精品解析：吉林省延边朝鲜族自治州延吉市延边第二中学2024-2025学年高一上学期第二次阶段检测（12月）数学试题

延边第二中学2024—2025学年度第一学期第二次阶段检测 高一年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的奇函数 C. 最小正周期为的偶函数 D. 最小正周期为的偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】根据正切函数的奇偶性判断函数是奇函数，再由周期公式求出最小正周期，即可得到结论. 【详解】函数，定义域为， ，函数为奇函数， 其最小正周期. 故选：B. 2. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出指数函数、对数函数值域化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】对数函数为增函数，当时，，则， 指数函数为减函数，当时，，则， 所以. 故选：B 3. 命题“”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】存在性命题为假等价于“”为真，应用参变分离求解即可. 【详解】解：因为命题“”为假命题 等价于“”为真命题， 所以， 所以只需. 设， 则在上单增，所以. 所以，即. 故选：A 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角函数同角基本关系式求得，然后利用诱导公式求解. 【详解】解：因为， 所以，， 所以， 故选：B 5. 某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出小轮每分钟转的圈数，再借助弧长公式计算即得. 【详解】由大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，得小轮每分钟转的圈数为， 因此小轮每秒钟转的弧度数为， 所以小轮每秒转过的弧长是. 故选：C 6. 幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，且，则的值（ ） A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】先根据幂函数的定义和函数单调性求出m的值，再判断函数的单调性，根据单调性和奇偶性即可判断． 【详解】幂函数在区间（0，+∞）上单调递增， ∴，解得m＝2， ∴， ∴在R上为奇函数， 由，得， ∵在R上为单调增函数， ∴， ∴恒成立． 故选：A． 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式可求值. 【详解】. 故选：A. 8. 设是定义域为的偶函数，且在单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用幂指对函数的单调性可以判定，进而结合函数的单调性和偶函数的性质可以得到答案. 【详解】由对数函数的性质得， 由幂函数在(0,+∞)上单调递增，和指数函数在实数集R上单调递减， 且可知：， ∴, 又∵在单调递增，∴ ， 又∵是定义域为的偶函数，∴， ∴， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法正确的是（ ） A. 浮萍每月的增长率为2 B. 浮萍每月增加的面积都相等 C. 第4个月时，浮萍面积超过 D. 若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据图象求出函数解析式，然后逐个分析判断 【详解】由图可知，过，所以，， 对A，由为指数函数，为爆炸式增长， 每月增长率为， 故每月增长率为2，故A正确； 对B，第一个月为3，第二个月为9，第三个月为27， 浮萍每月增加的面积不相等，所以B错误， 对C，，，故C正确； 对D，， 所以，， 所以，故D正确， 故选：ACD 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（ ） A. ，则 B. 若，则关于x的不等式的解集为 C. 若为常数，且，则的最小值为 D. 若的解集M一定不为 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A中，由二次函数的性质得到，可判定A错误；选项B中，转化为和是方程的两个实根，求得，把不等式化简得到，求得的解集，可判定B正确；选项C中，结合二次函数的性质，求得，化简得到，令，结合基本不等式，求得的最大值，可判定C错误；当时，由函数表示开口向下的抛物线，可判定D正确. 【详解】由题意，关于的不等式的解集为， 对于A中，若，即不等式的解集为空集， 根据二次函数的性质，则满足，所以A错误； 对于B中，若，可得和是方程 两个实根，且， 可得，解得， 则不等式，可化为， 即，解得或， 即不等式的解集为，所以B正确； 对于C中，若为常数，可得是唯一的实根，且， 则满足，解得，所以， 令，因为且，可得，且， 则， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最大值为，所以C错误； 对于D中，当时，函数表示开口向下的抛物线， 所以当的解集一定不为，所以D正确. 故选：AC. 11. 函数的最小正周期为，则（ ） A. 是的一条对称轴 B. 与函数相等 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据正弦函数的周期公式求出的值确定函数的解析式，然后根据结合正弦函数的对称性、单调性、最值及诱导公式结合选项一一判断即可. 【详解】因为函数的最小正周期为, 由周期公式， 可得，则. 对于A选项，因为，所以是的一条对称轴，故选项A正确； 对于B选项，因为, 与不相等，故选项B错误； 对于C选项，当时，， 而在上单调递增，所以函数在区间上单调递增，故选项C错误； 对于D选项，当时，，而，，所以在区间上的取值范围是，故选项D正确； 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，已知角的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点，则____________． 【答案】6 【解析】 【分析】求出，再利用诱导公式进行弦化切即可得到答案. 【详解】因为角的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点， 所以， . 故答案为：6 13. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上定义为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过___________个小时才能驾驶．（结果保留整数，参考数据） 【答案】5 【解析】 【分析】由题意可得，指对数互化结合题中题意求解. 【详解】设个小时后血液中酒精含量为， 则，即， 当，可得， 所以该驾驶员至少经过个小时才能驾驶． 故答案为：5. 14. 已知函数，方程有四个不同根，，，，且满足，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，可得出当直线与函数的图象有四个交点时的各根取值范围，求出实数t的取值范围，将代数式转化为关于t的函数，利用双勾函数的基本性质求出的取值范围. 【详解】作出函数图像可得， 从而得，且，从而得， 原式， 令，，， 令，则，， 在单调递增，， 最大值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知（为常数）. （1）求的递增区间； （2）求的最大值及取得最大值时的集合； （3）若时，的最小值为，求的值. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型复合函数直接求单调区间即可； （2）利用正弦函数性质直接求解即可； （3）根据的范围，直接求解析式的最值，即可得到答案. 【小问1详解】 令， 解得. 所以的递增区间. 【小问2详解】 由正弦函数性质知， 当时， 即，取得最大值为. 【小问3详解】 因为，所以， 则，且时取得最小值， 所以，则. 16. 计算： （1） （2） （3）已知，用a，b表示． 【答案】（1）；（2）0；（3）； 【解析】 【分析】 利用指数、对数的运算：、等运算性质应用并求值. 【详解】（1）； （2）； （3）由知：，，而，所以； 17. 已知. （1）求的值； （2）若是方程的两个根，求的值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解； （2）利用韦达定理得到，从而得到，再由同角三角函数的基本关系求出，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 解得； 【小问2详解】 因为是方程的两个根， 所以， ， 又， . 18. 已知定义域为R的函数是奇函数． （1）求a，b的值． （2）判断函数的单调性，并用定义证明． （3）当时，恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1），． （2）在上为减函数，证明：由（1）知， 任取，设，则， 因为函数在R上是增函数，，∴．又， ∴，即，∴在上为减涵数． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，由，，建立方程，结合奇函数定义，可得答案； （2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案； （3）利用函数奇偶性与单调性，化简不等式，根据参变分离，利用函数求最值，可得答案. 【小问1详解】 因为在定义域为R上是奇函数，所以，即， ∴，又∵，即，∴． 则，由， 则当，原函数为奇函数． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因是奇函数，从而不等式：， 等价于， 因为减函数，由上式推得：． 即对一切有：恒成立，设， 令，则有， ∴， ∴，即k的取值范围为． 19. 对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”． （1）已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由； （2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先假设为“伪奇函数”，然后推导出矛盾的结论即可得证； （2）由幂函数定义求得解析式，然后将问题转化为“在上有解”，根据指数函数的值域以及对勾函数的单调性求解出的取值范围； （3）将问题转化为“”在R上有解，然后通过换元法，结合二次函数的零点分布知识求解． 【小问1详解】 假设为“伪奇函数”，∴存在满足， ∴有解，化为，无解， 不是“伪奇函数”； 【小问2详解】 为幂函数，∴，∴． ∴， ∵为定义在的“伪奇函数”， ∴在上有解， ∴在上有解， 令，∴在上有解， 又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，且时，，时，， ∴，，∴的值域为， ∴，∴； 【小问3详解】 设存在满足，即在上有解， ∴在上有解， ∴在上有解， 令，取等号时， ∴在上有解， ∴在上有解（*）， ∵，解得， 记，且对称轴， 当时，在上递增， 若（*）有解，则，∴， 当时，在上递减，在上递增， 若（*）有解，则，即，此式恒成立，∴， 综上可知，． 【点睛】方法点睛：本题考查新定义问题，有判断与新定义有关的问题时可能用反证法，这样可能通过新定义进行转化，然后证得结论．本题(2)(3)小题都是通过新定义转化为方程在某个区间有解问题，再利用已知函数知识求解即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延边第二中学2024—2025学年度第一学期第二次阶段检测 高一年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的奇函数 C. 最小正周期为的偶函数 D. 最小正周期为的偶函数 2. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 3. 命题“”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（ ）． A. B. C. D. 6. 幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，且，则的值（ ） A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 设是定义域为的偶函数，且在单调递增，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法正确的是（ ） A. 浮萍每月的增长率为2 B. 浮萍每月增加的面积都相等 C. 第4个月时，浮萍面积超过 D. 若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（ ） A. ，则 B. 若，则关于x的不等式的解集为 C. 若为常数，且，则的最小值为 D. 若的解集M一定不为 11. 函数的最小正周期为，则（ ） A. 是的一条对称轴 B. 与函数相等 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，已知角的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点，则____________． 13. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上定义为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过___________个小时才能驾驶．（结果保留整数，参考数据） 14. 已知函数，方程有四个不同根，，，，且满足，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知（为常数）. （1）求的递增区间； （2）求的最大值及取得最大值时的集合； （3）若时，的最小值为，求的值. 16. 计算： （1） （2） （3）已知，用a，b表示． 17. 已知. （1）求的值； （2）若是方程的两个根，求的值. 18. 已知定义域为R的函数是奇函数． （1）求a，b的值． （2）判断函数的单调性，并用定义证明． （3）当时，恒成立，求实数k的取值范围． 19. 对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”． （1）已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由； （2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $