精品解析：安徽省淮南市2024-2025学年七年级上学期1月期末质量检测数学试题

2024—2025学年第一学期七年级期末监测 数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的 1. 如果水库水位上升记作，那么水库水位下降记作（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查正数与负数的意义．先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答即可． 【详解】解：∵水库水位上升记作， ∴水库水位下降记作． 故选：C． 2. 2024年10月30日，搭载最新3人组的神舟十九号载人飞船成功发射并快速与中国空间站完成对接，11月4日凌晨，神舟十八号从400公里高空下降，从7800米/秒的绕地飞行到精准着落，三位宇航员安全回家，将7800用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：依题意，将7800用科学记数法表示为， 故选：D 3. 2023年10月22日晚，杭州第4届亚洲残疾人运动会在杭州奥林匹克体育中心体育场隆重开幕，时隔14天，圣火再次点燃，两个亚运同样精彩．如图，杭州奥林匹克体育中心体育场形状与如图几何体类似，外墙带有丰富的花边状装饰．下列图形绕虚线旋转一周，能形成该几何体的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的认识，平面图形的旋转，根据选项中的平面图形绕虚线旋转一周得到的几何体的形状进行判断即可得出答案． 【详解】解：选项A绕虚线旋转一周得到的是圆台且上底小，下底大，故不符合题意； 选项B绕虚线旋转一周得到的是球体，故不符合题意； 选项C绕虚线旋转一周得到的是圆柱，故不符合题意； 选项D绕虚线旋转一周得到的是圆台且上底大，下底小，故符合题意． 故选：D． 4. 有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论： ①；②；③；④，⑤． 其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴比较大小、绝对值以及有理数的运算法则，掌握有理数的运算法则是判断式子正负的关键．根据数轴可得，，然后利用有理数运算法则逐个判断即可． 【详解】解：由数轴得：，， ∴，，， ∴， ∴， ∴正确的是①②③⑤，④错误， 故选：B． 5. 若关于的方程的解是，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解及解一元一次方程；把方程的解代入方程中，解关于k的一元一次方程即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴， 解得：； 故选：A． 6. 下面的歌诀是我国明代数学家程大位所著的《直指算法统宗》中的一个问题，大意是：1斤油要和4斤的面，现在9斤6两5钱的面中加了2斤12两的油，问还要再加多少面（注：旧制1斤=16两，1两=10钱）？如果设再加面两，那么可列的方程是（ ） 西江月 白面秤来四斤，使油一斤相和．今来有面九斤多，六两五钱不错． 已用香油和合，二斤十二无讹．再添多少面来和？不会应须问我． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设再加面x两，根据“1斤油要和4斤的面”，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：设再加面x两， 根据题意得：＝， 故选：D． 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若线段，则点是线段的中点 B. 绝对值等于它本身的数是正数 C. 任何有理数的绝对值都是非负数 D. 角的大小与角两边的长度有关，边越长角越大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值、线段的中点和角的定义，掌握相关定义是解题关键．根据绝对值、线段的中点和角的定义判断即可． 【详解】解：A、当点、不在一条直线上时，点不是线段的中点，原说法错误，不符合题意； B、绝对值等于它本身的数是正数和0，原说法错误，不符合题意； C、任何有理数的绝对值都是非负数，原说法正确，符合题意； D、角的大小与角两边的长度无关，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 8. 下列结论：①若，则与互为相反数；②若，则；③多项式的次数是6次；④与3不是同类项；⑤精确到百位；⑥若一个数等于它的平方，则这个数为1．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式以及有理数的有关概念，解题的关键是熟练掌握相反数，多项式次数，同类项等，根据相关概念逐个判断即可． 【详解】解：①若，则、互为相反数，正确； ②若，不一定是，比如，但是，故说法错误； ③多项式的次数是6次，说法正确； ④与3是同类项，故说法错误； ⑤精确到百位，说法正确； ⑥若一个数等于它的平方，则这个数为1或0，说法错误， 正确的个数为3 故选：B 9. 有一数值转换机如图所示，输入x的值是3，第一次输出的结果是10，第二次输出的结果是5，…，则第2024次输出的结果是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数字变化的规律，依次求出每次输出的结果，发现规律即可解决问题，能通过计算发现输出的数从第五次开始按4，2，1循环出现是解题的关键． 【详解】解：由题知， 当输入x的值是3时， 第一次输出的结果是10； 第二次输出的结果是5； 第三次输出的结果是16； 第四次输出的结果是8； 第五次输出的结果是4； 第六次输出的结果是2； 第七次输出的结果是1； 第八次输出的结果是4； 第九次输出的结果是2； 第十次输出的结果是1； 第十一次输出的结果是4； …， 依次类推，输出的数从第五次开始按4，2，1循环出现， 又因为余1， 所以第2024次输出的结果为4． 故选：B． 10. 如图，已知 A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为 ，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确的有（ ） ①点B对应的数是4；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴，线段中点， ①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，分别求出的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，利用线段的中点性质分别进行计算即可．理解题意，进行分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：设点对应的数是， 点A对应的数为，且， ， ， 点对应的数是，故①错误； 由题意得：（秒）， 点到达点时，，故②正确； 当点在点右边时， ，， ， （秒）， 当点在点左边时， ，， ， （秒）， 综上，时，或；故③错误； ，始终为，的中点， ，， 当点在点右边时， ， 当点在点左边时， ， 在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确； 所以，上列结论中正确的有2个， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知单项式是同类项，则=______. 【答案】9 【解析】 【分析】根据同类项的定义进行解题，则，解出m、n的值代入求值即可. 【详解】解： 和是同类项 且 ， 【点睛】本题考查同类型的定义，解题关键是针对x、y的次方都相等联立等式解出m、n的值即可. 12. 如图，是的平分线，射线在内，是的平分线，已知，那么的度数为_____． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了和角平分线有关的计算． 根据角平分线的定义得出，进而推出，即可解答． 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴ 故答案为：． 13. “九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，每一列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】通过已知完整的对角线求出 “幻和”（即每行、每列、对角线的和），利用列或行的和建立方程，依次求出未知数和的值，最后计算． 【详解】解：从右上角到左下角的对角线上的三个数分别为、、， ， 第一列三个数分别为、、， ， 解得：， 从左上角到右下角的对角线上的三个数分别为、、， ， 解得：， ． 14. 魔术师的魔术表演风靡全世界，很多同学非常感兴趣，也学起了魔术．小华把任意有理数对放进装有计算装置的魔术盒，会得到一个新的有理数． 例如：把放入其中，就会得到．现将有理数对放入其中，得到的有理数是______．若将正整数对放入其中，得到的值是6，则满足条件的所有的正整数对为______． 【答案】 ①. 8 ②. 或 【解析】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．把有理数放入其中，计算即可得到结果；根据结果为6列出方程，由x与y为正整数确定出即可． 【详解】解：根据题意得：； 根据题意得：， 当时，；时，， 则为或， 故答案为：8；或 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的运算，先计算乘方，然后计算括号内，再计算乘法，最后计算加法即可． 【详解】解：原式 ． 16. 如图，已知A、B、C、D四个点． （1）①画直线AB、CD相交于点P； ②连接AC和BD并延长AC和BD相交于点Q； ③连接AD、BC相交于点O； （2）以点C为端点的射线有________条； （3）以点C为一个端点的线段有________条． 【答案】（1）①如图所示；②如图所示；③如图所示； （2）3； （3）6. 【解析】 【分析】（1）①根据直线的画法作出即可；②根据线段及其延长线的画法作出即可；③根据线段的画法作出即可；（2）结合图形，根据射线的定义即可得出答案；（3）结合图形，根据线段的定义即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）以点C为端点的射线有3条，分别是：射线CP、射线CD、射线CQ， 故答案为3； （3）以点C为一个端点的线段有6条，分别是：线段CP、线段CD、线段CA、线段CQ、线段CO、线段CB， 故答案为6． 【点睛】本题考查了直线、线段的画法，及射线、线段的定义，熟知直线的画法，正确理解射线及线段的定义是解题的关键． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，整理方程，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求解即可． 【详解】解：方程整理，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得． 18. 如图，点E是线段的中点，C是线段上一点，； （1）若，求的长； （2）若F为的中点，求长． 【答案】（1）20 （2）6 【解析】 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，找准线段之间的和差关系，是解题的关键： （1）设，得到，根据线段的中点的定义结合线段的和差关系，列出方程进行求解即可； （2）根据中点，结合线段的和差关系，推出，即可． 【小问1详解】 解：设，由得， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点E是线段的中点， ∴， 为的中点， ， ． 19. 先化简，再求值： 已知，求的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是非负数的性质，整式的加减运算中的化简求值，利用非负数的性质可得，，再去括号，合并同类项，得到化简的结果，最后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，． ∴ ． 当，时，原式． 20. 一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数，为“相伴数对”，记为． （1）若是“相伴数对”，求的值； （2）写出一个“相伴数对”，其中，且； （3）若是“相伴数对”，求代数式的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是整式的加减混合运算、“相伴数对”的定义，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键． （1）根据“相伴数对”的定义代入计算； （2）根据“相伴数对”的定义写出一个“相伴数对”； （3）根据“相伴数对”的定义得到m、n 的关系，根据整式的加减混合运算法则把原式化简，代入计算得到答案． 【小问1详解】 解：∵是“相伴数对”， ∴， 解得； 【小问2详解】 （答案不唯一）； 满足 【小问3详解】 由是“相伴数对”可得，即， 即， 则原式． 21. 如图所示，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b． （1）化简：； （2）表示A点和B点之间的距离（即），已知a，b分别是方程和方程的解，求A，B两点之间的距离； （3）在（2）的条件下，若动点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q到达点A后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点P到达点B时，P、Q两点运动随之停止．设运动时间为秒，则t为何值时，． 【答案】（1） （2）15 （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据数轴可得，则，再化简绝对值即可； （2）先分别解方程可得，，再利用两点之间的距离可得答案； （3）当Q到达A时，，当P到达B时，，再分、两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵， ∴，解得：； ∵， ∴，解得：； ∴； 【小问3详解】 解：当Q到达A时，；当P到达B时，， 当时，P对应的数为，Q对应的数为， 当时， ∴，即， ∴或，解得：或； 当时， P对应的数为，Q对应的数为， 当时， ∴，即：， ∴或，解得：或（其中不符合题意）， 综上：或或． 【点睛】本题主要考查了绝对值的化简、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用知识点，理解题意、建立方程解题以及清晰的分类讨论是解本题的关键． 22. 为弘扬中华优秀文化，某中学在2022年元旦前夕，由校团委组织全校学生开展一次书法比赛，为了表彰在书法比赛中的优秀学生，计划购买钢笔30支，毛笔20支，共需1070元，其中每支毛笔比钢笔贵6元． （1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？ （2）若校团委决定调整设奖方案，扩大表彰面，需要购买上面的两种笔共60支，张老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买两种笔需支取1322元．” ①王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔共60支，那么账肯定算错了．” 请你用学过的知识说明王老师为什么说张老师账算错了？ ②张老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔，如果签字笔的单价为不大于10元的整数，请直接写出签字笔的单价可能为______元． 【答案】（1）钢笔的单价为19元，毛笔的单价为25元 （2）① 设单价为19元的钢笔y支，则单价为25元的毛笔为（60-y）支， 根据题意得：19y+25（60-y）=1322， 解得：y=， 不合题意，即张老师肯定搞错了； ②2或8 【解析】 【分析】（1）设钢笔得单价为x元，则毛笔单价为（x+6）元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）①设单价为19元得钢笔y支，则单价为25元的毛笔为（60-y）支，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；②设单价为19元的钢笔z支，签字笔的单价为a元，根据题意列出关系式，根据z，a为整数，确定出a与z的值，即可得到结果． 【小问1详解】 解：设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+6）元， 由题意得：30x+20（x+6）=1070， 解得：x=19， 则x+6=25， 答：钢笔的单价为19元，毛笔的单价为25元； 【小问2详解】 ①略 ②设单价为19元的钢笔z支，签字笔的单价为a元， 根据题意得：19z+25（60-z）=1322-a，即6z=178+a， 由a，z都是整数，且178+a应被6整除， 经验算当a=2时，6z=180，即z=30，符合题意； 当a=8时，6z=186，即z=31，符合题意， 则签字笔的单价为2元或8元． 故答案为：2或8． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键． 23. 如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． （1）若，，秒时，________°； （2）若，，当在的左侧且平分时，求t的值； （3）如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒； ②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系． 【答案】（1）100； （2）； （3）①12或30或48；② 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，平角的定义，解题的关键是能采用数形结合的思想和分类讨论的思想解答． （1）根据，即可求解； （2）根据平分线的性质得，再由平角为即可求解； （3）①当是的角平分线，当是的角平分线时，当是的角平分线时，分三种情况进行计算即可， ②由与始终互余，得出，进而可求解． 【小问1详解】 解：当，，秒时， ，， ， ； 故答案为：100； 【小问2详解】 解：， 又在的左侧且平分， 解得：， 【小问3详解】 解：①当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ∴， 当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ，此时射线与重合， 解得：， 当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ， 又， ， 解得：， 故答案为：或30或48； ②当在的左侧时，如图所示： 又始终平分， 与始终互余， ， 化简得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期七年级期末监测 数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的 1. 如果水库水位上升记作，那么水库水位下降记作（ ） A. B. C. D. 2. 2024年10月30日，搭载最新3人组的神舟十九号载人飞船成功发射并快速与中国空间站完成对接，11月4日凌晨，神舟十八号从400公里高空下降，从7800米/秒的绕地飞行到精准着落，三位宇航员安全回家，将7800用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 2023年10月22日晚，杭州第4届亚洲残疾人运动会在杭州奥林匹克体育中心体育场隆重开幕，时隔14天，圣火再次点燃，两个亚运同样精彩．如图，杭州奥林匹克体育中心体育场形状与如图几何体类似，外墙带有丰富的花边状装饰．下列图形绕虚线旋转一周，能形成该几何体的是（　　） A. B. C. D. 4. 有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论： ①；②；③；④，⑤． 其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 5. 若关于的方程的解是，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 0 6. 下面的歌诀是我国明代数学家程大位所著的《直指算法统宗》中的一个问题，大意是：1斤油要和4斤的面，现在9斤6两5钱的面中加了2斤12两的油，问还要再加多少面（注：旧制1斤=16两，1两=10钱）？如果设再加面两，那么可列的方程是（ ） 西江月 白面秤来四斤，使油一斤相和．今来有面九斤多，六两五钱不错． 已用香油和合，二斤十二无讹．再添多少面来和？不会应须问我． A. B. C. D. 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若线段，则点是线段的中点 B. 绝对值等于它本身的数是正数 C. 任何有理数的绝对值都是非负数 D. 角的大小与角两边的长度有关，边越长角越大 8. 下列结论：①若，则与互为相反数；②若，则；③多项式的次数是6次；④与3不是同类项；⑤精确到百位；⑥若一个数等于它的平方，则这个数为1．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 9. 有一数值转换机如图所示，输入x的值是3，第一次输出的结果是10，第二次输出的结果是5，…，则第2024次输出的结果是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 10. 如图，已知 A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为 ，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确的有（ ） ①点B对应的数是4；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知单项式是同类项，则=______. 12. 如图，是的平分线，射线在内，是的平分线，已知，那么的度数为_____． 13. “九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，每一列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为_________． 14. 魔术师的魔术表演风靡全世界，很多同学非常感兴趣，也学起了魔术．小华把任意有理数对放进装有计算装置的魔术盒，会得到一个新的有理数． 例如：把放入其中，就会得到．现将有理数对放入其中，得到的有理数是______．若将正整数对放入其中，得到的值是6，则满足条件的所有的正整数对为______． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 15. 计算：． 16. 如图，已知A、B、C、D四个点． （1）①画直线AB、CD相交于点P； ②连接AC和BD并延长AC和BD相交于点Q； ③连接AD、BC相交于点O； （2）以点C为端点的射线有________条； （3）以点C为一个端点的线段有________条． 17. 解方程：． 18. 如图，点E是线段的中点，C是线段上一点，； （1）若，求的长； （2）若F为的中点，求长． 19. 先化简，再求值： 已知，求的值． 20. 一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数，为“相伴数对”，记为． （1）若是“相伴数对”，求的值； （2）写出一个“相伴数对”，其中，且； （3）若是“相伴数对”，求代数式的值． 21. 如图所示，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b． （1）化简：； （2）表示A点和B点之间的距离（即），已知a，b分别是方程和方程的解，求A，B两点之间的距离； （3）在（2）的条件下，若动点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q到达点A后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点P到达点B时，P、Q两点运动随之停止．设运动时间为秒，则t为何值时，． 22. 为弘扬中华优秀文化，某中学在2022年元旦前夕，由校团委组织全校学生开展一次书法比赛，为了表彰在书法比赛中的优秀学生，计划购买钢笔30支，毛笔20支，共需1070元，其中每支毛笔比钢笔贵6元． （1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？ （2）若校团委决定调整设奖方案，扩大表彰面，需要购买上面的两种笔共60支，张老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买两种笔需支取1322元．” ①王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔共60支，那么账肯定算错了．” 请你用学过的知识说明王老师为什么说张老师账算错了？ ②张老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔，如果签字笔的单价为不大于10元的整数，请直接写出签字笔的单价可能为______元． 23. 如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． （1）若，，秒时，________°； （2）若，，当在的左侧且平分时，求t的值； （3）如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒； ②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $