵小金 （满分100分，时间100分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 2的立方根是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 3. 光在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时要发生折射．如图，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 两直线平行，同位角相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 若，则 5. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？若设有人，有辆车，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 6. 已知点的坐标是，则点不可能在（ ） A. 第三象限 B. 第四象限 C. 轴上 D. 轴上 7. 已知点关于轴的对称点和都在一次函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 8. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE=1，则BC的长为（ ）． A. 2+ B. C. D. 3 9. 如图，平分，为延长线上一点，平行于交于点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为，弧是以点为圆心，为半径的圆弧；弧是以点为圆心，为半径的圆弧；弧是以点为圆心，为半径的圆弧；弧是以点为圆心，为半径的圆弧．继续以点，，，为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11. 已知实数，，，，，，其中无理数的个数为_________． 12. 某校九年级甲、乙两个班的期末数学平均成绩都为89分，且甲班期末数学成绩的方差为Ss甲2＝0.02（分），乙班期末数学成绩的方差为s乙2＝1.2（分），则期末数学成绩_____班更稳定．（填甲或乙） 13. 若点在第二象限，则的取值范围是________． 14. 比较大小：______．（填“”“”或“”） 15. 已知直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解是_______． 16. 如图，在正方形中，，，为直线上一个动点，连接，，若，则的长为_______． 三、解答题（共9小题，计52分） 17. 计算 （1） （2） 18. 解方程组 （1）； （2）． 19. 如图，在的边上求作点，使点到，两边的距离相等请用尺规作图，保留作图痕迹，标明字母 20. 如图，点和点在线段上，，，．求证：． 21. 为了培养学生的动手能力、观察力、科学精神、协作精神和集体荣誉感，激发学生对劳动的热情和尊重，让学生体会劳动的价值和意义，我校现对七年级开展了以“菜园子”为主题的劳动教育活动．现对七年级部分学生每周照看菜园所用的时间进行调查，并用得到的数据绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息完成下列问题： 所调查部分学生每周照看菜园所用时间统计图 （1）本次抽查部分学生每周照看菜园所用时间的中位数为_______，众数为______，并补全上面条形统计图； （2）求本次抽取的部分学生每周照看菜园所用时间的平均数； （3）我校七年级有760个学生，请你估计七年级每周照看菜园所用时间为1.5小时的学生有多少名？ 22. 某工厂生产一种正方形的合金薄板（其厚度忽略不计），每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了如下表格中的数据． 薄板的边长x（） 20 30 出厂价y（元/张） 45 65 （1）求每张游板的出厂价y与边长x之间满足的函数关系式； （2）在营销过程中，已知出售一张边长为的薄板工厂可获得利润26元，求这张薄板的成本价． 23. 某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨． （1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ （2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 24. 如图，直线分别与轴、轴交于点、，与直线交于点，且在第三象限． （1）若的面积为，求的值； （2）在（1）的条件下，在直线上是否存在点，使的面积等于6？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 学习了三角形的角平分线的定义之后，我们把三角形的三条内角平分线的交点叫做三角形的内心． （1）如图①，已知的周长和面积都为30，点是的内心，则点到边的距离为___． 问题探究 （2）如图②，在四边形中，，，以为边作等边，使得点在边上且，点是等边的内心，求点到边的距离． 问题解决 （3）如图③所示的四边形为某公园的平面图，市政府计划在公园内部修建一个三角形广场即，点到的距离为，在广场的边上装满彩灯，并在的内心处修建喷泉供人们观赏，现需从喷泉处到边上修建一条最短的地下水渠以便抽水．已知，，，据了解，彩灯每米30元，修建水渠每米60元，当彩灯费用最少时，求装满彩灯和修建水渠的总花费是_______．（结果保留根号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西师大附中2024-2025学年度第一学期 期末考试八年级数学试题 命题人：郅伟萍 审题人：赵小金 （满分100分，时间100分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 2的立方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根定义，是解题的关键．根据立方根定义进行求解即可． 【详解】解：2的立方根是． 故选：C． 2. 下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的定义，凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．理解不等式的定义是解题关键．主要依据不等式的定义进行判断即可． 【详解】解：②，③是等式，④是代数式，①⑤⑥是不等式， 因此不等式有3个， 故选：A． 3. 光在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时要发生折射．如图，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．根据“两直线平行，同位角线段”求出，根据角的和差求出，再根据“两直线平行，同旁内角互补”求解即可． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， ∵， ， ， 故选：B． 4. 下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 两直线平行，同位角相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题的逆命题、对顶角的定义、平行线的判定、三角形全等的判定、平方数的非负性，正确写出各命题的逆命题是解题关键． 先写出各选项的逆命题，再根据对顶角的定义、平行线的判定、三角形全等的判定、平方数的非负性逐项判断即可得． 【详解】解：A、逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．相等的两个角不一定是对顶角，则此逆命题是假命题，不符合题意； B、逆命题：同位角相等，两直线平行．由平行线的判定可知，此逆命题是真命题，符合题意； C、逆命题：如果两个三角形的三个角分别对应相等，则这两个三角形是全等三角形．由三角形全等的判定定理可知，此逆命题是假命题，不符合题意； D、逆命题：若，则，为假命题，应为：若，则，故不符合题意． 故选：B． 5. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？若设有人，有辆车，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系，正确列出方程组是解题关键．设有人，有辆车，根据如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车可列方程，根据如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行可列方程，由此即可得． 【详解】解：由题意，可列方程组为， 故选：A． 6. 已知点的坐标是，则点不可能在（ ） A. 第三象限 B. 第四象限 C. 轴上 D. 轴上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键．根据m的取值，进行讨论得出答案即可． 【详解】解：当时，点在第四象限， 当时，点在y轴上， 当时，点在第三象限， 综上分析可知，点M不可能在x轴上， 故选：C． 7. 已知点关于轴的对称点和都在一次函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的坐标变化、待定系数法求函数解析式先根据对称性求出点的坐标，再将和代入，联立解方程组即可得的值． 【详解】解：关于轴的对称点的坐标为， 将和代入得， ， 解得， 故选：A． 8. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE=1，则BC的长为（ ）． A. 2+ B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作DF⊥AC于F，由角平分线的性质可得DF=DE=1，在Rt△BED中，根据30度角所对直角边等于斜边一半可得BD长，在Rt△CDF中，由∠C=45°，可知△CDF为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得CD的长，继而由BC=BD+CD即可求得答案． 【详解】如图，过点D作DF⊥AC于F， ∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴DF=DE=1， 在Rt△BED中，∠B=30°， ∴BD=2DE=2． 在Rt△CDF中，∠C=45°， ∴△CDF为等腰直角三角形， ∴CF=DF=1， ∴CD==， ∴BC=BD+CD=， 故选A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 9. 如图，平分，为延长线上一点，平行于交于点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质．根据角平分线的定义求出，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵平分，， ，， ， ， ， ． 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为，弧是以点为圆心，为半径的圆弧；弧是以点为圆心，为半径的圆弧；弧是以点为圆心，为半径的圆弧；弧是以点为圆心，为半径的圆弧．继续以点，，，为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律．解题的关键是罗列出部分点的坐标找出规律．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合画弧的方法以及部分点的坐标寻找出来点的排布规律是关键．根据画弧的方法以及罗列部分点的坐标发现规律：点的横坐标分别为；点的纵坐标分别为：；根据这一规律即可得出点的坐标． 【详解】解：依题意，观察， ，，，，，，，， ∴点的横坐标分别为； 点的纵坐标分别为：； ∵， ∴的坐标为， 故选：A． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11. 已知实数，，，，，，其中无理数的个数为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：， 在实数，，，，，中无理数有，，共3个． 故答案为：3． 12. 某校九年级甲、乙两个班的期末数学平均成绩都为89分，且甲班期末数学成绩的方差为Ss甲2＝0.02（分），乙班期末数学成绩的方差为s乙2＝1.2（分），则期末数学成绩_____班更稳定．（填甲或乙） 【答案】甲． 【解析】 【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解． 【详解】解：因为九年级甲、乙两个班的期末数学平均成绩都为89分，且，方差小的为甲， 所以期末数学成绩甲班更稳定． 故答案为：甲． 【点睛】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 13. 若点在第二象限，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据第二象限内点的坐标特点，列出关于a的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 14. 比较大小：______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较、无理数的估算、算术平方根、不等式的性质，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．先根据可得，从而可得，再根据不等式的性质即可得． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴，即， 故答案为：． 15. 已知直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），解题的关键是掌握函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．根据一次函数图象上点的坐标特征确定两直线的交点坐标，然后根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，即可解答． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴， ∵，， ∴，， ∵直线与直线相点坐标就是方程的解， ∴方程的解是：． 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，，，为直线上一个动点，连接，，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】作点B关于的对称点，连接，，，延长交直线于点，连接，过点A作，证明为等边三角形，得出，，说明，得出当点F在点处时，符合题意，根据勾股定理和等边三角形的性质，求出的长度即可． 【详解】解：作点B关于的对称点，连接，，，延长交直线于点，连接，过点A作，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， 根据轴对称可知：，，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当点F在点处时，符合题意， ∵， ∴，， ∴根据勾股定理得：， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质． 三、解答题（共9小题，计52分） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的和运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）分别计算零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，化简二次根式，最后进行加减计算； （2）先计算乘法，再进行加减计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程组 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）用代入消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； 【小问2详解】 解：， 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为：． 19. 如图，在的边上求作点，使点到，两边的距离相等请用尺规作图，保留作图痕迹，标明字母 【答案】 如图：点即为所求． 【解析】 【分析】作的平分线与的交点即为所求． 【详解】略 【点睛】本题考查了复杂作图，掌握角平分线的性质以及作法是解题的关键． 20. 如图，点和点在线段上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握相关知识点并能灵活运用是解题的关键． 由两直线平行内错角相等可得，，利用可证得，于是可得，据此即可得出结论． 【详解】略 21. 为了培养学生的动手能力、观察力、科学精神、协作精神和集体荣誉感，激发学生对劳动的热情和尊重，让学生体会劳动的价值和意义，我校现对七年级开展了以“菜园子”为主题的劳动教育活动．现对七年级部分学生每周照看菜园所用的时间进行调查，并用得到的数据绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息完成下列问题： 所调查部分学生每周照看菜园所用时间统计图 （1）本次抽查部分学生每周照看菜园所用时间的中位数为_______，众数为______，并补全上面条形统计图； （2）求本次抽取的部分学生每周照看菜园所用时间的平均数； （3）我校七年级有760个学生，请你估计七年级每周照看菜园所用时间为1.5小时的学生有多少名？ 【答案】（1）小时；小时； 补全条形统计图，如图所示： （2）小时 （3）304人 【解析】 【分析】（1）先求出本次调查的学生总数，求出照看菜园子时间为小时的学生人数为40人，然后根据条形统计图分析出中位数和众数即可，根据求出照看菜园子时间为小时的学生人数，补全条形统计图即可； （2）根据平均数计算公式求出结果即可； （3）根据样本计算出每周照看菜园所用时间为1.5小时的学生人数在样本的比例，根据比例估算出七年级每周照看菜园所用时间为1.5小时的学生人数即可． 【小问1详解】 解：本次抽查部分学生总数为： （人）， 每周照看菜园所用时间为小时的学生人数为： （人）， 将抽查部分学生每周照看菜园所用时间从小到大进行排序，排在第50、51的都是小时，因此本次抽查部分学生每周照看菜园所用时间的中位数为小时，每周照看菜园所用时间为1.5小时的人数最多，因此众数是1.5小时； 【小问2详解】 解：（小时）， 答：本次抽取的部分学生每周照看菜园所用时间的平均数为小时． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计七年级每周照看菜园所用时间为1.5小时的学生有304人． 【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估算整体，能够将条形统计图和扇形统计图相结合是解决本题的关键． 22. 某工厂生产一种正方形的合金薄板（其厚度忽略不计），每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了如下表格中的数据． 薄板的边长x（） 20 30 出厂价y（元/张） 45 65 （1）求每张游板的出厂价y与边长x之间满足的函数关系式； （2）在营销过程中，已知出售一张边长为的薄板工厂可获得利润26元，求这张薄板的成本价． 【答案】（1） （2）59元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． （1）根据题意和表格中的数据，可以求出每张薄板的出厂价y与边长x之间满足的函数关系式； （2）将代入（1）中的函数关系式，求出出厂价，然后用出厂价减利润，即可得到成本价． 【小问1详解】 解：每张游板的边长为，基础价为元，浮动价为元， 则出厂价， 由表格可得，， 解得， 即每张游板的出厂价y与边长x之间满足的函数关系式； 【小问2详解】 当时，， （元）， 答：这张薄板得成本价是59元． 23. 某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨． （1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ （2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【答案】（1）甲特产15吨，乙特产85吨；（2）26万元． 【解析】 【分析】（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨，根据题意列方程解答； （2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且，根据题意列函数关系式，再根据函数的性质解答. 【详解】解：（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨， 依题意，得， 解得，则， 经检验符合题意， 所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨； （2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且， 公司获得的总利润， 因为，所以随着的增大而增大， 又因为， 所以当时，公司获得的总利润的最大值为26万元， 故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元. 【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用、一次函数的性质等基础知识，考查运算能力、应用意识，考查函数与方程思想，正确理解题意，根据问题列方程或是函数关系式解答问题. 24. 如图，直线分别与轴、轴交于点、，与直线交于点，且在第三象限． （1）若的面积为，求的值； （2）在（1）的条件下，在直线上是否存在点，使的面积等于6？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在满足条件的点Q，其坐标为或 【解析】 【分析】（1）先求出，得出，根据的面积为，在第三象限，得出，求出，得出，代入正比例函数解析式求出k的值即可； （2）设点Q的坐标是，分两种情况：当Q在线段上和延长线上，根据三角形的面积公式列出关于m的方程解方程求得即可． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∵的面积为，在第三象限， ∴， 解得：， 把代入得： ， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：； 【小问2详解】 解：设点Q的坐标是， 在中，令可得， ∴， ∴，， ∴Q点有两个位置：Q在线段上和延长线上， 当Q点在线段上时，则， 解得：， ∴， ∴Q点的坐标为； 当Q点在线段延长线上时， 则， 解得， ∴， ∴Q点的坐标为； 综上所述，存在满足条件的点Q，其坐标为或． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，求一次函数解析式、三角形的面积、方程思想及分类讨论思想等知识．在（2）中确定出Q点所在的位置是解题的关键． 25. 学习了三角形的角平分线的定义之后，我们把三角形的三条内角平分线的交点叫做三角形的内心． （1）如图①，已知的周长和面积都为30，点是的内心，则点到边的距离为___． 问题探究 （2）如图②，在四边形中，，，以为边作等边，使得点在边上且，点是等边的内心，求点到边的距离． 问题解决 （3）如图③所示的四边形为某公园的平面图，市政府计划在公园内部修建一个三角形广场即，点到的距离为，在广场的边上装满彩灯，并在的内心处修建喷泉供人们观赏，现需从喷泉处到边上修建一条最短的地下水渠以便抽水．已知，，，据了解，彩灯每米30元，修建水渠每米60元，当彩灯费用最少时，求装满彩灯和修建水渠的总花费是_______．（结果保留根号） 【答案】（1）2 （2）2 （3）元 【解析】 【分析】（1）分别过点O作，，，则可得，进而可得的面积为的周长内切圆的半径，即可求解． （2）过点F作，连接并延长交于M点，连接．由点F是等边的内心，可得，，，．根据勾股定理和直角三角形性质求得、的长，则可得的长．又由，可得，根据勾股定理和直角三角形的性质可求得的长，即点F到边的距离； （3）在边上取一点P，使，过P点作直线，则E点在直线上．作A点关于直线的对称点，连接交直线于E点，此时的周长最小．由勾股定理求出的长，即可知的周长最小值，求出．过E点作于M点，根据面积法即可求出的长．作于Q，根据勾股定理求出的长，作作于N，连接、、、 ，根据面积法即可求出的长，最后再求出总费用即可． 【小问1详解】 解：分别过点O作，，，连接、、，如图所示： ∵点是的内心， ∴， ， ∵的周长为30， ∴， ∵的面积为30， ∴ ， 解得：， 即点到边的距离为2； 【小问2详解】 如图②，过点F作，连接并延长交于M点，连接， 是等边三角形， ，， ∵点F是等边的内心， ∴平分，平分， ，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：，负值舍去， ， ，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F到边的距离为2． 【小问3详解】 如图③，在边上取一点P，使，过P点作直线，则直线与间的距离为， ∴E点在直线上， ，， ． 延长至，使， 则点与A 点关于直线对称． 连接交直线于E点， 则， 则， ∵两点之间线段最短， ∴此时的周长最小． 由勾股定理得， ． 过E点作于M点， 则，， ， ， 又，， ， ， ， 平分，且， ∴F点在上， 由（1）知， ， ， 解得． 作于Q， 则，， ， ． 作于N，连接、、、 ， 作于I，于J，则，， 由得， ∴， ， ， 解得， ∴总费用为：元． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形内心的性质、直角三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质、矩形的性质以及利用面积法求三角形的高．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线，正确的计算是解题的关键．此题知识点多、综合性强、难度较大，是中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $