湖南省益阳市2024-2025学年高三上学期期末质量检测数学试题

益阳市2024年下学期普通高中期末质量检测 高三数学（参考答案) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 题号 2 4 5 6 7 8 答案 c B A A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 BCD AC BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.5-i 13.- 11 4 14.【e2 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 解：0点P2,D代入方程C若+分 =1a>0.b>0)得+ =1① 且2b=2c②，a2=b2+c2③… …3分 由①②③可解得：a2=4,b2=2, 所以椭圆C:￡+y =+4…… 小…5分 42 四没直线/的方程：y= x+m,点A(x,y入B(x2,y2) 2 直线方程代入椭圆C:女+上=1得2X2+22m+2m2-4=0, 42 由△=8m2-8(2m2-4)=32(4-m2)>0,得-2<m<2 x+2=-√2m,x2=m2-2… …8分 则弦长4B=V1+k2V任+)2-4x=√3(4-m2), 点PW2,)到直线：y= 二x+m的距离 2×2-1+m m d 小…10分 3 V2 AP面限5-hd-4--m4-时s…12分 当且仅当m2=4-m2即m=±√2时等号成立， 故△4BP面积取得最大值√2时直线1的方程为y= √2 X士√2…13分 高三数学参考答案第1页共5页 16.(本小题满分15分) 【详解】()法一：由b-2cos4_2cosC 可得bsinC=2 cos Asin C+2 sin AcosC, sinA sinC ,bsin C=2sin(A+C)=2sinB…3分 由正弦定理可得：b0=2b …5分 所以C=2……7分 法二：由b-2cos42cosC 可得6-2cos4_2c0sC 2分 sinA sinC b b2+c2-a2 a2+b2-c2 由余弦定理得： be 一=ab …4分 a 化简得：bc-6+c2-a2a2+b-c2 ,即b0=2b,所以C=2…7分 b b (I)法一：tanC=2tanB,则sin CcosB=2 sin BcosC, 所以3 sin Ccos B=2 sin BcosC+2 sin Ccos B=2sin(B+C)=2sinA.…9分 由正弦定理可得：3 ccos B=2a,又因为c=2,所以3cosB=a…11分 、所以AABC面积为：S=)acsin B=3 cossin=咖2Bs3 …13分 当sin2B=1即B=时取等.所以△ABC面积的最大值为 …15分 法二：S=}absinC-2sin4-sinB_2sinA:sinB 2 sin C sin(4+B) 2sin A.sin B 2tan A.tan B 9分 sin Acos B+cos Asin B tan A+tan B 又tanA=-tan(B+C)= tan B+tan C 3tan B …,12分 tan B.tan C-1 2tan'B-1 2× 3tan2 B 则S= 2tan2 B-1 3tan B -tan B 2品5合-当-异时取学5分 4 2tan2B-1 法三：.tanC=2tanB,易知B,C都为锐角 如图，作边BC上的高AD, 则有BD2+AD2=AB2=4. '.tan C 2tan B AD 2AD CD BD ,即BD=2CD…11分 SMC=7BC-AD=-x3 BD-AD-3BD-AD 3 BD2+AD2 3 4 2 2 当且仅当BD=AD.即B=石时取等 …15分 法四：tanC=2tanB,则sin CcosB=2 sin BeosC,ccosB=2 bcosC, 余弦定理可得+c2-b2d2+b-c ,即a2+3b2=3c2=12…10分 2a a 由余弦定理可得：a2=b2+c2-2 becos A=b2+4-4 bcos A, 高三数学参考答案第2页共5页 则有12=a2+3动2=4b2+4-4bc0sA, 化简可得b2-bcos A=2,即cosA= b2-2 …12分 b 所以S-besin-bsin4=b,--3=b+56-4 2 h 当公=时，S=号 3 …小5分 2 2 法五：同法四可得a2+3b2=3c2=12 10分 如图过点C作底边AB的高CD, 不妨设AD=1+d,BD=1-d,CD=h, 则有b2=1+d)2+h2,a2=(1-d)2+h2, 则a2+3b2=31+d)2+3h2+(1-d)2+h2=12, 整理可得广+d+=为 …13分 2 所烈号即号当组假有d:号时取等 4 则有S=Ch≤…15分 2 17.(本小题满分15分) 解：（①设AC∩BD=O,连接PO,过点A作PO的垂线，垂足即为点A在平面PBD内 的射影H.…2分 下面证明： :AB=AD,CD=BC,.点A,C在线段BD的中垂线上，即有AC⊥BD :PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,.PA⊥BD 又PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC,.BD⊥平面PAC…4分 又BDC平面PBD,∴.平面PBD⊥平面PAC 又平面PBD∩平面PAC=AO,AH⊥PO,AHc平面PAC 二.AH⊥平面PBD,故点H为点A在平面PBD内的射影…6分 (四由（①可知，可建立如图空间直角坐标系O-XyZ,AB=AD=2,又∠BAD=120°， ∠BCD=60°，.PB⊥PD且PB=PD,易知OA=1,OB=V5,PB=√2OB=6, 在R△PB中，PA=VPB-AB=V2,在RaPA0中，PO=5,OH=5 3 则000.0,40-l0,B5,00.H0,-1,5 33 ）…9分 设平面HAB的法向量为n=（x,八，) 砺=5，L0,m=0,25 3’3 3x+y=0 则 [n·AB=0 n-A丽=0 2 2 5+32=0 不妨取x=1,则i=L,-5,6) 平面DAB的法向量m=(0,0,1) 小…12分 高三数学参考答案第3页共5页 m.n 6 二面角H-AB-D的平面角为0，|cos0曰cos<m,n>卡 …14分 17n V10 又0∈(0，π)，∴sin0=V1-cos20= V10 二面角H-AB-D的正弦值为- 10 …15分 5 18.(本小题满分17分) 解：①记事件A为抽到一件合格品，事件B为抽到另一件为不合格品， P(AB)= C·C= 160 …2分 495 PA=S。-C- 476 …4分 495 P(BA)= P(AB) 160 40 …5分 P(A) 476119 四0由题：若X~B00,2,则E(X）=50D(X)=25…7分 又P(X=)=C分=P(X=100-k), 所以P0≤X≤25)=P0≤X≤25或75≤X≤10)=P(0X-50225)小….9分 由切比雪夫不等式可知，P0x-5刘2S5总-名 所以P0≤X25≤50 …1分 ()设随机抽取100件产品中合格品的件数为X,假设厂家关于产品合格率为95%的说法 成立，则XB(100,0.95),所以E(X)=95,D(X)=4.75…13分 由切比雪夫不等式知，P(X=80)≤P(x-99≥15)s95x0.05=0.021…15分 152 即在假设下100个元件中合格品为80个的概率不超过0.021，此概率极小，由小概率 原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率 不可信. …17分 19.(本小题满分17分) 解：④f的定文域为(-l+o),f四)= …2分 x+1 :f'(0)=1,f(0)=0, .f(x)在原点处的切线方程为：y一0=1×(x-0),即y=x…4分 )将x看成变量，n看成常数， 设g)=1 x+(2m-x)+n(x+1)=,-,+ln(x+l),x≥0， 1 2x+1x+1 高三数学参考答案第4页共5页 1 x- 所以g'(x)=- 2” ，1 2 (x+)2x+1x+D …6分 所以xe0)时，g)<0,re(分)时，g《e≥0. 所以g)在红[0宁上单调选减。在(，+国)上单调造增8分 所以gtw产g宁=ln(分+) 又八Fn分+.天0++0…10分 s分) (四由(2)可知： x+1 对n累加，有 x+1 12-22）m+hr+D x+1 1-1x+1 2 x+1 -m+nnx+<+nn(+)5分 x+1 x+】 令=e-小则f宁++f宁上me-》n-1 17分 高三数学参考答案第5页共5页 益阳市2024年下学期普通高中期末质量检测 高 三 数 学 (试题卷) 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 则A∩B= A. [2,6) B. [2,5] C. {2,3,4,5} D. - {1,2,3,4,5} 2.已知公比为q的等比数列{an}的前n和为 则 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 已知向量 若 则 的值为 A. B. C. D. 4.已知函数 的图象实际上是以两条坐标轴为渐近线的双曲线，进一步探究可以发现函数 的图象是以直线y=ax，x=0为渐近线的双曲线.现将函数 的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C，则它的离心率是 C. 的展开式中所有二次项(即含x²， xy， y²的项)的系数和为 A. - 40 B. - 20 C. 0 D. 40 6.已知圆台的母线长为4，在圆台内部，与上、下底面及各母线均相切的球的半径为 则该圆台的体积为 7.如图所示，点F 是抛物线 的焦点，点A，B分别在抛物线 及圆 的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是 A. [8,10] B. (5,8) C. (10,12) D. (8,10) 高三数学试题卷 第 1 页 共 4 页 8.己知定义域为R的函数f(x)满足当x≤1时， 且对任意x≥0都有f(x)=f(x+1), 则当 时，关于x的方程 的实根个数为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点 P，直线l，m，n，平面α，β，则下列命题正确的是 A. 若l∥m,m⊂α, 则l∥α B. 若l⊥m,l⊥n,m∩n=P, m⊂α,n⊂α, 则l⊥α C. 若l∥α,α∩β=m,l⊂β, 则l∥m D 若α⊥β,α∩β=m,l⊂α,l⊥m, 则l⊥β 10.已知某人掷骰子5次，并记录每次骰子出现的点数，统计数据为：2，1，a，b，c，若a，b，c成等差数列，则由下列说法可以判断出一定没有出现点数6的是 A.该组数据的中位数为4，众数是4 B.该组数据的平均数为3，80%分位数是5 C.该组数据的平均数为3，方差小于3 D.该组数据的极差为5，方差大于3 11. 数列{an}满足: 记数列{an}前2n项中所有奇数项的和为D₂n，则 C. 若 则m>n 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知复数z满足 则复数z =` . 13. 已知 则函数f(x)的最小值为 . 14.若函数y=f(x)满足在定义域内的某个集合A上，对任意x∈A，都有( 是一个常数a，则称f(x)在A上具有M性质.设y=g(x)是在区间[-2，2]上具有M性质的函数，且对于任意 都有 成立，则a的取值范围为 . 高三数学试题卷 第 2 页 共 4 页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13分) 已知椭圆 过点 且椭圆C的短轴长等于焦距. (I)求椭圆C的方程； (II)若直线l的斜率为 且与椭圆C相交于A、B两点，求 面积取得最大值时直线l的方程. 16. (本小题满分15分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且 (I)求边c; (II)若tanC=2tanB , 求△ABC面积的最大值. 17. (本小题满分15分) 如图，四棱锥 中, PA⊥平面ABCD, AB=AD=2, CD=BC. (I)作点A 在平面PBD 内的射影H，写出作法及理由； (II)若 且 求二面角 的正弦值. 18. (本小题满分17分) 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于 76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 [20,68) [68,76) [76,84) [84,92) [92,100] 元件数 (件) 2 18 36 40 4 (I)现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； (II)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量X具有数学期望E(X)=μ, 方差 则对任意正数ε，均有 成立. (i)若 证明： (ii)由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为95%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信? (注：当随机事件A发生的概率小于 0.05时，可称事件A为小概率事件) 19. (本小题满分17分) 已知函数 (I)求f(x)在原点处的切线方程； (II)n为正整数, 对任意x≥0, 求证: (Ⅲ)求证: ＜ (e为自然对数的底数). 学科网（北京）股份有限公司 $$